不等式及均值定理单元测试题(三)
高三数学均值定理试题
高三数学均值定理试题1.函数的最大值为．【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以，因为，所以。
还可用导数求单调性再求最值。
【考点】基本不等式。
2.已知直线（）经过圆的圆心，则的最小值是( )A．9B．8C．4D．2【答案】A【解析】由圆的一般方程,知,所以,圆心的坐标为又因为直线（）经过该圆心.所以,即所以,因为,所以,所以,当且仅当,即时,取“=”号.故选A【考点】1、基本不等式；2、圆的方程.3.已知是函数图象上的任意一点，是该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“性质”.现有函数：①; ②；③；④.则在区间上具有“性质”的函数为 .【答案】①②③④【解析】①;显然；②；直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则.所以具有T性质；③，直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则；④.直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则.【考点】1、新定义；2、函数及重要不等式.4.已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为当时，恒成立，即小于的最小值即可，而，即，解得．【考点】基本不等式．5.若正数满足，则的最大值为____.【答案】【解析】，所以，，又单调性可知，时取得最大值，最大值为．【考点】基本不等式．6.函数的最小值是．【答案】【解析】，当且仅当，即时等号成立.【考点】基本不等式7.设，则的最小值为．【答案】8【解析】时等号成立）；所以；即；又解得，则的最小值为8.8.若实数满足,则的最大值是_________．【答案】【解析】略9.已知x＞0，y＞0，且x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A． 3B．4C．D．【答案】B【解析】略10.下列结论正确的是（）A．当B．C．的最小值为2D．当时，的最小值是4【答案】B【解析】略11.已知都是正数，则三数（）A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】略12.已知的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是【答案】C【解析】略13.函数的最小值为_____________.【答案】15【解析】略14.已知，且，则的最大值为【答案】【解析】，当且仅当x=4y=时取等号.15.已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .【答案】【解析】由题意，设圆心坐标为，则由直线l：被该圆所截得的弦长为得，，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C过点（1,0），所以所求圆的半径为2，故圆C的标准方程为。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测(答案解析)
一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ）A ．12B ．45C ．92D ．4192．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．63．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．34．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A ．16B ．25C ．36D ．496．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．-57．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则2614t a a =+的最小值为（ ） A ．9B ．94C ．52D ．28．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．6549．不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，则a+b 的值是（ ） A ．10 B ．﹣10 C ．14 D ．﹣14 10．设a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ，则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a≥bD ．a≤b11．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >12．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．13二、填空题131x x +x =______. 14．若实数m 和n 满足242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，则23m n +的取值范围为______．15．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．16．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.17．已知点(3,3A ，O 是坐标原点，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是__________.18．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．19．对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 20．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．已知函数2()31f x ax x =+-；（1）若()0f x <的解集为(1,)b -，求()f x 的零点， （2）若()f x 在(1,1)-内恰有1个零点，求a 的取值范围．22．定义两个函数的关系：函数()m x ，()n x 的定义域为A ，B ，若对任意的1x A ∈，总存在2x B ∈，使得()()12m x n x =，我们就称函数()m x 为()n x 的“子函数”.设,0a b >，已知函数()f x=23(1)b a b+--，22||11()1822||x g x x a a x x =+-++. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 是()g x 的“子函数”，求22a b ab+的最大值.23．近年来，某市在旅游业方面抓品牌创建，推进养生休闲度假旅游产品升级，其景区成功创建国家5A 级旅游景区填补了该片区的空白，某投资人看到该市旅游发展的大好前景后，打算在该市投资甲、乙两个旅游项目，根据市场前期调查， 甲、乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为01000和0080，可能的最大亏损率分别为0040和0020，投资人计划投资金额不超过5000万，要求确保亏损不四超过1200万，问投资人对两个项目各投资多少万元，才能使五年后可能的盈利最大？ 24．已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[1,)x ∈+∞时，2()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.25．已知关于x 的不等式23240x ax -++>. （1）当2a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为()4,m -，求实数a ，m 的值.26．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加mol/L y ，y 与x 的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩.根据经验，当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol/L ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min0213222PM--==，（点M 到直线BC 的距离） ∴()222x y +-的最小值是23292⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y bx a--：两点连线斜率， 2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y xy +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).4．A解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min244z a ⎛⎫==+， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.5．A解析：A 【分析】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到：416416416(1)16111111a a ab a a a +=+=+-≥=------ 当且仅当：4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】作出不等式组11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫---⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式求得26a a +，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意172677()7()1422a a a a S ++===，∴264a a +=， ∴26262614114()()4t a a a a a a =+=++6622262644119(5)(52)444a a a a a a a a =++≥+⋅=，当且仅当62264a a a a =，即622a a =时等号成立． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．8．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n +的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅+=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.9．D解析：D 【解析】试题分析：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax 2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a 、b 即可． 解：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是即方程ax 2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．10．C解析：C 【解析】试题分析：作差法化简a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0． 解：∵a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ， ∴a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0， ∴a≥b ，故选C ．考点：不等式比较大小．11．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.12．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题13．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解解析：4【分析】 1111x x x x =+-++，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】 11x ≥， ()911211615111x x x x x x =-≥+⋅=-=+++， 11x x =+4x =时，等号成立. 故答案为：4.【点睛】 111x x +，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解. 14．【分析】设方程化简为得到再结合基本不等式得到根据一元二次不等式不等式的解法即可求解【详解】设因为可得所以解得或又由当且仅当时即时等号成立整理得解得所以即则的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：设利 解析：(1,2].【分析】设23m n t =+，方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，得到2210t t -->，再结合基本不等式，得到23440t t --≤，根据一元二次不等式不等式的解法，即可求解.【详解】设23m n t =+，因为242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，可得221523m n t t --=⨯⨯，所以2210t t -->，解得1t >或12t <-， 又由222235215235()24m nm n t t t +--=⨯⨯≤⨯=， 当且仅当23m n =时，即0m n ==时等号成立，整理得23440t t --≤，解得223t -≤≤， 所以12t <≤，即则23m n +的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2].【点睛】方法点睛：设23m n t =+，利用换元法把方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，根据指数函数的性质和基本不等式，得出不等式2210t t -->和23440t t --≤是解答的关键. 15．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y 得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z 最大由得A （10）代入目标函数z=解析：1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x-2y 得1122y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线11 22y x z=-，，1122y x z=-，的截距最小，此时z最大，由2222x yx y-⎧⎨+⎩＝＝，得A（1，0）．代入目标函数z=x-2y，得z=1-2×0=1，故答案为1．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y=-，则y x z=-，则z表示直线在y轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x=，0y=时，z有最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.17．【分析】作出可行域根据投影的定义得数形结合求出的取值范围即求z的取值范围【详解】作出可行域如图所示∴当时；当时的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影属于中档题解析：[]3,3-【分析】作出可行域.根据投影的定义得23cos z AOP =∠，数形结合求出AOP ∠的取值范围，即求z 的取值范围.【详解】作出可行域，如图所示 cos 3OA OPz OA AOP AOP OP ⋅==⋅∠=∠.5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，∴当6AOP π∠=时，max 2336z π==；当56AOP π∠=时，min 52336z π==-，z ∴的取值范围是[]3,3-. 故答案为：[]3,3-.【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题. 18．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然 解析：16【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过A 时，z 最大由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =． 故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.19．【分析】求出的最大值然后解相应的不等式即可得【详解】由得或故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题根据参数出现的位置首先求出三角式的最大值然后只要解不等式即可得这实质上就是不等式恒成立问题中的分离 解析：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出sin cos θθ的最大值，然后解相应的不等式即可得． 【详解】11sin cos sin 222θθθ=≤， 由211322m m ->得13m <-或12m >． 故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sin cos θθ的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了．20．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点解析：)4，⎡+∞⎣ 【分析】先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.【详解】由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩，作出可行域，如图.设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.则()()1,0,1,3A C ,由27010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B . 当直线2y x z =-过点()3,2B时，z 有最大值4，当直线2y x z =-过点()1,3C 时，z 有最小值-1. 所以|2|4x y -≤，所以4a ≤故答案为：[)4+∞，. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.三、解答题21．（1）函数()f x 的零点为11,4-；（2）9[2,4]4a ⎧⎫∈-⋃-⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）由不等式解集与一元二次方程的根的关系得方程的根，由方程根的定义可求参数值，然后解方程可得零点．（2）可利用一元二次方程根的分布分类求解．注意分类0a =和0a ≠，在0a ≠时，()0f x =在(1,1)-上有一个解，还有1-是一个解，1是一个解分别求出另一解判断，另外0∆=时进行检验．从而可得结论．【详解】（1）依题意得方程2310ax x +-=的两根为-1，b ，将1x =-代入方程得4a =，于是方程2310ax x +-=可化为24310x x +-=，解得1x =-或14x =． 所以函数()f x 的零点为11,4-． （2）因为函数2()31f x ax x =+-在(1,1)-内恰有1个零点，所以该函数图象在(1,1)-内与x 轴只有一个公共点．（i ）当0a =时，由()31=0f x x =-，得1=(1,1)3x ∈-，故0a =满足题意；（ii ）当0a ≠时，①当函数()f x 的图象在x 轴两侧时，则由(1)(1)(4)(2)0f f a a -=-+<，解得24a -<<，此时24a -<<且0a ≠，满足题意当2a =-时，1(1,1)2x =∈-，满足题意； 当4a =时，1(1,1)4x =∈-，满足题意． ②当函数()f x 的图象在x 轴同侧时，则由23-4(1)0a ∆=⨯⨯-=， 解得94a =-． 由29()31=04f x x x =+--即2912+4=0x x -解得()21,13x =∈-， 故94a =-，满足题意． 综上所述，a 的取值范围是9[2,4]4⎧⎫-⋃-⎨⎬⎩⎭．【点睛】易错点睛：本题考查一元二次不等式的解集、一元二次方程的根、二次函数的图象之间的关系，掌握三个“二次”的关系是解题关键．利用二次函数图象可得一元二次方程根的分布的知识．要注意根的分布结论都是在开区间(,)a b 有解，而实际解题时还要分类讨论a 或者b 是方程根的情形，否则可能漏解．22．（1）减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞；（2）18.【分析】（1）根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；（2）先求得函数()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭，利用基本不等式，求得函数()g x 的值域为116,)[a -+∞，根据题意，得到2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数233()1b f x b +=-有意义， 则满足2430x x -+≥，解得1x ≤或3x ≥，即定义域为{|1x x ≤或3}x ≥，又由函数243y x x =-+在减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 的减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞.（2）由函数233()1b f x b +=--，可得()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭， 211111()||||20422016||2||2g x x x x a x a a ⎛⎫⎛⎫=+++-≥+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1||||x x =时，即1x =±，等号成立， 所以()g x 的值域为116,)[a-+∞， 因为()f x 是()g x 的“子函数，所以2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞， 所以233116b a b a+--≥-，即13316a b a b +++≤， 又13(3)()103()b a a b a b a b++=++，221331316(3)6422a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫++≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭， 当且仅当1338a b a b+=+=时取“=”，即735 a-=，35b+=或735a+=，35b-=时，等号成立，所以103()64b aa b++≤，即2218a b b aab a b+=+≤所以22a bab+的最大值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.23．甲乙两项目投资额分别为1000万元和4000万元【解析】试题分析：设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y万元.根据已知条件可列出可行域为5000{0.40.212000,0x yx yx y+≤+≤≥≥，目标函数为0.8z x y=+，画出可行域，根据图像可知目标函数在点()1000,4000处取得最大值.试题设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y万元5000{0.40.212000,0x yx yx y+≤+≤≥≥求0.8z x y=+最大值如图作出可行域当目标函数结果点()1000,4000A时，0.8z x y =+取得最大值为4200 万元，此时对甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000 万元盈利最大.24．（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(,4]-∞.【解析】试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得()()310x x -+≥，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离12a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，转化为求对应函数最值：()min a h x ≤，其中()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式求()h x 最值，即得a 的取值范围.试题（1）若()2,3a f x =≥即()()2230,310x x x x --≥-+≥ 所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥（2）()22f x x ≥--即12a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭在[)1,x ∈+∞时恒成立， 令()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立，又()124h x x x ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x =即1x =等号成立，所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(],4-∞.25．（1）223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）13m =，112a =-. 【分析】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，即23440x x --<，利用一元二次不等式求解.（2）根据不等式的解集为()4,m -，则由4-，m 为方程23240x ax -++=的两根求解.【详解】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，所以23440x x --<， 所以()23203x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭， 解得223x -<<，所以不等式23440x x -++>的解集为223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； （2）由已知得4-，m 为方程23240x ax -++=的两根， 则有243a m -+=--且443m -=-， 解得13m =，112a =-. 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于中档题.26．（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .见解析【分析】（1）由题可知168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，分类讨论求解满足4y ≥时的x 的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数；（2）根据已知求出函数解析式()16162014666y x x x x ⎡⎤=--=--+⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可求得当10x =时，max 6y =，从而得出结论.【详解】解：（1）由题意，x (单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为：168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，由于当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用，即需4y ≥，则当06x ≤≤时，16842x -≥+且当612x <≤时，124x -≥， 解得：28x ≤≤，所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天.（2）设第()812x x ≤≤天水中所含物质N 的量为mol/L y ，则()1220(8)2616168y x x x x ⎡⎤-⎢⎣=-+=--+⎦--⎥， ()161461466y x x ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1666x x -=-，即[]108,12x =∈时，等号成立， 即当10x =时，max 6y =，所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键.。
完整版必修5第三章不等式单元测试题及答案
第三章不等式单元测试题) 分本大题共10小题，每小题5分，共50一、选择题(2)≥2x的解集是(1．不等式x2} 0|x≤或x≥x|0≤x≤2} D．{x A．{x|x≥2}B．{x|x≤2} C．{)2．下列说法正确的是(2 3322222 b>D b?a．>b>bca B．a>b?a>b C．a?A．a>bac> ?a>b) 0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是(3．直线3x＋2y＋5＝3,2)D．(－4) C．(0，－3) ，－A．(－3,4) B．(－31x－)>1的解集是(4．不等式2＋x} R|x∈x<1} D．{x<－2} B．{x|－2<x<1} C．{x|A．{x|x) (a－1)(a－3)，∈R，则有5．设M＝2a(a－2)＋3，N＝(a NM≤<N D．．M>NB．M≥N C．M A，≥02x－y＋2???，≤0x＋y－2)6．不等式组表示的平面区域的形状为(??0y≥D．正方形C．三角形．梯形B．平行四边形A，0x＋y－3≥??)y满足条件则z的最小值为(7．设z＝x－y，式中变量x和?，2x－y≥0??33 D．－．1 B．－1 C．A2m)的值恒大于4，则(8．若关于x的函数y＝x＋在(0，＋∞)x2 <－D．m或m>2 C．－2<m<2 －A．m>2 B．m<2>0xy)，且当x＋y)＝f(x)·f((9．已知定义域在实数集R上的函数y＝f(x)不恒为零，同时满足f) 时，一定有(时，f(x)>1，那么当x<0)<1f(xx)>1 D．0< (x)<－1 B．－1<f(x)<0 C．f(f A．2x＋22)的结果为(?x＋2?10．若<0，化简yx＝25－30＋9x－3－5x－3x 5－D．y＝3．y ＝2－x C．y＝x－4 A．y＝－4x B)25分二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共1 _________．∈R，式子恒有意义，则常数k的取值范围是11．对于x21kxkx＋＋112．的解集是_________＋－15)>log(12．不等式log(xx13)－2x222－x．的定义域是__________lg4－x)13．函数f(x＝＋3－x ________．y≤4所围成的平面区域的周长是0，y≥0，x＋x14．≥万元，七月万元．预测六月份销售额为50015．某商家一月份至五月份累计销售额达3860十月份销售总额与七、，九、八月份销售额比七月份递增x%份销售额比六月份递增x%，的最小值是x八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则．________)分2小题，共25三、解答题(本大题共ee与的大小．，e<0，比较，已知a>b>0c<d<0(1216．分) d－ba－c解下列不等式：(12分)17．2220.1≥＋6(2)9 ；－2－(1)x＋x>0 x－x 3- 1 -2>0. (2m＋3)x＋m R且m<－2，试解关于x的不等式：(＋3)xm－(1218．分)已知m∈，0－4≤2x＋y??，y满足19．(12分)已知非负实数x?0.3≤yx＋－?? (1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；y(2)求z＝x＋3的最大值．)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)20．(13分1－t)＝20|－t，价格近似满足＝天)的函数，且销售量近似满足g(t)80－2t(件)f((均为时间t2 ．10|(元) 的函数表达式；t≤20)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤(1) 的最大值与最小值．求该种商品的日销售额y(2)，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，14 m(14分)某工厂有一段旧墙长21．2旧墙的费用为1 m元；(2)修建的厂房，工程条件是：(1)1 m新墙的费用为a126 m面积为aa的新墙的费用为元．1 m元；(3)拆去1 m的旧墙，用可得的建材建24 经讨论有两种方案：14. ≥为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面长x<14)①利用旧墙x m(0<x试比较①②两种方案哪个更好．- 2 -第三章《不等式》单元测试题必修5胡显义命题：水果湖高中22. 或x≥解析：原不等式化为xx－2≥0，则x≤01．D答案：222a时，a，所以A不正确；B中，当＝0>b＝－A2．解析：中，当c＝0时，ac1＝bc222C 不正确．很明显>(－1)，所以时，－2<－1D＝0<b B＝1，所以不正确；D中，当(－2) 正确．C 答案：，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是5>0时，3x＋2y＋5＝03．解析：当x＝y＝5>0. －3,4)的坐标满足3x＋2y＋y3x＋2＋5>0，可以验证，仅有点(A答案：3x－－1x－12.－2<0?x<?－1>0?4．>0?x解析：＋>12＋x＋2xx＋2A答案：2，≥0－1)(a－3)＝a－N＝2a(a－2)＋3－(aM5．解析：. N所以M≥B答案：画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分．．解析：在平面直角坐标系中，6. 则平面区域是△ABC A答案：，3＝0x＋y－??由(2,1)．得．解析：画出可行域如下图中的阴影部分所示．解方程组A7?0.y＝x－2??1.＝－1最小，则z的最小值为2x－z过A时，－z最大，即z＝图知，当直线yA答案：2m|>4.mm|，∴2|8．解析：∵x＋≥2|x2. <－或m∴m>2B答案：2f，(0)＝0得f(0)＝9．解析：令x＝y 0与题设矛盾．xf()＝ff(0)＝0，则(x)＝0·若，x)(f(x)·f－fy(0)∴f＝1.又令＝－x，∴(0)＝1.)＝f故(x?x－f?D.，故选xf时，x)>1(时，x∵>0fx，∴<00<()<1- 3 -D答案：2x＋522＋|－x9x5|－?x10．解析：＋2?－－x3＝|3∵<0，∴－2<x<.而y＝25－30x＋35x －3A..∴选4x－2－3＝－2|－3＝x5－3x－A答案：二、填空题（填空题的答案与试题不符）1 __________．x∈R，式子恒有意义，则常数k的取值范围是11．对于21kxkx＋＋122k＝0时，k>0且式子解析：恒有意义，即kxΔ＋kx＋1>0恒成立．当k≠21kx＋kx＋2C.，选1>0恒成立，故0≤k；而k＝0时，kx<4＋kx＋1＝k－4k<0，∴0<<4？答案：C2－x．4－x的定义域是__________(12．函数fx)＝＋lg3－x求原函数定义域等价于解不等式组解析：，x－2≥0???，x－3≠0<4.x<3或3<x解得2≤??，4－x>0 ∴定义域为[2,3)∪(3,4)．(3,4)答案：[2,3)∪．≤4所围成的平面区域的周长是，y≥0，x＋y________≥13．x0.OAB解析：如下图中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt△4，OA＝OB＝可求得A(4,0)，B(0,4)，则2. ＋442＝8Rt△OAB的周长是4＋4＋AB＝42，所以2＋4答案：8，0y?≤f?x?＋f???2所形成区域的面积，xy)－2x，则满足条件的点(14．已知函数f(x)＝x?0y?≥?x?－f?f??为__________．解析：化简原不等式组22，－1?≤2??x－1＋?y???，2?≥0y?x－??x＋y－??所表示的区域如右图所示，阴影部分面积为半圆面积．答案：π万元．预测六月份销售3860)某商家一月份至五月份累计销售额达15．(2010·浙江高考，九、十%，八月份销售额比七月份递增x额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%万元，月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000 ________．则x的最小值是2，500×(1＋x%)(1解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×＋x%)，八月份销售额为2，可列出不等式为]x%)500(1＋一月份至十月份的销售总额为3860500＋2[500(1＋x%)＋＋61166????－tt＋22，即0tx%＝，则t＋t－≥＋令≥x(1%)＋＋0.≥43601000[(1x＋＋%)]7000.1????552511 ≥t又∵＋0，5- 4 -66 t 1≥＋，∴%x ≥，∴55≥20.故%x ≥x 0.2的最小值是∴，∴x 20.答案：20三、解答题(本大题共6小题，共75分)ee 16．(12分)已知a >b >0，c <d <0，e <0，比较与的大小． a －cb －de ?b －d ?－e ?a －c ??b －a ?＋?c －d ?ee 解：－＝＝e .a －cb －d ?a －c ??b －d ??a －c ??b －d ?∵a >b >0，c <d <0，∴a －c >0，b －d >0，b －a <0，c －d <0.eeee 又e <0，∴－>0.∴>.a －cb －da －cb －d 17．(12分)解下列不等式：22＋2x －>0(1)－x ； 32－6x ＋(2)9x 1≥0.22222－6x ＋?3xx －>0?2<0.－2x ＋解：(1)－x <0＋2x 33332x 312>0，且方程Δ＝－6x ＋2＝0的两根为x ＝1－，x ＝1＋， 213333∴原不等式解集为{x |1－<x <1＋}． 3322≥1)0. (3x －6x ＋1≥0(2)9x ?－∴x ∈R .∴不等式解集为R .2－(2m ＋3)xx ＋m >0. 3)R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋)18．(12分已知m ∈解：当m ＝－3时，不等式变成3x －3>0，得x >1；当－3<m <－2时，不等式变成(x －1)[(m ＋3)xm －m ]>0，得x >1或x <； m ＋3m 当m <－3时，得1<x <.m ＋3综上，当m ＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当m ??－∞，∪(1，＋∞)；当m <－2－3<m <－时，原不等式的解集为3时，原不等式??3m ＋m ??，1. 的解集为??3＋m ，0≤y －42x ＋?? 满足，y 已知非负实数19．(12分)x ?0.3≤x ＋y －??(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；(2)求z ＝x ＋3y 的最大值．解：(1)由x ，y 取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如下图所示阴影部分． - 5 -位置时，此时可行域轴的交点M 向上平移至l 与y ＝(2)作出直线l ：x ＋3y 0，将直线l 1 ．y 轴交于点M (0,3)的距离最大，而直线内M 点与直线lx ＋y －3＝0与9. 3×3＝z ∴＝0＋max 天内江苏苏州调研)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近2020．(13分)(2009·，价格近件))的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (1 )．似满足f (t )＝20－|t－10|(元2 的函数表达式；(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20) y(2)求该种商品的日销售额的最大值与最小值．)解：(1)y＝g(t)·f(t110|)＝(80－2t)·(20－|t－210|) ＝(40－|t－t)(40－，<10，0≤t－?30＋t??40t???＝?20.10≤t ≤－40t??50－t?，??? [1200,1225]的取值范围是，当(2)0≤t<10时，y；y在t＝5时，取得最大值为1225 ，≤t≤20时，y的取值范围是[600,1200]当10600.在t＝20时，y取得最小值为，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩14 m(14分)某工厂有一段旧墙长21．2形，面积为126 m的厂房，工程条件是：元；1 m新墙的费用为a建(1)a 元；修1 m旧墙的费用为(2)4a元．的旧墙，用可得的建材建1 m的新墙的费用为(3)拆去1 m2 经讨论有两种方案：x<14)为矩形一边；①利用旧墙x m(0<14. x≥②矩形厂房利用旧墙的一面长试比较①②两种方案哪个更好．ax )，解：方案①：修旧墙费用为(元4a，x拆旧墙造新墙费用为(14－)(元)21262×－其余新墙费用为(2x＋14)a(元)，x1262×36axxa＋－14)a＝7a(－1)(0<x<14)，＋)＋则总费用为y＝(14－x＋(2xx442x3636xx∵＋≥＝2·6，x44x36x时，y＝35a，＝∴当且仅当＝即x12min x4 方案②：aa7 )，×利用旧墙费用为14元＝(24252 ，元a－x 建新墙费用为(2＋14)()x- 6 -7a25212621则总费用为y＝＋(2x＋－14)a＝2a(x＋)－a(x≥14)，2xx2126可以证明函数x＋在[14，＋∞)上为增函数，x∴当x＝14时，y＝35.5a. min∴采用方案①更好些．- 7 -。
(完整word版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(含答案解析)
一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ） A ．12 B ．45 C ．92 D ．4192．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．()0,2 D ．[)0,2 3．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．34．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b +的最小值为（ ） A ．15 B．8+C ．16 D．8+5．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-6．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ）A ．254B ．499C ．14425D ．225497．设,x y 满足约束条件0{4312x y x x y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5 B ．2,6 C ．[]2,10D ．[]3,11 8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( ) A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9> 9．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ）A．B．C ．6 D ．8 10．已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．14B ．4C ．18D ．811．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．912．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t +=+，那么（ ） A ．M N <B ．M N >C ．M ND ．M 与N 的大小关系和t 有关二、填空题13．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．14．若,0x y >满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.15．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．16．已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，则228(0)a b b c b c+++≠+的最小值是___________． 17．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．18．已知0,0a b >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 19．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.20．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求,a b 的值；（2）若(1)2,0,0f a b =>>，求19a b+的最小值．22．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数()f x = （1）若()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值； （2）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.25．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3．（1）求11+2+a b的最小值； （2）证明：92+a b b a ab26．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界）， ()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min 2PM ==，（点M 到直线BC 的距离）∴()222x y +-的最小值是2922⎛= ⎝⎭．故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y b x a--：两点连线斜率， 2．B解析：B【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解.【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4.故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立.3．B解析：B【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值.【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥， 所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立.因此，+a b 的最小值为7.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()121223888348a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即a b ==时等号成立，故12a b +的最小值为8+ 故选：D.【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用x y +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值； （3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.5．C解析：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由23z x y =-得到233z y x =-， 平移直线233z y x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．6．C解析：C【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值.【详解】由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=的距离为221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7．D解析：D【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y x x y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.8．C解析：C【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜，故选C .【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．D解析：D【分析】 运用基本不等式2422422x y x y +≥=【详解】因为20,40x y >>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）．故答案为D.【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．10．C解析：C【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值．【详解】由题意得，221121112222228x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立，所以xy 的最大值是18． 故选C ．【点睛】 运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab+≥逆用就是222a b ab +；,0)2a b a b +≥>逆用就是2(,0)2a b ab a b +⎛⎫> ⎪⎝⎭等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件． 11．D解析：D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12．A解析：A【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小.【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.二、填空题13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥，即可直接求解． 【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b 为正实数，a b ∴+≥a b =时取等号，3ab ∴-≥30ab ∴-≥，即)310≥3≥1≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运算能力，属于基础题．14．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由满足可得则当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常 解析：5【分析】化简35x y xy +=，得到315x y +=，134(34)()531x y x y x y⋅+++=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由,0x y >满足35x y xy +=，可得315x y+=， 则311134(34)()(13123)55y x x y x y y x yx +=⋅++=++⨯11(13(1312)555≥⋅+=+=，当且仅当123y x x y =时，即21x y ==时等号成立，所以34x y +的最小值是5. 故答案为：5.【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值.15．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ．代入目标函数z y x =-，得044z =-=-． 所以z y x =-的最小值是4-. 故答案为：4- 【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.16．【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系再根据均值不等式求得最小值【详解】因为的解集为得得又所以所以由均值不等式得所以当时取等号故的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点 解析：【分析】根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系，再根据均值不等式求得最小值. 【详解】因为220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，得0b >，440ab ∆=+=，得1ab =-，又1c b=，所以a c =-，所以0b c +>，由均值不等式得2b c +≥=， 所以()()22222228688b c bc b c a b c b b c b c b c b c+-+++++++===++++ ()6b cb c =++≥+，当b c +=228a b b c+++的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.17．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．18．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题 解析：(],12-∞【分析】 先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()3199933366212b a a a b b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤故答案为：(],12-∞ 【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.19．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划 解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.20．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点解析：)4，⎡+∞⎣ 【分析】先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.【详解】由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩，作出可行域，如图.设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.则()()1,0,1,3A C ,由27010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B .当直线2y x z =-过点()3,2B 时，z 有最大值4，当直线2y x z =-过点()1,3C时，z 有最小值-1.所以|2|4x y -≤，所以4a ≤故答案为：[)4+∞，. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.三、解答题21．（1）14a b =-⎧⎨=⎩；（2）16．【分析】（1）由不等式()0f x >的解集(1,3)-．1-，3是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可求a ，b 值；（2）由()12f =，得到1a b +=，将所求变形为1(9)()a ba b ++展开，利用基本不等式求最小值． 【详解】解：（1）∵()2230ax b x +-+>的解集为()1,3-，1,3∴-是()2230ax b x +-+=的两根，21313413b a a b a -⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩．（2）由于()12f =，0a >，0b >， 则可知232a b +-+=， 得1a b +=，所以199()()101016b a a b a b a b ++=++≥+=， 当且仅当9b aa b=且1a b +=， 即1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立，所以19a b +的最小值为16. 【点睛】易错点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 22．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 【分析】法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值. 【详解】解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，则.. 表面积251002544425S x x x x=++⨯=++..2565≥=.. 当且仅当25x x=，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x=++⨯=++>22210041004x y x x -'=-=.. 令2241000x y x-'==得，5x =. 当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x -'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x -'=为增函数；所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 23．(1)2()2f x x =-，()g x x =；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f （x ）和g （x ）的解析式；（2）()()h x g x < 即()23130mx m x +--<，讨论当0m =时，当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =，23x =-，比较1m与-3的大小，进行讨论； 试题（1）由题意()()22f x g x x x -+-=--，即()()22f x g x x x -=--，又()()22f x g x x x +=+-联立得()22f x x =-，()g x x =.（2）由题意不等式即()23130mx m x +--<，当0m =时，即30x --<，解得3x >-；当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m=，23x =-， 故当0m >时，易知13m >-，不等式的解为13x m-<<； 当0m <时，若13m >-，即13m <-时，不等式的解为3x <-或1x m>； 若13m =-，即13m =-时，不等式的解为3x ≠-； 若13m <-，即13m >-时，不等式的解为1x m<或3x >-； 综上所述，当13m <-时，不等式的解为1|3x x x m 或⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；当103m -≤<时，不等式的解集为1|3x x x m ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或；当0m =时，不等式的解集为{}3x x -； 当0m >时，不等式的解集为1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏. 24．(1) 2a = (2) 7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知不等式()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解. （2）()f x 的定义域为R ，可知不等式()()221120a x a x ---+≥恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故()()()()22210221*********a a a a a ⎧-<⎪⎪⎛⎫-⋅---+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪---+=⎩，解得2a =；（2）()f x 的定义域为R ，即()()221120ax a x ---+≥恒成立，当210a -=时，1a =±，经检验只有1a =满足条件；当210a -≠时，()()222101810a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪⎩，解得7,19a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 综上，7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强. 25．（1）45；（2）证明见解析【分析】 （1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.【详解】（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，，∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a bb aab，需证2292a b +≥，因为()222239222a b a b ++≥==， 所以92+a bb a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.26．（1）25-；（2）6⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，-. 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴25k =-（2）∵不等式的解集为R ∴0k <且24240k ∆=-<∴k<-6∴k的取值范围是(-∞，【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．。
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则时取“=”） *a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab 2?*a?ba2?b2ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。
平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。
x?5 x2?7x?10的值域。
例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。
xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为 ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.428B.C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是 abaa?b1234 11.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2*a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y4x?2?14x?5的最大值。
不等式考试题及答案
不等式考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集为 \( (-1, 2) \)，则下列哪个不等式有相同解集？A. \( ax^2 + bx + c < 0 \)B. \( -ax^2 - bx - c > 0 \)C. \( ax^2 + bx + c \leq 0 \)D. \( -ax^2 - bx - c < 0 \)答案：B2. 对于不等式 \( |x - 3| < 2 \)，下列哪个区间是其解集？A. \( (1, 5) \)B. \( (-1, 7) \)C. \( (-2, 4) \)D. \( (3, 5) \)答案：A3. 若不等式 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \) 的解集为 \( A \)，则 \( A \) 与 \( (2, 3) \) 的交集是什么？A. \( \emptyset \)B. \( (2, 3) \)C. \( (2, 3) \cap A \)D. \( (3, 4) \)答案：C4. 已知不等式 \( x^3 - 3x^2 + 2x > 0 \) 的解集包含 \( (1, 2) \)，那么下列哪个不等式也包含 \( (1, 2) \) 作为其解集的一部分？A. \( x^3 - 3x^2 + 2x < 0 \)B. \( -x^3 + 3x^2 - 2x < 0 \)C. \( x^3 - 3x^2 + 2x \leq 0 \)D. \( -x^3 + 3x^2 - 2x \geq 0 \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若不等式 \( 2x - 3 < 5 \) 的解为 \( x < 4 \)，则 \( 2x -3 > 5 \) 的解为 \( x > \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 不等式 \( |x + 1| \geq 3 \) 的解集为 \( x \leq -4 \) 或\( x \geq 2 \)，那么 \( |x + 1| < 3 \) 的解集为 \( x \in\_\_\_\_\_ \)。
经典均值不等式练习题
均值不等式 【2 】均值不等式别名根本不等式.均值定理.主要不等式.是求规模问题最有利的对象之一,在情势上均值不等式比较简略,但是其变化多样.应用灵巧.尤其要留意它的应用前提（正.定.等）.1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数,则2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+,当且仅当b a =时等号成立. （注：以上四个式子分别为：折衷平均数.几何平均数.代数平均数.加权（平方）平均数）一、 根本技能技能1：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值. 技能2：分别配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技能3：应用函数单调性例求函数2y =的值域.技能4：整体代换例 已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 典范例题1. 若正实数X,Y 知足2X+Y+6=XY , 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0,1］恒成立,则a 的取值规模为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）等分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0,则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈,且知足134x y +=,则xy 的最大值为.7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 148. 若正数x ,y 知足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切知足前提的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．①1ab ≤; ②≤; ③ 222a b +≥; ④333a b +≥; ⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞,则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中准确的是 A.1y xx =+的最小值是2B.2y =的最小值是2C.423(0)y x x x =-->的最大值是2-D.423(0)y x x x=-->的最小值是2-12. 若21x y +=,则24x y +的最小值是______。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
经典均值不等式练习题
均值不等式均值不等式又名基本不等式、 均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件 定、等）。
2 2 1. ⑴若a,b R ，则a 2 b 2 _ 2ab ⑵若a,b R ，则ab 空 ~— （当且仅当_ 2时取“=”）* a + b ________________ *2. ⑴若a,b • R ，则ab ⑵若a,b • R ，则a • b _ 2•• ab （当且仅当2时取“=”）（3）若a,b • R *，则ab 空 a b（当且仅当a =b 时取“=”）飞2丿2 I — a + b则 ab <1丄 2 a b时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均 数）技巧1：凑项例 已知X ：：： ◎，求函数y =4x _2- 的最大值。
44x —5技巧2 :分离配凑2x + 7x +10例求y（x • T ）的值域x +1技巧3:利用函数单调性2x +5例 求函数y的值域Jx 2 +43.均值不等式链：若a 、b 都是正数,a 2b 2当且仅当（正、a = ba = ba 二基本技巧技巧4:整体代换例1 9已知x . 0, y 0，且1，求x y的最小值。
x y典型例题1. 若正实数X, Y满足2X+Y+6=XY ,则XY的最小值是 _____________2. 已知x>0,y >0, x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd是（）A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x2+ax+4>0对一切x€ （0,1]恒成立，则a的取值范围为（）A. b,]B. ]C. !-5, ■ ■- iD. 1-4,4]4. 若直线2ax +by-2=0 （a, b €氏）平分圆x2+y2-2 x-4 y-6=0，则2+丄的最小值a b是（）A.1B.5C.4 2D.3+2 25. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,贝U x+2y 的最小值是6. 已知x, y = R，且满足——=1，则xy的最大值为___________ .___3 47. 设a 0,b 0.若是3a与3b的等比中项，贝V -，丄的最小值为（）a b1A 8B 4C 1D -48. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）24 28A. B. C.5 D.65 59. 若a 0,b 0, a ^2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）•③ a2 b2 _2 ；④ a3b3 _3 ；⑤ 11_2a b10.设a>b>0 ,则a21+——+ab1---- 的最小值是( a a「b(A) 1 (B) 211.下列命题中正确的是1A、y =x •-的最小值是x (0 (D) 4、y -—x 3-的最小值是2y =2—3X—4(X 0)的最大值是2-4.3x值是 2 一4、..3x224D、y = 2 -3x (x - 0)的最小x12.若x 2y =1，则2x4y的最小值是。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．设0,0a b >>，若4a b +=.则49a b+的最小值为（ ） A ．254B ．252 C ．85D ．1253．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数=21z x y =+-的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2 B ．1CD ．7．不等式112x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R8．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+9．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭11．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） ABCD12．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <57二、填空题13．已知实数x y ，，正实数a b ，满足2x y a b ==，且213x y+=-，则2a b +的最小值为__________．14．若,0x y >满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.15．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．16．已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，则228(0)a b b c b c+++≠+的最小值是___________．17+x =______. 18．已知M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，向量()1,0a =，则MN a ⋅的最大值是______.19．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________． 20．已知正实数x ，y 满足22462x y xy ++=，则2x y +的最小值是_________.三、解答题21．解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>.22．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为111623，，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围. 23．已知函数2()12af x x x =-+ （1）若()0f x ≥，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立，求实数a 的取值范围. 24．已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围．25．（1）若关于x 的不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1恒成立，求实数m 的取值范围． （2）解关于x 的不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0，其中a ＜1．26．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前(N )n n +∈年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．A解析：A 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式可得最小值． 【详解】0,0,4a b a b >>+=()(4914914912513134444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当49b aa b =，即812,55a b ==时取等号. 故选：A ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．A【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域， 由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ，220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min22444z a a ⎛⎫==++， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.4．C解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．C解析：C【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件5021010x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，联立150xx y=⎧⎨+-=⎩，解得A（1，4），化目标函数z＝x+2y﹣1为y1222x z=-++，由图可知，当直线y1222x z=-++过A时，z有最大值为8．故选C．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）()()a b a c ++2， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．7．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+， 即302x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.8．C解析：C 【解析】A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt （，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．4y ≥=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．9．B解析：B 【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b +≥ 4= .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ． 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．10．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()22332x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）720+≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b 156-=，a 54=，上式取得最小值， 故选：C ． 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．12．D解析：D 【分析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围 【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立 即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立 令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12x = 当m ＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507m <<综上，实数m 的取值范围为57m < 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围二、填空题13．【分析】由条件化简可得利用均值不等式求最小值即可【详解】正实数满足取对数可得所以所以由均值不等式知当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（解析：2【分析】由条件化简可得218a b =，利用均值不等式求最小值即可.【详解】正实数a b ，满足2x y a b ==, 取对数可得log 2,log 2a b x y ==， 所以2222212log log log 3a b a b x y+=+==-， 所以218a b =，由均值不等式知，22a b +≥=，当且仅当2a b =，即2a =，4b =时等号成立.故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由满足可得则当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常 解析：5【分析】化简35x y xy +=，得到315x y +=，134(34)()531x y x y x y⋅+++=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由,0x y >满足35x y xy +=，可得315x y+=， 则311134(34)()(13123)55y x x y x y y x yx +=⋅++=++⨯11(13(1312)555≥⋅+=+=，当且仅当123y x x y =时，即21x y ==时等号成立，所以34x y +的最小值是5. 故答案为：5. 【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值.15．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ．代入目标函数z y x =-，得044z =-=-． 所以z y x =-的最小值是4-. 故答案为：4- 【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.16．【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系再根据均值不等式求得最小值【详解】因为的解集为得得又所以所以由均值不等式得所以当时取等号故的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点 解析：6【分析】根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系，再根据均值不等式求得最小值. 【详解】因为220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，得0b >，440ab ∆=+=，得1ab =-，又1c b=，所以a c =-，所以0b c +>，由均值不等式得2b c +≥=， 所以()()22222228688b c bc b c a b c bb c b cb c b c+-+++++++===++++ ()6b c b c =++≥+，当b c +=228a b b c+++的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.17．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解解析：4 【分析】11=+-，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】11≥，111615=-≥=-=， 1=4x =时，等号成立. 故答案为：4.【点睛】11，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解.18．2【分析】据题意由于MN 为平面区域内的两个动点则不等式组表示的为三角形区域根据向量的数量积由于（当且仅当与共线同向时等号成立）从而求得最大值【详解】由作出可行域如图由条件可得由图知不等式组表示的为三解析：2 【分析】据题意，由于M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，则不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a⋅≤（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立）从而求得最大值. 【详解】由0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图由条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可得()()()1,1,2,2,3,1A B C由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a MN ⋅≤=（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立）， 即当MN 所在直线平行于=(1,0)a 所在直线且方向相同的时候得到大值，MN 的最大长度为直线=0x y -与1y =的交点(1,1)与直线4=0x y +-和1y =的交点(3,1)的距离.22(31)(11)2-+-=， 故答案为：2 【点睛】解决的关键是对于不等式区域的准确表示，同时能利用向量的数量积来表示得到目标函数，利用a b a b ⋅≤（当且仅当b 与a 共线同向时等号成立）得到结论．属于中档题.19．【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解 解析：1-【分析】 由函数11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，转化为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，结合基本不等式，求得112x x e e --+≥=，得到22a -=，即可求解. 【详解】由题意，函数11()2x x f x ee a --=++只有一个零点，即()0f x =有唯一的实数根，即方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解， 令()11x x g x e e --=+因为110,0x x ee -->>，所以()112x x g x e e --≥+==，当且仅当11x x e e --=时，即1x =等号成立，因为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，所以22a -=，即1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．【分析】由题易得然后由基本不等式可得最后可求得的最小值【详解】将式子变形为即因为所以（当且仅当时等号成立）所以有即故所以则的最小值是故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值考查逻辑思维能力和运【分析】由题易得()2222x y xy +=-，然后由基本不等式可得()()222224x y x y ++≥-，最后可求得2x y +的最小值. 【详解】将式子22462x y xy ++=变形为()2222x y xy ++=，即()2222x y xy +=-，因为0x >，0y >， 所以()()222222222224x y x y x y xy ++⎛⎫+=-≥-=- ⎪⎝⎭（当且仅当2x y =时，等号成立）， 所以有()()222224x y x y ++≥-，即()25224x y +≥，故()2825x y +≥，所以25x y +≥，则2x y +.故答案为：5. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.三、解答题21．答案见解析 【分析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x -->，再对a 进行分类讨论，比较根的大小，即可得答案； 【详解】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x -->（1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<， （3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >，（4）当14a=时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠， （5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >，综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞ 0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫⎪⎝⎭； 14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭;【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意讨论的依据是比较根的大小. 22．（1）见解析（2）0<p <0.3 【解析】分析：（1）由题意可得随机变量X 1的分布列和期望；结合X ～B (2，p )可得随机变量X 2的分布列和期望．（2）由E (X 1)<E (X 2)可得关于p 的不等式，解不等式可得所求．详解：(1)由题意得X 1的分布列为∴E (X 1)＝1.2×6＋1.18×2＋1.17×3＝1.18. 由题设得X ～B (2，p )，即X 的分布列为22＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2 ＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18， 整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0， 解得－0.4<p <0.3. 因为0<p <1， 所以0<p <0.3．即当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是()0,0.3.点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX ，DX 即可．23．（1）[]44-，；（2）(],3∞-． 【分析】（1）由二次不等式()0f x ≥恒成立可得0∆≤，于是可求得a 的取值范围；（2）分离参数得12a x x ≤-在区间[]1,2上有解，转化为求1y x x=-在区间[]1,2上的最大值求解即可． 【详解】（1）由题意得()2102af x x x =-+≥在R 上恒成立，∴2404a ∆=-≤，解得44a -≤≤，∴实数a 的取值范围为[]4,4-． （2）由题意得[]21,2,122ax x x ∃∈-+≥成立， ∴[]11,2,2a x x x ∃∈≤-成立． 令()[]1,?1,2g x x x x=-∈， 则()g x 在区间[]1,2上单调递增， ∴()()322max g x g ==， ∴322a ≤， 解得3a ≤，∴实数a 的取值范围为(],3∞-． 【点睛】解题时注意以下结论的运用：（1）()a f x >恒成立等价于()max a f x >，()a f x >有解等价于()min a f x >； （2）若函数()f x 的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替． 24．（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解. 【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3， 则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<．①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ， 则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m<≤．综上所述，实数m的取值范围是[0,1)(5,6]⋃．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.25．(1) m34-＞；(2)见解析【分析】（1）利用△＜0列不等式求出实数m的取值范围；（2）讨论0＜a＜1、a＝0和a＜0，分别求出对应不等式的解集．【详解】（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化为（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，由m2+1＞0知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，化简得﹣4m﹣3＜0，解得m34-＞，所以实数m的取值范围是m34-＞；（2）0＜a＜1时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x1a-）＞0，且1a＞1，解得x＜1或x1a ＞，所以不等式的解集为{x|x＜1或x1a ＞}；a＝0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为﹣（x﹣1）＞0，解得x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}；a＜0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x1a-）＜0，且1a＜1，解得1a＜x＜1，所以不等式的解集为{x|1a＜x＜1}．综上知，0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x1a ＞}；a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜1}．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．26．（1）25()50902f n n n =-+-，3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.【分析】（1）利用n 年的销售收入减去成本，求得()f n 的表达式，由()0f n >，解一元二次不等式求得从第3年开始盈利.（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；方案二：利用基本不等式求得6n =时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润. 比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案. 【详解】 （1）由题意得：2255()5590(5)509022f n n n n n n =--+=-+-由()0f n >得25509002n n -+->即220360n n -+<，解得218n <<由n ∈+N ，设备企业从第3年开始盈利 （2） 方案一总盈利额25()(10)1602f n n =--+，当10n =时，max ()160f n =故方案一共总利润16010170+=，此时10n = 方案二：每年平均利润()536550()502022f n n n n =-+-⨯≤，当且仅当6n =时等号成立 故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.。
均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
经典均值不等式练习题
均值不等式均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）一、 基本技巧技巧1：凑项例 已知54x<，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧2：分离配凑 例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性例 求函数2y =的值域。
技巧4：整体代换例 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
典型例题1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .6. 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 .7. 设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ②≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中正确的是A 、1y xx=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x =-->的最小值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用【1】一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测(包含答案解析)(3)
一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ） A ．12 B ．45 C ．92 D ．4192．已知实数x ，y 满足221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．8 3．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．34．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则56a b+的最小值为（ ） A ．64 B ．81 C ．100 D ．1215．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ）A ．32-B ．28-C ．2D ．36．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-17．已知x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．328．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D9．设0a >，0b >，则下列不等式中不．恒成立的是（ ）． A ．12a a +≥ B ．222(1)a b a b +≥+-C≥D ．3322a b ab +≥ 10．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ）A ．254B ．499C ．14425D ．2254911．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b =+，则m n +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．设x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ） A ．5- B ．3 C ．5-或3 D ．5或3-二、填空题13．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________. 14．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.15．已知a ，b 为正实数，且4a +b ﹣ab +2＝0，则ab 的最小值为_____．16．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为______.17．已知实数,x y 满足40{1010x y x y +-≤-≥-≥，则x y x+的取值范围是__________． 18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.19．已知实数,x y满足不等式组201030 yx yx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx的取值范围为__________．20．某港口的水深y（米）随着时间t（小时）呈现周期性变化，经研究可用sin cos66y a t b t cππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b 的取值范围为_______．三、解答题21．设矩形ABCD的周长为20，其中AB AD>，如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB交DC于点P.设AD x=，DP y=.（1）将y表示成x的函数，并求定义域；（2）求ADP△面积的最大值.22．已知函数()()()23f x x a x=-+.（1）当72a>-时，解关于x的不等式()46f x x>+；（2）若关于x的方程()80f x+=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a的取值范围. 23．设函数2()(1)f x x m x m=-++．（1）若2m=，求不等式()0f x<的解集；（2）求不等式()0f x<的解集；（3）若对于[1,2]x∈，()4f x m>-恒成立，求m的取值范围．24．如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111DCBA和环公园人行道组成，已知休闲区1111DCBA的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米．（1）求矩形ABCD所占面积S（单位：平方米）关于x的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米？25．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3．（1）求11+2+a b 的最小值； （2）证明：92+a b b aab26．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-.（1）求xy 的最大值； （2）求x y +的最小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界）， ()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min 0213222PM --==，（点M 到直线BC 的距离） ∴()222x y +-的最小值是23292⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y b x a--：两点连线斜率， 2．C解析：C【分析】作出不等式组221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 . 【详解】由题意可作图：当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6，此时P 符合：2x m y x =⎧⎨=-⎩，即(,2)P m m -代入2z y x =-得： m -2-2m =-6,解得m =4故选：C【点睛】简单线性规划问题的解题步骤：(1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值；(3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值；(4)下结论．3．B解析：B【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值.【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥， 所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立.因此，+a b 的最小值为7.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ， z ax by =+中，由于0,0a b >>，a b是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大， 所以当直线z ax by =+经过点()5,6时，z 取得最大值，则561a b +=， 所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当111a b ==时，等号成立，故56a b+的最小值为121． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错． 5．D解析：D【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可.【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z -的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z -最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)， 故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =.故选：D.【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).6．C解析：C【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解.【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ， 代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的约束条件画出可行域；（2）根据目标函数的意义找到最优解；（3）解方程组求得最优解的坐标；（4）代入求得最小值，得到结果.7．A解析：A【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -， 据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=.故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.8．C解析：C【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22x y +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项.【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22x y +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方， 由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2.故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9．D解析：D【解析】分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误.详解：332222()()a b ab a b a ab b +-=-+-，51a b -<<有3322a b ab <+， 故D 项错误，其余恒成立：11122,a a a a a a+≥⋅=⇒+≥ 2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-当a b ≥时2220a b a b ab ab a b b a b a b ---+≥---+=⇒-≥-， 当a b <时0a b a b ->>-，选D ．点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力. 10．C解析：C【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值.【详解】由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=的距离为221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 11．B解析：B【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值．【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1ba ++1ab +=a b a b ab +++ = 2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ．【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．12．B解析：B【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值.【详解】根据题中约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示， 两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当0a =时，z x ay =+无最小值；当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值． 当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫ ⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B. 【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.二、填空题13．4【分析】先分析的几何意义然后利用线性规划求解出的取值范围从而的最大值可求【详解】作出可行域如图所示可以看做其中M 为可行域（阴影区域）内一点因为所以所以所以的最大值为4故答案为：【点睛】结论点睛：常 解析：4【分析】 先分析11x y -+的几何意义，然后利用线性规划求解出11x y -+的取值范围，从而z 的最大值可求.【详解】作出可行域如图所示，11x z y -=+可以看做1PM k ，其中()1,1P -，M 为可行域（阴影区域）内一点，因为()1121PA k --==-，()0.511314PA k ---==-， 所以(]1,2,4PM k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，所以(]10,4PM k ∈，所以z 的最大值为4，故答案为：4.【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：（1）y b z x a -=-：表示点(),x y 与点(),a b 连线的斜率； （2）()()22z x a y b =-+-(),x y 到点(),a b 的距离； （3）z Ax By C =++：表示点(),x y 到直线0Ax By C ++=22A B +倍.14．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点 解析：10【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由32z x y =+，则322z y x =-+， 平移直线322z y x =-+， 由图象可知当直线322z y x =-+， 经过点A 时，直线322z y x =-+， 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ， 此时322210max z =⨯+⨯=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 15．【分析】利用基本不等式转化为再利用换元法设转化为关于的一元二次不等式求的最小值【详解】当时等号成立设解得：或即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式一元二次不等式重点考查转化与变形计算能力属解析：10+【分析】利用基本不等式转化为20ab +≤0t =>，转化为关于t 的一元二次不等式，求ab 的最小值.【详解】0,0a b >>，4a b ∴+≥=，当4a b =时等号成立，20ab ∴+≤，0t =>，2420t t -+≤，2420t t --≥，解得：2t ≥2t ≤-0t >，2t ∴≥+(2210ab ≥+=+ab ∴的最小值为10+故答案为：10+【点睛】本题考查基本不等式，一元二次不等式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型. 16．1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的 解析：1【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =+，则y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，当直线过点()0,1时，即0,1x y ==时，z 有最大值为1.故答案为：1.【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键. 17．【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小最大；联立可得即联立可得即故：∴所以：故答案为点睛：本题考查线性规划问题难点在于目标函数几何意义近年来高考线性规划问 解析：4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点()P x y ，与定点00O （，）连线斜率k 再加1； 由图可知；OC k 最小，OA k 最大； 联立1{4x x y =+=，可得13x y ，即()1,3A ， 联立1{4y x y =+=，可得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ， 故：13OC k =，3OA k =，∴133OP k ≤≤，所以：041[4]03x y yux x+-=+∈-＝，，故答案为4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视；①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点()P x y，与定点()00O，连线斜率k再加1，③过O做直线与可行域相交可计算出直线PO斜率，从而得出所求目标函数范围.18．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三解析：843+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC的面积为111sin1202sin602sin60222ac a c=⋅+⋅︒︒︒，即22ac a c=+，∴1112a c+=.∴3(3)a c a c+=+1132242(423)843c aa c a c⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当33843c aa ca c⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即2232233ac⎧=+⎪⎨=+⎪⎩时取等号.所以，a+3c的最小值为8+43.故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.19．【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单的线性规解析：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出可行域，y x表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩表示的平面区域ABC （包括边界），所以y x 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题. 20．【分析】由已知结合辅助角公式可求然后结合基本不等式即可求解【详解】由题意可知（为辅助角）由题意可得故由解得故答案为【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用属于中档题 解析：323222⎡-⎢⎣⎦【分析】由已知结合辅助角公式可求2294a b +=，然后结合基本不等式22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由题意可知22sin cos 666y a t b t c a b t c πππθ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭，（θ为辅助角）由题意可得3=，故2294a b +=，由2229228a b a b ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得22a b -≤+≤，故答案为22⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）501010y x =--，(0,5)x ∈；（2）75-【分析】（1）由题意得10AB CD x ==-，则10CP x y =--，根据ADP Rt CBP ≌，可得DP BP y ==，所以222+(10)y x x y =--，化简整理，即可求得y 与x 的关系，根据AB AD >，即可求得x 的范围，即可得答案；（2）由（1）可得501010y x=--，(0,5)x ∈，则ADP △的面积12505(10)75210S xy x x ==-++-，根据x 的范围，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得：10AB CD x ==-，则10CP x y =--，因为在Rt ADP 和Rt CBP 中，,APD CPB AD BC ∠==，所以ADP Rt CBP ≌，即DP BP y ==，所以在Rt CBP 中，222+(10)y x x y =--，所以2222+10020202y x x y x y xy =++--+， 化简可得501010y x=--， 因为AB AD >，所以100x x ->>，解得05x <<， 所以501010y x=--，(0,5)x ∈； （2）由（1）可得501010y x =--，(0,5)x ∈， 所以ADP △面积115025250(10)55(10)7522101010x S xy x x x x x x ==⋅-=-=-++---， 因为(0,5)x ∈，所以100x -<，所以2502505(10)[5(10)]1010x x x x -+=--+≤-=---当且仅当2505(10)10x x-=-，即10x =-时等号成立，此时面积250[5(10)]757510S x x =--++≤--即ADP △面积最大值为75-【点睛】解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.22．（1）3|2x x ⎧<-⎨⎩或}2x a >+；（2）112a <-或51325a <<. 【分析】（1）对一元二次不等式分解因式，通过72a >-得出322a +>-，可得不等式的解集； （2）关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，可得0∆>，设()22(32)38g x x a x a =+--+，则有()10g >且对称轴小于1，解不等式可得实数a 的取值范围．【详解】（1）∵()()()2346f x x a x x =-+>+∴22(12)3(2)0x a x a -+-+>，即()3202x x a ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭ 73,222a a >-+>- 3|2x x ⎧∴<-⎨⎩或}2x a >+ （2）解法一：∵22(32)380x a x a +--+=在(–),1∞上有两个不相等实根∴2412550a a ∆=+->112a <-或52a > 设()22(32)38g x x a x a =+--+，则()10g >∴()232380a a +--+>∴135a <，又()g x 的对称轴为324a x -=-，∴3214a --<，∴72a < ∴综上112a <-或51325a <<. 解法二： ∵22(32)380x a x a +--+=在(,1)-∞上有两个不相等实根 ∴223823x x a x ++=+ 令2238()23x x g x x ++=+ 令()()23,00,5t x =+∈-∞ 则2316()2t t g t t-+=，即183()22g t t t =+- 由图象可知，该题转化为y a =与18322y t t =+-有两个不同的交点 ∴112a <-或51325a << 【点睛】 方法点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查一元二次方程根的分布，考查了学生计算能力，不妨设一元二次方程所对应的二次函数()f x 开口向上，则两根都小于k 时，则()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩； 2.两根都大于k 时，则()020b k af k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ 3.一根小于k ，一根大于k 时，则()0f k <．23．（1）(1,2)；（2）答案见解析；（3）(,3)-∞．【分析】（1）当2m =时，2()32f x x x =-+，则不等式()0f x <即为 2320x x -+<，利用一元二次不等式的解法求解.（2）()0f x <即为2(1)0x m x m -++<，转化为()(1)0x m x --<，再分 1m <，1m =和1m 三种情况讨论求解.（3）将[1,2]x ∈时，2(1)40x m x -++>恒成立，转化为[1,2]x ∈时，41m x x<+-恒成立． 利用基本不等式求得41x x+-的最小值即可. 【详解】 （1）当2m =时，2()32f x x x =-+，所以不等式()0f x <即为： 2320x x -+<，即 ()()120x x --<解得12x <<，所以不等式()0f x <的解集是(1,2).（2）∵()0f x <，∴2(1)0x m x m -++<，∴()(1)0x m x --<当1m <时，不等式()0f x <的解集为(,1)m当1m =时，原不等式为2(10)x -<，该不等式的解集为∅；当1m 时，不等式()0f x <的解集为(1,)m ．（3）由题意，当[1,2]x ∈时，2(1)40x m x -++>恒成立， 即[1,2]x ∈时，41m x x <+-恒成立．由基本不等式得4113x x +-≥=，当且仅当2[1,2]x =∈时，等号成立， 所以，3m <， 所以实数m 的取值范围是(,3)-∞．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题以及基本不等式的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.24．（1）1000(20)(8),(0)S x x x =++>；（2）休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形ABCD 长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；（2）根据基本不等式求S 最小值，再根据等号取法确定休闲区1111D C B A 的长和宽.【详解】（1）因为休闲区的长为x 米，休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为1000x 米；从而矩形ABCD 长与宽分别为20x +米1000,8x+米，因此矩形ABCD 所占面积1000(20)(8),(0)S x x x =++>，（2）100020000(20)(8)1160811601960S x x x x =++=++≥+= 当且仅当200008,50x x x ==时取等号，此时100020x= 因此要使公园所占面积最小，休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.25．（1）45；（2）证明见解析 【分析】（1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.【详解】 （1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，， ∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a b b a ab ，需证2292a b +≥， 因为()222239222a b a b ++≥==， 所以92+a b b aab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 【点睛】 本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.26．（1）4；（2）4.【分析】（1）由于0x >，0y >，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法，即可求出xy 的最大值；（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值.【详解】解：（1）∵0x >，0y >，∴8xy x y -=+≥80xy +≤，即2)0≤，解得：02<，04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号），∴xy 的最大值为4.（2）∵0x >，0y >，28()()2x y x y xy +∴-+=≤， 即2()()802x y x y +-++≥， 整理得：2()()3204x y x y +++-≥，∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，∴4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号），所以x y +的最小值为4.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力.。
(易错题)高中数学必修五第三章《不等式》检测(包含答案解析)(3)
一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．62．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．13．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．15B．8+C ．16D．8+4．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-5．设0a >，0b >，则下列不等式中不．恒成立的是（ ）． A ．12a a+≥B ．222(1)a b a b +≥+- C≥D ．3322a b ab +≥6．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215 C ．516 D ．6547．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ）A ．275B ．245C ．5D ．68．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+9．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<- 12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．已知实数,x y 满足102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3yx +的最大值为_______．16．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________. 17．已知0,0a b >>，若313ma b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 18．已知实数,x y 满足40{1010x y x y +-≤-≥-≥，则x yx+的取值范围是__________．19．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2b a﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．20．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 三、解答题21．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 22．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.23．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值.24．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩，（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.25．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前(N )n n +∈年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.26．已知定义在R 上的函数2()f x x x k =-+，其中k 为常数． （1）求解关于x 的不等式()f x kx <的解集；（2）若()2f 是()f a 与f b 的等差中项，求+a b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．B解析：B 【分析】 化简22211()44u mn vm n mn=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正数m ，n ，2m nu +=，222v m n mn =++， 则2222222222()12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn+++===+⨯++++++ 2111111111444444213()11mnm m m n n n n m=+⨯=+⨯≤+⨯=+++++， 当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值是为13.故选：B .【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可.【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()121223888348a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即a b ==时等号成立，故12a b +的最小值为8+ 故选：D. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用x y +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.4．A解析：A 【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122zy x =-，通过平移直线法可求出2z -的最大值，从而可得z 的最小值． 【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2z -最大，所以，2z x y =-的最小值为4-． 故选：A 【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”． 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.5．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误. 详解：332222()()a b ab a b a ab b +-=-+-， 当512b a b <<有3322a b ab <+， 故D 项错误，其余恒成立：11122,a a a a a a+≥⋅=⇒+≥ 2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-当a b ≥时2220a b a b ab a b a b b a b a b ---+≥---+=⇒-当a b <0a b a b ->>D ．点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力.6．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n +的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=.因为11611161161()()(17)17)5555n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.7．A解析：A 【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()13492743433355555x y x y x y y x y x⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭ 故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．8．C解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt（，），，＜，=∈∴=+'=-因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．244x x y e e -≥⋅=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．9．B解析：B 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．B解析：B 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大．由2x y x=⎧⎨=⎩解得(2,2)B ． 代入目标函数z x y =+得224z =+=． 即目标函数z x y =+的最大值为4． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．11．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-，故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题12．D解析：D 【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.二、填空题13．6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各解析：6 【分析】由条件可得()22312a b ++=，则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案. 【详解】实数a ，b 满足22221a b +=，即2212a b +=，所以()22312a b ++=则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝ 当且仅当2222141b a a b +=+, 又2212a b +=，即22120a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时，取得等号. 故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.14．4【分析】先分析的几何意义然后利用线性规划求解出的取值范围从而的最大值可求【详解】作出可行域如图所示可以看做其中M 为可行域（阴影区域）内一点因为所以所以所以的最大值为4故答案为：【点睛】结论点睛：常 解析：4【分析】 先分析11x y -+的几何意义，然后利用线性规划求解出11x y -+的取值范围，从而z 的最大值可求.【详解】 作出可行域如图所示，11x z y -=+可以看做1PM k ，其中()1,1P -，M 为可行域（阴影区域）内一点，因为()1121PA k --==-，()0.511314PA k ---==-， 所以(]1,2,4PM k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，所以(]10,4PM k ∈，所以z 的最大值为4，故答案为：4.【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：（1）y b z x a -=-：表示点(),x y 与点(),a b 连线的斜率； （2）()()22z x a y b =-+-(),x y 到点(),a b 的距离；（3）z Ax By C =++：表示点(),x y 到直线0Ax By C ++=22A B +倍. 15．【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线解析：78【分析】根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.【详解】根据约束条件102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可以画出可行域，如下图阴影部分所示，目标函数3y x +可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率， 因此可得，当在点A 时，斜率最大 联立2801x y x +-=⎧⎨=⎩，得172x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即71,2A ⎛⎫⎪⎝⎭所以此时斜率为()7072138-=--，故答案为78.【点睛】本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题. 16．①③【分析】结合基本不等式对四个函数逐个分析可得出答案【详解】对于①函数是定义域为的偶函数当时当且仅当时等号成立根据对称性可知函数的最小值为2满足题意；对于②因为所以则当且仅当即时等号成立所以即函数 解析：①③【分析】结合基本不等式，对四个函数逐个分析，可得出答案.【详解】对于①，函数1y x x =+是定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数， 当()0,x ∈+∞时，112x x x x +≥⋅=，当且仅当1x =时等号成立， 根据对称性可知，函数1y x x =+的最小值为2，满足题意； 对于②，11123214124212112y x x x x x x ⎛⎫=++=-++=--+- ⎪---⎝⎭， 因为12x <，所以120x ->， 则()1112412421212x x x x -+-≥-⨯=---，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所以1124212y x x ⎛⎫=--+-≤ ⎪-⎝⎭，即函数1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭的最大值为2，没有最小值，不满足题意；对于③，222114144141x x x y x x x x x +⎛⎫=++=+ ⎪++⎝⎭， 因为1x >，所以2104x x+>，所以2214241x x y x x +=+≥=+，当且仅当221441x x x x +=+，即2x = 所以()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭的最小值为2，符合题意； 对于④，22221sin cos sin cos y x x x x =+， 因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0x x >，所以22221sin cos 2sin cos x x x x +≥=，当且仅当22221sin cos sin cos x x x x=，即sin cos 1x x =时等号成立， 因为11sin cos sin 222x x x =≤，所以sin cos 1x x ≠， 即函数22221sin cos sin cos y x x x x=+的最小值不是2，不符合题意； 故答案为：①③.【点睛】 本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.17．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题解析：(],12-∞【分析】 先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()3199933366212b a a a b b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+⋅=⎪⎝⎭， 当且仅当9b a a b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤故答案为：(],12-∞【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.18．【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小最大；联立可得即联立可得即故：∴所以：故答案为点睛：本题考查线性规划问题难点在于目标函数几何意义近年来高考线性规划问解析：4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点()P x y ，与定点00O （，）连线斜率k 再加1； 由图可知；OC k 最小，OA k 最大；联立1{4x x y =+=，可得13x y ，即()1,3A ， 联立1{4y x y =+=，可得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ， 故：13OC k =，3OA k =，∴133OP k ≤≤，所以：041[4]03x y y u x x +-=+∈-＝，，故答案为4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点睛：本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视；①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点()P x y ，与定点()00O ，连线斜率k 再加1，③过O 做直线与可行域相交可计算出直线PO 斜率，从而得出所求目标函数范围.19．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键解析：p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小．【详解】因为0a >，0b >，2b p a a =-与2a qb b=-， 所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==，b a =时取等号， 所以p q ．故答案为：p q ．【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．20．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析：4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x+-的最值，进而即可得到结论.【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭， 当且仅当11x x x x -=-，即12x =时取等号，所以，4m ≤，即m 的最大值为4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.三、解答题21．(1) m ＝2 (2) ab ＋bc 的最大值为2【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点，分类讨论，去掉绝对值符号，求出函数的最大值，即可得到m ．（2）利用重要不等式求解ab+bc 的最大值．(1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2；当－1<x <1时，f (x )＝－1－3x <2；当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4.故当x ＝－1时，f (x )取得最大值2，即m ＝2.(2)因为a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，所以ab ＋bc ≤22222a b c ++ ＝2，即ab ＋bc 的最大值为2. 22．(1)2()2f x x =-，()g x x =；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f （x ）和g （x ）的解析式；（2）()()h x g x < 即()23130mx m x +--<，讨论当0m =时，当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =，23x =-，比较1m与-3的大小，进行讨论；试题 （1）由题意()()22f x g x x x -+-=--，即()()22f x g x x x -=--，又()()22f x g x x x +=+-联立得()22f x x =-，()g x x =.（2）由题意不等式即()23130mx m x +--<， 当0m =时，即30x --<，解得3x >-；当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =，23x =-， 故当0m >时，易知13m >-，不等式的解为13x m -<<； 当0m <时，若13m >-，即13m <-时，不等式的解为3x <-或1x m>；若13m =-，即13m =-时，不等式的解为3x ≠-； 若13m <-，即13m >-时，不等式的解为1x m<或3x >-； 综上所述，当13m <-时，不等式的解为1|3x x x m 或⎧⎫-⎨⎬⎩⎭； 当103m -≤<时，不等式的解集为1|3x x x m ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或； 当0m =时，不等式的解集为{}3x x -；当0m >时，不等式的解集为1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏.23．（1）1；（2）9.【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值；（2）先求得141b a +=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值．【详解】（1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<， 即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --，又不等式的解集为{|02}x x <<，所以2(2)2m --=，解得1m =；（2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=，所以4a b ab +=，所以141b a+=， 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++， 当且仅当26a b ==时取等号，所以+a b 的最小值为9．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题．24．（1）2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万美元.【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+ 2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪∴=⎨--+>⎪⎩； （2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x =--+-， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元．【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.25．（1）25()50902f n n n =-+-，3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析. 【分析】（1）利用n 年的销售收入减去成本，求得()f n 的表达式，由()0f n >，解一元二次不等式求得从第3年开始盈利.（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；方案二：利用基本不等式求得6n =时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润. 比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.【详解】（1）由题意得：2255()5590(5)509022f n n n n n n =--+=-+-由()0f n >得25509002n n -+->即220360n n -+<， 解得218n <<由n ∈+N ，设备企业从第3年开始盈利（2） 方案一总盈利额25()(10)1602f n n =--+，当10n =时，max ()160f n = 故方案一共总利润16010170+=，此时10n =方案二：每年平均利润()536550()502022f n n n n =-+-⨯≤，当且仅当6n =时等号成立 故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题. 26．（1）详见解析；（2）[]2,4-【分析】（1）不等式转化为()()10x x k --<，然后分类讨论解不等式；（2）由条件转化为224a b a b +--=，再转化为关于+a b 的一元二次不等式.【详解】（1）()2210x x k kx x k x k -+<⇔-++<， 整理为()()10x x k --<，当1k <时，不等式的解集是{}1x k x <<，当1k =时，不等式的解集是∅，当1k >时，不等式的解集是{}1x x k <<;（2）由条件可知()()()22f a f b f +=，即2242a a k b b k k -++-+=+，即()()222424a b a b a b ab a b +--=⇔+--+=， ()222a b ab +≤，()()()2242a b a b a b +∴+--+≤，()()2280a b a b +-+-≤ ，即()()240a b a b +++-≤，解得：24a b -≤+≤，所以+a b 的范围是[]2,4-.【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，基本不等式，重点考查转化与化归的思想，讨论的思想，计算能力，属于基础题型.。
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不等式及均值定理单元测试题（三）
1．设a<b<0，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A ．1a >1b
B ．１a-b ＞1a
C ．a b
D ．2
2b a > 2．关于x 的不等式(x-2)(ax-2)＞0的解集为｛x ︱x ≠2,x ∈R ｝，则a=( )
A ．2
B ．-2
C ．-1
D ．1
3．不等式022>++bx ax 的解集是)3
1,21(-，则b a -的值等于（ ） A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10
4．若实数a 、b 满足a+b=2，是3a +3b 的最小值是（ ）
A ．18
B ．6
C ．23
D ．243
5．已知直角三角形的周长为2，则它的最大面积为（ ）
A ．3－2 2
B ．3＋2 2
C ．3－ 2
D ．3＋ 2
6．f x a x a x ()=+-2
1在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是（ ） A a ≤0 B a <-4 C -<<40a D -<≤40
a
7．如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数
m 的取值范围是（ ）
A )22(，-
B （－2，0）
C （－2，1）
D （0，1）
8．若角α，β满足－2π＜α＜β＜2
π，则2α－β的取值范围是（ ） A （－π，0） B （－π，π） C （－23
π，2π） D （－π23，2
3
π） 9．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有（ ）
A 3,12min max ==z z
B ,12max =z z 无最小值
C z z ,3min =无最大值
D z 既无最大值，也无最小值
10．设M=)11)(11)(11(
---c
b a ,且a+b+c=1，(a 、b 、
c ∈R +)，则M 的取值范围是 （ ） A [0,81] B [81,1] C [1,8] D [8,+∞） 11．设.11120,0的最小值，求且y
x y x y x +=+>> 12．若x ，y 为正实数，且2x ＋5y ＝20，则lgx ＋lgy 的最大值为
13．若函数2()
68f x kx kx k 的定义域是R ，则实数k 的取值范围是
14．解不等式：（1）22740x x ++>；（2）2
830x x -+->；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．
15．已知关于x 的方程(k-1)x 2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围
16．已知x 、y 满足不等式⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ,求z=3x+y 的最小值。
17.（1）求函数1
12)(-+=x x x f (1>x )的值域。
（2）已知12,0,0=+>>y x y x ，求证：
22311+≥+y x
18.要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数 类 型 A 规格
B 规格
C 规格 第一种钢板 1
2 1 第二种钢板
1 1 3 每张钢板的面积,第一种为1m ,第二种为2m ,今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？
1-5BDCBA 6-10 DDCCD 11.223+ 12．1; 13．(0,1) 14．解：当a ＝0时，不等式的解为x ＞1；当a ≠0时，分解因式a (x －a
1)(x －1)＜0
当a ＜0时，原不等式等价于(x －a 1)(x －1)＞0，不等式的解为x ＞1或x ＜a 1；
当0＜a ＜1时，1＜a 1，不等式的解为1＜x ＜a 1；
当a ＞1时，a 1＜1，不等式的解为a 1＜x ＜1； 当a ＝1时，不等式的解为 。
17.（1）当1x >时，10x ->，则1()2(1)22221f x x x =-++≥+-当且仅当12(1)1x x -=-且1x >，即212
x =+时，取“=”号 （2）21,0,0
11112()(2)3322x y x y x y x y x y x y y x +=>>∴+=++=++≥+当且仅当2120,0x y x y y x x y ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪>>⎩即21,21x y =-
=-时，取“=”号.
18．解：设需截第一种钢板x 张,第二种钢板y 张,所用钢板面积为2zm , 则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0
,0,273,152,12y x y x y x y x
作出可行域(如图)
目标函数为y x z 2+= 作出一组平行直线t y x =+2(t 为参数).由⎩⎨⎧=+=+12
,273y x y x 得),215,29(A 由于点)215,29(A 不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使z 最小,且20726824min =⨯+=⨯+=z .
答:应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,或第一种钢板6张,第二种钢板7张,得所需三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小.。