ch2-信号与噪声分析

Fne jn0t
n
（2.2-6）
式中
Fn
1 T
T / 2 f (t)e jn0t dt
T / 2
n 0, 1, 2. 3,
,
F0 c0 a0
Fn
cn 2
e jn
(称为复振幅)；
Fn cn e jn Fn* （是 Fn 的共轭）。
7
8
（a）非周期信号
Biblioteka Baidu
（b）构造的周期信号
图2-1 非周期信号
1/(b a) f (x) 0
a xb 其它
的随机变量X称为服从均匀分布的随机变量。
（2.3-9）
图2-2 均匀分布的概率密度函数
34
2、高斯（Gauss）分布随机变量 概率密度函数为
f (x)
1
2
exp
(x a)2
2 2
（2.3-10）
的随机变量X称为服从高斯分布（也称正态分布）的随机变量，
E(X ) xf (x)dx
（2.3-13）
式中， f (x)为随机变量X的概率密度。
38
2、方差
方差反映随机变量的取值偏离均值的程度。方差定义 为随机变量X与其数学期望E(X ) 之差的平方的数学期 望。即
D[X ] E X E(X )2
（2.3-18）
39
2.4随机过程的一般表述
2.4.1 随机过程的概念
前面所讨论的随机变量是与试验结果有关的某一个随机取值 的量。例如，在给定的某一瞬间测量接收机输出端上的噪声， 所测得的输出噪声的瞬时值就是一个随机变量。显然，如果 连续不断地进行试验，那么在任一瞬间都有一个与之相应的 随机变量，于是这时的试验结果就不仅是一个随机变量，而 是一个在时间上不断变化的随机变量的集合。
32
可见，概率密度函数是分布函数的导数。 概率密度函数有如下性质：
（1） f (x) 0
（2）
f (x)dx 1
b
（3） f (x)dx P(a X b) a
（2.3-5） （2.3-6） （2.3-7）
33
2.3.3 通信系统中几种典型的随机变量
1、均匀分布随机变量
设 a b ，则概率密度函数为
式中， a为高斯随机变量的数学期望 ， 为方2 差。
高斯分布的概率密度函数的曲线如图2-3所示。
图2-3 高斯分布的概率密度函数
35
3、瑞利（Rayleigh）分布随机变量 概率密度函数为
x
x2
f
(x)
2
exp(
2
2
)
0
x0 x0
（2.3-11）
的随机变量X称为服从瑞利分布的随机变量，其中 0，是
2.3.1 随机变量
在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示，如果 变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如，在一 定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随机变 量。否则就称为连续随机变量。
随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数来描 述。
30
2.3.2概率分布函数和概率密度函数
1、概率分布函数
定义随机变量X的概率分布函数F(x) 是X取值小于或等于某
个数值x 的概率 P(X x)，即
F(x) P(X x)
（2.3-1）
对于离散随机变量，其分布函数也可表示为
F(x) P(X x) P(xi ) xi x
i 1, 2,3,
一个常数。其概率密度函数的曲线如图2-4所示。
图2-4 瑞利分布
36
2.3.4随机变量的数字特征
前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较全面地描述 随机变量的统计特性。然而，在许多实际问题中，我们往 往并不关心随机变量的概率分布，而只想了解随机变量的 某些特征，例如随机变量的统计平均值，以及随机变量的 取值相对于这个平均值的偏离程度等。这些描述随机变量 某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。
37
1、数学期望 数学期望（简称均值）是用来描述随机变量X的统计平
均值，它反映随机变量取值的集中位置。
对于离散随机变量X，设 P(xi )(i 1, 2, , k) 是其取值 xi的概率，则其数学期望定义为
k
E( X ) xi P(xi ) i 1
（2.3-12）
对于连续随机变量X，其数学期望定义为
重点：信号的分类及确知信号的分析、平稳过程的自相关 函数和功率谱密度、高斯随机过程的定义和性质、窄带高 斯噪声的统计特征。
难点：平稳过程的自相关函数和功率谱密度。
2
2.1信号的分类
确知信号与随机信号 周期信号与非周期信号 功率信号与能量信号 功率信号:有无限大的能量，但其平均功率是有限的.
P lim 1 T /2 f 2 (t)dt T T T / 2
能量信号:平均功率（在整个时间轴上平均）等于 0，但其能量有限的信号
E f 2 (t)dt 3
2.2确知信号的分析
4
5
6
2、指数形式的傅里叶级数
e jx e jx
利用欧拉公式 cos x
可得的指数表达式
2
f (t)
第2章 信号与噪声分析
2.1 信号的分类 2.2 确知信号的分析 2.3 随机变量的统计特征 2.4 随机过程的一般表述 2.5 平稳随机过程 2.6 高斯随机过程 2.7 随机过程通过系统的分析 2.8 窄带高斯噪声
1
[目的要求]： 1．掌握信号的分类及确知信号的分析； 2．理解随机变量的统计特征； 3．理解随机过程的一般表述； 4．理解平稳过程的定义； 5．掌握平稳过程的自相关函数和功率谱密度； 6．掌握高斯随机过程的定义和性质； 7．了解随机过程通过系统的分析； 8．掌握窄带高斯噪声的统计特征。
（2.3-2）
式中 P(xi )(i 1, 2,3, ) ，是随机变量X取值为xi 的概率。
31
2、概率密度函数
对于连续随机变量X ，其分布函数 F(x) 对于一个非负函数 f (x) 有下式成立:
x
F (x) f (u)du f (x) dF(x) dx
（2.3-3） （2.3-4）
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
由以上两式可见，互相关函数反映了一 个信号与另一个延迟τ秒后的信号间相关 的程度。需要注意的是，互相关函数和 两个信号的前后次序有关，即有
R21( ) R12 ( )
23
24
25
26
27
28
29
2.3 随机变量的统计特征