第4章二次曲面的一般理论资料
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第四章 二次曲面的一般理论
§4.1 空间直角坐标变换
一、一些常见的记号
在空间中,由三元二次方程
a11x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
表示的曲面叫二次曲面
其中aij为实常数,且a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零
1
11
12
13
14
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
2
12
22
23
24
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
3
13
23
33
34
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
4
14
24
34
44
记Φ(x, y, z) ≡a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy + 2a xz + 2a yz
x
从而有:
y
x0 y0
c11 x c12 y c21x c22 y
c13 z c23z
z z0 c31 x c32 y c33z
记x ( x, y, z)T,x ( x, y, z)T , x0 ( x0 , y0 , z0 )T
x y
x0 y0
c11x c21x
为了以后讨论的方便,我们引进一些记号:
F(x, y, z) ≡a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy
11
22
33
12
+ 2a xz + 2a yz + 2a x + 2a y + 2a z + a = 0
13
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F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
11
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Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
1
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Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
2
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Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
3
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33
Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
4
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c12 c22
y y
c13z c23z
z z0 c31x c32 y c33z
可以化为x T x x0
两个式子 都称为点的 直角坐标变换公式
其中T
c11 c21
c12 c22
c13 c23
c31 c32 c33
c121 c221 c321 1, c11c12 c21c22 c31c32 0 c122 c222 c322 1, c12c13 c22c23 c32c33 0 c123 c223 c323 1, c11c13 c21c23 c31c33 0
a13 a23 a33 z
a11 a12 a13 a14 x
F(x, y, z) (x
y
z
1)
a12
a13 a14
a22 a23 a24
a23 a33 a34
a24 y
a34 a44
z 1
二、直角坐标变换
设 {O; i, j, k}及 {O; i, j, k}
34
则F(x, y, z) ≡xF (x, y, z) + yF (x, y, z)
1
2
+ zF (x, y, z) + F (x, y, z)
3
4
Φ(x, y, z) = xΦ (x, y, z) + yΦ (x, y, z)
1
2
+ zΦ (x, y, z)
3
a11 a12 a13 a14
A
x
移
轴公式为:
y
x y
x0 y0
z z z0
四、转轴变换
设 {O;i, j, k}及 {O;i, j, k}两个直角坐标系 新坐标系可以看成原坐标系绕原点O旋转, 使得i, j, k分别与i, j, k重合得到的, 这种坐标变换叫旋转变换,简称转轴
设i, j, k在直角坐标系Oxyz中的方向角分别为 i,i,i;i 1,2,3 i i cos 1 j cos1 k cos 1, j i cos 2 j cos2 k cos 2 , k i cos 3 j cos3 k cos 3;
c31 c32 c33
其中矩阵T (cij )称为从到的过度矩阵
任一点P在和下坐标分别是( x, y, z),( x, y, z)
OP OO OP ( x0 i y0 j z0 k) ( xi y j zk) ( x0 i y0 j z0 k ) x(c11 i c21 j c31 k ) y(c12 i c22 j c32 k ) z(c13 i c23 j c33 k ) ( x0 c11 x c12 y c13z)i ( y0 c21 x c22 y c23z) j (z0 c31x c32 y c33z)k
wenku.baidu.com
a12 a13 a14
a22 a23 a24
a23 a33 a34
a24
a34 a44
a11 A* a12
a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
分别称为二次曲面F( x, y, z) 0和( x, y, z)的矩阵
利用矩阵法可以写成
a11 a12 a13 x ( x, y, z) ( x y z) a12 a22 a23 y
是空间的两个右手直角坐标系 点O′ 在σ下的坐标是(x , y , z )
0 00
i, j, k在下的坐标分别为
(c11, c21, c31), (c12 , c22 , c32 ), (c13 , c23 , c33 )
则(i,
j, k)
(i,
c11 j, k ) c21
c12 c22
c13 c23
六个关系式为正交的条件,则T也是正交矩阵 则T 1 T T
{O;i, j, k}及{O;i, j, k}都是右手系
(i, j, k) (i, j, k) 1 c11 c12 c13
det T c21 c22 c23 1 c31 c32 c33
三、移轴变换
设 {O;i, j, k}及 {O;i, j, k}空间两个直角坐标系 点O在下的坐标是( x0 , y0 , z0 ), 到的坐标变换称为平移变换,简称为移轴,
§4.1 空间直角坐标变换
一、一些常见的记号
在空间中,由三元二次方程
a11x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
表示的曲面叫二次曲面
其中aij为实常数,且a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零
1
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12
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F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
2
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F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
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F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
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记Φ(x, y, z) ≡a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy + 2a xz + 2a yz
x
从而有:
y
x0 y0
c11 x c12 y c21x c22 y
c13 z c23z
z z0 c31 x c32 y c33z
记x ( x, y, z)T,x ( x, y, z)T , x0 ( x0 , y0 , z0 )T
x y
x0 y0
c11x c21x
为了以后讨论的方便,我们引进一些记号:
F(x, y, z) ≡a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy
11
22
33
12
+ 2a xz + 2a yz + 2a x + 2a y + 2a z + a = 0
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F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
11
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Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
1
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Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
2
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Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
3
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Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
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c12 c22
y y
c13z c23z
z z0 c31x c32 y c33z
可以化为x T x x0
两个式子 都称为点的 直角坐标变换公式
其中T
c11 c21
c12 c22
c13 c23
c31 c32 c33
c121 c221 c321 1, c11c12 c21c22 c31c32 0 c122 c222 c322 1, c12c13 c22c23 c32c33 0 c123 c223 c323 1, c11c13 c21c23 c31c33 0
a13 a23 a33 z
a11 a12 a13 a14 x
F(x, y, z) (x
y
z
1)
a12
a13 a14
a22 a23 a24
a23 a33 a34
a24 y
a34 a44
z 1
二、直角坐标变换
设 {O; i, j, k}及 {O; i, j, k}
34
则F(x, y, z) ≡xF (x, y, z) + yF (x, y, z)
1
2
+ zF (x, y, z) + F (x, y, z)
3
4
Φ(x, y, z) = xΦ (x, y, z) + yΦ (x, y, z)
1
2
+ zΦ (x, y, z)
3
a11 a12 a13 a14
A
x
移
轴公式为:
y
x y
x0 y0
z z z0
四、转轴变换
设 {O;i, j, k}及 {O;i, j, k}两个直角坐标系 新坐标系可以看成原坐标系绕原点O旋转, 使得i, j, k分别与i, j, k重合得到的, 这种坐标变换叫旋转变换,简称转轴
设i, j, k在直角坐标系Oxyz中的方向角分别为 i,i,i;i 1,2,3 i i cos 1 j cos1 k cos 1, j i cos 2 j cos2 k cos 2 , k i cos 3 j cos3 k cos 3;
c31 c32 c33
其中矩阵T (cij )称为从到的过度矩阵
任一点P在和下坐标分别是( x, y, z),( x, y, z)
OP OO OP ( x0 i y0 j z0 k) ( xi y j zk) ( x0 i y0 j z0 k ) x(c11 i c21 j c31 k ) y(c12 i c22 j c32 k ) z(c13 i c23 j c33 k ) ( x0 c11 x c12 y c13z)i ( y0 c21 x c22 y c23z) j (z0 c31x c32 y c33z)k
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a12 a13 a14
a22 a23 a24
a23 a33 a34
a24
a34 a44
a11 A* a12
a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
分别称为二次曲面F( x, y, z) 0和( x, y, z)的矩阵
利用矩阵法可以写成
a11 a12 a13 x ( x, y, z) ( x y z) a12 a22 a23 y
是空间的两个右手直角坐标系 点O′ 在σ下的坐标是(x , y , z )
0 00
i, j, k在下的坐标分别为
(c11, c21, c31), (c12 , c22 , c32 ), (c13 , c23 , c33 )
则(i,
j, k)
(i,
c11 j, k ) c21
c12 c22
c13 c23
六个关系式为正交的条件,则T也是正交矩阵 则T 1 T T
{O;i, j, k}及{O;i, j, k}都是右手系
(i, j, k) (i, j, k) 1 c11 c12 c13
det T c21 c22 c23 1 c31 c32 c33
三、移轴变换
设 {O;i, j, k}及 {O;i, j, k}空间两个直角坐标系 点O在下的坐标是( x0 , y0 , z0 ), 到的坐标变换称为平移变换,简称为移轴,