分块矩阵的若干应用

分块矩阵的若干应用

摘要：本文归纳了分块矩阵的一些应用,这些应用主要涉及到用分块矩阵计算行列式,求解逆矩阵,解线性方程组以及证明矩阵秩的不等式.

关键词：分块矩阵，行列式，可逆矩阵，线性方程组，秩

Abstract: This article summarizes the number of block matrix applications mainly related to the use of block matrix determinant calculation, solving the inverse matrix, solution of linear equations, as well as proof of the inequality rank matrix.

Key words: block matrix,determinant,invertible matrix,linear equations,rank

目录

1 引言 (4)

2 分块矩阵的应用 (4)

2.1 利用分块矩阵求n阶行列式 (4)

2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆 (6)

2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组 (10)

2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质 (11)

结论 (13)

参考文献 (14)

致谢 (15)

1 引言

矩阵的分块是处理级数较高的矩阵时常用的方法.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块[]1

.分块矩阵是矩阵论中重要内容之一.在线性代数中,分块矩

阵也是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化,而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.

矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律.为了研究问题的需要,适当对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚.运用矩阵分块的思想,可使解题更简洁,思路更开阔,在教学中有着非常广泛的应用,一些复杂的问题,经分块矩阵处理就显得非常简单.而在高等代数和线性代数教材中,这部分内容比较少,本文归纳并讨论了分块矩阵在行列式,矩阵的逆及解非齐次线性方程组等方面的一些应用.

2 分块矩阵的应用

行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.n 级行列式一共有!n 项,计算它就需要做()!1n n -个乘法.当n 较大时,!n 是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,因此我们有必要进一步讨论解行列式的方法.利用分块矩阵的方法]2[求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材中介绍的方法,多数为计算特殊形式的行列式,本文将在教材的基础上给出另外一些行列式的分块矩阵的解法.

2.1 利用分块矩阵求n 阶行列式

各高等代数教材主要介绍了用定义,性质,展开定理计算n 阶行列式.常用的技巧有递推

法,加边法等.但有些行列式计算起来仍很麻烦,下面给出运用分块矩阵计算n 级行列式的一种方法,该方法使n 阶行列式的求值更加简便易行.本文我们主要以⨯22分块矩阵为例. 命题1 设n 阶行列式W 分块为A B W C D ⎛⎫

=

⎪⎝⎭,则 （1） 当A 为r 阶可逆矩阵时, 1

A B W A D C A B

C

D

-==-;

（2） 当D 为n r -阶可逆矩阵时,1

A B W D A BD C

C

D

-=

=-.

证明

（1）由1

1

00r

r

n r n r E A B E A B C A

E C

D E ----⎛⎫

-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

=1

0A D C A B -⎛⎫

⎪-⎝⎭

, 得1

A B W A D C A B

C

D

-=

=-.

（2）由1

100

r

r

n r n r

E A B E

B D D C

E C

D E ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=100

A B D C D -⎛⎫

- ⎪⎝⎭

, 得1

A B W D A BD C C

D

-=

=-.

推论1 设,,A B C 都是n 阶方阵,且可逆,则

A B A D

D

=,

()

2

10

n

A B B C

C

=-.

推论2 设,A B 都是n 阶方阵,则有

A B A B A B

B A

=+-.

证明

A B A B B B

A

B A

A

-=-0

A B B A B A B

A B

-==+-+.

推论3 设,,,A B C D 都是n 阶方阵,则当AC CA =时,有

A

B AD

C B

C

D

=-,

当D B B D =时,有

A B D A BC C

D =-.

例1 计算行列式n

a c

a c

a c

b b b a P

0000321=,其中n i a i ,,3,2,0 =≠.

解 设()1a A =,()b b b =B ,()'

c c c

C

=,⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=n a a a D

0000032 .