2018秋九年级数学上册 第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 第3课时 坡度问题习题讲评
24.4 解直角三角形
由题意可知
DE＝CF＝4.2，
CD＝EF＝12.51．
在Rt△ADE中，
∵
DE 4.2 tan 32 AE AE 4.2 ∴ AE 6.72. tan 32
在Rt△BCF中，同理可得
4.2 BF 7.90. tan 28
∴AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90
练习 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短.求灯塔Q到B 处的距离.（画出图形后计算，精确到 0.1 海里）
B Q
北30° 西 东
A 南
解：AB=32.6×0.5=16.3(海里) 在RtΔABQ中， QB ∵ tan A = AB ∴ QB = AB· tanA
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算， 除特别说明外，本教科书中的角度都精确到1′. 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角.
根据三角形全等的判定，由于已知 一个角是直角，所以在这两种情况 下，对应的直角三角形唯一确定.因 此，可以求出其他元素.
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角.
铅垂线 视线
仰角 俯角
水平线
视线
例3 如图，为了测量旗杆的高度BC,在离旗杆10米 的A处 ,用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰 角a=52°，求旗杆BC的高．（精确到0.1米）
解:在Rt△CDE中， ∵CE=DE×tan a =AB×tan a =10×tan 52° ≈12.80， ∴BC=BE＋CE =DA＋CE =12.80＋1.50 ≈14.3（米）．
开阳县五中九年级数学上册 第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形第3课时 坡度问题教案 华东
第3课时 坡度问题1．使学生掌握测量中坡角、坡度的概念．2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题．重点解决有关坡度的实际问题． 难点解决有关坡角的实际问题．一、情境引入教师展示图片，引出问题． 读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝hl .坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl＝tan α. 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．二、探究新知教师利用课件展示例1，例2，结合前面所学知识，可由学生自主完成，小组讨论，教师适当给予分析，最后作出点评．例1 如图，一段路基的横截面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米)解：作DE⊥AB，CF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F. 知DE ＝CF ＝4.2，EF ＝CD ＝12.51， 在Rt △ADE 中， ∵DE AE ＝4.2AE ＝tan 32°， ∴AE ＝4.2tan 32°≈6.72.在Rt △BCF 中，同理可得 BF ＝4.2tan 28°≈7.90.∴AB ＝AE ＋EF ＋BF≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.1(米)答：路基下底的宽约为27.1米．例2 学校校园内有一小山坡AB ，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB 长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1∶3(即CD 与BC 的长度之比)．A ，D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，则易求得AC ＝6，BC ＝6 3.在Rt △BDC 中，i ＝DC BC ＝13，易得DC ＝13BC ＝23，∴AD ＝AC －DC ＝(6－23)米． 三、练习巩固教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，其中第1，2，3，4题由学生抢答，第5题教师点名上台展示，再给予点评．1．已知一坡面的坡度i ＝1∶3，则坡角α为( ) A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°2．彬彬沿坡度为1∶3的坡面向上走50米，则他离地面的高度为( ) A ．25 3 米 B ．50米 C ．25米 D ．50 3 米3．某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶3，则此处大坝的坡角和高分别是________米．4．如图，一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________．5．如图，已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m 到点D 处，测得点A 的仰角为60°，求AB 的高度．四、小结与作业 小结1．本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题． 2．本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想． 布置作业从教材相应练习和“习题24.4”中选取．本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题．在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要．在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识．第二十三章旋转23．1 图形的旋转第1课时旋转的概念及性质基础题知识点1 认识旋转现象1．下列运动形式属于旋转的是( )A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动 D．运动员掷出的标枪2．(广州中考)将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是( )3．下列图形中，右边的图形不能通过左边的图形旋转得到的是( )4．将左图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )5．(雅安中考)如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA()A．顺时针旋转90° B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90° D．逆时针旋转45°6．如图所示，△AOB绕着点O旋转至△A′OB′，此时：(1)点B的对应点是________；(2)旋转中心是________，旋转角为________；(3)∠A的对应角是______，线段OB的对应线段是线段______．知识点2 图形旋转的性质7．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4 cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为________cm2.8．(镇江中考)如图，将△OAB绕着点O逆时针旋转两次得到△OA″B″，每次旋转的角度都是50°，若∠B″OA＝120°，则∠AOB＝________．9.(益阳中考)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是________．10．如图，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A1AC＝∠C1.中档题11．(巴彦淖尔中考)如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BE＝CF，连接CE，DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°12.(桂林中考)如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是( )A．70° B．35° C．40° D．50°13．(眉山中考)如图，△ABC中，∠C＝67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在BC上，则∠B′C′B的度数为( )A．56° B．50° C．46° D．40°14.(哈尔滨中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C是由△ABC绕C点顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )A．6 B．4 3 C．3 3 D．315．(铁岭中考)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为________．16.(吉林中考)如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________度．17．(茂名中考)如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)将△AED按逆时针方向至少旋转多少度才能与△CFD重合，旋转中心是什么？综合题18．(襄阳中考)如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D.(1)求证：BE＝CF；(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．参考答案基础题1.C2.D3.D4.A5.C6.(1)点B′(2)点O ∠AOA′或∠BOB′(3)∠A′OB′7.48.20°9.60°10.(1)旋转角的度数为60°.(2)证明：∵点A，B，C1在一条直线上，∴∠ABC1＝180°.∵∠ABC＝∠A1BC1＝120°，∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°.∴∠A1BC＝60°.又AB＝A1B，∴△ABA1是等边三角形．∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°.∴AA1∥BC.∴∠A1AC＝∠C.∵△ABC≌△A1BC1，∴∠C＝∠C1.∴∠A1AC＝∠C1.中档题11.D 12.C 13.C 14.A17.(1)证明：在正方形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∴∠FCD＝90°.∴∠A＝∠FCD＝90°.又∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD(SAS)．(2)∵∠ADC＝90°，∴将△AED按逆时针方向至少旋转90度才能与△CFD重合，旋转中心是点D.综合题18．(1)证明：由旋转可知∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，AE＝AB.∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠BAE＝∠CAF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.(2)∵四边形ACDE是菱形，AB＝AC＝1，∴AC∥DE，DE＝AE＝AB ＝1.又∵∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝45°.∵∠AEB＋∠BAE＋∠ABE＝180°，∴∠BAE＝90°.∴BE＝AB2＋AE2＝12＋12＝ 2.∴BD＝BE－DE＝2－1.[随机事件]各位领导、评委老师，大家好！今天我说课的课题:九年级第26章概率初步第一课时[随机事件]，下面我将从以下几个方面进行说明。
华师版九年级数学上册第24章4 解直角三角形
“有斜求对乘正弦”的意思是在一个直角三角形中，对一
个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边，那么
就用斜边长乘该锐角的正弦，其余的口诀意思可类推.
知1－练
例 1 根据下列条件，解直角三角形： (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20 2； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝2. 解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”选择 合适的关系式求解.
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
1 课时讲解 解直角三角形
解直角三角形在实际问题中的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 解直角三角形
知1－讲
1. 一般地，直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形. (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其 中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个 未知元素(知二求三). (2) 一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直 角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.
找未知角的某一个锐角三角函数.
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12； 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝60°.
∵ tan A＝ab，∴ 33＝1a2， ∴ a＝4 3，∴ c＝2a＝8 3.
知1－练
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°.
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；
九年级数学上册 第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形第1课时 解直角三角形备选课件
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课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你有哪些新的认识和体会？ 获得哪些解决二次根式问题(wèntí)的方法？你还有哪些问题(wèntí)？请与同伴交流。
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内容(nèiróng)总结
第24章。∠A+∠B=90º。解：利用勾股定理树倒下部分的长度为：。1、在直角三角形中，由已
③cosA
=_____A_C_
=
12
_______
AB
13
④tanA =___BC__=___5_
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AC
12
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B5
A
12
C
例 如图,一棵大树在一次强烈(qiánɡ liè)的地震中于离地面
5米处折断倒下,树顶落在离树根12米处,这棵大树在折
断前的高多少？
解：利用(lìyòng)勾股定理树倒下部分的长度为：
Image
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第24章
解直角三角形
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24.4.1解直角三角形
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知识(zhī shi) 回顾
三边之间关系 锐角之间关系
回顾导入 A
b
c
C
B
a
a2+b2=c2（勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ ） lǐ)
பைடு நூலகம்
∠A+∠B=90º
边角之间关系 (以锐角A为例)
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sinAA斜 的边 对边 BAC BcoAsA斜 的边 邻边 A AC B
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九年级数学上册第24章解直角三角形24
学习延伸
一、与同学们讨论下各自的学习心得 二、老师们指点下本课时的重要内容
课后延伸
给自己一份坚强，擦干眼泪； 给自己一份自信，不卑不亢； 给自己一份洒脱，悠然前行。 为了看阳光，我来到这世上； 为了与阳光同行，我笑对忧伤。
学习延伸
3．【中考·长春】如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修
一条隧道(点 A，B 在同一水平面上)．为了测量 A，B 两地之
间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达
C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距
离为( D )
A．800sinα 米 B．800tanα 米
C．s8i0n0α米
D．t8a0n0α米
4．【2020·遂宁】在数学实践与综合课上，某兴趣小组同 学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践， 如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起 飞到达点A处，测得1号楼顶部E的 俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯 角为40°，此时航拍无人机的高度 为60米，已知1号楼的高度为20米，
【点拨】过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，在 Rt△ACD 中，∠ACD ＝75°－30°＝45°，AC＝30×25＝750(米)，∴AD＝AC·sin45°＝375
2米．在 Rt△ABD 中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750 2米．
【答案】A
7.【2020·眉山】某数学兴趣小组去测量一座小山的高度， 在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示， 在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山 前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小 山BC的高度．
九年级上册 24.4解直角三角形
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
m
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
┌
A
C
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
合作与探究
例1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上， 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
图1
2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°， 已知测角仪高AD=1.5m，则塔高 BE=(_4_0__3__1_._5)_m（根号保留）．
图2
练习：海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗 礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在 北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小 岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向 东航行，有没有触礁的危险？
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
【配套K12】[学习]九年级数学上册 第24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 24.4.3
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24.4.3 解直角三角形【学习目标】1．掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。
2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.【学习重难点】掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。
【学习过程】一、课前准备1.计算: ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 22222．如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）二、学习新知自主学习：1.坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即=i ．(坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．)2.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有tan α＝ ．3.坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 ．图25.3.6图25.3.5实例分析：例1如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）解：【随堂练习】1. 如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是 。
2.如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为（ ）A ．4mBCD ．3. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备的水管的长为（ ） A.17.5m B.35m C.335m D.70m4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米．5.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A = ．【中考连线】河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12 B．4米C．5米D．6米【参考答案】随堂练习41、12、B3、D4、45、5中考连线A。