华二初中自招培优讲义之自主招生考试数学试题

自主招生考试数学试题

一、选择题（每小题3分）

1、已知81cos sin =

⋅αα，且︒<<︒9045α，则ααsin cos -的值为（ ） A. 23 B. 23- C. 4

3 D. 23± 2、若c b a ，，为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程

()()01212=+++++c x b x a 的根的情况是（ ）

A.没有实根

B.有两个相等的实根

C.有两个不等的实根

D.根的情况不确定

3、已知半径为1和2的两个圆外切与点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为（ ）

A. 43

B. 34

C. 2

3 D. 3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（ ）

二、填空题（每小题4分）

5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得－2分，若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题

6、已知⊙O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF=

7、如图，两个反比例函数x k y 1=和x

k y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积

为

8、若二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-1

)2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -=

10、在△ABC 中， AC=2011，BC=2010，AB=20112010+，则C A cos sin ⋅=

11、已知c b a ，，为实数，且514131=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，，，则=++ca

bc ab abc 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为

13、方程x

x x 222=-的正根个数为 14、已知，124=+=+ab n b a ，，若221914919b ab a ++的值为2011，则n=

15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2的幂的概率为

16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣。1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票。所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理。在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边PQ 上，那么△PQR 的周长等于

三、解答题：

17.（本小题10分）能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。

18.（本小题10分）如图是一个长为400米的环形跑道，其中A ，B 为跑道对称轴上的两点，且A ，B 之间有一条50米的直线通道。甲乙两人同时从A 点出发，甲按逆时针方向以速度1v 沿跑道跑步，当跑到B 时继

续沿跑道前进，乙按顺时针方向一速度2v 沿跑道跑步，当跑到B 时沿直线通道跑回A 点处，假设两人跑步的时间足够长，求：

（1）如果2:3:21=v v ，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A 点处相遇；

（1）如果6:5:21=v v ，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B 点处相遇。

19.（本小题10分）已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点，AD 交BC 于点E ，联结AB 。

（1）求证：AD AE AB ⋅=2；

（2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F ，若AE=2，ED=4，求EF 的长。

20.（本小题15分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，－1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，3）。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最大面积。

21.（本小题15分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点A （0，m ）（m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB=4k （k 为正整数），并在l 下方作 ∠ABC=120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D 、E.

（1）当m=4，k=1时，直接写出B ，C 两点的坐标；

（2）若抛物线m x k k x k y +++++-

=)2(3)12(32212的顶点恰好为D 点，且DE=72，求抛物线的解析式及此时ODE ∠cos 的值；

（3）当k=1时，记线段AB ，OC 的中点分别为11E D ，；当k=3时，记线段AB ，OC 的中点分别为33E D ，，求直线31E E 的解析式及四边形1331E E D D 的面积（用含m 的代数式表示）.