工程力学第九章梁的应力及强度计算

课时授课计划
掌握弯曲应力基本概念；
掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算；
掌握弯曲剪应力强度校核。

（1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。

中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。

注意：中性层是对整个梁而言的；
中性轴是对某个横截面而言的。

中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。

（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。

各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。

3、推理
纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。

二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知
ρ
εσy
E
E =⋅=
通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。

三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式
梁在纯弯曲时的正应力公式：
Z
I My
=
σ 式中：σ——梁横截面上任一点的正应力；
M ——该点所在横截面的弯矩；
Iz ——横截面对其中性轴z 的惯性矩；矩形Z I =123
bh ；圆形Z I =64
4D π
y ——所求正应力点到中性轴的距离。

正应力的单位为：Pa 或MPa ，工程上常用MPa 。

公式表明：梁横截面上任一点的正应力σ与截面上的弯矩M 和该点到中性轴的距离成正比，而与截面对中性轴的惯性矩 IZ 成反比。

123bh I C
z =12
3hb I C
y =64
4
D I I C C y z π=
=
2、常见截面的抗弯截面系数
在对梁进行强度计算时，总要寻找最大正应力。

有公式可知，当y=ymax
时，即截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大。

max
max max y I M
I y M Z Z =
⋅=σmax
y I W Z
Z =
令：Z
W M =
max σ则有：
矩形截面抗弯截面系数：圆形截面抗弯截面系数：43
max /64/232
Z Z I d d W y d ππ===
32
max /12/26Z Z I bh bh W y h ===
空心圆截面抗弯截面系数：
D
d
d W z =
-=
ααπ),1(32
43
64
)
( 4 4 d D I I C C y
z
工字型的抗弯截面系数
5mm
3
若已知梁的材料及截面尺寸（即已知[σ]和W Z ），则可根据强度条件确定梁的许用弯矩[M]。

z W M ⋅≤][][σ
根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。

在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。

即
%5%100][]
[max <⨯-σσσ
3、进行强度计算时应遵循的步骤
（1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。

（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。

（3）确定危险点
（4）依据强度条件，进行强度计算。

第三节 梁的剪应力强度条件
一、概念
梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。

对剪应力的分布作如下假设： (1)横截面上各点处剪应力
均与剪力Q 同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。

根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
b I QS z z *=
τ
式中:τ—横截面上距中性轴z 距离为y 处各点的剪应力；
Q —该截面上的剪力；
b —需求剪应力作用点处的截面宽度； Iz —横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。

剪应力的单位与正应力一样。

剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。

二、矩形截面横梁截面上的剪应力
如图所示高度h 大于宽度b 的矩形截面梁。

横截面上的剪力Q 沿y 轴方向作用。

)
4(2)]2(21[)2(22
*
y h b y h y y h b S z -=-+⋅-=
将上式带入剪应力公式得：
)
4(222
y h I Q z -=τ
上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。

在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，其值为
A Q bh Q bh Qh I Qh y h I Q z z 5.1231288)4(23
2
222max
==⨯==-=τ
即
A Q
5
.1max
=τ
上市说明：矩形截面横梁截面上的最大剪应力为平均剪应力Q/A 的倍。

综上所述：剪应力沿其截面高度的分布规律与正应力不同，正应力最大的在截面的上下边缘各点，剪应力为零；剪应力最大的在中性轴上各点，正应力为零。

三、工字形横截面的剪应力
工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。

K d
z
K
h 1
y
上翼缘
下翼缘
腹板
δA
a
a
δz
τmax
ττmin
1)腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力，剪应力沿腹板高度按抛物线规律分布，故中性轴处有最大剪应力；在腹板与翼板的交界处，
A
Q ⋅=34max
τ
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。

结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。

例1矩形截面简支梁如图,已知：l=2m ，h=15cm ，b=10cm ，h 1=3cm ，q=3kN/m 。

试求A 支座截面上K 点的剪应力及该截面的最大剪应力。

3
*43
323625.55.410281012
151012cm y S cm bh c z z =⨯⨯=A ==⨯==I MPa
b S Q z z A k 252.01010102810102361031
43
3=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=I =τMPa A Q 3.010
10151035.15.12
3
max =⨯⨯⨯⨯==τ解：1.求剪力：Q A =3kN
2.求K 点剪应力：
3.求最大剪应力：
A
B
l q
y
z
o
h b
h
1
y c
K
3kN
3kN
Q 图
五、梁的剪应力强度校核
（2）采用合理的截面形
1）从应力分布规律考虑
应使截面面积较多的部分布置在离中性轴较远的地方。

从应力分布情况看，工字形、槽形等截面形状比面积相等的矩形截面更合理，而圆形截面又不如矩形截面。

凡是中性轴附近用料较多的截面就是不合理截面。

2）从抗弯截面系数W
Z
考虑
应在截面面积相等的条件下，使得抗弯截面系数W
Z
尽可能地增大(I Z越大
越好)，由式Mmax=[σ] W
Z
可知，梁所能承受的最大弯矩Mmax与抗弯截面系
数W
Z 成反比。

所以，从强度角度看，当截面面积一定时，W
Z
值越大越有利。

3）从材料的强度特性考虑
应合理的布置中性轴位置，使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的容许应力。

对抗拉和抗压强度相等的材料，一般采用对称于中性轴的截面形状，如矩形、工字形、槽形、圆形等。

对抗拉和抗压强度不相等的材料，一般采用菲对称截。