工程电磁场导论-第三章 恒定磁场
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电磁场之恒定磁场
l l'
Idl
(I 'dl' R2
eR )
注意
① 安培定律说明两载流元之间的作用力与两电流的乘积成 正比，与它们之间的距离成反比，方向为：
dl dl eR
② 电流回路之间的作用力满足牛顿第三定律：F12=F21
③ 式中0为真空中的磁导率，它与真空电容率和真空中光 速满足关系：
1T=104（GS）
磁感应强度 或磁通密度
F
B
Idl
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洛仑兹力
电流是电荷以某一速度运动形成的，所以磁场对 电流的作用可以看作是对运动电荷的作用。
dF Idl B dq (vdt) B dt
dF
洛仑兹力 F qv B
B
v
洛伦兹力与库仑力比较
① 洛仑兹力只作用于运动电荷，而库仑力作用于运动和静 止电荷。
B
0K
2
ex
0K
2
ex
y0
y0
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3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
Magnetic Flux Continue Theorem & Ampere’s Circuital Law 1. 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem )
定义穿过磁场中给定曲面S 的 磁感应强度B 的通量为磁通：
S
S
Jm M 体磁化电流
可以证明面磁化电流
Km M en
注意
磁化电流是一种等效电流，是大量分子电流磁效应的表示。
有磁介质存在时，场中的 B 是传导电流和磁化电流共同 作用在真空中产生的磁场。
电磁场理论_第三章_恒定电流的电场和磁场
共同之处。学习本节时，注意类比法的应用。 共同之处。学习本节时，注意类比法的应用。
• 恒定磁场的知识结构框图。 恒定磁场的知识结构框图。
安培定律） 基本实验定律 (安培定律） 安培定律 磁感应强度（ ）（毕奥 沙伐定律） 毕奥—沙伐定律 磁感应强度（ B）（毕奥 沙伐定律）
H 的旋度 基本方程
磁位( 磁位 ϕm ) J = 0 分界面上衔接条件 边值问题 数值法 有限差分法 电感的计算 有限元法
1.电流强度 电流强度 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
I= dq 的流动情况。 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况 并不反映电流在每一点的流动情况。 2. 恒定电场的基本物理量 恒定电场的基本物理量——电流密度 电流密度 为描述电流在空间每点的流动情况， 为描述电流在空间每点的流动情况，引入电流密度的概 电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中， 念。电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它 与电场强度方向一致， 与电场强度方向一致，大小等于垂直于其方向上单位面积上 的电流强度： 的电流强度： ∆I J = lim en A m2 ∆S→0 ∆ S ρ 分布的体电荷以速度 作匀速运动形成的运流电流。 分布的体电荷以速度v作匀速运动形成的运流电流。 作匀速运动形成的运流电流 其电流密度 电流
例如 两金属导体作为正负极板置于无限大电介质或导电媒 质中，可用静电比拟法计算两极板间的电导。 质中，可用静电比拟法计算两极板间的电导。 U0
I S G= = = U ∫ E ⋅ dl
l
∫ J ⋅ dS
σ∫ E ⋅ dS
S
∫ E ⋅ dl
l
G
C
=σ
ε
• 恒定磁场的知识结构框图。 恒定磁场的知识结构框图。
安培定律） 基本实验定律 (安培定律） 安培定律 磁感应强度（ ）（毕奥 沙伐定律） 毕奥—沙伐定律 磁感应强度（ B）（毕奥 沙伐定律）
H 的旋度 基本方程
磁位( 磁位 ϕm ) J = 0 分界面上衔接条件 边值问题 数值法 有限差分法 电感的计算 有限元法
1.电流强度 电流强度 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
I= dq 的流动情况。 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况 并不反映电流在每一点的流动情况。 2. 恒定电场的基本物理量 恒定电场的基本物理量——电流密度 电流密度 为描述电流在空间每点的流动情况， 为描述电流在空间每点的流动情况，引入电流密度的概 电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中， 念。电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它 与电场强度方向一致， 与电场强度方向一致，大小等于垂直于其方向上单位面积上 的电流强度： 的电流强度： ∆I J = lim en A m2 ∆S→0 ∆ S ρ 分布的体电荷以速度 作匀速运动形成的运流电流。 分布的体电荷以速度v作匀速运动形成的运流电流。 作匀速运动形成的运流电流 其电流密度 电流
例如 两金属导体作为正负极板置于无限大电介质或导电媒 质中，可用静电比拟法计算两极板间的电导。 质中，可用静电比拟法计算两极板间的电导。 U0
I S G= = = U ∫ E ⋅ dl
l
∫ J ⋅ dS
σ∫ E ⋅ dS
S
∫ E ⋅ dl
l
G
C
=σ
ε
工程电磁场-恒定磁场
例2 分析铁磁媒质与空气分界面情况。
μ0 α2
α1
μfe
铁磁媒质与空 气分界面
解：
tan 2
2 1
tan 1
0 fe
tan 1
0
2 0
表明 只要 1 90 ，空气侧的B
与分界面近似垂直，铁磁媒质表面
近似为等磁面。
2023/10/27
34/119
例 3 在两种媒质分界面两侧，
1 50，2 30
即 H2 H2yey H2xex 10ex 4ey A/m
B2 2H2 0(30ex 12ey ) T
M1 ∆l2
磁化电流是一种等效电流，是大量分子电流磁效应的表示。 有磁介质存在时，场中的 B 是传导电流和磁化电流共同 作用在真空中产生的磁场。
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4） 磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
电
偶
极
子
p qd
ρp - P p P en
电场与磁场
磁 偶
Jm M
极 子
Bx
0Ky 2
dx (x2 y2)
B
0K
2
ex
0K
2
e
x
y0 y0
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3.2 安培环路定律 Ampere’s Circuital Law 1. 真空中的安培环路定律
B dl l
l
0 I 2
e
dl
0I d l 2
0I
2
2
0 d 0 I
α
I dΦ
Bdl
解: 平行平面磁场，且轴对称，故
图3.2.19 磁场分布
电磁场 恒定磁场
• 恒定磁场中，可否引入类似电位这样的函数？或者说，
恒定磁场还有什么样的基本性质可以通过新的函数参量
表示出来？
工程电磁场导论：恒定磁场
3.4.1 磁矢位
• 回忆：静电场的基本特性
场论知识告诉我们：梯度的旋度恒等于零。 故此，可以定义
标量函数
称为电位，单位：伏（V）
注意电位具有不确定的特点，起源于梯度可以叠加任意 常数。为此，应用电位概念时一般需要指明电位的零点。
在界面上取矩形回路，如图。
回路上应用
有
是为
工程电磁场导论：恒定磁场 或者表为
• 特例：媒质 2 为真空。
此时， 于是
• 再次强调：磁介质对外场的响应，就是产生不为零的磁
化强度（磁化电流），表现为一个附加磁场。因此，计
算总磁场时，只要把磁化电流考虑进来，与其它电流一
起计算它们在真空中的磁感应强度即可。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
规律是什么呢？
首先，磁场中，与电场中点电荷地位相当的概念是什么？
•
我们定义元电流：
方向与电流一致！
元电流在磁场中的地位，与点电荷在电场中的相当。
•
注意：电荷可以以点的形式存在，但是电流必须构成闭合回路。
因此，除单个运动的电荷外，不能存在稳定的孤立元电流。
工程电磁场导论：恒定磁场
恒定磁场还有什么样的基本性质可以通过新的函数参量
表示出来？
工程电磁场导论：恒定磁场
3.4.1 磁矢位
• 回忆：静电场的基本特性
场论知识告诉我们：梯度的旋度恒等于零。 故此，可以定义
标量函数
称为电位，单位：伏（V）
注意电位具有不确定的特点，起源于梯度可以叠加任意 常数。为此，应用电位概念时一般需要指明电位的零点。
在界面上取矩形回路，如图。
回路上应用
有
是为
工程电磁场导论：恒定磁场 或者表为
• 特例：媒质 2 为真空。
此时， 于是
• 再次强调：磁介质对外场的响应，就是产生不为零的磁
化强度（磁化电流），表现为一个附加磁场。因此，计
算总磁场时，只要把磁化电流考虑进来，与其它电流一
起计算它们在真空中的磁感应强度即可。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
规律是什么呢？
首先，磁场中，与电场中点电荷地位相当的概念是什么？
•
我们定义元电流：
方向与电流一致！
元电流在磁场中的地位，与点电荷在电场中的相当。
•
注意：电荷可以以点的形式存在，但是电流必须构成闭合回路。
因此，除单个运动的电荷外，不能存在稳定的孤立元电流。
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场——恒定磁场——第2讲
式（1）代入式（2）
Az y
dy
Az x
dx
dAZ
0
AZ const
第三章
4、由微分方程求 A
恒定磁场
例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez，试 求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B。
解: 采用圆柱坐标系，A A ez 且 A f ()
2 A1
2 Ax Jx ; 2 Ay J y ; 2 Az Jz
令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为:
Ax 4π
J xdV ; V R
Ay 4π
J ydV ; V R
Az 4π
J zdV V R
矢量合成后，得
JdV
Adl 0 ,
l
有 A1t A2t (1)
与
E dl 0 ,
l
E1t E2t
对比，
图 磁矢位 A 的衔接条件
第三章
b) 围绕 P点作一扁圆柱，则
恒定磁场
S A dS V AdV 0
当 L 0 时， A1nS A2nS 0, A1n A2n (2)
0a 2 J 2
e
a a
第三章
3.5.3 磁矢位与电位的比较
位 函 数 电位
比较内容
(有源或无源）
引入位函数依据 E 0
位与场的关系 微分方程
位与源的关系
E
Q
p E dl
2
dV
V 4πr
恒定磁场
磁矢位A
F1x x
F1y y
00 0
第3章恒定磁场
I
i
i
I1 I 2
L 微分形式为
H = J
积分形式
S B dS 0 H dl I 0 l i
微分形式
B 0
H = J
根据亥姆霍兹定理，恒定磁场的性质是完全 由恒定磁场的散度和旋度确定。
物质的磁化和磁化强度
物质受到磁场的作用，便处于对外显示磁性的状态，称 为磁化。
0
B：磁感应强度 T H：磁场强度 A/m
I 是闭合回路l内包围的所有传导电流。
i
证明：
S
B dS 0
只讨论无界真空中的磁场。在直流回路L的磁场中任取一闭合曲面S，穿过S
面的磁通量为：
Idl Idl eR e dS B dS = 0 dS = 0 R 2 S S 4 C R2 C 4 S R 0 Idl 0 Idl 1 1 C 4 S R dS =C 4 S ( R n)dS
例题3.1.2 计算长度为l的直线电 流I的磁场。 解：采用圆柱坐标系。磁场的分 布具有轴对称性，可以只在φ等 于某一常数的平面内计算磁场。
0 B 4
0 B r 4
Idl er 0 l r 2 4
Idl r l r 3
l /2
e z Idz er r e z z z r z z rdz
第3章 恒定磁场
3．1 3．2 3．3 3．4 恒定磁场的基本规律 恒定磁场的边界条件 矢量磁位 标量磁位
3．5
3．6 3．7
电感
磁场的能量和力 恒定磁场的应用
电磁场第三章
本章内容
3.1 恒定电流场
3.2 恒定磁场的基本方程
3.3 磁介质中的恒定磁场
3.4 恒定磁场的能量
2
9
恒定电流场与静电场的比拟
恒定电场与静电场的比较
∫∫⋅=⋅=S d E S d J S
S v v v v v r v v σ导电媒质中两导体间的电导：
13
24
34
4. 磁导率
对于各向同性均匀磁介质，有
H
M m r v
χ=m χ——磁化率，无量纲常数
H
H H M H B r m v v v v v v μμμχμμ==+=+=∴000)1()(r μ——相对磁导率，无量纲；μ——磁导率（H/m ）
•对于大多数的非铁磁性物质，都有1≈r μ•
真空中，
0=m χ0=M v
•
磁介质中同样可以定义矢量磁位，使。
在
线性均匀各向同性介质中，若采用库仑规范，则
A v A
B v v
×∇=J
A v v μ−=∇2
⎪⎪⎪⎨⎧−==⇒2(0
e M M v v v πμμμφ
40
引入标量磁位后，能够较方便地求解无源区域的磁场。
还为求解永久磁体周围的磁场带来极大方便。
一般情况下，永久磁体的磁导率远大于空气的磁导率，此时，永久磁体表面是一个磁标位的等位面，因而，可用静电比拟法来求解磁场。
•
对非均匀磁介质，在无源区有
)(0=⋅∇+⋅∇=⋅∇M H B v
v v μM H v v ⋅−∇=⋅∇∴引入等效磁荷体密度：M
m v
⋅−∇=ρm
m ρϕ−=∇2
m H ρ=⋅∇v
则。
电磁场-恒定磁场
PN = r cosθ
x
N
φ'
M
y
eϕ
NM 2 = a 2 + (r sinθ ) 2 − 2a(r sinθ ) cosϕ'
2a a2 R = (r cosθ ) + a + (r sinθ ) − 2a(r sinθ ) cosϕ ' = r 1 − sin θ cos ϕ '+ 2 r r
2 2 2
电磁场与电磁波
矢量磁位
v u µ0 Idl ' v dA= 4π R
v v dl ' = adϕ ' eϕ
P
r
z
µ 0 Ia cos ϕ ' dAϕ = 2dA cos ϕ ' = dϕ ' 2πR µ 0 Ia π cos ϕ ' Aϕ = ∫0 R dϕ ' 2π
θ
R
a
r'
其中
R 2 = PN 2 + NM 2
u v ∇⋅B = 0
磁通连续性原理
上式称为磁通连续性原理 上式称为磁通连续性原理 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零， 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零，即磁通 穿过任意闭合面的磁通量恒为零 总是连续的，磁场线总是闭合曲线 闭合曲线。 总是连续的，磁场线总是闭合曲线。磁通连续性原理是磁 场的一个基本特征 基本特征。 场的一个基本特征。
2010-12-8
Page 16
合肥工业大学
电磁场与电磁波
矢量磁位
因为 将上式展开为泰勒级数， r >> a 将上式展开为泰勒级数，取前两项
a 1 1 ≈ (1 + sin θ cos ϕ ' ) R r r
x
N
φ'
M
y
eϕ
NM 2 = a 2 + (r sinθ ) 2 − 2a(r sinθ ) cosϕ'
2a a2 R = (r cosθ ) + a + (r sinθ ) − 2a(r sinθ ) cosϕ ' = r 1 − sin θ cos ϕ '+ 2 r r
2 2 2
电磁场与电磁波
矢量磁位
v u µ0 Idl ' v dA= 4π R
v v dl ' = adϕ ' eϕ
P
r
z
µ 0 Ia cos ϕ ' dAϕ = 2dA cos ϕ ' = dϕ ' 2πR µ 0 Ia π cos ϕ ' Aϕ = ∫0 R dϕ ' 2π
θ
R
a
r'
其中
R 2 = PN 2 + NM 2
u v ∇⋅B = 0
磁通连续性原理
上式称为磁通连续性原理 上式称为磁通连续性原理 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零， 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零，即磁通 穿过任意闭合面的磁通量恒为零 总是连续的，磁场线总是闭合曲线 闭合曲线。 总是连续的，磁场线总是闭合曲线。磁通连续性原理是磁 场的一个基本特征 基本特征。 场的一个基本特征。
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合肥工业大学
电磁场与电磁波
矢量磁位
因为 将上式展开为泰勒级数， r >> a 将上式展开为泰勒级数，取前两项
a 1 1 ≈ (1 + sin θ cos ϕ ' ) R r r
工程电磁场第3章 恒定磁场
根据对称性 ,By = 0
Bx
dx 2π ( x 2 y 2 ) 0 K ex y0 2 0 K ex y0 2
0 Ky
图3.1.5 无限大电流片及 B 的分布
B
第 三 章
恒定磁场
作业：
P95： 3－1－1（a）、（c）、（d）
第 三 章
恒定磁场
3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
图3.2.12 同轴电缆的磁 场分布
第 三 章
恒定磁场
第 三 章
恒定磁场
3. 介质的磁化（magnetization） 1）磁偶极子 磁偶极矩 m IdS Am2 m=IdS dS
图3.2.13 磁偶极子
2）介质的磁化
无外磁场作用时，介质对 外不显磁性， n
i 1
mi 0
mi 0
0 I (sin 1 sin 2 ) 4π
图3.1.2 长直导线的磁场
第 三 章
恒定磁场
例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为R的圆环，
试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。 解：元电流 Idl 在 P 点产生的 B 为
0 Idl e r ( Idl dB 2
l
安培环路定律 （自由电流）
第 三 章
恒定磁场
H dl I
l
安培环路定律
思考 图3.2.16 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？ 图3.2.17 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？ 有磁介质存在时，重答上问。
图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系
图3.2.17 H 的分布与磁介质有关
0 L I B dz L ( 2 z 2 )3 2 4π
电磁场与电磁波 第3章 恒定电流的电场和磁场
与
式(3-13)叫做欧姆定律的积分形式，它描述了一
电 磁
段导线上的导电规律，而微分形式的欧姆定律描述的
是导体内任意点的 J 与 E 的关系，它比积分形式更能
细致地描述导体的导电规律。注意，运流电流不遵从
波 欧姆定律。
焦耳定律
恒定电流的电场
1.焦耳热
当金属导体内部的自由电子在电场作用下定向运动
电 形成电流时，自由电子在运动过程中不断与金属晶格点
2. 微分形式
J 0
(3-20)
电 磁
E 0
(3-21)
场 与
电流密度 J 与电场强度 E 之间满足欧姆定律 J E。
由于恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位 , 使
得 E 。 在均匀导体内部(电导率为常数)，根据式
电 (3-18)和 J E 有：
磁 波
E ( )2 0
(3-22)
场
线上电流的强弱，单位时间内通过某导线横截面的电量
，即：
与 电
I limqdq t0 t dt
(3-1)
磁
波
2. 电流密度
电流强度只能描述一根导线上总电流的强弱，而不
恒定电流的电场
能描述导体截面某点的电流情况，故 引入电流密度的概
念。如图3-1所示的一段导体，设通过S的电流为I，则
电 该点处的电流密度 J 定义为：
磁
JlimI ndI n
(3-2)
场
S0S dS
与
电流密度是一个矢量，它的方向与导体中某点的正
电 磁 波
电荷运动方向相同，大小等于与正电荷运动方向相垂直 的单位面积上的电流强度，单位是安培/米2(A/m2)。
导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢
第3章 恒定电场和恒定磁场 电磁场课件
真空中的安培环路定律
Hdl JcdS
l
S
HJc
BH
磁通连续性原理
BdS 0
S
B0
安培力定律
f214 0l1l2I2dl2(R I12dl1R)
d2f1 I2dl2dB
dB40 I1dlR12 R
I1
eR dl1
dl2 R
I2
毕奥沙伐定律
R
P
B(r)
0
4l
IdlR rr2
r’
r
B(r)0 4S
A40 V
JdV R
对应面分布和线分布电流，分别得
A 0 4
S
KdS R
借助矢量磁位求磁通的计算式
A
0 4
l
Idl R
B dS A dS
S
S
Adl
l
【 例 】 空 气 中 长 度 为 2L 的 长 直 载 流
细导线在其中截面上的矢量磁位和
磁感应强度。
z
A Azez
0I 4
L
L
dz R
e
z
0I 4
第3章 恒定电场和恒定磁场
§3-1恒定电场的基本方程与场的特性
1.恒定电场的基本方程
由电荷守恒定律，可得 恒定电流连续性原理
导电媒质中恒定电场和静电场 一样，满足环路定理：
Jc dS 0
S
Jc 0
E dl 0
l
Jc E
引入标量电位函数(r) ，即
E
2 0
2.电功率 电动势
dt时间内有dq电荷自元电流
G I
JcdS EdS
S
S
U Edl Edl
U0
工程电磁场——恒定磁场——第3讲
l H dl I
磁通 匝数
（分数）
I
2 1
2
I H , 2 2 π1
dΦ B dS
0 I 2 π12
ld
I 2 N 2 I 1
图
1
同轴电缆截面
因此， i1
S
NdΦ 0
i1
I
2 12
0 I ld 2 2π1
mB ΦmB
DBC ln 2π DBD
DAD DBC M ln 2π DAC DBD
导线 B 作用： 合成后
0 I l
m mA mB
DAD DBC ln 2π DAC DBD
0 I l
0 l
第 三 章
恒定磁场
3.7.3 聂以曼公式 1、 求两导线回路的互感
图
线圈的自感
外自感
Φ 0 dl1 dl 2 L0 I 4π l2 l1 R
第 三 章
恒定磁场
3.8 磁场能量与力
3.8.1 恒定磁场中的能量 假设： • 媒质为线性；
• 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）； • 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能 量的建立过程无关。
第 三 章
0l 32
3 I N 2 2 I 3 2
' 2 2
图
同轴电缆
2 2 2 l l ( 2 3 0 3 0 3 2) ( 2 ) ln 2 2 2 2 2π 3 2 2 2π( 3 2 ) 8π( 32 2 )
2 0 I I 2 0 0 I I B1 ( e 1 e 2 ) 2π r1 r2
工程电磁场导论恒定磁场
可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场
的必要条件。
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2. 磁通连续性原理
根据 有
散度定理
表明磁感应线是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。
磁感应线穿过非闭合面 S 的磁通
单位：Wb (韦伯 )
3. 磁感应线 磁感应线方程
直角坐标系
图3.2.2 B 的通量
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磁感应线的性质： 磁感应线是闭合的曲线;
熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方 法。了解磁路及其计算方法。
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3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density 3.1.1 安培力定律 (Ampere’s Force Law )
两个载流回路之间的作用力 F
式中，
为真空中的磁导率
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
磁感应线不能相交；
图3.2.3 导线位于铁板上方
闭合的磁感应线与交链
的电流成右手螺旋关系；
磁感应强处 ，磁感应线 稠密，反之，稀疏。
图3.2.4 长直螺线管的磁场
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图3.2.5 一对反向电流传输线 图3.2.6 一对同向电流传输线
图3.2.7 两对反相电流传输线
图3.2.8 两对同向电流传输线
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例 3.3.3 在两种媒质分界面处，
面电流
A/m ，且
试求 B1，B2与 H2 的分布。
解:
， A/m，
即
图3.3.4 含有 K 的分界面 衔接条件
A/m T
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3.4 磁矢位及其边值问题
Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem
电磁场理论 第三章 恒定电流的磁场(2)
讨 （1） 0 x 论 0 I B 2R x （2） R
B
R
r
x
o
B *p x
I
（3）若线圈有 N 匝
B N 0 IR 2
0 IR2
3
2x 0 IS B 3 2π x
，
（x R ） 2 2
2 2
3
(1)
推
I (2)
R B x 0 o
I
R o×
B0
0 I
D
2
z r0 cot , r r0 / sin
dz r0d / sin
2
dz
B
dB
*
0 I
4 π r0
r
2
1
sin d
I
z
1
x
C
o r0
P
y
B 的方向沿 x 轴的负方向
0 I (cos1 cos 2 ) 4 π r0
B
0 I
B
a
L
a
b
c
d
B
B 0 nI
有限长的螺线管当 L>>R ，在 中部也有此结果
在端部
0 nI B 2
例题
R
求：均匀密绕螺线环的磁场（已知 中心半径R，总匝数N，电流强度I）
r 解：对称性分析——管内任意一个垂轴平 面都是对称面——磁感应线是一组同心圆
I
Bdl
L
0 NI
Idl
dB
r
dB
0 Idl sin
4π r2
dB
P*
I
Idl
电磁场导论 第3章 恒定电场
2
2
例3-1 铜和铝的电导率分别为 1=5.8107S/m和2=3.82107S/m， 介电常数102 ，铜中J1=1A/m 穿过分界面时与法线的夹角1=45 求：1）铝中的J2离开分界面时2=？ 2）分界面上的自由电荷密度。 解：
1 1=45 J1
2 J2 2 =？
A m2
分布的体电荷以速度v作匀速运动形成
I
S
J dS
2）电流线密度
分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流 K v Am
电流是积分量
I
(K e
l
n
)dl
e 是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量 n
工程意义： • 同轴电缆的外导体可视为电流线密度分布 • 媒质表面产生磁化电流可用电流线密度表示 • 高频电流的集肤效应可用电流线密度表示 3）线电流 分布的线电荷沿导线以速度 v 运动形成的电流
必须依靠非静电力将B极板的正电 荷抵抗电场力搬到A极板。这种提
供非静电力将其它形式的能量转为
电能装置称为电源。 电源内部局外场强 电源电动势
Ee dl
l
fe Ee q
恒定电流的形成
(V )
电源电动势与有无外电路无关，是表示电源本身的特征量
3.2.2
电场强度
考虑局外场强 Ee
J ( E Ee )
I v
4）元电流的概念： 元电流是指沿电流方向上一个微元段上的电流
vdq vdv, vds, vdl
Jdv, Kds, Idl
3.1.3 欧姆定律的微分形式 电场是维持恒定电流的必要条件，可以证明
J E
式中：为电导率，单位：西门子/米（S/m) • 恒定电流场与恒定电场相互依存，电流J与电场E方向一致 • 欧姆定律的微分形式，电路理论中的 U=RI 由它积分而得 1）在各向同性导电媒质中，电位移矢量D 线与电流密度J 线 方向是否一致？ 2）电流线密度 K E 是否成立？
电磁场理论 第三章 恒定电流的磁场(2)PPT课件
意曲面的电流的代数和的 倍0 。 L1 B空间所有电流共同产生的
I内 与L套连的电流
L2
Ii内 代数和
I2
i （与L绕行方向成右螺电流取正）
L B 1 d l 0I2I3
L B 2 dl0I1I2
36
37
38
39
安培环路定理的应用
例题
——用来求解具有高度对称的磁场
I
求：无限长直线电流的磁场
1
π 2
2 π
BP
0I
4 π r0
17
无限长载流长直导线的磁场
B 0I
2πr
I B
I XB
电流与磁感强度成右螺旋关系
18
例2 圆形载流导线轴线上的磁场.
解
BBxdBcos40
I
cosdl
r2
Idl
cossinRr
R
r
dB
B4π0IrR3
2πR
dl
0
o
x
*p
x
B
0IR2 （ 2 x2 R2）32
解：对称性分析——磁感应线是
躺在垂直平面上的同心圆，选环路
rB L B
LB dl0I dr//B
B d l B2r
B 0I 2 r
r
0
40
例题 r
求：无限长圆柱面电流的磁场
解：对称性分析——磁感应线是 躺在垂直平面上的同心圆，选环路
I
RL
LBdl
0I rR 0 rR
B d l B2r
B
20r IrR
107
108
7.磁场能量
109
110
111
112
第三章 恒定磁场3-7节
在矢量场中，要确定一个矢量，必须同时知道它的散 度和旋度。因此现在必须要规定的散度。为了简便，令： ∇ ⋅ A = 0 此式称为库仑规范。 则： 2 A = − µJ 上式为磁矢位满足矢量形式的泊松方程。它相 ∇ 当于三个标量形式的泊松方程。即：
∇ 2 Ax = − µJ x
∇ 2 Ay = − µJ y
∇ 2 Az = − µJ z
三、方程的解 上面三个方程的形式和静电场电位的泊松方程完全一样，因而解的形 式也应该一样，即 µ J x dV ' Ax = ∫ 4π V ' R
µ J y dV Ay = ∫ 4π V R
'
'
µ Az = 4π
J z dV ' ∫' R V
将上面三式合并，即得：
µ JdV ' A= ∫ 4π V R
二、互感 在线性介质中，由回路１的电流 I 1所产生而与回路２相交 链的磁链 ψ 21 和电流 I 1 成正比，即 ψ 21 = M 21 I1 ψ M 21 = 21 称为回路１对回路２的互感。
I1
同理 I 2 称为回路２对回路１的互感。 三、聂以曼公式 考虑两个由细导线构成的回路，设导线及周围媒质的磁导 率为 µ 0 。令回路１中通有电流 I 1 ，则回路１中电流 I 1 在 l 2处 产生的磁矢位为： µ 0 I 1 dl1 A1 = 4π ∫ R l1
B2 t
µ2
=K
H 如果分界面上无面传导面电流， 1t − H 2t = 0则说明 磁场强度的切向分量连续。 2．利用 ∫ B ⋅ ds = 0
− B1n ∆s + B2 n ∆s = 0
⇒ B1n = B2 n
.4 磁矢位
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定义穿过磁场中给定曲面S 的磁 感应强度B 的通量为磁通：
Φ sB dS
若S面为闭ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ曲面
Wb (韦伯)
Φ B dS 0
磁通连续 性原理
上页 下页
Φ B dS 0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头 无尾的闭合曲线，这一性质建立在自然界不存在磁荷的基 础上，原理适用于恒定磁场也适用于时变场。
体电流
B
0 4
V
J (r) eR dV R2
面电流
B
0 4
S
K (r) eR R2
dS
另几种元电流段Idl，JdV，KdS
上页 下页
例 试求长直载流导线产生的磁感应强度。
解 采用圆柱坐标系，取电流 I dz，
dB 0 Idl sinθ 4 R2
l tan dl ρ d cos2
与该点磁感应强度 B 的方向。
② 磁力线的疏密程度与磁感应强度的大小成正比。
磁力线的性质：
B线是闭合曲线； B线与电流方向成右螺旋关系；
B线不能相交 磁场强处，磁力线密集，否则稀疏。
上页 下页
B 线方程
B // dl B kdl or B dl 0
直角坐标系 Bx By Bz
第三章 恒定磁场
Steady Magnetic Field
重点：
1.磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念 2.恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件 3.磁位及其边值问题 4.电感、能量与力的计算
下页
引言
Introduction 1. 研究磁场的意义
客观意磁义现象是客观存在，是我们了解和认识 自然不可缺少的一部分。
Rcos R ρ cos
sin cos
B
0 I 1 4 2
ρ cos cos2
d
ρ2 / cos2
0I 1 cosd
4 2 ρ
0I 4
(sin
1
sin
2 )
当 L1 , L时2 ，
B
0I 2
理论意导义体中有电流，在导体内部和它周围的 媒质中就不仅有电场还有磁场，磁的本质是动电 现象，仅研究电场是不全面的。
工程意许义多工程问题与电流的磁效应有关，需 要知道磁场分布、磁力、电感的大小。
上页 下页
恒定磁场 当导体中通有恒定电流时，在空间产生不随时间 变化的磁场，称为恒定磁场。
研究恒定磁场的方法 分析恒定电流产生的恒定磁场与分析静止电荷产 生的静电场在思路和方法上有许多共同之处，可以 采用类比的方法。但由于磁是动电现象，因此与静 电场又有本质的不同，有其本身的特点，在学习中 必须掌握这些特点。
②由
B dS 0 散度定理
s
V BdV 0
B 0
表明恒定磁场是无源场可作为判断一个矢量场是否为 恒定磁场的必要条件。
③ 磁通连续性原理可以从毕奥—沙伐定律中导出
上页 下页
2. 磁力线
磁场分布可以用表示磁感应强度的磁力线来形 象的描述。规定：
① 磁力线是一些有方向的曲线，曲线上任一点的切线方向
B
0 4
Id
l
l eR R2
毕奥—沙伐 定律
注意 ① 毕奥—沙伐定律只适用于恒定磁场中
无限大均匀媒质。
上页 下页
② 毕奥—沙伐定律是重要的实验定律，它的重要性在于 定量的描述了电流和它产生的磁场之间的关系，进而 可以导出磁场的基本性质。
③ 对于体分布和面分布电流，毕奥—沙伐定律表述为：
c 1 μ0ε0
μ0 4π 107 H / m
上页 下页
2. 毕奥—沙伐定律 • 磁感应强度
从场的观点出发，认为电流之间的相互作用 力是通过磁场传递的。
F
μ0 4
l l'
Id
l
I 'd R2
l
eR
)
lId
l
(
μ0
4
l'
I
'd
l R2
eR
)
l
Id
l
B
得任一电流I在空间任意点产生的磁感应强度
e
上页 下页
例 无限大导体平面通有面电流 K ,K试0eˆ求z 磁感应
强度 B 分布。
解 取宽度 dx 的一条无限长线电流
dBx
0 K0dx 2
sin
0 K0dx 2
y
0K0 ydx 2(x2 y2 )
根据对称性, By = 0
Bx
0K0 y 2
② 洛仑兹力垂直于磁感应强度，而库仑力平行于电场强度
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
上页 下页
安培力定律 描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
F
0 4
l l'
Idl
(I 'dl' R2
eR )
上页 下页
F
0 4
dx dy dz
B
Idl
1T=104（GS）
上页 下页
洛仑兹力 电流是电荷以某一速度运动形成的，所以磁场对
电流的作用可以看作是对运动电荷的作用。
dF Idl B dq (vdt) B dt
dF
洛仑兹力 F qv B
B
v
洛伦兹力与库仑力比较
① 洛仑兹力只作用于运动电荷，而库仑力作用于运动和静 止电荷。
dx (x2 y2 )
B
0K0 2
ex
0 K0 2
ex
y0
y0
上页 下页
3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
Magnetic Flux Continue Theorem & Ampere’s Circuital Law
1. 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem )
上页 下页
3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density 1. 安培力定律 (Ampere’s Force Law )
安培经过大量的实验确定了磁场对一个恒定电流
元作用力的大小及方向：
磁感应强度
安培力 dF Idl B
或磁通密度
F
dF IdlBsin α
定义 B dFmax T Idl
l l'
Idl
(I 'dl' R2
eR )
注意
① 安培定律说明两载流元之间的作用力与两电流的乘积成 正比，与它们之间的距离成反比，方向为：
dl dl eR
② 电流回路之间的作用力满足牛顿第三定律：F12=F21
③ 式中0为真空中的磁导率，它与真空电容率和真空中光 速满足关系：
Φ sB dS
若S面为闭ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ曲面
Wb (韦伯)
Φ B dS 0
磁通连续 性原理
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Φ B dS 0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头 无尾的闭合曲线，这一性质建立在自然界不存在磁荷的基 础上，原理适用于恒定磁场也适用于时变场。
体电流
B
0 4
V
J (r) eR dV R2
面电流
B
0 4
S
K (r) eR R2
dS
另几种元电流段Idl，JdV，KdS
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例 试求长直载流导线产生的磁感应强度。
解 采用圆柱坐标系，取电流 I dz，
dB 0 Idl sinθ 4 R2
l tan dl ρ d cos2
与该点磁感应强度 B 的方向。
② 磁力线的疏密程度与磁感应强度的大小成正比。
磁力线的性质：
B线是闭合曲线； B线与电流方向成右螺旋关系；
B线不能相交 磁场强处，磁力线密集，否则稀疏。
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B 线方程
B // dl B kdl or B dl 0
直角坐标系 Bx By Bz
第三章 恒定磁场
Steady Magnetic Field
重点：
1.磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念 2.恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件 3.磁位及其边值问题 4.电感、能量与力的计算
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引言
Introduction 1. 研究磁场的意义
客观意磁义现象是客观存在，是我们了解和认识 自然不可缺少的一部分。
Rcos R ρ cos
sin cos
B
0 I 1 4 2
ρ cos cos2
d
ρ2 / cos2
0I 1 cosd
4 2 ρ
0I 4
(sin
1
sin
2 )
当 L1 , L时2 ，
B
0I 2
理论意导义体中有电流，在导体内部和它周围的 媒质中就不仅有电场还有磁场，磁的本质是动电 现象，仅研究电场是不全面的。
工程意许义多工程问题与电流的磁效应有关，需 要知道磁场分布、磁力、电感的大小。
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恒定磁场 当导体中通有恒定电流时，在空间产生不随时间 变化的磁场，称为恒定磁场。
研究恒定磁场的方法 分析恒定电流产生的恒定磁场与分析静止电荷产 生的静电场在思路和方法上有许多共同之处，可以 采用类比的方法。但由于磁是动电现象，因此与静 电场又有本质的不同，有其本身的特点，在学习中 必须掌握这些特点。
②由
B dS 0 散度定理
s
V BdV 0
B 0
表明恒定磁场是无源场可作为判断一个矢量场是否为 恒定磁场的必要条件。
③ 磁通连续性原理可以从毕奥—沙伐定律中导出
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2. 磁力线
磁场分布可以用表示磁感应强度的磁力线来形 象的描述。规定：
① 磁力线是一些有方向的曲线，曲线上任一点的切线方向
B
0 4
Id
l
l eR R2
毕奥—沙伐 定律
注意 ① 毕奥—沙伐定律只适用于恒定磁场中
无限大均匀媒质。
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② 毕奥—沙伐定律是重要的实验定律，它的重要性在于 定量的描述了电流和它产生的磁场之间的关系，进而 可以导出磁场的基本性质。
③ 对于体分布和面分布电流，毕奥—沙伐定律表述为：
c 1 μ0ε0
μ0 4π 107 H / m
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2. 毕奥—沙伐定律 • 磁感应强度
从场的观点出发，认为电流之间的相互作用 力是通过磁场传递的。
F
μ0 4
l l'
Id
l
I 'd R2
l
eR
)
lId
l
(
μ0
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I
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)
l
Id
l
B
得任一电流I在空间任意点产生的磁感应强度
e
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例 无限大导体平面通有面电流 K ,K试0eˆ求z 磁感应
强度 B 分布。
解 取宽度 dx 的一条无限长线电流
dBx
0 K0dx 2
sin
0 K0dx 2
y
0K0 ydx 2(x2 y2 )
根据对称性, By = 0
Bx
0K0 y 2
② 洛仑兹力垂直于磁感应强度，而库仑力平行于电场强度
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
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安培力定律 描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
F
0 4
l l'
Idl
(I 'dl' R2
eR )
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F
0 4
dx dy dz
B
Idl
1T=104（GS）
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洛仑兹力 电流是电荷以某一速度运动形成的，所以磁场对
电流的作用可以看作是对运动电荷的作用。
dF Idl B dq (vdt) B dt
dF
洛仑兹力 F qv B
B
v
洛伦兹力与库仑力比较
① 洛仑兹力只作用于运动电荷，而库仑力作用于运动和静 止电荷。
dx (x2 y2 )
B
0K0 2
ex
0 K0 2
ex
y0
y0
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3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
Magnetic Flux Continue Theorem & Ampere’s Circuital Law
1. 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem )
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3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density 1. 安培力定律 (Ampere’s Force Law )
安培经过大量的实验确定了磁场对一个恒定电流
元作用力的大小及方向：
磁感应强度
安培力 dF Idl B
或磁通密度
F
dF IdlBsin α
定义 B dFmax T Idl
l l'
Idl
(I 'dl' R2
eR )
注意
① 安培定律说明两载流元之间的作用力与两电流的乘积成 正比，与它们之间的距离成反比，方向为：
dl dl eR
② 电流回路之间的作用力满足牛顿第三定律：F12=F21
③ 式中0为真空中的磁导率，它与真空电容率和真空中光 速满足关系：