华二初中自招培优讲义之自主招生考试数学试题

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初三自主招生试卷数学试题

1. 下列哪个数是负数？A. -3B. 3C. 0D. -3.52. 下列哪个数是正数？A. -3B. 3C. 0D. -3.53. 若a > b，则下列哪个不等式成立？A. a - b > 0B. a + b < 0C. a - b < 0D. a + b > 04. 若a、b、c为三角形的三边，且a + b > c，则下列哪个结论一定成立？A. a - b < cB. a + c > bC. b - c < aD. b + c > a5. 下列哪个图形是平行四边形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰梯形D. 等腰三角形6. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰梯形D. 等腰三角形7. 下列哪个方程的解为x = 2？A. 2x + 1 = 5B. 2x - 1 = 5C. 2x + 1 = 3D. 2x - 1 = 38. 下列哪个方程的解为y = 3？A. 2y + 1 = 7B. 2y - 1 = 7C. 2y + 1 = 5D. 2y - 1 = 59. 下列哪个函数的图像是一条直线？A. y = x^2B. y = 2xC. y = 3x - 2D. y = 2x^210. 下列哪个方程的解为x = -1？A. x^2 + 2x + 1 = 0B. x^2 - 2x + 1 = 0C. x^2 + 2x - 1 = 0D. x^2 - 2x - 1 = 0二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

把答案填写在横线上。

）11. 若a、b、c为三角形的三边，且a + b = c，则这个三角形是______三角形。

12. 若一个数的平方根是2，则这个数是______。

13. 下列哪个数是负数？______。

14. 下列哪个数是正数？______。

15. 若a > b，则下列哪个不等式成立？______。

华二初中自招培优讲义之初中自招训练

初中自招训练1、一个平行四边形的一边长为3，两条对角线的长分别为4和25，则它的面积为（）。

2、如图，矩形AOBC 的顶点坐标分别为A （0，3），O(0,0)，B(4,0),C(4,3),动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数y=xk 的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与②若k=8,则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上； ③满足题设的k 的取值范围是0＜k≤12； ④若DE•EG=1225,则k=1 其中正确的命题的序号是 4、某人投两次骰子，先后得到点数m,n,用来作为一元二次方程02=++n mx x 的系数，则使方程有实根的概率为（）。

5、设m ,,1N m ∈ 以（0，m ）间的整数为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以（0，2m ）间的整数（m N m ∈,1 ）为分子，以2m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ;……,依次类推以（0，n m ）间的整数（m N m ∈,1 ）为分子，以n m 为分母组成不属于1A ，2A ，…1-n A 的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则1a +2a +…+n a =( )6、对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时， n!!=n(n-2)(n-4)…6⨯ 4⨯2;对于n 是奇数时，n!!=n(n-2)(n-4)…5⨯ 3⨯1,现有如下四个命题：①（2013！！）（2014！！）=（2014！）；②2014！！=10072.1007!;③2014!!的各位数字是0；④2015！！的个位数字是5，正确的命题是（）7、已知无穷数列{}n a 具有如下性质：①1a 为正整数； ②对于任意的正整数n,当n a 为偶数时，21n n a a =+；当n a 为奇数时，211+=+n n a a 。

在数列{}n a 中，若当n k ≥时，n a =1.当1k n ≤时，n a 1.（N k k ∈≥,2），则1a 可取数字的个数为（）（用k 表示）7.如果*12...()n S n n N =+++∈，*3223...(2,)111n n n S S S T n n N S S S =⨯⨯⨯≥∈---，则下列各数中与2010T 最接近的数是（）（A ）2.9 (B) 3.0 (C) 3.1 (D) 3.28.已知12,x x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两实数根.（1）若12(1)(1)28x x --=.求m 的值；（2）已知等腰ABC ∆的一边长为7，若12,x x 恰好是ABC ∆另外两边的长，求这个三角形的周长.9. 如图，已知一次函数b x y +=211的图象l 与二次函数b mx x y ++-=22的图象'C 都经过点B （0,1）和点C ，且图象'C 过点A （52-，0）.（1）求二次函数的最大值；（2）设使12y y >成立的x 取值的所有整数和为s ，若s 是关于x 的方程033)111(=-+-+x x a 的根，求a 的值；（3）若点F 、G 在图象'C 上，长度为5的线段DE 在线段BC 上移动，EF 与DG 始终平行于y 轴，当四边形DEFG 的面积最大时，在x 轴上求点P ，使PD+PE 最小，求出点P 的坐标.10. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP=x ．（1）求AD 的长；（2）点P 在运动过程中，是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为S 1、S 2，若S=S 1+S 2，求S 的最小值．11. 已知：如图，在Rt △ABC 中，C90∠=，4BC =，12tan CAB ∠=，点O 在边AC 上，以点O 为圆心的圆过A 、B 两点，点P 为AB 上一动点.（1）求⊙O 的半径；（2）联结AP 并延长，交边CB 延长线于点D ，设AP x =，BD y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结BP ，当点P 是AB 的中点时，求△ABP 的面积与△ABD 的面积比ABP ABDS S △△的值．第11题图备用图B（方涛、蔡桂英编辑）。

华二自招练习题(6)---内部资料

练习六1、如图，在三角形ABC 中，以BC 为直径的半圆分别于AC AB .相交于E D .两点，若4==EC DE ,516=-BD BC ,求BC AD BD -。

2、设二次函数))((21x x x x a y --=（常数21,0x x a ≠≠）的图像与一次函数e dx y +=2（常数e d ,0≠待定）的图像交于点)0,(1x 。

若函数21y y y +=的图像与x 轴仅有一个交点，求12x x -。

3、在菱形ABCD 中，3,120==∠AB ABC ο,E 为边BC 延长线上一点，AE 与CD 交于F 。

联结BF 并延长，与DE 交于G ,求线段BG 长的最大值。

4、如图，在ABC Rt ∆中,AC AB A ==∠,90ο,N M .分别为AC AB .中点，D 为线段MN 上任意一点（D 与MN 不重合），CD BD .的延长线分别于AB AC .交于E F .若4311=+CF BE ,求BC .5、从货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10吨，每只箱子重量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次性运走，问：至少需要多少辆载重量为3吨的汽车？6、若d c b a ...是和为3的正实数，证明：22222)(11111abcd d c b a ≤+++。

7、在ABC ∆中，D 是AB 边上一点（D 不和B A .重合），满足2)(BCCD AB AD =,求证：ACB ADC ∆∆∽.8、在ABC Rt ∆中,ο90,=∠=BAC AC AB ,BD 为中线，BD AE ⊥,求证：EC BE 2=.9、已知正方形ABCD ,BD BE =,BD CE //,BE 与CD 交于F ,证明：DF DE =.10.11.12. 方程032=+-a ax x 的两根βα,满足244233βαβαβα+≥+，求实数a 的取值范围。

13.已知圆O的两弦CD∆的外接圆为圆1O,过E作圆1O的切线交CB AB.交于点E,M为AB中点，DEM于F,交CA的延长线与G,求证：GFGE=.14.在一次共有10位选手参加的国际象棋比赛中，每位选手都必须与其他选手恰好对弈一局，经过数局比赛后，发现任意三位选手之间都至少有两位尚未对弈，问截至此时，此比赛最多已赛过多少局？15.如图，在直角坐标系中，存在一等腰三角形ABC，抛物线1=xy与三角形的腰BCx2022+-AC,(也可能交于AB边）分别交于FE.两点，点P在三角形内的抛物线上移动（可到FE.点），若已知AB,求PC=OC32=,3+的最小值。

自主招生初中试卷数学题

1. 已知一个数x满足x²-2x+1=0，则x的值为（）A. 1B. 2C. 0D. -12. 在等差数列{an}中，若a1=2，d=3，则第10项an的值为（）A. 27B. 28C. 29D. 303. 已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的面积为（）A. 40B. 50C. 60D. 805. 在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于直线y=x的对称点为（）A.（4，3）B.（-4，-3）C.（-3，-4）D.（-4，3）二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知数列{an}的通项公式为an=3n²-2n+1，则a4的值为______。

7. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，则第10项an的值为______。

8. 已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB的长度为______。

9. 在等腰三角形ABC中，底边AB=8，腰AC=10，则该三角形的面积为______。

10. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于直线y=-x的对称点为______。

三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，求该数列的前10项之和。

12. （10分）已知等差数列{an}的公差d=3，若a1+a4+a7=27，求该数列的前10项之和。

13. （10分）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求斜边AB的长度。

14. （10分）在等腰三角形ABC中，底边AB=10，腰AC=12，求该三角形的面积。

15. （10分）在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于直线y=x的对称点为Q，求点Q的坐标。

华二自招练习题(4)---内部资料

练习题（4）1、若为质数，且方程04442=-+p px x 的两根均为整数，则=_________.2、圆O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16,AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则B F -A E =______.3、已知实数b a ,满足3）1=ab（4）1-=ab4、设AD 为∠BAC 的中点，N 为BC 的中点，求MN.5线k kx y 14-=与p p6、已知c b a ,,满足0,0,022≥-≠=++c ab c c by ay ，求xy 的最大值7、如图，M 是以AB 为直径的半圆O 的内接四边形ABCD 边CD 的中点，MN ⊥AB 于点N ，AB=10，AD=AN=3,求BC.8、已知G ，I 分别为ABC ∆的重心、内心，IG ⊥IC ，AC=2，BC=3，求AB.9、已知一组数据1,x x 1,,1,162+++x L x 的平均数.10、在矩形ABCD 1cm ，动点N 从点C 的中点P 移动的路程.11、如图，AB、CD为圆O的两条弦，CD=2，AB=nmnm,(5+为有理数），弧AB，弧CD的度数分别108°、36°，求36n-108m.12、已知当01-≤≤x m的取值范围.13、在ABC∆中，︒=∠>45,BACACAB,E为∠BAC的角平分线上的一点，且EF⊥AB，已知AF=1，BF=5∆的面积求ABCf=14、已知函数()x的任意实数x15、已知直径为20厘米的半圆O上有两个点P，Q，PC⊥AB，QD⊥AB，QE⊥OP，AC=4cm，求DE的长.16、在ABC ∆中，∠BAC=90°，∠A 的角平分线交边BC 于点D ，点D 在边AB ，AC 上的投影分别为P ，Q 。

若BQ 交DP 于点M ，CP 交DQ 于点H 。

证明：（1）PM=DN;（2）MN//BC ；（3）AH ⊥BC 。

华二初中数学自主招生试卷

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2.3B. 3.1C. -1.4D. 2.52. 已知a、b是方程2x^2 - 5x + 3 = 0的两个实数根，则a + b的值为（）A. 5B. 3C. 2D. 43. 在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点坐标是（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （2，-3）D. （-2，-3）4. 下列各数中，是二次根式的是（）A. √4B. √-4C. √3/4D. √95. 已知等腰三角形ABC的底边AB=AC=6，顶角A的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(x)的值域为[1, 5]，则x的取值范围为______。

7. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 30°，则∠C的度数为______。

8. 若一个等差数列的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为______。

9. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（1，-4），则该函数的解析式为______。

10. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）到直线y = 2x的距离为______。

三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）已知数列{an}的前三项分别为1，3，7，且满足an+1 = 2an + 1，求该数列的通项公式。

12. （10分）已知三角形ABC的边长分别为AB=5，BC=6，AC=7，求△ABC的面积。

13. （10分）已知函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，求该函数的最大值及对应的x值。

14. （10分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（4，1），求直线AB 的斜率和截距。

四、附加题（15分）15. （15分）已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，求该函数的最小值及对应的x值。

华二自招练习题(5)---内部资料

练习五
1. 已知:E 是正方形ABCD 的BC 边中点,过点D B .分别作AE 垂线，垂足分别是G F ..求角FBG ∠.
2. 若k 为整数，使得关于x 的方程03)32(2=++-x k kx 有有理数根，则称k 为“好数”，求这个好数k 的个数。

3. 在ABC Rt ∆中，已知6=AC ,点E 在AC 边上，满足AE CE 2=,D 为斜边AB 中点,F 为线段BC 一动点，满足ο90=∠EDF ，求FC BF -最大值。

4. 已知n （3≥n ）个实数数n 的最小值。

5.已知o为锐角三角形ABC的外心，ο
∠BAC,延长CO,与AB交于点D，延长BO与AC交于点E，
60
=
6.
7.
8.
9. 已知二次函数b x ax y ++=421与 a x bx y ++=422均有最小值，记1y 与2y 的最小值是 n m ,。

（1）若0=+n m ，证明：任意的实数x ，均有021≥+y y ；
（2）若n m ,均大于0，且 2=mn 记M 为n m ,中较大者，求M 的值。

10. 如图，在三角形ABC 中，AC AB =,D 为边AC 上一动点，过点D 作AB DE //,DE 与BC 交于点E ,F 为BD 中点，1o 与2o 是CDE ∆和BDE ∆外接圆圆心，证明：
（1）ο90=∠AFO ;
（2）2
1FO FO FD FA =。

2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷

2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东度的方向沿直线前往B处救援．4．（3分）关于x、y的方程组有组解．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为40．【解答】解：∵当x＝2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×27+b×25+22+2+12＝﹣8，∴a×27+b×25＝﹣26．当x＝﹣2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×（﹣2）7+b×（﹣2）5+（﹣2）2+（﹣2）+12＝﹣a×27﹣b×25+22﹣2+12＝﹣（a×27+b×25）+4﹣2+12＝26+14＝40．故答案为40．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝3﹣．【解答】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案为：a＝3﹣．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东60度的方向沿直线前往B处救援．【解答】解：如图，连接BC．由题意，可知∠BAS＝90°，AB＝10海里，∠SAC＝30°，AC＝10海里．∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝120°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°．∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝30°，∴∠NCB＝90°﹣∠BCD＝60°．故答案为60．4．（3分）关于x、y的方程组有2组解．【解答】解：把y＝1两边平方得到y2•x＝1，则x＝y﹣2，把x＝y﹣2代入方程x x﹣y＝y x+y得y﹣2（x﹣y）＝y x+y，当y＝1时，x＝1，当y≠1，则﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，∴＝，解得y＝，∴x＝．经检验方程组的解为或．故答案为2．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是2．【解答】解：（a+b+c）2﹣b2﹣c2+2bc＝20，（a+b+c）2＝（b﹣c）2+20，∵（b﹣c）2≥0，∴（b﹣c）2+20≥20，∵（a+b+c）2≥20．且a、b、c均大于零，∴a+b+c≥2，既a+b+c的最小值是2．故答案为：2．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为y≥69．【解答】解：∵当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，a＞0，∴x＝﹣＝≤﹣2，∴p≤﹣8，∴当x＝p时，y＝2p2﹣p2+5＝p2+5，∴对应的y的值的取值范围为：y≥69．故答案为：y≥69．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：设DE，DF分别交AC于N，M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△AMD∽△CMF，∴，∵F是BC的中点，∴AD＝BC＝2FC，∴＝2，同理：△AEN∽△CDN，∵E是AB的中点，∴＝2，∴AN＝MN＝CM＝AC，∵S△ACD＝S正方形ABCD＝×1＝，∴S△DMN＝S△ACD＝×＝，S△ADM＝S△ACD＝×＝，∵，∴S△CFM＝×＝，同理：S△AEN＝，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEN﹣S△CFM﹣S△DMN＝1﹣﹣﹣＝．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝16．【解答】解：设EF＝x，BF＝y，∵FE+EO＝8，∴OE＝8﹣x，而AB＝16，O为边AB的中点，∴OF＝8﹣y，∵EF⊥AB，∴∠OFE＝90°，∴OE2＝OF2+EF2，即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+x2，∴16x＝16y﹣y2，又∵∠ABC＝∠BAD＝90°，即AD∥EF∥BC，∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，∴，，∴①，②，①+②得，，∴AD+BC＝16x •＝16，故答案为：16．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为，，，…，．【解答】解：根据题意，得1 2 34操作次数变化点重合点11由上图表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为，．所以原题答案为，，…，．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．【解答】解：依题设≥M，x≥M，y+≥M，∴，，M，∴M2≤2，y＝，y+＝，∴M＝，M的最大值是．故答案为：．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．【解答】解：先设这四个数为x1，x2，x3，x4，且它们的和能被其中的x2，x3，x4整除，x2＜x3＜x4；则根据题意有：（x1+x2+x3+x4）÷x2＝1+（x1+x3+x4）÷x2＝N（自然数），即（x1+x3+x4）÷x2＝N﹣1，因为他们的首位数字相同，所以N﹣1应该在3附近，又因为x2＜x3＜x4，所以（x1+x3+x4）÷x2＝4，同理（x1+x2+x4）÷x3＝3，（x1+x2+x3）÷x4＝2；则4x3＝5x2＝3x4；由5x2＝3x4可得2x2＝3（x4﹣x2），因为x4和x2的首位数字相同，所以x4﹣x2最大为99，即x2最大为148，且由4x3＝5x2＝3x4可以知道，x2应该能被12整除，故x2可以为108，120，132，144；进而求出x3为135，150…，x4为180，200…；所以x2只能取为x2＝108，从而x3＝135，x4＝180，x1＝117，即这四个数是117，108，135，180．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．【解答】解：连接OB、OC、OA，如图，∵P A为⊙O的切线，∴OA⊥P A，即∠P AO＝90°，而AH⊥OP，∴∠PHA＝90°，∴Rt△P AH∽Rt△POA，∴P A：PO＝PH：P A，即P A2＝PH•PO，又∵PBC为⊙O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PH•PO＝PB•PC，∴△PBH∽△POC，∴∠PBH＝∠POC，＝，即＝①，∴点H、B、C、O四点共圆，∴∠HOB＝∠HCB，∴△PBO∽△PHC，∴＝，即＝②，由①②得＝，即＝，∴＝＝，∴＝，∴＝＝，∵在Rt△OAP中，∠APO＝30°，则OP＝2OA，∴＝．。

2019华东师范大学第二附属中学数学自主招生试卷

得到 1 的数有几个？（1 可重复出现）
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9. ABC 中，a、b、c 均为自然数且 a b c ， a2 b2 c2 ab ac bc 13 ，求周长小于 30 的 ABC 有多少个？
x, 若x为无理数
10.
f
(x)
q
1 , 若x p
q p
,
p, q
N*,
且p, q互质, q
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参考答案
1. a 3 ， b 6 ， a b 2 3 6
3
6
6
2. (a b 1)2 2c2 ， | a b 1| 2 | c | ， a b 1 ， c 0 ， a b c 1
3. a 1 ， b 0 ， c 1 ，答案为 0 或 2
4. 设直径为 d， (d 40)2 3d 2 13.75 240 d 20 ，边长为 60 4
，求
4x
4z
1
.
第2页共3页
14. 锐角 ABC 中，D、E 是 BC 上的点， ABC 、 ABD 、 ADC 外心为 O、P、Q，求证：（1） APQ ∽ ABC ；（2）若 EO⊥PQ，则 QO⊥PE. 15. 函数 4x 5 y 20 与 x、y 轴相交于 A、B，l 与 AB、OA 交于 C、D 且平分 SAOB ，求 CD2 的最小值.
2019 年华二附中自招数学试卷
1.
f (x)
1x 2
x
1 3
，函数最大值为
a
，最小值为 b ，求
a
b
.
2. 有理数 a、b、c， a2 b2 1 2(c2 ab b a) ，求 a b c .
3. a 是最大负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 的倒数是 c，求 a2017 2018b c2019 .

11年华二自招数学

2011年华二自主招生数学试卷一、填空题（每题4分）1.已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为．★2.已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a = ．3．已知当船位于处A 时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东度的方向沿直线前往B 处救援．★★4．关于x 、y的方程组1x y x y x y -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有组解．5．已知a ，b ，c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=则a b c ++的最小值是．6．已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是．7．如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是．EDC B8．在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF AB ⊥于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC +的值为．,9．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标13,44变成12，原来的12变成1，等等），那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（(1)n ≥，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为． 12010．定义{}min ,,a b c 表示实数,,a b c 中的最小值，若,x y 是任意正实数，则11min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值是．二、计算题（20分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．（10分）12．如图，已知PA 切⊙O 于A ， 30=∠APO ，AH PO ⊥于H ，任作割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，计算BCHB HC -的值．（10分）P 答案：1.40，2.113-, 3.060，4.二解，5.52，6. 69≥y ，7.32，8.16，9. ))2,1[(2中的奇数n n j j ∈， 10.2，11. 四个数是108，117，135，180.。

2024初升高自主招生数学试卷(一)及参考答案

—1—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）1.方程43||||x x x x -=实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .42.如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，已知AB =AD =2，AC =4，且BD ：DC =2：3，则△ABC 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.已知G 是面积为24的△ABC 的重心，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，则△DEG 的面积为（）A .1B .2C .3D .44.如图，在Rt △ABC 中，AB =35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC ，则△ABC 的周长为（）A .35B .40C .81D .845.已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且1212383(1)()1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，则a 的值是（）A .1B .2C .0或12D .126.如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =a ，CD =b .若∠ADC =∠BFE ，且四边形ABFE 的面积与四边形CDEF 的面积相等，则EF 的长等于（）A .2a b+B .abC .2ab a b +D .222a b +—2—7.在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E .若BE +CD =BC ，则∠A 的度数为（）A .30°B .45°C .60°D .90°8.设23a =，26b =，212c =.现给出实数a 、b 、c 三者之间所满足的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④21b ac -=.其中，正确关系式的个数是（）A .1B .2C .3D .49.已知m 、n 是有理数，方程20x mx n ++=2，则m +n =.10.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE =3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE +PC 的值最小，则PB =.11.已知x y ≠，22()()3x y z y z x +=+=.则2()z x y xyz +-=.12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD =∠BCD =60°，∠CBD =55°，∠ADB =50°.则∠AOB 的度数为.13.两个质数p 、q 满足235517p q +=，则p q +=.14.如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =2BC ，M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E .若阴影部分的面积为a ，那么矩形ABCD 的面积为.第12题图第14题图15.设k 为常数，关于x 的方程2223923222k k x x k x x k --+=---有四个不同的实数根，求k 的取值范围.—3—16.已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，并且满足1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，求x 的值.17.已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且2221223x x t t +=+-.(1)求t 的取值范围；(2)求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.—4—18.如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 延长线上，且OE=BF ，直线CE 、CF 与⊙O 分别交于点G 、H ，直线AG 、AH 分别与直线CD 交于点N 、M .求证：1DM DN MC NC-=.参考答案。

华二数学自主招生试题(13)---内部资料

数学自主招生试题（7）一填空题1 坐标平面上有两个圆,A B ，圆心均为(3,7)-，若圆A 与x 轴相切，圆B 与y 轴相切，则圆A 和圆B 的面积比为______2 若实数,a b 满足2222114a b a b +=+，则20172018()()______b a a b-= 3 函数|1||2||3||4||5|y x x x x x =+++++++++，当______x =时，min ______y = 4 一副中国象棋红方棋子共有16个，将它们反面朝上放在棋盘上，任取一个不是兵和帅的概率是______5 设a =，则32______a ++=6 三角形三边长为7,8,5a b c ===，则(sin sin sin )(cot cot cot )______222A B C A B C ++++= 7 设[]x 为不大于x 的最大整数，集合21{|2[]3},{|28}8x A x x x B x =-==<<，则______A B =I8 方程6209350xy x y -++=的所有整数解为aa9 方程4230x x --+=的四个实根的平方和为______ 10 在三位数中，数字7恰好出现一次的共有______个二解答题11 设,,0a b c >，证明不等式(1)(1)(1)2(1a b c b c a +++≥+12 已知ABC V 的最短边为BC ，设,P Q 分别在线段,AB AC 上，使PCB BAC QBC ∠=∠=∠。

证明：ABC V 的外心与APQ V 的外心的连线垂直于BC13 求有序三元正整数组(,,)a b c 的个数，使得2()4abc a b c =+++14 对任意的实数[1,1]x ∈-，有2||1(0)ax bx c ac ++≤≠，求2()||x f cx bx a =++在[1,1]-的最大值。

华二初三招生数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 3.14B. √2C. -5D. 02. 下列代数式中，是单项式的是（）A. 3x^2 + 2xy - 5y^2B. 4a^3b^2C. 5x^2 + 2xy + 3y^2D. 2x + 3y - 53. 下列等式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - b^2C. (a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2 D. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^24. 已知等差数列的前三项分别为1，3，5，则该数列的第四项是（）A. 7B. 8C. 9D. 105. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 2/xC. y = x^2 + 1D. y = √x6. 若直线l的斜率为-1，且与y轴的交点为（0，b），则直线l的解析式为（）A. y = -x + bB. y = x - bC. y = -x - bD. y = x + b7. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. a^2 + b^2 = (a - b)^2C. a^2 - b^2 = (a +b)^2 D. a^2 - b^2 = (a - b)^28. 下列方程中，有唯一解的是（）A. x^2 - 4x + 3 = 0B. x^2 - 4x + 3 = 0，x ≠ 1C. x^2 - 4x + 3 = 0，x≠ 2 D. x^2 - 4x + 3 = 0，x ≠ 39. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = |x|10. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列说法正确的是（）A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b < 0，c < 0C. a < 0，b > 0，c < 0D.a < 0，b < 0，c > 0二、填空题（每题5分，共50分）11. 若x^2 - 3x + 2 = 0，则x^2 + 3x = _______。