第4章二次曲面的一般理论资料
二次曲面
一、曲面方程的概念
曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．
如果空间图形与三元方程（组）有下述关系：点在图形上点的坐标满足方程（组）
则称这个方程（组）为这个曲面的方程，而这个曲面就称为这个方程的图形．
如前面讲过的平面 Ax+By+Cz+D= 0．
平面是曲面的特殊情形，我们已经知道，关于 的一次方程 的图形是平面。本节将讨论几种常见的用 的二次方程所表示的曲面。这类曲面称为二次曲面。
它表示母线平行于 轴的圆柱面与 坐标面的交线。因此可知表示空间曲线的方程组不是惟一的。
（2）空间曲线的参数方程
对空间曲线来说 上动点 的坐标 也可以用一个变量 的函数来表示，形如
当 时就得到 上一个点（ ），随着 的变化便可得到 上所有点。上方程组称为空间曲线的参数方程
如 为曲线 的参数面与锥面的交线为
：
由方程消去 ,得
这是一个母线平行于z轴的圆柱面。
于是交线C在 面上的投影曲线方程为
五、小结：学生应对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。知道各种常用立体的解析表达式，对投影等应特别注意。
六、作业：习题一28（1）、29（1）、（3）、（5）31（1）.
备注
第四节二次曲面与空间曲线
教学要求：(1)了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程；母线平行于坐标轴的柱面及常见的二次曲面方程及图形；空间曲线的参数方程和一般方程。
(2)会求简单空间曲线在坐标面上的投影。
教学重点：常见的二次曲面方程及图形（柱面、旋转曲面、椭球面、圆锥面）；
教学难点：旋转曲面
教学方法：启发讲解法；
我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标轴的柱面．.
设柱面的准线为 面上的曲线 ： ，母线平行于 轴，求该柱面的方程。
高等数学二次曲面
高等数学二次曲面引言在高等数学中，二次曲面是一类重要的曲面，它们在空间中具有特定的几何性质和数学定义。
本文将介绍二次曲面的定义、分类以及一些重要的性质和应用。
定义二次曲面是定义在三维空间中的曲面，它可以用一个二次方程的方程来表示。
二次曲面的方程一般具有以下形式：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是实数。
当方程中的系数满足一些条件时，可以得到不同种类的二次曲面。
分类根据方程中系数的特点，可以将二次曲面分为以下几类：1. 椭球面当A、B和C的系数都为正时，方程表示一个椭球面。
椭球面具有两个主轴，其中两个主轴的长度由A、B和C的值决定。
椭球面在物理学、天文学和工程学等领域有广泛的应用。
2. 单叶双曲面当A、B和C的系数分别为正、负和负时，方程表示一个单叶双曲面。
单叶双曲面有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
3. 双叶双曲面当A、B和C的系数分别为负、负和正时，方程表示一个双叶双曲面。
双叶双曲面同样有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
4. 椭圆抛物面当D、E和F的系数都为零时，方程表示一个椭圆抛物面。
椭圆抛物面具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
5. 双曲抛物面当D、E和F的系数至少有一个不为零时，方程表示一个双曲抛物面。
双曲抛物面同样具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
6. 椭圆锥面当A、B、C的系数满足一个特定的条件时，方程表示一个椭圆锥面。
椭圆锥面可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
7. 双曲锥面当A、B、C的系数满足另一个特定的条件时，方程表示一个双曲锥面。
双曲锥面同样可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
性质和应用二次曲面具有许多重要的性质和应用，以下是其中的一些：•二次曲面对称性：对于大多数二次曲面，它们都具有某种对称性，可以通过变换来描述这种对称性。
简单的二次曲面
1 2 1 v 0 r dz 0 ( x 2 y 2 )dz
2 1 0 [ z
2 (1 z ) ]dz . 3
2
（4）锥面
一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动 所产生的曲面称为锥面。动直线称为母线，定点称 为顶点，固定曲线称为准线。
圆锥方程（半顶角a)
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
x2 y2 z2 (1) a b, 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
半径为2 的圆
斜率为1的直线
以z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面
（5）椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
图形有界，并且关于坐标面对称。
椭球面与 三个坐标面 的交线：
2 z2 x2 2 1 , a c y 0
2 y2 x2 2 1 , a b z 0
f ( y1 , z1 ) 0
2 2 z z , y x y 将 1 代入 f ( y1 , z1 ) 0 1
得方程
f x 2 y 2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
柱面方程：F(x,y)=0
F ( x , y ) 0, 准线方程 z 0.
4.3二次曲面
§4.3 二次曲面本节重点：掌握五种标准二次曲面的方程、变量范围、对称性、平截线等性质。
前两节主要研究对于具有较突出几何特征的曲面如何建立它们的方程.本节将研究具有标准方程的二次曲面, 如何通过对方程的一些定性讨论和平行截割法,考察曲面的形状。
所谓平行截割法，就是用平行于坐标面的一族平面去截割曲面，通过它们的交线（叫截线或截口）的形状和变动规律，想象、了解和直观表示整个曲面的大致形状。
在空间直角坐标系下，三元二次方程表示的图形叫做二次曲面，已介绍过的二次柱面， 二次锥面都是二次曲面的特例。
本节再讨论如下五种二次曲面。
(一)椭球面4 .3 .1定义 由方程1222222=++cZ b Y a X (4.3.1) 表示的曲面叫做椭球面（或椭圆面）；方程（4.3.1）叫做椭球面的标准方程，其中c b a ,,均为正的常数。
球面和旋转椭球面都是特殊的椭球面。
下面利用标准方程（4.3.1）讨论这椭球面的一些简单性质： Ⅰ、对称性由于方程（4.3.1）中仅含坐标扣平方项，若将坐标Z Y X ,,中的一个，两个或三个改号，则方程不变，所以椭球面（4.3.1）含有它的每个点关于三个坐标面，三条坐标轴及原点的对称点。
[注]: 即它关于三个坐标面，三条坐标轴以及原点都是对称的。
Ⅱ、主截线，顶点与半轴曲面与其对称平面的截线叫做曲面的主截线，而与其对称轴的交点叫做曲面的顶点。
椭球面（4.3.1）在XOY 面，XOZ 面，YOZ 面上的主截线分别为⎪⎩⎪⎨⎧==+012222Z bY a X (4.3.2) ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222Y cZ a X (4.3.3) ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222X cZ b Y (4.3.4) ───────────────────────[注] 所谓两点',P P 关于一平面α成(镜面)对称，即α是线段'PP 的垂直平分面；两点',P P 关于一直线L 成(轴) 对称,即L 为线段'PP 的一条垂直平分线；两点',P P 关于一点成(中心)对称,即此点为线段'PP 的中点。
二次曲面一般式
二次曲面一般式摘要：一、二次曲面的定义二、二次曲面的分类1.椭圆曲面2.双曲线曲面3.抛物线曲面三、二次曲面的性质1.标准方程2.参数方程3.二次曲面的对称性四、二次曲面的应用1.数学领域2.物理领域3.工程领域正文：二次曲面是数学中的一种曲面，它的定义可以表示为二次方程的曲面。
在三维空间中，二次曲面是一个与二次方程相关的曲面。
根据二次方程的不同，二次曲面可以分为椭圆曲面、双曲线曲面和抛物线曲面三类。
1.椭圆曲面椭圆曲面是一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示椭圆的长短轴。
椭圆曲面在数学和物理领域中都有着广泛的应用，比如在光学和天文学中，椭圆曲面常用于描述光的传播和成像。
2.双曲线曲面双曲线曲面是另一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1或(x^2 / b^2) - (y^2 / a^2) = 1其中a和b分别表示双曲线的长短轴。
双曲线曲面在数学和物理领域中也有广泛的应用，例如在电场和磁场的研究中，双曲线曲面可以用于描述电荷和电流分布。
3.抛物线曲面抛物线曲面是一种特殊的二次曲面，它的标准方程为：y = ax^2 + bx + c或x = ay^2 + by + c其中a、b和c是常数。
抛物线曲面在数学和工程领域中都有广泛的应用，例如在计算机图形学和机器人运动控制中，抛物线曲面可以用于描述物体的运动轨迹。
二次曲面不仅具有标准方程和参数方程，而且还具有丰富的性质和应用。
例如，二次曲面的对称性可以通过其标准方程或参数方程进行判断。
在数学领域，二次曲面是代数几何、微分几何和拓扑学等学科的重要研究对象。
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
二次曲面形的性质及求法
二次曲面形的性质及求法二次曲面是一个重要的数学概念，它在图像处理、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
本文将介绍二次曲面的性质及其求法。
一、二次曲面的定义二次曲面是指具有二次项（或更高次项）的二元多项式所构成的曲面。
一般二次曲面的方程可以写为以下形式：$$ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+d=0$$其中，$a,b,c,f,g,h$和$d$均为实数，并且至少其中一项系数不为零。
二、二次曲面的性质1.对称性对于任意一个二次曲面，它都具有以下三种对称性：（1）关于$x$轴的对称性当$a=b$且$f=g=h=0$时，二次曲面具有关于$x$轴的对称性。
（2）关于$y$轴的对称性当$a=c$且$f=h=g=0$时，二次曲面具有关于$y$轴的对称性。
（3）关于$z$轴的对称性当$c=b$且$h=g=f=0$时，二次曲面具有关于$z$轴的对称性。
2.焦点和直线二次曲面的焦点是指使二次曲面上的所有点到其确定的两个固定点的距离之比等于一个定值的点对。
二次曲面的焦线是指对于二次曲面上的任一点，都满足其到焦点的距离与到焦线的距离之比等于一个定值。
3.标准形式通过线性代数的方法，可以将任意一个二次曲面通过坐标变换，化为以下标准形式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$其中，$a,b,c$为正实数，分别代表$x,y,z$轴上的半轴长。
三、二次曲面的求法1.第一种方法：配方法配方法是求解二次曲面的一种基本方法。
通过将二次曲面的方程变形为一个平方差式，来实现对二次曲面的求解。
例如，对于方程$4x^2+y^2+z^2+4xy+4xz+2yz=1$，可以通过配方法将其变为以下形式：$$\bigg(2x+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}y^2+\frac{3} {4}z^2=1$$我们最终得到的形式就是一个椭球面的标准形式。
高等数学 二次曲面
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
第4章二次曲面的一般理论
c11 其中T c21 c 31
c12 c22 c3 c31 1, c11c12 c21c22 c31c32 0 2 2 2 c12 c22 c32 1, c12c13 c22c23 c32c33 0 2 2 2 c13 c23 c33 1, c11c13 c21c23 c31c33 0
四、转轴变换
设 {O; i , j , k }及 {O; i , j , k }两个直角坐标系 新坐标系可以看成原坐标系 绕原点O旋转， 使得i , j , k分别与i , j , k 重合得到的， 这种坐标变换叫旋转变 换，简称转轴
设i , j , k 在直角坐标系 Oxyz中的方向角分别为 i， i， i；i 1,2,3
六个关系式为正交的条件，则T也是正交矩阵 则T 1 T T
{O; i , j , k }及{O; i , j, k }都是右手系 ( i , j , k ) ( i , j , k ) 1
c11 det T c21 c31 c12 c22 c32 c13 c23 1 c33
y(c12 i c22 j c32 k ) z (c13 i c23 j c33 k ) ( x0 c11 x c12 y c13 z )i ( y0 c21 x c22 y c23 z ) j ( z0 c31 x c32 y c33 z )k
原方程可化为： 3x2
2 3z2 27 0 3y
例4、讨论曲面4 x 2 y 2 8z 2 8 yz 4 xz 4 xy 8 x 4 y 4 z 4 0的形状
解：把所给方程改写为：
4( x 1)2 y 2 8z 2 8 yz 4( x 1)z 4( x 1) y 0
第讲二次曲面
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
x
y
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 x
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
上面我们看到,不含z的方程x2+y2=R2在空间直 角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线 是xOy面上的圆x2+y2=R2．
一般地,只含x、y,而缺z的方程F(x,y)=0,在空 间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线 是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0.
x2y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
yx1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
作图练习 2、画图: x1 (1)
y2
z
oo
1
x
z 4x2y2
(2)
yx0
z
2y
o
2y
x
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
作图练习
3.作 x2 出 y2 a 2 曲 ， x2 z 面 2 a 2 ,x 0 ,y 0 ,z 0 所围立
y
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
(2) 双叶双曲面
z
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数
oy x
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
空间解析几何-第4章二次曲面的一般理论
例2 化简二次曲线方程 x2 4xy 4 y2 12x y 1 0 ， 并画出它的图形． 例3 化简二次曲线方程 5x2 4xy 2 y 2 24x 12 y 18 0 并画出它的图形．
§4.8.2 二次曲线与直线的相关位 置
二次曲线的概念
由二元二次方程
a11 x2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 0
所表示的曲线叫做二次曲线(quadratic curve).
注：1. a11 , a12 , a13 不全为零；
2.方程中系数的规律:下标“1”代表“x”，
下标“2”代表“y”，交叉项前有2.
( I ) a11 x a22 y a33 0, a11a22 0;
2 2
( II ) a22 y 2a13 x 0, a22 a13 0;
2
( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线 的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
I2 I2 I2
a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22
0 0 0
椭圆型曲线： 抛物型曲线: 双曲型曲线：
2. 二次曲线的中心与渐近线 定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所 有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C 叫做二次曲线的中心(central point). 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心， 其充要条件是：
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线 (elliptic quadratic curve)， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线 (parabolic quadratic curve)， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线 (hyperbolic quadratic curve).
《I二次曲面介绍》课件
二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特 征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基 本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空 间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课 件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具 有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和 应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重 要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域 的重要研究对象，对未来科学教育的贡 献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新 的医学成像方法。它可以为医 师提供三维数据，从而进行更 高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更 加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许
空间解析几何-第4章二次曲面的一般理论
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线 (elliptic quadratic curve)， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线 (parabolic quadratic curve)， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线 (hyperbolic quadratic curve).
( I ) a11 x a22 y a33 0, a11a22 0;
2 2
( II ) a22 y 2a13 x 0, a22 a13 0;
2
( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线 的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
Байду номын сангаас
变换叫做转轴（坐标旋转）．
x x cos y sin y x sin y cos
y'
y P x' j' j i' O i
( 为坐标轴的旋转角 )
x
3.平面直角一般坐标变换
x x cos y sin x0 y x sin y cos y0
0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a11 x0 x a12 ( x0 y xy0 ) a22 y0 y a13 ( x x0 ) a23 ( y y0 ) a33 0
证明：
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过 M0的直线l的方程总可以写成下面的形式：
．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）．
二次曲线二次曲面要点
第四章柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面一、目的要求本章介绍的几种常见的曲面，它们在数学、物理和工程技术中都有广泛的应用。
柱面、锥面及旋转曲面有明显的几何特征，因此可用这些曲面的几何特征，利用轨迹法建立它们的方程。
然后，对于二次曲面的标准方程，利用平行截割法研究它们的几何性质，并作图。
最后，研究二次曲面的直纹性。
基本要求：1、掌握柱面、锥面、旋转曲面方程的导出方法与过程。
2、能够利用二次曲面标准方程的特点，研究二次曲面的特征。
3、掌握利用平行截割法作二次曲面及空间区域的图形，提高空间想象能力。
4、掌握单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性质。
二、主要内容1、柱面2、锥面3、旋转曲面4、椭球面5、双曲面6、抛物面7、空间区域8、直纹面第六章二次曲面的一般理论一、目的要求二次曲面是日常生活和科学技术中常见的曲面。
通过本章学习，使学生掌握二次曲面的中心、主方向、主径面和二次曲面方程的化简等知识。
掌握二次曲面的分类，培养学生的空间想象能力。
基本要求：1、掌握二次曲面的渐近方向、中心、主方向与主径面等概念，会求二次曲面的切平面。
2、熟悉空间坐标变换公式的导出，并且深入领会其实质。
3、熟练地运用空间坐标变换和坐标变换下的不变量，对一般二次曲面的方程进行化简，并对二次曲面进行分类。
二、主要内容1、二次曲面与直线的相关位置2、二次曲面的渐近方向与中心3、二次曲面的切线与切平面4、二次曲面的径面与奇向5、二次曲面的主径面与主方向，特征方程与特征根6、二次曲面的方程化简与分类7、应用不变量化简二次曲面的方程执笔人：吴炳烨审核人：贤锋。
二次曲面(北大版)
这是椭球面在二次曲面中最突出的特点. 这是椭球面在二次曲面中最突出的特点
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称。 关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称。
(3) 顶点
与 x 轴，y 轴，z 轴都相交，交点分别为 轴都相交 相交，
(± a,0,0), (0,±b,0), (0,0,± c)
②当 h > b 时 截线为双曲线
考虑旋转单叶双曲面 考虑旋转单叶双曲面
x2 y2 z 2 + 2 − 2 =1 2 a a c
y2 z2 − =1 Γ : a2 c2 此曲面是双曲线 x = 0
z
o
b
y
.
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的. 旋转形成的. 绕虚轴（ x
单叶旋转双曲面
Back
1.单叶双曲面的概念 单叶双曲面的概念
y2 z2 + =1 yOz面: b2 c2 x = 0
x
y
椭球面的主截线（主椭圆） 椭球面的主截线（主椭圆） 主截线
z
3.用平面截线法研究椭球面的形状 用平面截线法研究椭球面的形状
用z = h(h<c)截曲面 截曲面
x2 y2 h2 + =1- 2 , Cz=h：a2 b2 c ( 椭圆) z = h.
o
b
y
a
x
用x = m截曲面 截曲面
y z m 2 + 2 =1− 2 ， Cx=m：b c a x = m.
2 2 2
Contents
二、单叶双曲面
1.单叶双曲面的概念 单叶双曲面的概念 2.单叶双曲面的性质 2.单叶双曲面的性质 3.单叶双曲面的图形 3.单叶双曲面的图形
第4章 二次曲面和二次曲线
x cos - sin x x0 y sin cos y y . 0
若θ=0，则
x 1 y 0
0 x x0 x x0 y y y y , 1 0 0
如图4.1,因为
e2
M
o
e1
o
e2
4
图4.1
OM OO' O' M
' ' ( x0e1 y0e2 ) ( x'e1 y'e2 )
x0e1 y0e2 x(a11e1 a21e2 ) y(a12e1 a22e2 )
x0 a11 x ' a12 y ' e1 ( y0 a21 x a22 y )e2
即
)2 ( 3 y)2 2z , ( 6x x 2 y 2 2 z . 1 2 6
故S是双曲抛物面。
19
例3 在平面右手直角坐标系中，方程
x y 1 4 9
x 2 x , 得方程 x 2 y 2 1 已不能 表示椭圆,作变换 y 3 y
平面上给了两个仿射坐标系 1 {O; e1 , e2 }, 2
标之间的关系.设 O 在 1下的坐标为 ( x0 , y0 ), e1 , e2 在 1 下的坐标分别是 (a11 , a21 ), (a12 , a22 ), 点M在 1 和 2 下 的坐标分别为( x, y ) 和( x , y ). e1
(1.2)
x x0 a11 a12 x a a y y0 21 22 y
二次曲面
7.9 二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.关于一般的三元方程0),,(=z y x F 所表示的曲面的形状，已难以用描点法得到，本节采用称之为截痕法的方式来研究二次曲面，即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合从而了解曲面的全貌.作为例子研究椭球面的方程1222222=++cz b y a x并化出其图形.(1) 对称性: 方程的图形关于各个坐标面及原点对称(2) 在坐标轴上的截距: 方程的图形在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别是c b a ±±±,,（c b a ,,分别称为椭球面的半轴）.并且由1,1,1222222≤≤≤cz b y a x 得方程的图形位于平面c z b y a x ±=±=±=.,为界的长方体内.(3) 在坐标面上的截痕: 方程的图形在xoy 面、yoz 面、xoz 面上的截痕分别为椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222z b y a x ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax (4) 平行截痕，研究与xoy 面平行的平面h z =（c h <）与方程图形的截痕，截痕曲线为 ⎪⎩⎪⎨⎧==++h z cz b y a x 1222222 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-hz c h b y c h a x 1)1()1(22222222这是一个在平面h z =上以221c h a -和221ch b -为半轴的椭圆.当h 由0逐渐增大时,两个半轴逐渐减少，当c h =时,截痕缩为一点.同样,分别讨论与yoz 面及xoz 面平行的平面与方程图形的截痕,它们也是椭圆.综合以上讨论可知，方程的图形如图7.40示,今后称这个曲面为椭球面. 当c b a ==时,椭球面变为球面.当b a =时椭球方程为122222=++cz a y x 它是椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax 绕z 轴旋转而成的旋转椭球面，它在平行于xoy 面的平面上的截痕都是圆（图7.40）除椭球面外，常见的二次曲面有以下几种.下面我们列出它们的标准方程与图. 1 椭圆抛物面（图7.41）pz by a x22222=+ )0,0,0(≠>>p b a2 单叶双曲面（图7.42）1222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a3双叶双曲面（图7.43）1222222-=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a4双曲抛物面（图7.44）pz by a x 22222=- )0,0,0(≠>>p b a5锥面（图7.45）0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a图7.40 图7.41图7。
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0 00
i, j, k在下的坐标分别为
(c11, c21, c31), (c12 , c22 , c32 ), (c13 , c23 , c33 )
则(i,
j, k)
(i,
c11 j, k ) c21
c12 c22
c13 c23
为了以后讨论的方便，我们引进一些记号：
F(x, y, z) ≡a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy
11
22
33
12
+ 2a xz + 2a yz + 2a x + 2a y + 2a z + a = 0
13
23
14
24
34
44
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
x
从而有：
y
x0 y0
c11 x c12 y c21x c22 y
c13 z c23z
z z0 c31 x c32 y c33z
记x ( x, y, z)T，x ( x, y, z)T , x0 ( x0 , y0 , z0 )T
x y
x0 y0
c11x c21x
c31 c32 c33
其中矩阵T (cij )称为从到的过度矩阵
任一点P在和下坐标分别是( x, y, z)，( x, y, z)
OP OO OP ( x0 i y0 j z0 k) ( xi y j zk) ( x0 i y0 j z0 k ) x(c11 i c21 j c31 k ) y(c12 i c22 j c32 k ) z(c13 i c23 j c33 k ) ( x0 c11 x c12 y c13z)i ( y0 c21 x c22 y c23z) j (z0 c31x c32 y c33z)k
x
移
轴公式为:
y
x y
x0 y0
z z z0
四、转轴变换
设 {O;i, j, k}及 {O;i, j, k}两个直角坐标系 新坐标系可以看成原坐标系绕原点O旋转， 使得i, j, k分别与i, j, k重合得到的， 这种坐标变换叫旋转变换，简称转轴
设i, j, k在直角坐标系Oxyz中的方向角分别为 i，i，i；i 1,2,3 i i cos 1 j cos1 k cos 1, j i cos 2 j cos2 k cos 2 , k i cos 3 j cos3 k cos 3;
第四章 二次曲面的一般理论
§4.1 空间直角坐标变换
一、一些常见的记号
在空间中,由三元二次方程
a11x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
表示的曲面叫二次曲面
其中aij为实常数，且a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零
a12 a13 a14
a22 a23 a24
a23 a33 a34
a24
a34 a44
a11 A* a12
a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
分别称为二次曲面F( x, y, z) 0和( x, y, z)的矩阵
利用矩阵法可以写成
a11 a12 a13 x ( x, y, z) ( x y z) a12 a22 a23 y
1111213 Nhomakorabea14
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
2
12
22
23
24
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
3
13
23
33
34
F (x, y, z) ≡a x + a y + a z + a
4
14
24
34
44
记Φ(x, y, z) ≡a x2 + a y2 + a z2 + 2a xy + 2a xz + 2a yz
11
22
33
12
13
23
Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
1
11
12
13
Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
2
12
22
23
Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
3
13
23
33
Φ (x, y, z) ≡a x + a y + a z
4
14
24
a13 a23 a33 z
a11 a12 a13 a14 x
F(x, y, z) (x
y
z
1)
a12
a13 a14
a22 a23 a24
a23 a33 a34
a24 y
a34 a44
z 1
二、直角坐标变换
设 {O; i, j, k}及 {O; i, j, k}
c12 c22
y y
c13z c23z
z z0 c31x c32 y c33z
可以化为x T x x0
两个式子 都称为点的 直角坐标变换公式
其中T
c11 c21
c12 c22
c13 c23
c31 c32 c33
c121 c221 c321 1, c11c12 c21c22 c31c32 0 c122 c222 c322 1, c12c13 c22c23 c32c33 0 c123 c223 c323 1, c11c13 c21c23 c31c33 0
六个关系式为正交的条件，则T也是正交矩阵 则T 1 T T
{O;i, j, k}及{O;i, j, k}都是右手系
(i, j, k) (i, j, k) 1 c11 c12 c13
det T c21 c22 c23 1 c31 c32 c33
三、移轴变换
设 {O;i, j, k}及 {O;i, j, k}空间两个直角坐标系 点O在下的坐标是( x0 , y0 , z0 ), 到的坐标变换称为平移变换，简称为移轴，
34
则F(x, y, z) ≡xF (x, y, z) + yF (x, y, z)
1
2
+ zF (x, y, z) + F (x, y, z)
3
4
Φ(x, y, z) = xΦ (x, y, z) + yΦ (x, y, z)
1
2
+ zΦ (x, y, z)
3
a11 a12 a13 a14
A