平面向量数量积的物理背景及几何意义
平面向量数量积的物理背景及几何意义
向量的数量积运算类似于多项式运算
例2.已知 | a | 6,| b | 4, a与b夹角为60 , 求： (1)(a 2b) (a 3b)
(2) a 2b | .
解：（1）. (a 2b) (a 3b) a a b 6b a a b cos 6 b 72
A D C
答案：2；2；-4;4;-2;0.
例2 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a b。
解： a
2, b 2, 450
a b a b cos 2 2 cos 450 2
是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b 单位向量， 是a与e 的夹角，则 a b | a || b | cos (1)e a a e | a | cos (2)a b a b 0 判断垂直的又一条 件 B (3)当a与b 同向时，a b | a || b |; b
一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹 角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与 b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
交换律:
在实数中 ab=ba 在向量运算中
a b b a
(√ )
结合律： (ab)c=a(bc)
( ×) ( a) b (a b) a (b) ( √ )
(a b) c a c b c
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
(4)|a·b| ≤ |a||b|.
并证明第(4)条性质． 证明 |a·b|≤|a||b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ. 两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a·b|≤|a||b|.
例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a 在 b 方
向上的投影为 －1 ，b 在 a 方向上的投影为 －12 .
问题 2 向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它的 符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围 θ 是锐角 θ 是直角 θ 是钝角
图形
符号 |b|cos θ > 0 |b|cos θ＝0 |b|cos θ < 0
3．数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影_|b_|_c_o_s_θ_的乘积．
探究点一 平面向量数量积的含义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所 做的功 W＝_|F_|_|s_|c_o_s__θ_＝_F_·s_.
问题 2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量 a 与 b. 当 θ∈__0_，___π2___时，a·b>0； 当__θ_＝__2π____时，a·b＝0，即 a⊥b； 当 θ∈__π2__，__π___时，a·b<0.
高二数学平面向量数量积的物理背景及含义
高二数学平面向量数量积的物理背景及含义4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ叫ａ与ｂ的夹角.说明：当θ＝０时，ａ与ｂ同向；当θ＝π时，ａ与ｂ反向；当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0180两向量共线的判定练习若a=，b=，且a∥b，则y=A.6B.5c.7D.8若A，B，c三点共线，则xA.-3B.-1c.1D.3力做的功：=|F||s|cos F与s的夹角.二、讲解新课：．平面向量数量积的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos a b，即有a b=|a||b|cos.并规定0向量与任何向量的数量积为0.1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos.两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.在实数中，若a0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0.因为其中cos0.已知实数a、b、c，则ab=bc a=c.但是a b=b ca=c 如右图：a b=|a||b|cos=|b||oA|，b c=|b||c|cos =|b||oA|a b=b c但a c在实数中，有c=a，但是c a显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a与c不共线.．“投影”的概念：作图定义：|b|cos b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；0；=0|b|=180|b|.．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos .探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，a b a b=0当a与b同向时，a b=|a||b|；当a与b反向时，a b=|a||b|.特别的a a=|a|2或|a b|≤|a||b|cos=探究：平面向量数量积的运算律．交换律：a b=b a证：设a，b a b=|a||b|cos ba=|b||a|cos a b=b ab==a证：若>0b=|a||b|cos=|a||b|cos a=|a||b|cos若<0b=|a||b|cos=|a||b|=|a||b|cos=|a||b|cosa=|a||b|cos=|a||b|=|a||b|cos.．c=a c+b c在平面内取一点o，作=a，=b，=c，∵a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos 1+|b|cos 2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c=c a+c b c=a c+b c说明：一般地，с≠ａａ•с＝ｂ•с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，＝ａ•с＋ａ•ｄ＋ｂ•с＋ｂ•ｄ三、讲解范例：例1．证明：２＝ａ２＋２ａ•ｂ＋ｂ２例2．已知|a|=12，|b|=9，，求与的夹角。
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义4
(a b ) c a (b c )
(3)(a b ) c a c b c
b
B
a
A
C1
O
A1
c
B1
C
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
3.向量的数量积（内积） b
θ
a
规定:0 a 0
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos (a 0, b 0)
B
b
O
A
a
b B
A
A1
a
aA
大于零
B1 O
O
b
B
等于零
小于零
例1 已知|a|=5,||=4, b a与b 的夹角 =120求a b.
解: a 2b a 3b a a b 6b
6 4 cos 60 12
0 2 2
且a 36, b 16
a 2b a 3b
36 12 6 16 72
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？ 解:
a
A
B1
b 在 a 上投影
a 的长度 a
练习2
1.若a =0,则对任一向量b,有a b 0 √ 2.若a 0,则对任一非零向量b,有a b 0 × 3.若a 0, a b 0, 则b 0 × 4.若a b 0, 则a, b中至少有一个为0 × 5.若a 0, a b b c, 则a c 7.对任意向量a有a a
高二数学平面向量数量积的物理背景及其含义
如图可知：
(a b) c a c b c
| OB1 || OB | cos | a b | cos | OA1 || a | cos1 | A1B1 || AB2 || b | cos2
| OB1 || OA1 | | A1 B1 | | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
A
a
1
b
2
B2
B
c (a b) | c || a b | cos c a c b
O
| c || a | cos 1 | c || b | cos 2
A1 c B1 C
(a b) c a c b c
数量积的运算规律：
(1)a b b a; (2)( a) b (a b) a ( b); (3)(a b) c a c b c.
2
2
(2)(a b)(a b) a b .
2
2
(3) (a b)3 (a)3 3(a)2 b 3a (b)2 (b)3
例3.已知 | a | 6,| b | 4 ，a 与 b 的夹角60º ， 求 (a 2b) (a 3b),| a b |。
2 | a | a a _____ . | a | a a
(3) | a b | ____ ≤ | a || b | .( 填 或 )
注：常记 a a 为 a 。
2
(a)2 | a |2
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º ， 求 a b 。
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积为零，即 a 0 0 。 B
平面向量的数量积及其物理意义几何意义
平面向量的数量积及其物理意义几何意义数量积，也称为内积、点积或标量积，是平面向量的一种重要运算。
在数学上，给定两个平面向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，它们的数量积可以表示为a·b=a1b1+a2b2、在本文中，我将讨论平面向量数量积的物理意义和几何意义。
物理意义：数量积在物理学中扮演着重要的角色，它有许多实际的物理意义和应用。
以下是其中一些常见的物理意义：1. 力和位移之间的关系：数量积可以用于计算两个力之间的关系。
当一个物体受到力F作用时，它在位移s方向上的分量可以表示为向量F和向量s之间的数量积。
根据数量积的定义，F·s = Fscosθ，其中θ是F和s之间的夹角。
因此，数量积可以帮助我们计算出物体在特定方向上受到的力的大小。
2.功的计算：在物理学中，功是通过应用力在物体上产生的能量变化。
当一个力F作用于物体上时，物体在位移s方向上的功可以表示为F·s。
这是因为功是力与位移的数量积，能够给出在应用力的方向上所做的工作的大小。
3. 速度和加速度之间的关系：当一个物体被施加一个恒定的力F时，它的加速度a可以表示为F和物体质量m之间的比值，即a = F/m。
然而，我们也可以从另一个角度理解这个关系。
我们知道，加速度a等于速度v的变化率。
因此，v = at。
将F = ma和v = at相结合，我们可以得到v = (F/m)t = (F·t)/m，其中t是时间。
这表明速度v可以用力F和时间t的数量积来计算。
几何意义：数量积不仅在物理学中有实际应用，而且在几何学中也有重要的几何意义。
以下是其中一些常见的几何意义：1. 夹角的计算：由数量积的定义可知，a·b = ，a，b，cosθ，其中θ是a和b之间的夹角，a，和，b，分别是向量a和b的长度。
通过这个公式，我们可以得到夹角θ的值，从而计算向量之间的夹角。
2.正交性：如果两个向量的数量积为零，即a·b=0，那么这两个向量是相互正交的。
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2
2
题2、 已知 a 6， b 4， a与b的夹角为60 ，
0
求(a＋2b) (a－3b)
题3、 已知 a 3， b 4，且a与b不共线.k为 何值时，向量 a k b与a k b互相垂直.
提高练习：
1、三角形ABC为正三角形，问：
(1) AB与 AC 夹角为 600 (2) AB与 BC 夹角为 1200 (3) AB在 AC 上的投影为 (4) AB在 BC 上的投影为
(3)a (b c) a b a c (分配律)
说明：向量数量积不满足消去律，
也就是说：
当a 0, a b a c时，不一定有b c.
巩固训练
题1、求证：
(1)(a b) a 2a b b
2
2
2
(2)(a b)(a b) a b
平面向量数量积 的物理背景及其 含义
一、向量数量积的物理背景
在物理课中，我们学过功的概念， 即如果一个物体在力 F 的作用下产生 位移 S ，那么力 F 所做的功
W F S cos
F
S
我们将功的运算类比到两个向量 的一种运算，得到向量“数量积”的 概念。
W F S cos
1 | AB | 2 1 | AB | 2
2、判断下列说法的正误，并说明理由
(1)在ABC中，若AB BC ＜0，则ABC是锐角。
假
(2)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是钝角。
真
(3)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是直角。
真
3、 已知 a 2, b 3, a与b的夹角为 120 (1)a b =-3 (5) a b
平面向量数量积的物理背景及其含义(高中数学课件)
2
2
a a ab b a bb
a 2a b b
2
2
（ 2） (a b) (a b) a a - a b b a - b b
a b
2
2
平面向量数量积的物理背景及其含义
| b | 4 ， 例2．已知 | a | 6 ， a 与 b 的夹角为 60o ，
求 (a 2b) (a 3b) . 解： (a 2b) (a 3b)
a a a b 6b b
| a |2 a b 6 | b |2 | a |2 | a || b | cos60 6 | b |2 1 6 6 4 6 4 2 72
| b | cos 叫做 b 在 a方向上的投影；
| a | cos 叫做 a在 b方向上的投影；
| a | cos
平面向量数量积的物理背景及其含义
a b | a || b | cos
平面向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 上的投 影 | b | cos 的乘积．
a b | a || b | ；
用于计算向量的模 用于计算向量的夹角,以 及判断三角形的形状.
(4) | a b | ≤
| a || b | .
平面向量数量积的物理背景及其含义
B
b
O OB | b | cos
1
a b | a || b | cos
a
B1
A
| b | cos a b |a| a b |b|
平面向量数量积的物理背景及其含义
证明分配律：
b
向量a、b、a + b在c 上的射影的数量分别 是OM、MN、 ON, 则
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
两个向量的夹角和垂直问题 【技法点拨】
求向量a,b的夹角θ的思路 (1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a|，|b|，在此基础上 结合数量积的定义或性质计算 cosθ agb 最, 后借助θ∈
ab
［0,π］，求出θ值. (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元 思想计算cosθ的值.
【解题指导】
【规范解答】由已知，a·b＝4×8×( －)1＝－16 ①. ……2分
2
(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2 ② ＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162, …………………4分 ∴|4a－2b|＝ 16 …3.…………………………………………6分 (2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0 ③. ……8分 ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，……………………………10分 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7. ………………12分
(3)直线BC与AC的夹角与向量BuuCur与Cuu的Aur 夹角不相同.直线 BC与AC的夹角的补角才是向量BuuCur与Cuu的Aur 夹角.找两个向量
的夹角时，让它们的起点相同，才可以找出它们的夹角.
与向量的模有关的问题 【技法点拨】 1.求向量的模的常见思路
2.利用a2=|a|2,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数 乘实数,实数乘向量的乘法运算是有区别的,在书写时 一定要把它们严格区分开来,不可混淆.
【典例训练】
1.有下列说法 ①a·0=0；②0·a=0；③0-AuuBur＝BuuAur ； ④｜a·b|=|a||b|；⑤(a·b)2=a2·b2；
平面向量数量积的物理背景及其含义课件
『规律总结』 1.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此 类问题的处理方法：
(1)a＝a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a． (2)|a±b|＝ a±b2＝ a2＋b2±2a·b． 2．向量夹角公式 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|的计算中涉及了向量运算和数量运算， 计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算．从而保证计算结果准确无误．
(2)∵|a|＝|a－b|，∴a·b＝12|a|2， 又|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2＝ 3|a|， 设 a 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cosθ＝a|a·||aa＋＋bb|＝|aa2||＋a＋a·bb|＝|a|a|2|＋· 312||aa||2＝ 23， 又 θ∈[0，π]，∴θ＝π6，即 a 与 a＋b 的夹角为π6．
『规律总结』 依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、 向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向 量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．
混淆向量的模与实数的运算
典例 5
已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求|a＋b|及|a－b|的值．
『规律总结』 求一个向量在另一个向量方向上的投影时，首先要根据题 意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算即可．
命题方向3 ⇨利用向量的数量积解决有关模、夹角问题
典例 3 (1)已知|a|＝|b|＝5，向量 a、b 夹角 θ＝π3，求|a＋b|． (2)已知 a，b 是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.求 a 与 a＋b 的夹角．
[解析] 在△ABC 中，易知A→B＋B→C＋C→A＝0， 即 a＋b＋c＝0， 因此 a＋c＝－b，a＋b＝－c， 从而aa＋＋bc22＝＝－－bc22，， 两式相减可得 b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2， 则 2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2， 因为 a·b＝c·a＝a·c， 所以 2b2＝2c2，即|b|＝|c|． 同理可得|a|＝|b|，故|A→B|＝|B→C|＝|C→A|，即△ABC 是等边三角形．
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义在我们的日常生活中，有些东西就像水和空气，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。
就拿平面向量的数量积来说吧，听起来可能有点儿复杂，其实它就是一种简单又有趣的概念，来，咱们一起聊聊这件事。
想象一下，你在操场上跟朋友打篮球。
你投篮的时候，用力的角度、力量的大小，都会影响到篮球的飞行轨迹。
数量积就像是你在这场游戏里的秘密武器，能帮助你理解这股力量和方向的结合。
简单点说，数量积就是把两个向量结合在一起，得出一个数值，告诉你这两个向量之间的关系。
比如，力的方向和移动的方向，如果你力气大但方向错了，那球就算飞得再快，也未必能进篮。
这就好比你走路的时候，前面有个障碍，你必须调整自己的方向，不然就撞上去了。
再举个例子，你在海边晒太阳，风在吹，你的沙滩椅子被风推得摇摇晃晃。
这个时候，你得考虑风的方向和力量，才能舒服地躺在那里。
如果你朝着风的方向靠，就算风再大，也不会把你推倒。
数量积就像是这个时候的指南针，告诉你该如何调整自己，才能迎风而行。
这种感觉真的是妙不可言，恰如其分。
说到这里，你可能会想，这个数量积到底有什么用呢？嘿，别小看它。
它在物理学、工程学和计算机科学中，都起着至关重要的作用。
拿物理来说，力和位移的数量积，能直接帮我们算出做功的大小。
这就意味着，咱们可以通过简单的计算，明白做事情的效率。
想想看，如果你在搬家，要搬一个重重的箱子，你使出的力气和箱子移动的方向正好一致，结果就是一口气就能把它搬上车。
但要是你使力的方向偏了，可能搬半天也没动，这可就太尴尬了。
再看看工程领域，设计师们在绘制建筑图纸的时候，数量积也能大显身手。
想要确保建筑的稳定性和安全性，设计师得考虑每一个结构的受力情况。
而数量积恰好能帮助他们判断，哪个方向的力量最大，从而做出最好的设计选择。
这就像是在搭积木，搭得越稳，玩得越开心。
再说计算机科学，这可是个神奇的领域。
机器学习、计算机图形学中，数量积用得相当频繁。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义三维目标：1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。
3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。
（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。
教学过程：一、情景导入、引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义二、合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)
平面向量数目积的物理背景及其含义三维目标：1、知识与技术：（1）理解平面向量数目积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数目积及其几何意义；掌握平面向量数目积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数目积与向量投影的关系；（4）认识用平面向量的数目积可以办理有关长度、角度和垂直的问题能运用数目积表示两个向量的夹角，会用数目积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数目积的过程中，进一步领会平面向量实质及它与生活和自然科学联系，认识事物的一致性，并经过学习向量的数目积感觉数形联合的思想方法；（2）培育学生数形联合的思想方法以及解析问题、解决问题的能力及研究精神，培育学生的运算能力、慎重的思想习惯以及解题的规范性。
（3）经过对向量的数目积的研究、交流、总结，从各角度、用各方法来领会向量之间的关系和作用，不停从感性认识提升到理性认识，。
3、神态与价值观（1）经过用向量数目积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，领会数学知识抽象性、概括性和应用性，培育起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培育学好数学的信心，为远大的理想而不懈奋斗。
（2）经过对向量数目积及所产生的思想方法的学习及研究，不停培育自主学习、主动研究、擅长反思、勤于总结的科学态度和持之以恒的研究精神，并提升参加意识和合作精神；教课要点：平面向量的数目积定义及应用( 能利用数目积解决求平行、垂直、夹角等问题)教课难点：平面向量的数目积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数目积的应用。
教课过程：一、情形导入、引出新课1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？希望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题 2：请同学们连续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是依据如何的序次研究了这类运算的？希望学生回答：物理模型→看法→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍旧依据这类研究思路来研究向量的别的一种运算：平面向量数目积的物理背景及其含义二、合作研究，精讲点拨研究一：数目积的看法1、给出有关资料并提出问题3：F （ 1）以以下图，一物体在力 F 的作用下产生位移 S，αS那么力 F 所做的功： W= | F| |S| cos α 。
【高中数学】平面向量数量积的物理背景及其含义
解： | BC | 8 | CA | 7
120
A
7
120
B
60
8
C
BC CA | BC | | CA | cos120
8 7 ( 1 ) 28 2
练习1
(1) | a | 2,| b | 7, 30，a b 7 3 (2) | a | 10,| b | 15, 45，a b 75 2 (3) | a | 8,| b | 2, 135，a b 8 2
总结规律：a, b同向 a b | a || b |
练习4 cos180 1
(1) | a | 2,| b | 7, 180，a b 27 14 (2) | a | 10,| b | 15, 180，a b 1015 150 (3) | a | 8,| b | 2, 180，a b 8 2 16
解:a b | a || b | cos 24 2
2
a
|
a
|2
64
2
b
|
b
|2
36
(a
2b)
(a
3b)
2
a
a
b
2
6b
|
a
|2
|
a
||
b
|
cos
6
|
b
|2
152
24
2
(a b)2
2
a
2a
b
2
b
|
a
|2
2
|
a
||
b
|
cos
|
b
|2
100
48
2
| a b |2 (a b)2 100 48 2 | a b | 100 48 2 2 25 12 2
平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一 平面向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于0. 思考 若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0.答案 在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中cos θ有可能为0. 知识点二 平面向量数量积的几何意义 1．条件：向量a 与b 的夹角为θ. 2．投影3.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 思考 向量a 在b 方向上的投影是向量吗？答案 a 在b 方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量．知识点三 平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ. 1．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.3．a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .4．cos θ＝a·b|a||b|.5．|a·b|≤|a||b|.知识点四平面向量数量积的运算律1．a·b＝b·a(交换律)．2．(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?答案不可以．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.1．向量a 在向量b 上的投影一定是正数．( × ) 2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × ) 3．向量的数量积运算满足(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 4．已知a ≠0，且a ·c ＝a ·b ，则b ＝c .( × )题型一 求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.反思感悟 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b .跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )． 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (2a ＋3b )·(3a －2b ) ＝6a 2－4a ·b ＋9b ·a －6b 2 ＝6|a |2＋5a ·b －6|b |2＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.题型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |. 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |22|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 方法一 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1＋9－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝3. ∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋9＋2×3＝16，∴|a ＋b |＝4.方法二 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2， |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，∴|a －b |2＋|a ＋b |2＝2a 2＋2b 2＝2×1＋2×9＝20. 又|a －b |＝2，∴|a ＋b |2＝16，∴|a ＋b |＝4. 题型三 求向量的夹角例3 (1)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n2a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a ＋b 的夹角及a 与a －b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|， ∴四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， 这时OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a ＋b |，即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|， ∴∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 的夹角为60°.∵∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°， 又|OA →|＝|OB →|，∴∠OAB ＝30°， 即a 与a －b 的夹角为30°.反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解． (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，求a 与b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角解 ∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a ·b ＝－2. |a |＝|b |＝2，∴a ·b ＝2， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.向量的夹角与垂直问题典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝7－2cos θ＝6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )， ①求向量a 与b 夹角的大小； ②求|a －2b |的值．解 ①设a 与b 的夹角为θ，由已知得(a ＋2b )·(3a －b )＝3a 2＋5a ·b －2b 2 ＝3＋10cos θ－8＝0，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.②因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4＋16＝13，所以|a －2b |＝13.[素养评析] 向量既有大小又有方向，我们可以通过代数运算来求解夹角、模等，这正是数学核心素养数学运算的具体体现．1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值答案 A解析 a·b ＝1×2×cos π3＝1，故选A.2．在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 2 D ．2 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 B解析 BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝2×2×cos 45°＝2.3．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 D解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2 ＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.5．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ， 求：(1)c ·d ；(2)|c ＋2d |. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 (1)c ·d ＝(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×4－2×1＋3×2×1×12＝9.(2)|c ＋2d |2＝(4a ＋3b )2＝16a 2＋9b 2＋24a ·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1×12＝97，∴|c ＋2d |＝97.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |.4．对于两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 5．求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B解析 由|a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|b |2⇒2a ·b ＝－|a |2⇒2|a |·|b |·cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°.2．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－6 3 D ．6 3 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 C3．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( ) A ．16 B ．256 C ．8 D ．64 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 A解析 ∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 A解析 根据投影的定义，设a ，b 的夹角为θ，可得向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝a·b |b|＝－4，故选A.5．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．25D ．－25 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值解析 由条件知∠ABC ＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A ) ＝－20cos C －15cos A＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.6．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.7．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( ) A. 6 B ．6 C ．12 D ．18 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 D解析 如图，过点O 作OD ⊥AB 于D ，可知AD ＝12AB ＝3，则AO →·AB →＝(AD →＋DO →)·AB →＝AD →·AB →＋DO →·AB →＝3×6＋0＝18，故选D.8．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －b －a |＝1，则|c |的取值范围为( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 A解析 如图所示，令OA →＝a ，OB →＝b ，OD →＝a ＋b ，OC →＝c ，则|OD →|＝ 2.又|c －b －a |＝1，所以点C 在以点D 为圆心、半径为1的圆上，易知当点C 与O ，D 共线时，|OC →|取到最值，最大值为2＋1，最小值为2－1，所以|c |的取值范围为[2－1，2＋1]．故选A. 二、填空题9．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 2 3 解析 方法一|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.10．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 －9211．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 等边三角形解析 AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC ＝60°. 又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.则向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为________． 考点 向量的投影题点 求向量的投影 答案101313解析 (2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－3b 2－4a·b ＝4×16－3×9－4a·b ＝61，解得a·b ＝－6， ∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝16＋9－12＝13，a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝10， ∴|a ＋b |＝13，设a 与a ＋b 的夹角为θ，∴cos θ＝104×13＝5213，则a 在a ＋b 方向上的投影为|a |cos θ＝4×5213＝101313.三、解答题13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，求AB 的长．考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 如图，由题意可知，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝1， 即AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.①因为|AD →|＝1，∠BAD ＝60°， 所以①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1.解得|AB →|＝0(舍去)或|AB →|＝12，所以AB 的长为12.14．(2018·吉林长春调研)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，∴a 与b 的夹角为45°. (2)|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝12102×22＝55.。
2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
![2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义](https://img.taocdn.com/s3/m/15737b2958fb770bf78a554e.png)
投影：
若是a与b的夹角， b cos叫做向量 b在a方向上的投影，如图，OB1 b cos .
O
B
b
b cos B1
零向量与任一向量的数量积为0. 思考：
a A
（数量） 1.投影是一个数量还是一个向量？
（与的取值有关） 2.投影的正负与什么有关？
思考：对于不共线向量a, b, c,判断(a b)c a (b c)是否成立？
不成立，因为(a b)c表示一个与c共线的向量，而a (b c ) 表示一个与a共线的向量，而a与c不共线，所以式子不成立。
例2：求证：
(1)(a b)2 a 2 2a b b2 ;
5. a b a与b的夹角 120o，求a b.
解：a b a b cos
5 4cos120o
1 5 10 ( ) 2
10.
数量积的运算律：
1.a b b a; 2.(a) b (a b) a (b); 3.(a + b) c a c b c.
(2)(a b)(a b) a 2 b2 . a b) 证明： (1)(a b)2 (a b)(
a a a b ba bb
a 2 2a b b2 ;
(2)(a b)(a b) a a a b + b a + b b a 2 b2 .
总结：
1.数量积的概念；
2.投影的概念； 3.两个向量数量积的性质； 4.数量积的几何意义.
作业：
习题2.4A组第2，4，题 习题2.4B组第1题
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s
对非零向量a与b，定义| b | cosθ叫向量b
在a 方向上的投影．
| a | cosθ叫 向量a在b 方向上的投影．
数量积的几何意义
作 O Aa ， O Bb，过点B作BB1直线OA
则 O B 1 的数量是| b | cosθ （不是向量）
B
B
B
b
b
b
O
B1 a A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
向量的数量积运算类似于多项式运算
例 2.已 知 |a|6,|b|4,a与 b夹 角 为 60, 求 ： (1)(a2b)(a3b)
(2)a2b|.
解 ： （ 1） .(a2b)(a3b)a2ab6b2
a2abcos6b272
2
2
(2 )a 2 ba 4 a b 4 b 23 7
例 3.已 知 |a|3,|b|4,且 a与 b不 共 线 . k为 何 值 时 ,(akb)(akb)？
a b a b c o s 2 2 c o s 4 5 0 2
单a位b 设 向| aa量、 | | ，b b| 是c 是 o s 非a 与 零( 1 向e)e 的量a 夹，e 角是 a ，e 则与 b| a 方 |向c相o 同的s
(2 )a b ab 0判断垂直的又一条
(√ )
结合律： (ab)c=a(bc)
(ab)ca(bc) (×)
(a)b(ab)a(b)(√ )
分配律： (a+b)c=ab+bc (ab)cacbc ( √ )
消去律: ab=bc(b≠0) a=c
× abbc(b0) ac( )
数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数 ，则:
(1)ab b a;
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）·（a-kb）=0
即a2-k2b2=0
9-16 k 2 =0
所以，k= 3
4
例4、
(2009·海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在 △ABC所在平面内，且 OAOBOC,N A N B N C 0 ,
P A P B P B P C P C P A ,则 点 O ,N ,P 依 次 是 A B C 的 （ C ）
5 . 0 时 ， (a ) b 与 b 的 方 向 相 同 .×
B1 O a A
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
O aA
θ为直角时， | b | cosθ=0
a ·b的几何意义：数量积a ·b等于a的长度 |a|与b在a的方向上投影|b|cos的乘积。
数量积的运算律
回顾实数运算中有关的运算律，类比数量
积得运算律:
在实数中
在向量运算中
交换律: ab=ba
abba
(2)(a)b(ab) a(b)
(3)ab)c acbc
证明运算律(3)
向量a、b、a + b
a
b
在c上的射影的数量分 别是OM、MN、 ON,
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 |a||b|cos叫做a 与
b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ababcos
注 （1）两向量的数量积是一个数量，
意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能省.
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时 a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时 a·b为负。 当θ =90°时 a·b为零。
例题讲解
例1．已知 a =5， b =4，a 与 b 的夹角 120 ，求 a b . 答案：10
A．重心、外心、垂心 C．外心、重心、垂心
B．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
知识回顾:
夹角的范围
数量积
0
a b |a ||b |c os
性质 运算律
或 a·a|=a||a|2
（简写
aa
a2
=
|a|2）
(1) a · b= b ·a(交 换律)
(2) (a ) b a (b ) ( a b )
例1.已知向量a，b,求证下列各式
（1）(ab)2
2
a
2
2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2.
2.4.1 平面向量数量积 物理背景及其含义
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
b
Oa A
情景引入 一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
bB
(3 )当 a 与 b 同向 a b |a 时 |b ||件;
Oθ
A
B1 a
当 a 与 b 反向 a b 时 |a |b ||， ;
求 角
特别地
(4)cos
aa|a|2
ab | a||b|
或 |a|
aa
a2求模的方法
(5 )|ab| |a||b|
数量积的几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 只有在位移方向上的力做功．
变式:如图的菱形ABCD中，角A等于6 0 ，
AB=2,求下列各数量积.
B
ABAD,ABBC,ABCD
A
C
ABDC,BABC,ACBD.
答 案 ： 2 ； 2 ； - 4 ; 4 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a b。
解：a 2 , b2,450
(3) (a＋b) ·c = a·c＋b·c (分配律)
巩固练习 1.已知向量 a , b , c 和实数
判断正误，并说理. 1．若 a b0，则 a , b 中至少有一个为0 ．×
2. 若b≠0，a·b＝c·b ，则a=c× 3. (a·b)c=a(b·c) ×
4. 对任意向量 a 有a2 | a |2 √