第2节分式线性变换PPT课件

即: z 1
z 1
且,z都在过单位圆
与
z
关
于
单
位
圆
对
称
的
性
质
.
心O的同一条直线上,
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例1
试将线性变换 w
3z 4 iz 1
分解为简单变换的复合.
解
w 3z 4
3
i
(iz 1)
3 i
4
iz 1
iz 1
3 i
3 4i i(iz 1)
(3 4i) 1 z i
3i
因此可分解为
:1, 1
相当于z3 .
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2 定理7.8 在分式线性变换下，四点的交比不变。
证明
设 wk则 cazzkw k kd bwj k ((ac zdk1 ,2 bd,c3 ))(,(c4 zzk,jzdj)),
因此
(w1,w2,w3,w4)
w4 w4
w1 w2
:
w3 w3
w1 w2
(ad bc)( z4 z1) (ad bc )( z3 z1 )
即
w w
位似(伸缩)
w w h 平移
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旋转与伸长(或缩短)变换
w ei z
(z)(w)
w
z
o
平移映射 wzb
(z)(w)
w
b z
o
o
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(II)型 变 换 w1称 为 反 演 变 换 z
此变换可进一步分解为:
1 , 关于单位圆周的对称变换;
y
z
w , 关于实轴的对称变换
A
设C : z 1,以圆心O为起点
a
c k h.
4
(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合
(I)w k z h (k 0 ),
(II ) w 1 . z
(2) (I)(II)型变换的几何性质
( I ) 型 w k z h 称 为 整 式 线 性 变 换
若 ke i ( 0 , R ),则
weizh,
w e i z 旋转
2 c
(2 )若 c0 ,则 (7 .7 )变 为 (da)zb0,
这当 时a (7d .3) 为0 时 w,(7 .7 a)有 z 根 b ,z d
b
a
,
有不动点 z
b
d
及z
d ;
d a
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当ad0时, 必 b 0, ( 否 则 w z为 恒 等 变 换 ) 不动点 z b , d a
(cz4 d )(cz1 d ) (ad bc)(z4 z2 )
:
(cz3 d )(cz1 d ) (ad bc)(z3 z2 )
C
1
o.
.Pz
. P
x
的一条半直线上, 如果有两 点 P与 P 满足关系式:
.
OP OP' 1,
w1/z 则 称 这 两 点 关 于 圆 周 对 称 .
规定: 无穷远点的对称点是圆心O.
7
y
A
C
1
o.
.Pz
. P
.x
w1/ z
O P A ~ O A P
O P :O A O A :O P
O PO P O A 21
第二节 分式线性变换
Department of Mathematics
1
一 分式线性变换及其分解
1 分式线性变换概念
(1) 函数
w az b ,
ab adbc0
(7.3),
cz d c d
称为分式线性变换,简记为 w L(z).
(2) 在扩充z平面上补充定义
c0,L(d),L()a;
c
c
c0,L().
故 这 时 ( 7 .3 ) 以 z 为 二 重 不 动 点 .
二 分式线性变换的共形性
(1) 对(II) w 1
z
dw
只 要 z0,,则dz
1 z2
0，
故 (II)在 z 0 , 是 保 角 的 .
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定义7.3 二 曲 线 在 无 穷 远 点 处 的 交 角 为 ,就 是 指
它 们 在 反 演 变 换 下 的 像 曲 线 在 原 点 的 交 角 为 .
w z4 3i, z4ei()z3
z334i z25z2,
z2
1, z1
(arctan4),
3
z1 z i,
的复合.
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例2 试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个 相异的或一个二重的不动点
证明 线性变换(7.3)
wazb (adbc0), czd
的不动点适合
z
az
b
,
cz d
即 c z 2 (d a )z b 0 , (7 .7 )
从 而 (II)在 扩 充 z 平 面 是 保 角 的 .
(2) 对 (I) wkzh
dw dz
k
0，
在 z 是 保 角 的 .
对z , 像点为w,
由定义7.3引入两个反演变换
1, 1 ,
zw
则 1 k 1 h,
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即 kh
(7.8),
从 而 d d |0(h hk k)2h|0
1 k
0，
故 变 换 (7 .8 )在 0 是 保 角 的 ;
于 是 ( I ) 在 z 是 保 角 的 , 进 而 在 扩 充 z 平 面 是 保 角 的 .
3 定理7.7 分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.
注 在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.
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三 分式线性变换的保交比性
1定义7.4 扩 充 z平 面 上 有 顺 序 的 四 个 相 异 点 z 1 ,z2 ,z3 ,z4
上面系数不全为零, 否 则 w z为 恒 等 变 换 .
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( 1 )若 c 0 ,则 (7 .7 )有 两 个 根
z1,2
(a d) 2c
,
(da)24bc
当 当 0 0 时 时 , ,有 有 一 两 个 个 二 相 重 异 不 不 动 动 点 点 zz 1 ,a z 2 ;d.
构 成 下 面 的 量 ,称 为 它 们 的 交 比 , 记 为 : (z 1 ,z2 ,z3 ,z4 ).
(z1,z2,z3,z4)zz4 4 zz1 2:zz3 3 zz1 2.
注 当 四 点 中 有 一 点 为 时 , 包 含 此 点 的 项 用 1 代 替 .
如(z1,z2,,z4)
z4 z1 z4 z2
则 w L ( z ) 定 义 在 整 个 扩 充 z 平 面 上 .
2
( 3 ) w L ( z ) 将 扩 充 z 平 面 单 叶 地 变 成 扩 充 w 平 面
w L (z)具 有 逆 变 换
zL1(w )dwb cwa
(7.4).
因 w L ( z ) 除 极 点 外 解 析 且 单 叶 , 从 而
(4) 由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的
3
2 分式线性变换的分解
h b ,k a
a z b d d kz h c 0 ,
w
az b cz d
dd
abcad
1
c c czd
c 0,
1
cz d a bc ad 1 c c
a bc ad
cc
h c ,k bc ad