龙泉中学、宜昌一中2021届高三2月联合考数学答案
恩施高中、龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级4月联合考试数学参考答案
x2 ) ．
因为
x1
( 4
, ) 2
，
2
x2
( 4
, ) 2
，
所以 x1 2 x2 ，即 x1 x2 2 ．………………………………………………………………12 分
过程中判断极值点的时候
x1
3
,
2
，
x2
3 2
,
5 3
也对．
，
所以
t1
是极小值点，不妨让
x1
t1
4
,
2
．……………………………………………………7
分
②当
x
(
, 3 )
时， cos x 0 ，所以 g(x)
1
cos x ex
1
ex
1
e 2
0；
22
2
2
2
故
g
x
在
2
,
3 2
上单调递增，没有极值点；……………………………………………………8
m n
mn
3
2
3 1 4
69 23
．…………………………………………………………11
分
4
由题知，二面角 B OM C 为锐二面角，
所以二面角 B OM C 的余弦值为 69 ．……………………………………………………12 分 23
20．解：（Ⅰ）恰好打了 7 局小明获胜的概率是 P1
，………………2 分
17．解：（Ⅰ）由 b a 2a c 得， a2 c2 b2 2ac ，………………………………2 分 c ab
所以 cos B a2 c2 b2 2 ，又 B 0, ，则 B 3 ．………………………………5 分
龙泉中学、宜昌一中2021届高三2月考物理学生答案
龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月联合考试物理详答一、选择题：本题共11小题，每小题4分，共44分。
1. 【答案】C【解答】A .根据E km =ℎv −W 0知，频率相同，从金属表面逸出的光电子最大初动能越大，金属的逸出功越小，故A 错误。
B .已知氢原子从基态跃迁到某一激发态需要吸收的能量为12.09eV ，用动能等于12.09eV 的另一个氢原子与这个氢原子发生正碰，能量部分被吸收，不能从基态跃迁到该激发态，故B 错误。
C .在原子核中，比结合能越大，原子核中的核子结合的越牢固，故C 正确。
D .铀核(92238U)衰变为铅核(82206Pb)的过程中，质子数少10，质量数少32，则中子数少22，故D 错误。
2. 【答案】B【解答】炸弹被投下后做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，则： 根据ℎ=12gt 2得：t =√2ℎg炸弹平抛运动的水平距离为：L =v 0t =v 0√2ℎg则知，若战斗机水平飞行高度变为原来的2516倍，飞行速度变为原来的54倍，所以飞机投弹时离目标的水平距离应为2516L ，故B 正确。
3. 【答案】A【解答】AD 、根据图象可知，从x 1到x 3过程中，粒子先加速后减速，所以电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增加，到x 2处，电势能最小根据E p =qφ可知，粒子带负电，所以电势先升高后降低，故A 正确，D 错误；B 、因为qE =ma ，所以电场强度和加速度大小成正比，方向相反，所以在x 1和x 3处，电场强度大小相等，方向相反，故B 错误；C 、根据运动学公式可知v 2=2ax 可知，a −x 图象的面积表示v 22，所以粒子经x 1和x 3处，速度大小相等，方向相同，故C 错误；4. 【答案】D【解析】解：因为B 点距两波源距离一样，而两波源的相位相反，所以在B 出叠加总是相互减弱。
由振动方程可知，周期为T =2ππs =2s ，波长为λ=vT =2m ，C 距两波源的距离差为△s =1m =12λ而两波源的相位相反，所以在C 点振动总是加强的。
湖北省十一校2023届高三第二次联考 化学试题(带答案)
鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 龙泉中学 武汉二中 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 宜昌一中夷陵中学2023届高三湖北十一校第二次联考化学试题可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 N 14 Na 23 Al 27 Ca 40 Cu 64 Zn 65一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2022年我省重点建设计划超额完成任务．下列相关说法错误的是（ ） A ．第6代半导体显示器件使用的半导体材料是2SiO 晶体B ．耐水药用玻璃（由石英砂、纯碱、方解石等原料制得）属于硅酸盐材料C ．新冠灭活疫苗应冷藏保存D ．电动汽车使用的锂电池属于二次电池2．茶叶经过高温“杀青”生成清香味的反式青叶醇，转化过程为：下列说法正确的是（ ） A ．青叶醇的分子式为610C H OB ．青叶醇分子中含有极性键、非极性键和氢键等化学键C ．反式青叶醇能与2Br 发生加成反应，且产物中手性碳原子个数为2D ．反式青叶醇分子中共平面的原子数目最多为153．生产生活中蕴藏着丰富的化学知识．下列项目与所述的化学知识没有关联的是（ ）4．下列离子方程式正确且能准确解释相应实验现象的是（ ） A ．向苯酚钠溶液中通入少量2CO 气体溶液变浑浊：265226532C H O CO H O 2C H OH+CO --++B ．NaClO溶液与2FeI 溶液反应溶液变红棕色：2322ClO 2Fe H O2Fe 2Cl 2OH -++--++++C ．向()3FeSCN 溶液中滴加NaF 溶液，红色褪去：336Fe 6F [FeF ]+--+D ．向淀粉KI溶液中通入2SO ，溶液变蓝并产生淡黄色沉淀：222SO 4I 4H S 2I 2H O -+++↓++5．下列实验操作、现象与结论相匹配的是（ ）6．A N 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（ ） A ．2.8g CO 和2N 的混合气体中含有的孤电子对数为A 0.2NB ．()+331mol Cu NH CO ⎡⎤⎣⎦中σ键的个数为A 10N C ．已知23Na HPO 为正盐，可知331mol H PO 含羟基数为A 3N D ．葡萄糖与新制的()2CuOH 反应生成21mol Cu O ，转移电子数为A N7．纳米2SiO 为无定形（非晶态）白色粉末，颗粒尺寸小、微孔多、比表面积大、对紫外线反射能力强等特点．下列关于纳米2SiO 的说法正确的是（ ）A ．对光有各向异性B ．熔点与晶体2SiO 相同C ．与晶体2SiO 互为同分异构体D ．可用X-射线衍射实验区分纳米2SiO 与晶体2SiO8．硫化亚砷()46As S 常用作颜料、还原剂和药物等，几乎不溶于水，易溶于氢氧化钠溶液，其反应方程式为： 4633332As S 12NaOH2Na AsO 2Na AsS 6H O +++．下列说法正确的是（ ）A ．该反应中有电子的转移B ．46As S 晶体中，46As S 的配位数为12C ．33Na AsO 溶液碱性比33Na AsS 强 D ．46As S 极性分子9．某记忆合金的晶体结构如图a 所示，晶胞结构如图b 所示．已知原子半径为Ni :130pm Mn :130pm 、、Ga :150pm ．下列说法错误的是（ ）A ．该物质的化学式为2Ni MnGaB ．与Ga 最邻近且距离相等的Ni 原子数是8C ．该晶体与金属钠含有相同的化学键D ．该晶胞的体积为2313021302150(pm ()2)⨯⨯⨯+⨯10．23βGa O -晶体是一种超宽禁带半导体材料．工业制法：将3GaCl 溶于热水中，加入碳酸氢钠的高浓度热溶液，煮沸至镓盐全部转变为()3GaOH 沉淀，用热水洗涤，然后于600℃灼烧，得到23βGa O -．下列说法正确的是（ ） A．生成()3Ga OH 沉淀的离子方程式为：()3232232Ga 3CO 3H O2Ga OH 3CO +-++↓+↑B ．用热水洗涤的操作是：用玻璃棒引流，向漏斗中加入热水至刚好浸没沉淀，待热水自然流下，重复操作2~3次C ．检验铵盐是否沉淀完全的方法：取少量滤液，滴加稀硝酸酸化，再加硝酸银溶液D ．灼烧需要的玻璃仪器有玻璃棒、试管和酒精灯11．某化合物结构如图所示．其中M X Y Z 、、、为原子序数依次增大的短周期非金属元素，X 是有机分子的骨架元素，W 基态原子的M 层为全充满、N 层只有一个电子．下列说法正确的是（ ）A ．原子半径： X Y Z >>B ．第一电离能： X Y M W >>>C ．该配合物中X 均满足8电子稳定结构D ．该配合物中X 的杂化类型有23sp sp 、12．在抗击新冠肺炎的过程中“合成材料”发挥了重要的作用．下列有关合成材料的说法正确的是（ ）A ．3CH CHOHCOOH 可通过缩聚反应生成可降解的绿色高分子材料B ．合成有机硅橡胶的单体是33CH HO Si OH CH ｜｜——，则有机硅橡胶是通过加聚反应制得的C ．合成酚醛树脂（）的单体是苯酚和甲醇D ．天然橡胶的主要成分聚异戊二烯不能使溴水褪色13．丙烯是重要的有机化工原料．一定条件下，丙烷直接脱氢制备丙烯的转化率和丙烯的选择性（n 100%n ()()⨯生成消耗丙烯丙烷）随时间的关系如下图所示．下列说法正确的是（ ）A ．丙烯的产率大于80%B ．该反应为氧化反应C ．催化剂可以降低反应的活化能，减小反应的焓变D ．其他条件不变，增大c （丙烷），可以加快反应速率，提高丙烷的转化率14．某液流电池工作原理如图．充电过程中，阳极会发生如下副反应：32222Mn 2H O Mn MnO 4H +++++↓+，加入少量Br -可将2MnO 还原为2Mn +，提高电池的能量密度和稳定性．下列说法正确的是（ ）A ．放电时，Cd 电极为负极，发生还原反应B ．放电时，2Cd +通过质子交换膜，向石墨电极移动C ．加入少量Br -后，经多次充放电，正极可能会发生3个以上不同的还原反应D ．加入少量Br -后，充电时，阳极生成3Mn +和阴极生成Cd 的物质的量之比为2：1 15．常温下，各种形态五价钒粒子总浓度的对数()lgc V ⎡⎤⎣⎦总与pH 关系如图所示．已知()242VO SO 是易溶于水的强电解质．下列说法错误的是（ ）A ．用稀硫酸溶解25V O 可得到()242VO SO 溶液B ．存在2224VO 2H OH VO 2H +-+++，若加入()242VO SO 固体，()24c H VO -一定增大 C ．若()lgc V 2pH 4=-=总、，五价钒粒子的存在形式主要为： 51028HV O -D ．若()lgc V 3pH 1=-=总、，加入适量NaOH ，可使2VO +转化为327H V O -二、非选择题：本题共4个小题，共55分．16．（14分）某小组探究+3+AgFe 、能否将I -氧化，甲同学设计了如下实验：（1）A 中反应的离子方程式为_________，说明氧化性：2FeI >．（2）乙同学认为：B 中溶液滴加淀粉溶液，未变蓝，原因是Ag I AgI +-+↓，于是设计了如下实验：①盐桥中电解质可以使用___________（填“KCl ”或“3KNO ”）．②K 闭合时，指针向右偏转，“石墨2”作______极，电极反应为______________③当指针归零后，向右侧烧杯中滴加31mol/L AgNO 溶液或向左侧烧杯中滴加1mol/L KI 溶液，指针均向右偏转，说明+Ag （或I -）浓度越大，溶液的氧化性（或还原性）越_______（填“强”或“弱”）． ③乙同学查阅资料，已知()16KspAgI 110-=⨯，当等体积等浓度KI 和3AgNO 溶液混合时，溶液中()()+c Ag c I -==_______mol/L ，溶液中()+c Ag 和()c I -很小，+Ag 氧化性和I -的还原性很弱，二者直接接触，不发生氧化还原反应．（3）丙同学测得30.1mol/L AgNO 溶液的pH 6=，认为可能是硝酸氧化了I -，请设计实验方案验证丙同学的猜想：_________________________17．（14分）化合物F 是一种优异聚集诱导发光材料，合成路线如下：回答下列问题：（1）A 的名称为___________________ （2）B 中官能团名称为__________________ （3）B →C 的反应类型是___________________（4）C →D 的化学反应方程式_____________________．（5）G 是D 的同系物，比D 少2个碳原子，满足该条件的G 的同分异构体有_______种（不考虑立体异构）．（6）制备B 过程中，有副反应发生，请写出22C H 和HCHO 反应生成1，4-丁炔二醇的化学方程式____________（7）科学家提出一种制备()322C C H O 的新工艺，原理为：2223223Cul CaC 2CO H O C H O CaCO ∆−+−−+→+乙腈、 该工艺的优点有____________________、________________________（写2条）。
龙泉中学、宜昌一中2021届高三2月联考政治答案
龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月联合考试政治参考答案1、C 【解析】向市场投放大量政府储备冻猪肉,增加猪肉的市场供给,其目的在于充分发挥供求机制的作用,有效保障居民的消费需求,①入选;按照低于市场零售价和“平进平出”的原则投放冻猪肉,有利手发挥供求机制的作用,稳定猪肉价格,保障群众的基本生活,③入选;②不是政府投放冻猪肉的目的,不选;材料强调的是政府的宏观调控指施,不是市场的决定作用,且供求影响价格,价值决定价格,④排除。
2、C【解析】支持民企参与重大铁路项目建设等，有利于各种所有制经济公平公正地参与市场竞争，取长补短、相互促进、共同发展，③④符合题意;这一举措与强化我国国有企业在新型基础设施建设中的作用无关，①不符合题意，题干未强调国有企业的混合所有制改革，②不符合题意3、A 【解析】商品和劳务的进口属于社会总供给，财政收入属于社会总供给，①③符合题意。
商品和劳务的出口属于社会总需求，财政支出属于社会总需求，②④排除。
故本题选A。
4、C【解析】开征资源税会增加企业资源开采、利用成本，倒逼企业推进技术进步，转变发展方式，从而提高资源综合利用率，促进资源节约，实现绿色发展，助力生态文明建设，C正确5、A 【解析】推进自由贸易试验区扩容,构建东西南北中协调、陆海统筹的新开放格局，有利于打造国际合作新平台，推动建设开放型经济①正确；此次自由贸易试验区扩容能够为我国加快形成以国内大循环为主体、国内国际双循环相互促进的新发展格局探索路径、积累经验，②正确；“逆全球化”的冲击是无法避免的，③说法错误；创新发展注重的是解决发展动力问题，而本题强调的是开放发展，④不选6、B【解析】相关部门开门问策、网络问计,这是基于信息是决策的基础,民意是正确决策的重要信息资源,我们要以政治参与的民主性托举起国家决策的科学性,②③符合题意;开展网上意见征求活动并没有创新公民的政治参与,且人民群众一直是决策主体,①错误;材料未强调规范决策机关的行为,④不选。
2021届湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中高三上学期9月联考数学试题(解析版) (1)
12．已知正数 ， ， 满足 ，下列结论正确的有（）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】设 ，求得 ， ， ，然后根据对数的运算法则和基本不等式判断各选项．
【详解】
设 ，则 ， ， ，
， ，
又 ，所以 ，
，而 ，所以 ，A错；
则 ，B正确；
，当且仅当 ，即 ，这个等式不可能成立，因此等号不能取到， ，即 ，C正确；
（2）将 代入，求得 ， ，裂项之后求和得结果.
【详解】
（1）选①：因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 .
选②：因为 ， ， 成等差数列，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
所以， ，
所以 .
【点睛】
本题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有三数成等差数列的条件，等比数列的通项公式，裂项相消法求和，考查学生的运算求解能力.
则下列结论正确的是（）
A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加
B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍
C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同
D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
【答案】AD
【解析】根据柱状图给定的信息，作差比较，即可求解.【详解】Fra bibliotek【详解】
（1）∵ 是定义域为 的奇函数，
龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月联合考试物理试题详答
龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月联合考试物理试题命题学校：宜昌市一中命题人：黄菁菁审题人：杨勇一、选择题：本题共11小题，每小题4分，共44分。
第1-7题只有一项符合题目要求，第8-11题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，选对但不全的得2分，选错的得0分。
1.根据近代物理知识，你认为下列说法中正确的是()A. 相同频率的光照射不同金属，则从金属表面逸出的光电子的最大初动能越大，这种金属的逸出功越大B. 已知氢原子从基态跃迁到某一激发态需要吸收的能量为12.09ev，则动能等于12.09ev的另一个氢原子与这个氢原子发生正碰，可以使这个原来静止并处于基态的氢原子跃迁到该激发态C. 在原子核中，比结合能越大表示原子核中的核子结合的越牢固D. 铀核(92238U)衰变为铅核(82206Pb)的过程中，中子数减少21个【答案】C【解析】根据光电效应方程，结合最大初动能的大小比较金属的逸出功；吸收光子能量发生跃迁，吸收的光子能量需等于两能级间的能级差；在原子核中，比结合能越大，原子核结合越牢固；根据电荷数和质量数的变化得出中子数的变化。
本题考查了光电效应、能级跃迁、比结合能等基础知识点，关键要熟悉教材，牢记这些基础知识点，对于光电效应和能级跃迁是高考的热点问题，需要理解记忆。
【解答】A.根据E km=ℎv−W0知，频率相同，从金属表面逸出的光电子最大初动能越大，金属的逸出功越小，故A错误。
B.已知氢原子从基态跃迁到某一激发态需要吸收的能量为12.09eV，用动能等于12.09eV的另一个氢原子与这个氢原子发生正碰，能量部分被吸收，不能从基态跃迁到该激发态，故B错误。
C.在原子核中，比结合能越大，原子核中的核子结合的越牢固，故C正确。
D.铀核(92238U)衰变为铅核(82206Pb)的过程中，质子数少10，质量数少32，则中子数少22，故D错误。
故选C。
2.我国首批隐形战斗机歼−20已形成初步战斗力。
2021届湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中高三下学期4月联考数学试题(解析版)
2021届湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中高三下学期4月联考数学试题一、单选题1．命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是（ ） A ．2,0x R x ∃∈≥ B ．2,0x R x ∀∈< C ．2,0x R x ∃∈< D ．2,0x R x ∃∈≤【答案】C【分析】利用全称命题的否定分析解答. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <. 故选：C2．已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是 A ．A C φ⋂= B ．AC C =C ．BC B =D ．A B C =【答案】C【分析】先求集合C ，再根据集合与集合的关系判断即可． 【详解】由题设，{0,2,4}C =，则B C ⊆，故B C B =选C .【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．3．数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，23a 是3a 与4a 的等差中项，则{}n a 的公比等于（ ）A ．2B ．32C ．3D【答案】A【分析】先根据等差中项的概念得到关于1,a q 的方程，结合0n a >可求解出q 的值.【详解】因为23a 是3a 与4a 的等差中项，所以3426a a a +=，所以231116a q a q a q +=，又因为10,0a q >≠，所以260q q +-=，所以2q 或3q =-，又因为0n a >，所以0q >，所以2q ，故选：A.4．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则直线m 与n 一定平行B ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则直线m 与n 可能相交、平行或异面C ．若m α⊥，//n α，则直线m 与n 一定垂直D ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则直线m 与n 一定平行 【答案】C【分析】根据已知条件判断各选项中直线m 、n 的位置关系，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则直线m 、n 相交、平行或异面，A 选项错误；对于B 选项，设直线m 、n 的方向向量分别为a 、b ，因为m α⊥，n β⊥，则a 为平面α的一个法向量，b 为平面β的一个法向量， 因为αβ⊥，则a b ⊥，即m n ⊥，但m 与n 不可能平行，B 选项错误； 对于C 选项，设直线m 、n 的方向向量分别为a 、b ， 因为m α⊥，则a 为平面α的一个法向量，//n α，则a b ⊥，即m n ⊥，C 选项正确；对于D 选项，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则直线m 与n 平行或异面，D 选项错误. 故选：C.【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．5．已知向量,a b 满足||1,(1,2)a b ==-，且||2a b +=，则cos ,a b 〈〉=（ ）A ．B ．C D【分析】由平面向量的数量积运算即可得出结果. 【详解】1,5a b ==，2222()4241+2+5=4a b a b a a b b a b +=⇒+=⇒++=⇒，所以1a b =-，cos ,15a b a b a b<>===⨯.故选：B.6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos 0b A c -<”，是“ABC 为锐角三角形”的（ ）条件 A ．充分必要 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】先化简cos 0b A c -<，再利用充分必要条件的定义分析判断得解. 【详解】ABC 中，cos c b A >， sin sin cos C B A ∴>，即sin()sin cos sin cos sin cos A B A B B A B A +=+>， sin cos 0A B ∴>，因为sin 0A >，cos 0B ∴>，所以B 为锐角.当B 为锐角时，ABC 不一定为锐角三角形；当ABC 为锐角三角形时，B 一定为锐角.所以“cos 0b A c -<”是“ABC 为锐角三角形”的必要非充分条件. 故选：C【点睛】方法点睛：判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件.7．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈．用该术可求得圆周率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（ ）A B ．3C ．D ．9【分析】先根据体积V 的近似公式2136V L h ≈，可求出π的近似值3，再根据所求圆锥的表面积，可列出等式关系，求出底面圆的半径，由该圆锥的底面直径和母线长相等，可求出圆锥的高，进而求出体积即可. 【详解】先求圆周率π的近似值：已知圆锥的底面周长L 与高h ，其体积V 的近似公式2136V L h ≈． 设底面圆的半径为r ，则2πL r =，可得2πL r =， 所以222111ππ332π36L V r h h L h ⎛⎫==≈ ⎪⎝⎭，整理得π3≈. 再来计算所求圆锥体积的近似值：该圆锥的底面直径和母线长相等，其表面积的近似值为27， 设该圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，高为h '，()()2211π2π32322722S R R l R R R =+⋅⋅≈+⋅⨯⋅=表，解得R =.又2R l =，所以3h '===， 所以所求圆锥体积211π333933V R h ''=⋅≈⨯⨯⨯=. 故该圆锥体积的近似值为9. 故选：D.8．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >> B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b >>【答案】A【分析】通过作差法先证明2a >，再根据2221351235121b a a >==++，可证明2b >，进而证明512013a a a -<+，可得到1313b a <，即可证明b a <.【详解】由题意，31333323log 92lo 12g 4log 9log 4log 4log 1log 4a =+=+=++，所以3322log 421log 4a -=+-+()333log log 1g 4144lo =+-，因为3log 41>，所以()333414log log 01log 4>+-，即2a >.所以2213512512169b a a >==++,即21313b >，再来比较,a b 的大小： 因为20a ->， 所以222512135144122511693a a a a a a ---++⨯-=⨯-⨯22212144122516913a a a ---<⨯-⨯+⨯221691216931a a --=-⨯⨯()2216912301a a --=-<，所以51213a a a <+，即1313b a <， 所以b a <.综上所述，2a b >>. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查比较大小.解题的关键是比较,a b 的大小，通过证明512013a a a -<+，可得到1313b a <，即可证明b a <.二、多选题9．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若|z 1－z 2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若|z 1|＝|z 2|，则2212z z =【答案】ABC【分析】对A ，由|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，再判断12z z =是否正确；对B ，由共轭复数的概念判断；对C ，可用12,z z 代数形式代入运算判断正误；对D ，可举反例，令121,z z i ==进行判断.【详解】对于A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以12z z =为真； 对于B ，若12z z =，则z 1和z 2互为共轭复数，所以12z z =为真； 对于C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，1122,,,a b a b R ∈,若|z 1|＝|z 2|=22221122a b a b +=+，所以2222111122z z a b a b ⋅=+=+=22z z ⋅，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对于D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而211z =，221z =-，所以2212z z =为假.故选：ABC.【点睛】本题考查了复数的概念，复数的运算，属于基础题.10．已知函数2()2sin cos =-f x x x x ，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 的对称中心的坐标是,0()26k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z B ．()f x 的图象是由2sin 2y x =的图象向右移6π个单位得到的 C ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()()g x f x =+在[0,10]内共有7个零点 【答案】ABD【分析】先运用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐一判断可得选项． 【详解】因为2()2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-+==- ⎪⎝⎭，所以对于A ：令2,3x k k Z ππ-=∈，得+,62k x k Z ππ=∈，所以()f x 的对称中心的坐标是,0()26k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，故A 正确； 对于B ：因为()2sin 22sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象是由2sin 2y x =的图象向右移6π个单位得到的，故B 正确； 对于C ：当03x π-≤≤时，所以233x πππ-≤-≤-，而当2233x πππ-≤-<-时，()f x 单调递增，故C 不正确；对于D ：令()()0g x f x ==，所以()f x =2sin 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭以3sin 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，在[0,10]内有51117023666x ππππππ=，，，，，，， 所以函数()()3g x f x =+在[0,10]内共有7个零点，故D 正确， 故选：ABD ．【点睛】关键点睛：解决三角函数性质相关问题时，关键在于运用三角恒等变换将函数的解析式化简为一个角一个三角函数名的形式，再运用整体代换的思想得以解决． 11．如图，点M 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）A ．存在无数个点M 满足1CM AD ⊥B ．当点M 在棱1DD 上运动时，1||MA MB +的最小值为31+C ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30 D ．满足1||2MD MD =的点M 的轨迹是一段圆弧 【答案】AD【分析】根据空间线面关系，逐个分析判断即可.【详解】对A ，若M 在1A D 上，此时必有1CM AD ⊥，证明如下：CD ⊥平面11ADD A ， 所以1CD AD ⊥，又11A D AD ⊥，所以1AD ⊥平面1A DC ， 所以1AD CM ⊥，所以A 正确；对B ，如图，旋转面11ADD A 使之与面11BB D D 共面，连接1A B '交1DD 于M ，此时1||MA MB +最短为1A B '，大小为422+，故B 错误，对C ，当M 在1A D 和1AD 交点处时，此时直线1B M 与CD 所成的角即直线1B M 与11A B 所成角， 此时此异面直线所成最小，其正切值为22， 即最小角大于30，故不存在，即C 错误， 对D ，在面11ADD A 上建立直角坐标系， 设111(,0),(,0)22D D -，设(,)M x y ，由1||2MD MD =整理可得：2251034x y x +-+=， 根据解析式可得M 的轨迹是圆的一部分，故D 正确， 故选：AD.【点睛】本题考查了空间几何体相关的线面关系，考查了线线垂直，异面直线所成角以及动点轨迹和最值问题，要求较高的空间想象能力和转化能力，属于难题. 本题的关键有：（1）转化思想的应用，根据两点之间线段最短求距离的最值； （2）异面直线所成角的平行转化法； （3）建系利用解析几何求动点轨迹.12．已知抛物线22x y =，点1(,1),,12M t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则下列结论正确的有（ ） A ．点P 的坐标为(0,1)B ．OA OB ⊥C ．MAB △的面积的最大值为33D ．||||PA PB 的取值范围是[2,23]+ 【答案】AC 【分析】由212y x =，可得y x '=，得到,A B 点处的切线的斜率分别为11k x =和22k x =，设过点(,1)M t -的切线方程为1()y k x t +=-，联立方程组，由由2220k tk ∆=--=，求得12122,2k k t k k +==-，根据124OA OB k k k k =，可判断B 不正确；由122ABx x k t +==，得出AB 的直线方程为222()2k y t x k -=-，将P 代入直线AB 的方程，可判定A 正确；设直线AB 的方程为1y tx =+，根据点到直线的距离公式和弦长公式，求得322(2)MABSt =+，可判定C 正确；由12PA kPB k =，结合韦达定理，得到2122122k k t k k +=--，得出不等式组，可判定D 不正确. 【详解】由题意，设221212(,),(,)22x x A x B x ，由212y x =，可得y x '=，所以A 点处的切线的斜率为11k x =，B 点处的切线的斜率为22k x =， 设过点(,1)M t -的切线方程为1()y k x t +=-，联立方程组21()2y k x t x y+=-⎧⎨=⎩，可得21102x kx kt -++=， 由222(1)220k kt k tk ∆=-+=--=，可得12122,2k k t k k +==-，又由221212120022,0202OAOB x x x x k k x x --====--，则12121442OA OB x x k k k k ===-， 所以,OA OB 不垂直，所以B 不正确；由22221221222ABx x x xk t x x -+===-，所以AB 的直线方程为222()2x y t x x -=-， 即222()2k y t x k -=-，将(0,1)P 代入直线AB 的方程，可得2221102k tk --=，由2220k tk --=知，方程2221102k tk --=成立，所以点P 在直线AB 上，所以A 正确；由点P 在直线AB 上，可设直线AB 的方程为1y tx =+，则点M 到AB的距离为d ==，且2121AB x k =-=-==，所以3221(2)2MABSAB d t =⋅=+， 因为1[,1]2t ∈，可得292[,3]4t +∈，所以MAB S的最大值为C 正确；由1122,PA PB ====，所以12PA kPB k =， 由12122,2k k t k k +==-，可得2212121221()22k k k kt k k k k +=++=-， 所以2122122k k t k k +=--，因为1[,1]2t ∈，可得2522[4,]2t --∈--， 又由1220k k =-<，设120k u k =<，可得15[4,]2u u +∈--， 即14152u u u u⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩，解得22u --≤≤-或122u -≤≤-即||||PA PB的取值范围是[2,2,2[123]-+-，所以D 不正确. 故选：AC.【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．三、填空题13．写出一个存在极值的奇函数()f x =_______________________． 【答案】sin x （不唯一） 【分析】举出正弦函数即可.【详解】由于正弦函数()sin f x x =为奇函数，且存在极值 故答案为：sin x14．二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为___________．【答案】60【分析】求出二项式展开式的通项，令x 的指数为0，即可求出常数项.【详解】二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式通项为()633622166122rrr r r r r r x T C C x---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令3302r -=，解得2r ，则常数项为()22261260C -⋅⋅=.故答案为：60.15．已知椭圆22122:1x y C a b +=与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，且两曲线在第一象限的交点为P ，若212PF F F ⊥，且2a b =，则双曲线2C 的离心率为_________．【分析】利用两曲线在第一象限的交点为P ，得到22b n a m =；又2a b =，进而得到2242221212()c m n c m ==-，转化为离心率的齐次式即得．【详解】由已知212PF F F ⊥可得点P x c =，代入22122:1x y C a b+=得出2P b y a =，即2(,)b P c a将P x c =代入22222:1(0,0)x yC m n m n -=>>得出2P n y m =，即2(,)n P c m．故22b n a m =．122b a b a =∴=22n b m∴= ．又椭圆22122:1x y C a b +=与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，故442222222241233,n n c m n a b b c e m m m+=-==⋅===， 故2242221212()c m n c m ==-．即422412251203e e e e -+=⇒=⇒=．． 16．已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第1n +次从与第n 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第4次取出的球是红球的概率为___________． 【答案】313625【分析】设第()N n n *∈次取出红球的概率为n P ，计算得出11255n n P P +=+，且135P =，根据递推公式逐项可计算得出4P 的值.【详解】设第()N n n *∈次取出红球的概率为n P ，则取出白球的概率为1n P -，考虑第1n +次取出红球的概率为1n P +.①若第n 次取出的球为红球，则第1n +次在红箱内取出红球的概率为35n P ； ②若第n 次取出的球为白球，则第1n +次在白箱内取出红球的概率为()215n P -. 所以，()1321215555n n n n P P P P +=+-=+，且135P =， 所以，2112132135555525P P =+=⨯+=，3212113263555255125P P =+=⨯+=， 因此，431263123135512555625P P =+=⨯+=.故答案为：313625. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用递推法求概率，关键就是分析出第1n +次与第n 次取出红球的概率之间的关系，再根据概率之间的概率得出递推公式求解.四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，且b a cc a b-+=+． （1）求B 的值；（2）若b =，求ABC 的面积的最大值．【答案】（1）34B π=；（2）2．【分析】（1）由已知等式得222a c b +-=，根据余弦定理有cos B =可求B 的值；（2）由余弦定理，结合基本不等式求ac 的范围，根据三角形面积公式有1sin 2S ac B =，即可求面积的最大值，注意等号成立的条件.【详解】（1）由b ac -=得：222a c b +-=，∴222cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，则34B π=． （2）∵2222cos b a c ac B =+-，∴22822222a c ac ac ac =++⨯≥+⨯，即4(2ac ≤-，当且仅当a c =时等号成立；∴ABC 的面积11sin 4(22222S ac B =≤⨯-⨯=-． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，1122n n S a +=+． （1）证明：数列{}2n S -为等比数列，并求出n S ； （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）证明见解析；1232n n S -=⨯+；（2）251883n n T -=-⨯．【分析】（1）由11n n n a S S ++=-带入1122n n S a +=+整理即可得解； （2）由（1）可得1232nn S -=⨯+，再利用n a 和n S 之间的关系，可得24,143,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，利用等比数列，直接求和即可得解. 【详解】（1）由已知()1122n n n S S S +=-+，整理得，134n n S S +=-， 所以()1232n n S S +-=-，当1n =时，121242S a =+=，所以{}2n S -是以122S -=为首项，3为公比的等比数列，所以1223n n S --=⨯，所以1232n n S -=⨯+；（2）由（1）知，1232n n S -=⨯+，当1n =时，114a S ==，当2n ≥时，2143n n n n a S S --=-=⨯，所以24,143,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，故21,14111,243n n n a n -⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当1n =时，114T =当2n ≥时，1212111111151431488313n n n n T a a a --⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++=+=-⨯-，对1n =也满足． 故251883n n T -=-⨯． 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，M 是棱PB 上的点，O 是AD 中点，且PO ⊥底面ABCD ，3OP OA =．（1）求证：BC OM ⊥；（2）若23 PM PB=，求二面角B OM C--的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）6923．【分析】（1）根据已知条件结合线面垂直的判定定理先证明BC⊥平面POB，然后即可证明BC OM⊥；（2）建立合适空间直角坐标系，先求解出平面OMC的一个法向量m，然后取平面MOB的一个法向量n，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角B OM C--的余弦值.【详解】解：（1）证明：在菱形ABCD中，3BADπ∠=，∴ABD△为等边三角形．又∵O为AD的中点，∴OB AD⊥，又∵//AD BC，∴OB BC⊥∵PO⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴OP BC⊥∵,,OP OB O OP OB=⊂平面POB，∴BC⊥平面POB∵M是棱PB上的点，∴OM⊂平面POB．∴BC OM⊥（2）∵PO⊥底面ABCD，OB AD⊥，∴建立如图所示空间直角坐标系O xyz-，设1OA=，则3==OP OB∵(0,0,0),(1,0,0),3,0),(3,0),3)O A B C P-，∴(3,0)OC=-．由223233PM PB==，得22333OM OP PB⎛=+=⎝⎭．设(,,)m x y z=是平面OMC的法向量，由OM mOC m⎧⋅=⎨⋅=⎩，得20,230,y zx y+=⎧⎪⎨=⎪⎩令1y=，则3,22x z==-，则322m⎛⎫=-⎪⎝⎭．又∵平面MOB 的法向量为(1,0,0)n =，∴cos ,||||3m nm n m n ⋅〈〉===． 由题知，二面角B OM C --为锐二面角， 所以二面角B OM C --的余弦值为23． 【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.20．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是23. （1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明6：2的比分领先，记X 表示结束比赛还需打的局数，求X 的分布列及期望. 【答案】（1）2081；（2）分布列见解析，()23681E X =. 【分析】（1）利用事件的独立性，分两种情况，恰 好打了7局小明获胜和恰好打了7局小亮获胜，再概率相加即可.（2）X 的可能取值为2，3，4，5，利用二项分布，分别求出其相应的概率，列出分布列即可.【详解】（1）恰 好打了7局小明获胜的概率是525416721152C 333P ⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 恰好打了7局小亮获胜的概率为252426721152333P C ⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴比赛结束时恰好打了7局的概率为5212715215220381P P P ⨯+⨯=+==. （2）X 的可能取值为2，3，4，5，()224239P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2312321283C 33327P X ⎛⎫==⨯⨯== ⎪⎝⎭，()2241434421113134C C 333381P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2341344521212485C C 3333381P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 或()334421885C 33381P X ⎛⎫==⨯⨯==⎪⎝⎭. ∴X 的分布列如下：()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率.21．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，离心率12e =，左、右焦点分别为1F 、2F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线(0)y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，连接11,AF BF 并延长交椭圆C 于D 、E 两点，连接DE ，求DEk k的值． 【答案】（1）22143x y +=；（2）53DE k k =． 【分析】（1）由P 在椭圆上，得到221914a b +=，再根据12e =和222a b c =+，求得,,a b c的值，即可求解；（2）设()00,A x y ，得到直线001:1x AD x y y +=-，联立方程组，结合2200143x y +=，求得010325y y x -=+，011011x x y y +=-，同理求得020352y y x =-，022011x x y y -=-，结合斜率公式，化简005533DE y k k x =⋅=，即可求解. 【详解】（1）由31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上22221x ya b+=，可得221914a b +=，又由离心率12e =，可得2a c =，且222a b c =+，解得2,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线001:1x AD x y y +=-， 代入22:143x y C +=，得()()2222000003146190x y y x y y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦， 因为2200143x y +=，代入化简得()()220000252130x y x y y y +-+-=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则2010325y y y x -=+，所以010325y y x -=+，011011x x y y +=-， 直线BE ：0011x x y y -=-，同理可得()()2222000003146190x y y x y y y ⎡⎤-+---=⎣⎦，化简得()()220000522130x y x y y y ----=，故2020352y y y x --=-，即020352y y x =-，022011x x y y -=-， 所以()12121200012012121212000000121111DE y y y y y y k x x x y y x y y x x y y y y y y y y y y y y ---====+-++---++⋅-又001200000120033225523352552y y y y x x x y y y y x x -+++-==----+-，00000015512335DE y k k x x x y y ==⋅=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以53DE k k =． 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数()sin x f x x e -=+． （1）求函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值； （2）证明：函数1()2()2x g x x e f x -=+-在(0,2)π有两个极值点12,x x ，并判断12x x +与2π的大小关系．【答案】（1）2e π-；（2）证明见解析；122x x π+>．【分析】（1）先求解出()f x '，然后再求解出()f x ''，通过()f x ''的取值正负判断出()f x '的单调性，再根据零点的存在性定理确定出()f x '的零点分布情况，由此确定出()f x 的单调性，结合所给区间即可求解出最大值；（2）先求解出()g x '，然后将区间()0,2π分成三段：0,2π⎛⎫⎪⎝⎭、3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭、3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，逐段分析()g x 的极值点并求解出极值点的范围，由此完成证明并判断出12x x +与2π的大小.【详解】解：（1）()cos ,()sin x xf x x e f x x e --''=-+'=-当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0,0x x e --≥>，则()0f x ''>，故()'f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又32230,(2)102f e f e ππππ--⎛⎫=-<=-⎪'⎭'>⎝，所以()'f x 在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一的零点t ． 当3,2x t π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<；当(),2x t π∈时，()0f x '>．故()f x 在3,2t π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在(,2)t π上单调递增， 且323120f e ππ-⎛⎫=-+⎪⎭<⎝，2(20)f e ππ-=>，所以()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为2e π-．（2）1()cos 2x g x x e -'=--， ①当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos ,xy x y e -=-=-均单调递增，所以()'g x 单调递增，又42110,04222g e g e ππππ--⎛⎫⎛⎫=--<=- ⎪ ⎪⎝⎭'⎝⎭'>，所以()'g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有唯一的零点1,42t ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 此时当()10,x t ∈时，()0g x '<；1,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， 所以1t 是极小值点，不妨让11,42x t ππ⎛⎫=∈⎪⎝⎭． ②当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x <，xy e -=-单调递增，所以2111()cos 0222xx g x x e e e π---'=-->->->；故()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，没有极值点； ③当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()sin ()x g x x e f x -''=+=．由（1）知，()f x 在3,2t π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在(,2)t π上单调递增， 且30,(2)02f f ππ⎛⎫<>⎪⎝⎭，故()g x ''有唯一的零点03,22t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则03,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，即()'g x 单调递减；()0,2x t π∈时，()0g x ''>，即()'g x 单调递增，又72437110,0,(2)024222g g e g e πππππ--⎛⎫⎛⎫>=--<=--< ⎪ ⎝''⎪⎭⎭'⎝，第 21 页 共 21 页 所以()'g x 在3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有唯一的零点237,24t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 此时23,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；()2,2x t π∈时，()0g x '<， 所以2t 是极大值点，即2237,24x t ππ⎛⎫=∈⎪⎝⎭， 所以()g x 在(0,2)π有两个极值点12,x x ，其中1,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，237,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 且12121cos 21cos 2x x x e x e --⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，由于12x x e e -->，所以()122cos cos cos 2x x x π<=-． 因为1,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22,42x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且cos y x =在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以122x x π>-，即122x x π+>． （判断极值点的时候1,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，235,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭也对．） 【点睛】思路点睛：利用导数求解函数最值的思路：（1）若所给的闭区间[],a b 不含参数，则只需对()f x 求导，并求()0f x '=在区间[],a b 内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与()(),f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（2）若所给的区间[],a b 含有参数，则需对()f x 求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数()f x 的最值.。
2023届高三全国学业质量联合检测2月大联考文科数学试题(含答案解析)
2023届高三全国学业质量联合检测2月大联考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，B 是偶数集，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,2-C ．{}0,2D ．{}2,0,2-2．已知复数z 满足i i 1zz +=-，则z 在复平面内所对应的点是（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,1--D ．33,55⎛⎫ ⎪⎝⎭3．函数()2exx xf x +=的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知点()1,1A ，()2,1B -，向量()2,1a =- ，()1,1b = ，则AB与a b - 的夹角的余弦值为（）A ．5-B ．5-C D 5．已知M 是双曲线C 上的一个动点，且点M 到C 的两个焦点距离的差的绝对值为6，C 的焦点到渐近线的距离为4，则C 的离心率为（）A ．35B ．53C ．45D ．546．某市2021年1月至2022年6月的平均气温折线图如图，则（）A ．平均高温不低于30C 的月份有3个B ．平均高温的中位数是21CC ．平均高温的极差大于平均低温的极差D ．月平均高温与低温之差不超过10C 的月份有5个7．若实数x ，y 满足约束条件10,20,0,x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =--的最大值为（）A ．4B．5C ．2D8．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．69．记数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+．若等比数列{}n b 满足11b a =，24b a =，则数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T =（）A ．332n-B ．1332n +-C ．1511623n -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭D ．111223n⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭10．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D ，E ，F 分别是1BB ，11B C ，1AA 的中点，M 是线段BF 上的动点，则下列结论中正确的个数是（）①1BF B C ⊥；②1//BF C D ；③11A E B C ⊥；④1//C M 平面1A DE ．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点12．已知三棱锥P －ABC 的所有顶点均在半径为2的球的O 球面上，底面ABC 是边长为3的等边三角形．若三棱锥P －ABC 的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r ，则r =（）A ．1B ．14C ．32D ．)3114二、填空题13．记函数()()n f x x nx n n *=+-∈N 在1x =处的导数为n a ，则()4216log a a =________．14．写出以原点为圆心且与圆C ：22430x y y +-+=相切的一个圆的标准方程为________．15．已知实数a ，b ，m ，n 满足20a b --=，240m n -=，则()()22m a n b -+-的最小值为________．三、双空题16．已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()222x xf x -=+，当0x <时，()22x x f x m n -=⋅+⋅，则m n +=________；若方程()()R f x a a =∈有两个不同的实数根，则a 的取值范围是________．四、解答题17．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．(1)求A ﹔(2)若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．18．2020年，教育部启动实施强基计划．强基计划聚焦国家重大战略需求，突出基础学科的支撑引领作用．三年来，强基计划共录取新生1.8万余人．为响应国家号召，某校2022年7月成立了“强基培优”拓展培训班，从高一入校时中考数学成绩前100名的学生中选取了50名对数学学科研究有志向、有兴趣、有天赋的学生进行拓展培训．为了解数学“强基培优”拓展培训的效果，在高二时举办了一次数学竞赛，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示．成绩不低于135分成绩低于135分总计参加过培训401050未参加过培训203050总计6040100(1)能否有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关？(2)从成绩不低于135分的这60名学生中，按是否参加过“强基培优”拓展培训采用分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的数学素养大赛，求这2人中至少有一人未参加过培训的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.82819．如图①，在平面四边形ABCD 中，2AB AD ==，BC CD ==60BAD ∠= ．将BCD △沿着BD 折叠，使得点C 到达点C '的位置，且二面角A BD C '--为直二面角，如图②．已知,,P G F 分别是,,AC AD AB '的中点，E 是棱AB 上的点，且C E '与平面ABD所成角的正切值为3．(1)证明：平面//PGF 平面C DB '；(2)求四棱锥P GFED -的体积．20．已知函数()()ln R f x x ax a =+∈，()f x 的导函数为()f x '．(1)讨论()f x 的极值点的个数；(2)当2a =时，方程()()()0f x f x m m '++=∈R 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．21．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点关于其准线的对称点为()3,0P -，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，且与E 有一个共同的焦点，线段1PF 的中点是C 的左顶点．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ．(1)求C 的方程；(2)证明：114F M AB=．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin xy αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()22sin sin 12m m θρθ⎛⎫+-=∈ ⎪⎝⎭R ．(1)写出1C 的普通方程；(2)若曲线1C 与2C 有两个交点,M N ，则当m 为何值时，MN 最大？并求出MN 的最大值．23．已知a ，b ，c 都是正实数，且3a b c ++=．证明：(1)3331113a b c ++≥；(2)()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭．参考答案：1．D【分析】利用偶数和交集的定义即可求解.【详解】因为在集合{}2,1,0,1,2A =--中，－2，0，2是偶数，所以{}2,0,2A B =- ．故选：D.2．B【分析】根据复数的运算求出z ，即可得出z 在复平面内所对应的点.【详解】由i i 1zz +=-，得()()()()i 1i 2i 1i 2i 2i 2z +++===--+13i 55--，所以z 在复平面内所对应的点是13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故选：B.3．C【分析】利用特殊值及极限思想即可分析得出.【详解】由1110242f ⎛⎫⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎭，故D 错误，当x →+∞时，()0f x →，A ，B 错误．故选：C.4．A【分析】由平面向量的坐标运算求得AB，a b - ，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．【详解】由题意，得()1,2AB =- ，()3,0a b -=-，则AB与a b - 的夹角的余弦值为()AB a b ABa b ⋅-==- ．故选：A ．5．B【分析】不妨设双曲线方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，表示出双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义得到3a =，再利用点到直线的距离公式求出b ，从而求出c ，即可得解.【详解】解：不妨设双曲线方程为22221x y a b-=()0,0a b >>，则双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，由双曲线的定义知，26a =，所以3a =，由双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为44b ==，所以5c =，所以C 的离心率53ce a==．故选：B 6．C【分析】根据折线图数据，结合中位数、极差的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，平均高温不低于30C 的月份有2021年6,7,8月和2022年6月，共4个，A 错误；对于B ，将各个月份数据按照从小到大顺序排序后，可得中位数为202120.5C 2+= ，B 错误；对于C ，平均高温的极差为36630C -= ，平均低温的极差为()24327C --=，则平均高温的极差大于平均低温的极差，C 正确；对于D ，月平均高温与低温之差不超过10C 的月份有2021年7,8,9,10月和2022年1,2月，共6个，D 错误.故选：C.7．C【分析】目标函数22z x y =--的几何意义是可行域内的点到直线l ：220x y --=的距离l 的距离最大的点，求解即可.【详解】由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．由点到直线的距离公可知，目标函数22z x y =--的几何意义是可行域内的点到直线l ：220x y --=数形结合可知，可行域内到直线l 的距离最大的点为()1,0A -，且点A 到直线l 的距离d ==则22z x y =--的最大值为4．故选：C.8．C【分析】列举出每次算法步骤，即可得出输出结果.【详解】执行第一次循环，[]3.141 3.14 5.14b =-+=，[]5.1414a =-=，2n =，5.14 1.14110.2850.0544b a -=-==>；执行第二次循环，[]41 5.148.14b =-+=，[]8.1417a =-=，3n =，8.14 1.14110.1630.0577b a -=-=≈>；执行第三次循环，[]718.1414.14b =-+=，[]14.14113a =-=，4n =，14.14 1.14110.0880.051313b a -=-=≈>；执行第四次循环，[]13114.1426.14b =-+=，[]26.14125a =-=，5n =，26.14 1.14110.04560.052525b a -=-==<，退出循环，输出5n =.故选：C.9．D【分析】由1113b a S ===，24439b a S S ==-=，求出等比数列{}n b 的公比q 及n b ，数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭也是等比数列，利用等比数列求和公式可求出答案.【详解】因为1113b a S ===，24439b a S S ==-=，所以等比数列{}n b 的公比3q =，所以1333n nn b -=⨯=，则113nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由11113n n b b +=⋅，可知数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项，13为公比的等比数列，所以111111333122313nnn T ⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭==-⋅ ⎪⎝⎭-．故选：D ．10．C【分析】连接1BC ，即可得到111A E B C ⊥，再由正三棱柱的性质得到1A E ⊥平面11BB C C ，即可得到11A E B C ⊥，从而得到1B C ⊥平面1A DE ，再由线面垂直的性质得到11B C A D ⊥，即可说明1BF B C ⊥，即可判断①、②、③，连接1C F ，通过证明平面1//A DE 平面1BFC ，即可说明④.【详解】解：连接1BC ，因为正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，所以111A E B C ⊥，11B C BC ⊥．又D ，E 分别是1BB ，11B C 的中点，所以1//DE BC ，所以1B C DE ⊥．因为11A E CC ⊥，1111B C CC C ⋂=，11B C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ．又1B C ⊂平面11BB C C ，所以11A E B C ⊥．又1DE A E E ⋂=，DE ，1A E ⊂平面1A DE ，所以1B C ⊥平面1A DE ．又1A D ⊂平面1A DE ，所以11B C A D ⊥．由题意知1//A F BD 且1A F BD =，所以四边形1A FBD 是平行四边形，所以1//BF A D ，所以1BF B C ⊥，故①、③正确；BF 与1C D 是异面直线，故②错误；连接1C F ，因为1//BF A D ，BF ⊂平面1BFC ，1A D ⊄平面1BFC ，所以1A D //平面1BFC 又1//DE BC ，同理可证//DE 平面1BFC ，又1A D DE D ⋂=，1,A D DE ⊂平面1A DE ，所以平面1//A DE 平面1BFC ．因为M 是线段BF 上的动点，所以1C M ⊂平面1BFC ，所以1//C M 平面1A DE ，故④正确．故选：C 11．D【分析】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断.【详解】因为()22sin tan cos sin sin tan 1sin 1cos xx x f x x x x x x =+=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin sin cos π,2x x x x k k ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以()()()22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x '=+-=-⋅+．当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得π3x =±，则当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．所以()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示．对A ，()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对B ，()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值，无极小值，B 错；对C ，()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为2M =，最小值为2m =，4M m +=-，C 错；对D ，()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点，D 对.故选：D.12．B【分析】设底面ABC 的中心为Q ，根据题意可知，当三棱锥P －ABC 的体积取得最大值时，PQ ⊥底面ABC ，求出体积的最大值，再利用等体积法求出内切球的半径即可.【详解】设底面ABC 的中心为Q ，连接BQ ，OQ ，则233BQ ==OQ ⊥底面ABC ，如图，延长QO 交球面于点P ，连接OB ，此时三棱锥P －ABC 的体积取得最大值，因为球O 的半径为2，所以2OB =，在Rt OQB 中，1OQ ==，所以三棱锥P －ABC 的体积的最大值为()213213V =⨯+=此时PB =所以2133312P ABCS -=+⨯⨯=，所以11434r =⨯⨯，解得r =故选：B.13．72【分析】求导后可得n a ，结合对数运算法则可求得结果.【详解】()1n f x nx n -'=+ ，()12f n '∴=，即2n a n =，()()274216427log log 432log 22a a ∴=⨯==.故答案为：72.14．221x y +=或229x y +=【分析】根据两圆内切与外切的条件求解即可.【详解】圆C ：22430x y y +-+=的圆心为()0,2，半径为1．因为两圆圆心距为2，故若两圆外切，则所求圆的半径为211-=，其标准方程为221x y +=；若两圆内切，则所求圆的半径为213+=，其标准方程为229x y +=．故答案为：221x y +=或229x y +=15．12##0.5【分析】根据实数满足的表达式，将表达式转化成直线和抛物线形式，求出解抛物线上到直线距离最近的点，即可求得()()22m a n b -+-的最小值.【详解】由题意知，(),a b 是直线l ：20x y --=上的点，(),m n 是抛物线21:4C y x =上的点，()()22m a n b -+-的几何意义是抛物线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．设0x y c -+=与抛物线相切，切点为0,0()P x y 则12y x '=，即0112x =，所以直线与C 切于点()2,1，所以()()22m a n b -+-的最小值为212=．故答案为：1216．5-()()5,44,5--È【分析】由()()f x f x -=-可求出m n +的值；画出()y f x =的图象，由方程()()f x a a R =∈有两个不同的实数根，即()y f x =的图象与y a =的图象由两个交点，结合图象即可得出答案.【详解】令0x <，则0x ->，所以()222x xf x -+-=+．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()222422x x x xf x +--=--=-⨯-，所以4m =-，1n =-，则5m n +=-，故()42,020,0,14202x x x x x f x x x ⎧+>⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-⋅+< ⎪⎝⎭⎩，当0x >时，()422xx f x =+，令2xt =，则()41y t t t=+>．因为当()0,1x ∈时，2x t =单调递增，且()1,2t ∈，此时4y t t=+单调递减，所以由复合函数的单调性可知()422xx f x =+在区间()0,1上单调递减；因为当()1,x ∈+∞时，2x t =单调递增，且()2,t ∈+∞，此时4y t t=+单调递增，所以由复合函数的单调性可知()422xxf x =+，在区间()1,+∞上单调递增．由奇函数图象的特点作出()y f x =与y a =的图象如下：由图知，若()f x a =有两个不同的实数根，相当于()y f x =与y a =有两个不同的交点，则54a -<<-或45a <<．故答案为：－5；()()5,44,5--È.17．(1)π3(2)2⎛ ⎝【分析】（1是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项可得2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求出A ﹔（2）由正弦定理表示出13sin 2tan a B C ⎛==+ ⎝，结合tan y x =的单调性即可得出答案.【详解】（1）是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项，所以2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式，得12sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．因为πA B C ++=，()sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，()sin cos 1sin A C A C =+．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =．（2）由正弦定理，得2πsin sin sin 3a b B C ==，所以2π3sin 2sin sin C B a B b CC ⎛⎫- ⎪⎝⎭===3cos 132sin 2tan C C C C+⎛==+⎝．因为ABC 是锐角三角形，所以2ππ032π0,2C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以ππ62C <<，所以tan C >所以sin a B的取值范围是⎝．18．(1)有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．(2)35【分析】（1）根据表中数据和参考公式代入计算并与6.635比较即可得出结论；（2）由分层抽样可知参加过培训的有4人，未参加过的有2人，列举出6人中随机抽取2人的所有基本事件，再选出符合条件的事件数即可求得结果.【详解】（1））根据列联表代入计算可得：()221004030201050604050503K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯16.667 6.635>，所以有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．（2）由题意可知，所抽取的6名学生中参加过“强基培优”拓展培训的有4人，记为1A ，2A ，3A ，4A ，未参加过“强基培优”拓展培训的有2人，设为甲、乙．从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}1,A 甲，{}1,A 乙，{}23,A A ，{}24,A A ，{}2,A 甲，{}2,A 乙，{}34,A A ，{}3,A 甲，{}3,A 乙，{}4,A 甲，{}4,A 乙，{},甲乙，共15个，其中至少有一人未参加过培训的基本事件有{}1,A 甲，{}2,A 甲，{}3,A 甲，{}4,A 甲，{},甲乙，{}1,A 乙，{}2,A 乙，{}3,A 乙，{}4,A 乙，共9个．故至少有一人未参加过培训的概率93155P ==．19．(1)证明见解析12【分析】（1）利用三角形中位线性质和线面平行的判定可证得//PG 平面C DB '，//PF 平面C DB '，由面面平行的判定可证得结论；（2）取BD 的中点M ，根据已知的长度关系和面面垂直性质可证得C M '⊥平面ABD ，结合线面角定义可得tan C EM '∠=由此可确定E 点位置，从而求得GFED S 四边形，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）,,P G F 分别为,,AC AD AB '的中点，//PG C D '∴，//PF BC '，,PG PF ⊄ 平面C DB '，,C D BC ''⊂平面C DB '，//PG ∴平面C DB '，//PF 平面C DB '，又PG PF P ⋂=，,PG PF ⊂平面PGF ，∴平面//PGF 平面C DB '.（2）取BD 的中点M ，连接,C M EM '，2AB AD == ，60BAD ∠= ，ABD ∴ 为等边三角形，2BD ∴=，又BC C D ''==222BC C D BD ''∴+=，C DB '∴ 为等腰直角三角形，112C M BD '∴==，C M BD '⊥；二面角A BD C '--是直二面角，即平面C DB '⊥平面ABD ，平面C DB '⋂平面ABD BD =，C M '⊂平面C DB '，C M '∴⊥平面ABD ，C EM '∴∠即为C E '与平面ABD 所成角，1tan 3C M C EM EM EM ''∴∠==，解得：2EM =；在EMB △中，由余弦定理得：2222cos60EM BM BE BM BE =+-⋅ ，即2314BE BE =+-，解得：12BE =，E ∴为线段AB 上靠近点B 的四等分点，111442ABD AGF BDE ABD ABD ABD ABD GFED S S S S S S S S ∴=--=--= 四边形211222=⨯⨯⨯111113232P GFED GFED V S C M -'∴=⨯⨯=⨯⨯四棱锥四边形20．(1)答案见解析(2)(),ln 25-∞-【分析】（1）对()f x 求导，分0a ≥和a<0，讨论()f x 的单调性，即可得出对应的极值点的情况；（2）当2a =时，方程()()()0f x f x m m '++=∈R 有两个不相等的实数根，化简为1ln 22m x x x -=+++，即y m =-与1ln 22y x x x =+++的图象有两个交点，令()1ln 22h x x x x=+++，对()h x 求导，得出()h x 的单调性及最值即可得出答案.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1f x a x'=+．当0a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()f x 无极值点；当a<0时，令()0f x '=，解得1x a=-，所以当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1a-1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()f x '＋0－()f x 单调递增极大值单调递减所以()f x 有一个极大值点，无极小值点．综上，当0a ≥时，()f x 无极值点；当a<0时，()f x 有一个极值点．（2）当2a =时，方程()()0f x f x m '++=，即1ln 220x x m x++++=，则1ln 22m x x x-=+++．令()1ln 22h x x x x =+++，0x >，则()()()22121112x x h x x x x +-'=+-=．令()0h x '=，解得12x =或=1x -（舍去）．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()min 15ln 22h x h x h ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，又x 趋近于0时()h x 趋近正无穷；x 趋近于正无穷时()h x 趋近正无穷，所以5ln 2m ->-，即ln 25m <-，故m 的取值范围是(),ln 25-∞-．21．(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意得332p-=-，从而得出椭圆C 的焦点()11,0F -，()21,0F ，由线段1PF 的中点为()2,0-求得2a =，23b =，可得C 的方程；（2）直线l 的斜率存在，设为k ，分两种情况讨论：当0k =时，直接验证结论；当0k ≠时，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出线段AB 的中点坐标，得到线段AB 的垂直平分线的方程，求得M 坐标及1F M ，利用弦长公式求得AB ，从而证得结论．【详解】（1）抛物线E 的焦点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于其准线2p x =-的对称点为3,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以332p-=-，即12p =．因为椭圆C 与抛物线E 有一个共同的焦点，所以()11,0F -，()21,0F ，所以线段1PF 的中点为()2,0-，所以2a =，222213b =-=．故C 的方程为22143x y +=．（2）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ．当0k =时，点A ，B 恰为椭圆C 的左、右顶点，y 轴为线段AB 的垂直平分线，()0,0M ，24AB a ==，11F M c ==，则114F M AB=．当0k ≠时，直线l 的方程为()1y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,x y ，(),0M M x ．联立()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()2222438430k x k x k +++-=，则2122843k x x k +=-+，()21224343k x x k -=+，所以212024243x x k x k +==-+，则()2002243114343k ky k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭．由题意知，线段AB 的垂直平分线的方程为()001y y x x k-=--，令0y =，得200243M kx x ky k =+=-+，则221223314343k k F M k k +=-+=++．又12AB x =-=()2212143k k +=+，所以114F M AB=．综上，114F MAB =．22．(1)()(2221x y -+-=(2)当2m =-时，max 2MN =【分析】（1）消去参数方程中的参数α即可得到普通方程；（2）根据极坐标与直角坐标互化原则可确定1C 为直线，则当直线过圆心时，MN 最大，由此可求得结果.【详解】（1）由2cos sin x y αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩得：()(2221x y -+-=，即1C 的普通方程为：()(2221x y -+-=.（2）由22sin sin 12m θρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得：()sin cos sin cos m ρθθρθρθ-=-=，2C ∴的直角坐标方程为：0x y m -+=；当0x y m -+=过圆1C 的圆心(时，MN 取得最大值，即MN 为圆1C 的直径，20m ∴=，解得：2m =，则当2m =时，max 2MN=.23．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元基本不等式依次证得01abc <≤与3331113a b c ++≥即可，要特别注意等号成立的条件；（2）利用基本不等式依次证得2223a b c ++≥与1113a b c++≥，从而证得()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，要特别注意等号成立的条件.【详解】（1）因为a ，b ，c 都是正实数，且3a b c ++=，所以3a b c =++≥01abc <≤，所以11abc≥，当且仅当a b c ==且3a b c ++=，即1a b c ===时，等号成立，故33311133a b c abc++≥≥，当且仅当333111a b c ==且1a b c ===，即1a b c ===时，等号成立，所以3331113a b c ++≥.（2）因为()()22222222223a b c a b c ab ac bc a b c ++=+++++≤++，3a b c ++=，所以2223a b c ++≥，当且仅当a b c ==且3a b c ++=，即1a b c ===时，等号成立；又()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭11113a a b b c c b c ac a b ⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭113a b c a c b b a a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦113⎛≥++ ⎝3=，当且仅当,,a b c a c b b a a c b c ===且3a b c ++=时，即1a b c ===时，等号成立，所以1113a b c++≥；故()2221119a b c a b c ≥⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b c ===时，等号成立.。
2021年2月湖北省龙泉中学、宜昌一中2021届高三毕业班联合考试物理试题(解析版)
绝密★启用前湖北省龙泉中学、宜昌一中2021届高三毕业班下学期2月联合考试物理试题(解析版)2021年2月一、选择题：本题共11小题，每小题4分，共44分。
第1-7题只有一项符合题目要求，第8-11题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，选对但不全的得2分，选错的得0分。
1.根据近代物理知识，你认为下列说法中正确的是()A. 相同频率的光照射不同金属，则从金属表面逸出的光电子的最大初动能越大，这种金属的逸出功越大B. 已知氢原子从基态跃迁到某一激发态需要吸收的能量为12.09ev，则动能等于12.09ev的另一个氢原子与这个氢原子发生正碰，可以使这个原来静止并处于基态的氢原子跃迁到该激发态C. 在原子核中，比结合能越大表示原子核中的核子结合的越牢固D. 铀核(92238U)衰变为铅核(82206Pb)的过程中，中子数减少21个【答案】C【解析】根据光电效应方程，结合最大初动能的大小比较金属的逸出功；吸收光子能量发生跃迁，吸收的光子能量需等于两能级间的能级差；在原子核中，比结合能越大，原子核结合越牢固；根据电荷数和质量数的变化得出中子数的变化。
本题考查了光电效应、能级跃迁、比结合能等基础知识点，关键要熟悉教材，牢记这些基础知识点，对于光电效应和能级跃迁是高考的热点问题，需要理解记忆。
【解答】A.根据E km=ℎv−W0知，频率相同，从金属表面逸出的光电子最大初动能越大，金属的逸出功越小，故A错误。
B .已知氢原子从基态跃迁到某一激发态需要吸收的能量为12.09eV ，用动能等于12.09eV 的另一个氢原子与这个氢原子发生正碰，能量部分被吸收，不能从基态跃迁到该激发态，故B 错误。
C .在原子核中，比结合能越大，原子核中的核子结合的越牢固，故C 正确。
D .铀核(92238U)衰变为铅核(82206Pb)的过程中，质子数少10，质量数少32，则中子数少22，故D 错误。
故选C 。
2. 我国首批隐形战斗机歼−20已形成初步战斗力。
湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级4月联合考试数学试题
O(0,0,0) ， A(1, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， C(2, 3, 0) ， P(0, 0, 3) ，
OC
(2,
3, 0) .
由 PM
2 PB 2 33
0,
3,
3，
得 OM
OP
2 3
PB
0,
2
3 3
,
3 3
.…………………………7
12．已知抛物线 x2 2 y ，点 M (t, 1), t 1 , 1 ，过 M 作抛物线的两条切线 MA , MB ， 2
其中 A , B 为切点，且 A 在第一象限，直线 AB 与 y 轴交于点 P ，则下列结论正确的有
A．点 P 的坐标为 0, 1
B． OA OB
C． MAB 的面积的最大值为 3 3
18．（本小题满分 12 分）
已知数列 an
的前
n
项和为
Sn
，
a2
4
，
Sn
1 2
an1
2
．
（Ⅰ）证明：数列Sn 2 为等比数列，并求出 Sn ；
（Ⅱ）求数列
1 an
的前
n
项和
Tn
．
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD ，M 是棱 PB 上的点，O 是 AD 中
恰好打了 7 局小亮获胜的概率为 P2
，…………………………………4 分
∴比赛结束时恰好打了 7 局的概率为 P＝P1+P2 （Ⅱ）X 的可能取值为 2，3，4，5，
P（X＝2）
， P（X＝3）
．………………………5 分 ，
湖北省宜昌市2021届高三上学期二月联考数学试题 Word版含答案
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 ，且 ，求证： ．
2021年宜昌市高三年级二月联考
数学试卷（答案版）
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩 占近似服从正态分布 ，且 ．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（）
A.100B.125C.150D.175
3.已知双曲线 的一条渐近线过点 ，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
4.若两个非零向量 、 满足 ，则 与 夹角为（）
A.
B.当 时，三棱锥 外接球的表面积为
C.当 时，三棱锥 的体积为
D.当 时，点 到平面DEF的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知 是虚数单位，则 __________．
14.若函数 的图像过定点P，且点P在幂函数 的图像上，则 __________．
15.若一个圆的圆心是抛物线 的焦点，且该圆与直线 相切，则该圆的标准方程为__________．过点 作该圆的两条切线 ，切点分别为 ，则直线 的方程为__________．
A.30B.20C.12D.10
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．
9.下列命题中，正确的命题有（）
A.函数 与 是同一个函数
B.命题“ ， ”的否定为“ ， ”
2021届湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中高三9月联考数学试题及答案
绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}12|0|log 0U x x M x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭，，则U M =C A.(,1]-∞ B.(1,)+∞ C.(0,1] D.[1,)+∞ 2．己知a b c >>0,>1，则下列各式成立的是 A ．ln ln a b < B ．cca b <C.a bc c >D ．11c c b a--<3．已知函数()24x xx f x =-，则函数()11f x x -+的定义域为A.(),1-∞B ．(),1-∞- C.()(),11,0-∞-⋃- D.()(),11,1-∞-⋃-4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为A.15B.725C.825D.255．设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<其中，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知函数2()ln(1)f x x x =++，若正实数 a b ,满足(4)(1)0f a f b +-=，则11a b+的最小值为 A.4B.8C.9D.137.若函数()f x 对,R a b ∀∈，同时满足：（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=；（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的为①()sin f x x x =-，②()0,01,0x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，③()e +e x xf x -=，④()f x x x =A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8．定义:若函数()y f x =在区间[,]a b 上存在()1212,x x a x x b <<<,满足()1()()'f b f a f x b a-=-,()2()()'f b f a f x b a -=-,则称函数()y f x =是在区间[,]a b 上的一个双中值函数.已知函数326()5f x x x =-是区间[0,]t 上的双中值函数,则实数t 的取值范围是A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C.23,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.某地某所高中2020年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2020年的高考升学情况，得到如下柱图,则下列结论正确的是2016年高考数据统计2020年高考数据统计A.与2016年相比，2020年一本达线人数有所增加B.与2016年相比，2020年二本达线人数增加了0.5倍C.与2016年相比，2020年艺体达线人数相同D.与2016年相比，2020年不上线的人数有所增加 10.若()()20212320210123202112x a a x a x a x a x x R -=++++⋅⋅⋅+∈，则A.01a =B.20211352021312a a a a ++++⋅⋅⋅+=C.20210242020312a a a a -+++⋅⋅⋅+=D.320211223202112222a a a a +++⋅⋅⋅+=- 11．已知定义(,)()(2),f x f x -∞+∞=-的奇函数，满足若(1)1,f =则 A ．(3)1f = B.4()f x 是的一个周期C.(2018)(2019)(2020)1f f f ++=-D.()f x 的图像关于1x =对称12．3212,y z==x 已知正数x,y,z 满足下列结论正确的有A.623z y x >>B.121x y z+= C.(322)x y z +>+ D.28xy z >三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若“[]1,20x x a ∃∈+≤，”是假命题，则实数a 的取值范围是__________． 14.已知()f x 为偶函数,当0x <时,ln()()x f x x-=,则曲线()y f x 在点(1,0)处的切线方程是 .15.5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________.(用数字作答)16.已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=1212xxxxexxf x，则方程2021()=2020f x的实根的个数为；若函数1))((--=axffy有三个零点，则a的取值范围是．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设数列{}n a的前n项和为n S，在①234,,4a a a-成等差数列.②123+,,2SS S成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答.在公比为2的等比数列{}n a中，(1)求数列{}n a的通项公式;(2)若2(1)log,n nb n a=+求数列2222nn nb⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n项和.n T（注：如选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）18．（本小题满分12分）已知定义域为R的函数()(1)x xf x a k a-=--(0a>且1)a≠是奇函数．（1）求实数k的值；（2）若(1)0f<，求不等式2()(4)0f x tx f x++-<对x R∈恒成立时t的取值范围.19．（本小题满分12分）为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1：4，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上含的作文获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c构成以2为公比的等比数列．求a，b，c的值；填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关？文科生理科生合计获奖 6不获奖合计400从获奖的学生中任选2人,求至少有一个文科生的概率.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．k20．（本小题满分12分）一动圆与圆1)1(:1=+-yxO外切，与圆9)1(:222=++yxO内切；(1)求动圆圆心M的轨迹L的方程．(2)设过圆心1O的直线1:+=myxl与轨迹L相交于A、B两点，请问2ABO∆（2O为圆2O的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）某科技公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需要的费用为500元.（1）求系统G不需要维修的概率；（2）该电子产品共由3个完全相同的系统G组成，设Y为电子产品需要维修的系统所需的费用，求Y的分布列与数学期望；（3）为提高系统G正常工作概率，在系统G内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？22．（本小题满分12分）已知函数axxexf x+=)(，Ra∈．(1)设)(xf的导函数为)('xf，求)('xf的最小值；(2)设xaxaxaxxg a)1(lnln)(-++=，当),1(+∞∈x时，若)()(xgxf≥恒成立，求a的取值范围．龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020年秋季学期高三九月联考数学参考答案一、单项选择题：1-4DCDB5-8ACDA二、多项选择题：9.AD10.ACD11.BCD12.BCD 三、填空题:13．()-1+∞，14．-10xy15．31016．3，11(1,1)(2,3]3ee ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭(第一空2分，第二空3分)四．解答题17．解：（1）选①：因为，，成等差数列，所以，所以，解得，所以．……………………………………………5分选②：因为123+,,2S S S 成等差数列，所以()213322+2+4==+S S a a S ，即，所以11+42=4a a ，解得，所以．…………………………………………………5分（2）因为，所以，所以，22222112()(1)1n n n b n n n n +==-++………………………………………………………8分 所以1111121+-+......+223n 1n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+……………………10分 18．解：(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴00(0)(1)1(1)0f a k a k =--=--=∴2k =.…………………………………………4分经检验：2k =时，()x xf x a a -=-(0a >且1)a ≠是奇函数．故2k =……………………5分（2）()(>01)xxf x a a a a -=-≠且10,1,0,01,0)1(<<∴≠><-∴<a a a aa f 且又 ，…………………………………7分 而x y a =在R 上单调递减，xy a -=在R 上单调递增，故判断()xxf x a a-=-在R 上单调递减，………………………………………………………8分不等式化为2()(4)f x tx f x +<-，24x tx x ∴+>-，2(1)40x t x ∴+-+>恒成立，…………………………………………………………………10分 2(1)160t ∴∆=--<，解得35t -<<.………………………………………………12分19．解：由频率分布直方图可知，，因为a ，b ，c 构成以2为公比的等比数列，所以，解得， 所以，．故，，．………………3分 获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为1：4， 所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为．……………5分由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人．于是可以得到列联表如下： 文科生理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计8032040025=1.316 6.63519≈<………………………………………………8分所以在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关．…………9分 获奖的学生一共20人,其中女生6人,男生14人,从中任选2人,至少1名女生的概率为112614622099190C C C P C +==………………………………………………………………………………12分 20.解：(1)设动圆圆心为M(x ，y)，半径为R ．由题意，得R MO R MO -=+=3||,1||21，4||||21=+∴MO MO ………………………2分 由椭圆定义知M 在以1O ,2O 为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，314222=-=-=∴c a b ．∴动圆圆心M 的轨迹L 的方程为13422=+y x …………………4分(2)如图，设2ABO ∆内切圆N 的半径为r ，与直线l 的切点为C ，则三角形2ABO ∆的面积r BO AO AB S ABO |)||||(|21222++=∆r BO BO AO AO |)]||(||)||[(|212121+++=r ar 42==当2ABO S ∆最大时，r 也最大，2ABO ∆内切圆的面积也最大，……………………………………5分设),(11y x A 、)0,0)(,(2122<>y y y x B ，则21221121||||21||||212y y y O O y O O S ABO -=⋅+⋅=∆，………………………………………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x my x ，得096)43(22=-++my y m ，,439,436-221221+-=+=+m y y m m y y ………………………………8分43112222++=∴∆m m S ABO ，令12+=m t ，则t≥1，且m 2=t 2-1， 有=+-=∆4)1(31222t t S ABO tt t t 131213122+=+，………………………10分 令tt t f 13)(+=，则213)('t t f -=，当t≥1时，0)('>t f ，f(t)在[1，+∞）上单调递增，有4)1()(=≥f t f ，34122=≤∆ABO S ，即当t=1，m=0时，4r 有最大值3，得43max =r ，这时所求内切圆的面积为π169 ∴存在直线2,1:ABO x l ∆=的内切圆M 的面积最大值为π169.……………………………………12分21．解：（1）系统G 不需要维修的概率为2233331111()()2222C C ⋅⋅+⋅=.…………………………2分 （2）设X 为维修的系统G 的个数，则1~(3,)2X B ，且500Y X =，所以3311(500)()()(),0,1,2,322kk k P Y k P X k C k -====⋅⋅=.………………………………4分所以Y所以Y 的期望为()50037502E Y =⨯⨯=元………………………………………………6分 （3）当系统G 有5个电子元件时，若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为12223113()228C p p ⋅⋅⋅=；……………………………………………………………7分 若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为221222232311113()(1)()(2)22228C C p p C p p p ⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=-；……………8分 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G 均能正常工作，则概率为33311()28C ⋅=.……………………………………………10分 所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为2233131(2)88848p p p p +-+=+，于是由3113(21)4828p p +-=-知，当210p ->时，即112p 时，可以提高整个系统G 的正常工作概率.……………………………………………………12分22.解：(1)a e x x f x ++=)1()(' ''()(2)xf x x e =+所以()()'()-,-2,-2,+f x ∞∞在上单调递减在上单调递增所以'21()'(2)f x f a e-=-的最小值为…………………………………………………………4分(Ⅱ)当),1(+∞∈x 时，若)()(x g x f ≥成立，即x a x ax x xe ax ln ln +≥+对),1(+∞∈x 恒成立， 亦即x a ex a x xe xx ln )ln (ln +≥+α对),1(+∞∈x 恒成立．………………………………………6分 1()(ln )a f x f a x =>即时211'()1-0e f x >由（）知a=1时的最小值为,所以()f x 在R 上单调递增．…………………8分 x a x ln ≥∴在),1(+∞上恒成立．令x a x x m ln )(-=，则xax x a x m -=-=1)('． ①1≤a 时，0)('>x m 在),1(+∞上恒成立，01)1()(>=>∴m x m ，此时满足已知条件，…9分 ②当1>a 时，由0)('=x m ，解得a x =．当),1(a x ∈时，0)('<x m ，此时)(x m 在),1(a 上单调递减；当),(+∞∈a x 时，0)('>x m ，此时)(x m 在),(+∞a 上单调递增．)(x m ∴的最小值0ln )(≥-=a a a a m ，解得e a ≤<1．……………………………………11分 综上，a 的取值范围是],(e -∞…………………………………………………………………12分。
2021年湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中高考数学联考试卷(附答案详解)卷
2021年湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中高考数学联考试卷（4月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为()A. ∀x∉R，x2≥0B. ∀x∈R，x2<0C. ∃x∈R，x2≥0D. ∃x∈R，x2<02.已知集合A={1,2}，集合B={0,2}，设集合C={z|z=xy,x∈A,y∈B}，则下列结论中正确的是()A. A∩C=φB. A∪C=CC. B∩C=BD. A∪B=C3.数列{a n}是各项均为正数的等比数列，3a2是a3与2a4的等差中项，则{a n}的公比等于()A. 2B. 32C. 3D. √24.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行B. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面C. 若m⊥α，l//α，则直线m与n一定垂直D. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则直线m与n一定平行5.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(1,−2)，且|a⃗+b⃗ |=2，则cos<a⃗，b⃗ >=()A. −2√55B. −√55C. √55D. 2√556.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcosA−c<0”是“△ABC为锐角三角形”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2ℎ.用该术可求得圆率π的近似值.现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为()A. √3B. 3C. 3√3D. 98.已知实数a，b满足a=log34+log129，5a+12a=13b，则下列判断正确的是()A. a>b>2B. b>a>2C. 2>b>aD. a>2>b二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是()A. 若|z1−z2|=0，则z1−=z2−B. 若z1=z2−，则z1−=z2C. 若|z1|=|z2|，则z1⋅z1−=z2⋅z2−D. 若|z1|=|z2|，则z12=z2210.已知函数f(x)=2sinxcosx−2√3cos2x+√3，则下列结论中正确的是()A. f(x)的对称中心的坐标是(kπ2+π6,0)(k∈Z)B. f(x)的图象是由y=2sin2x的图象向右移π6个单位得到的C. f(x)在[−π3,0]上单调递减D. 函数g(x)=f(x)+√3在[0,10]内共有7个零点11.如图，点M是棱长为1的正方体ABC−A1B1C1D1中的侧面ADD1A1上的一个动点(包含边界)，则下列结论正确的是()A. 存在无数个点M满足CM⊥AD1B. 当点M在棱DD1上运动时，|MA|+|MB1|的最小值为√3+1C. 在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30°D. 满足|MD|=2|MD1|的点M的轨迹是一段圆弧12.已知抛物线x2=2y，点M(t,−1)，t∈[12,1]，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有()A. 点P的坐标为(0,1)B. OA⊥OBC. △MAB的面积的最大值为3√3D. |PA||PB|的取值范围是[2,2+√3]三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.写出一个存在极值的奇函数f(x)=______ ．14.二项式(√x −x2)6的展开式中，常数项为______ ．15.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1与双曲线C2：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1，F2，且两曲线在第一象限的交点为P，若PF2⊥F1F2，且a=2b，则双曲线C2的离心率为______ ．16.已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第n+1次从与第n次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.则第4次取出的球是红球的概率为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且b−ac =√2a+ca+b．(Ⅰ)求B的值；(Ⅱ)若b=2√2，求△ABC的面积的最大值．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S n=12a n+1+2．(Ⅰ)证明：数列{S n−2}为等比数列，并求出S n；(Ⅱ)求数列{1a n}的前n项和T n．19.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=π，M是棱PB上的点，3O是AD中点，且PO⊥底面ABCD，OP=√3OA．(Ⅰ)求证：BC⊥OM；PB，求二面角B−OM−C的余弦值．(Ⅱ)若PM=2320.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛．小明获胜的概率都是23(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；(2)若现在是小明以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望．21.已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，P(1,32)在椭圆上，离心率e=12，左、右焦点分别为F1、F2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A，B两点，连接AF1，BF1并延长交椭圆C于D、E两点，连接DE，求k DEk的值．22.已知函数f(x)=sinx+e−x．(Ⅰ)求函数f(x)在[3π2,2π]的最大值；(Ⅱ)证明：函数g(x)=12x+2e−x−f(x)在(0,2π)有两个极值点x1，x2，并判断x1+ x2与2π的大小关系．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2<0．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵A={1,2}，B={0,2}；∴C={0,2，4}；∴B∩C=B．故选：C．可求出集合C，然后判断每个选项的正误即可．考查列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，交集、并集的运算．3.【答案】B【解析】解：设正数等比数列{a n}的公比为q，因为3a2是a3与2a4的等差中项，所以6a2=a3+2a4，即6a1q=a1q2+2a1q3，所以2q2+q−6=0，解得q=3或q=−2(舍)．2故选：B．直接由3a2是a3与2a4的等差中项，列式求得公比，再由数列各项均为正数，求得q的值．本题考查了等比数列的通项公式，考查了等查数列的性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质得直线m与n垂直，故B错误；对于C，若m⊥α，l//α，则由线面垂直、线面平行的性质得直线m与n一定垂直，故C正确；对于D，若m⊂α，n⊂β，α//β，则直线m与n平行或异面，故D错误．故选：C．对于A，直线m与n相交、平行或异面；对于B，由线面垂直、面面垂直的性质得直线m与n垂直；对于C，由线面垂直、线面平行的性质得直线m与n一定垂直；对于D，直线m与n平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力等数学核心素养，是中档题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，b⃗ =(1,−2)，则|b⃗ |=√5，若|a⃗+b⃗ |=2，则(a⃗+b⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =6+2√5cos<a⃗，b⃗ >=4，变形可得cos<a⃗，b⃗ >=−√5，5故选：B．根据题意，求出|b⃗ |的值，由数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =6+ 2√5cos<a⃗，b⃗ >=4，再求出cos<a⃗，b⃗ >即可．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：在△ABC中，bcosA−c<0，则sinBcosA−sinC<0，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB>sinBcosA，则有sinAcosB>0，因为sinA>0，所以cosB>0，故角B为锐角，当B为锐角时，△ABC不一定是锐角三角形，当△ABC为锐角三角形时，B为锐角，故“bcosA−c<0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．先化简bcosA−c<0，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为r，则L=2πr，可得r=L2π，∴V=13πr2ℎ=13π(L2π)2ℎ≈136L2ℎ，整理得π≈3．∵该圆锥的底面直径和母线长相等，且圆锥的表面积的近似值为27，设该圆锥的底面半径为R，母线长为l，高为h，则S表=πR2+12⋅(2πR)⋅l≈3R2+12⋅6R⋅2R=27，解得R=√3．又2R=l，∴ℎ=√l2−R2=√3R=3．∴该圆锥体积的近似值为V=13πR2ℎ≈13×3×3×3=9．故选：D．先由体积V的近似公式V≈136L2ℎ，可求出π的近似值为3，再根据所求圆锥的表面积列出等式关系，求出底面圆的半径，由圆锥的底面直径和母线长相等求出圆锥的高，进而求出体积．本题考查圆锥体积的计算，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】A【解析】解：∵a=log34+log129=log34+log39log312=log34+21+log34，故a−2=log34+21+log34−2=(log34)2−log341+log34，∵log34>log33=1，∴(log34)2>log34，故a−2>0，即a>2，∵5a+12a=13b，且a>2，∴13b>52+122=132，∴b>2，令g(x)=5x+12x−13x(x>2)，则g(x)=52⋅5x−2+122⋅12x−2−132⋅13x−2<(52+122)⋅12x−2−169⋅13x−2<0，故13b=5a+12a<13a，即a>b，故a>b>2，故选：A．根据对数和指数幂的运算性质进行判断即可．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】解：对(A)，若|z 1−z 2|=0，则z 1−z 2=0，z 1=z 2，所以z 1−=z 2−为真； 对(B)若z 1=z 2−，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z 1−=z 2为真；对(C)设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，若|z 1|=|z 2|，则√a 12+b 12=√a 22+b 22， z 1⋅z 1−=a 12+b 12,z 2⋅z 2−=a 22+b 22，所以z 1⋅z 1−=z 2⋅z 2−为真；对(D)若z 1=1，z 2=i ，则|z 1|=|z 2|为真，而z 12=1,z 22=−1，所以z 12=z 22为假． 故选：ABC ．题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．10.【答案】ABD【解析】解：函数f(x)=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，2x −π3=kπ，k ∈Z ，此时x =kπ2+π6，k ∈Z 时，f(x)=2sin(2x −π3)=2sinkπ=0，所以f(x)的对称中心的坐标是(kπ2+π6,0)(k ∈Z)，所以A 正确；y =2sin2x 的图象向右移π6个单位得到，y =2sin2(x −π6)=2sin(2x −π3)，所以B 正确； 当x =−π12时，f(x)=2sin(2x −π3)=−2，函数取得最小值，所以f(x)在[−π3,0]上不是单调函数，所以C 不正确；函数g(x)=f(x)+√3=2sin(2x −π3)+√3的周期为π，x =0时，f(0)=0，函数在一个周期内由两个零点，所以函数在[0,10]内共有7个零点，所以D 正确． 故选：ABD ．利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，求出对称中心判断A ；函数的图形的平移变换判断B ；函数的单调性判断C ；利用函数的周期性与零点判断D 即可．本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的图形的变换以及函数的单调性，函数的周期性以及函数的零点公式的判断，是中档题．【解析】解：对于A，当M点在A1D时，因为AD1⊥平面A1DCB1，且CM⊂平面A1DCB1，所以存在无数个点M满足CM⊥AD1，所以A对；对于B，作平面展开图如图，|MA|+|MB1|的最小值为B1A=√12+(1+√2)2≠√3+1，所以B错；对于C，因为CD//AB，AB//A1B1，所以CD//A1B1，于是异面直线B1M与CD所成的角为∠A1B1M，tan∠A1B1M=A1MA1B1≥√221=√22>12，所以∠A1B1M>30°，所以C错；对于D，建立如图所示的平面直角坐标系，D1(1,0)，设M(x,y)，因为|MD|=2|MD1|，所以√x2+y2=2√(x−1)2+y2，整理得3x2+3y2−8x+4=0，所以点M的轨迹是一段圆弧，所以D对．故选：AD．A根据直线垂直于平面，则垂直于该平面上的所有直线判断；B作平面展开图，两点间连线以直线段最短判断；C用正切函数判断；D求点M轨迹方程判断．本题以命题真假判断为载体，考查了异面直线成角问题，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：x2=2y即y=12x2的导数为y′=x，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12=2y1，x22=2y2，可得A处的切线的方程为y−y1=x1(x−x1)，即为x1x=y+y1，同理可得B处的切线的方程为x2x=y+y2，又切线MA，MB都过M(t,−1)，可得x1t=−1+y1，x2t=−1+y2，由两点确定一条直线，可得AB的方程为xt=y−1，可得P(0,−1)，故A正确；联立{x 2=2y xt =y −1，可得x 2−2tx −2=0，即有x 1+x 2=2t ，x 1x 2=−2，由x 1x 2+y 1y 2=−2+(x 1x 2)24=−2+1=−1≠0，即OA 不垂直于OB ，故B 错误；由M(t,−1)，t ∈[12,1]，M 到直线AB 的距离为d =2√1+t 2，|AB|=√1+t 2⋅√4t 2+8，所以△MAB 的面积S =12d ⋅|AB|=(t 2+2)√t 2+2在t ∈[12,1]递增，可得S 的最大值为3√3，故C 正确； 由|PA||PB|=√1+t 21√1+t 2|x |=x 1−x 2，设x 1=−x 2m ，由x 1+x 2=2t ，x 1x 2=−2，消去x 1，x 2，可得t 2=(1−m)22m∈[14,1]，解得m ∈[2,2+√3]，故D 正确． 故选：ACD ．求得y =12x 2的导数，可得A 处的切线的斜率和方程，同理可得B 处的切线的方程，由两点确定一条直线，可得AB 的方程，令x =0，可判断A ；由直线AB 的方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简可判断B ；求得M 到直线AB 的距离和|AB|，由三角形的面积公式和函数的单调性，可判断C ；由弦长公式和韦达定理，结合t 的范围，解不等式可判断D ．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】sin x【解析】解：根据题意，要求函数为奇函数且存在极值，则f(x)可以为正弦函数， 即f(x)=sinx ，故答案为：sinx(答案不唯一)．根据题意，分析可得f(x)可以为正弦函数，即可得答案．本题考查函数的奇偶性和极值的定义，注意常见函数的性质，属于基础题．14.【答案】60【解析】解：展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(√x )6−r ⋅(−x2)r =C 6r ⋅26−2r ⋅(−1)r x3r−62，令3r−62=0，解得r =2，所以展开式的常数项为C 62⋅22⋅(−1)2=60，故答案为：60．先求出通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.【答案】2√33【解析】解：令x=c，由椭圆的方程，可得y=±b√1−c2a2=±b2a，设|PF2|=b2a =b22b=b2，由椭圆的定义可得|PF1|=2a−|PF2|=4b−12b=72b，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=72b−12b=3b=2m，又c=√a2−b2=√3b，所以双曲线的离心率为cm =√3b32b=2√33．故答案为：2√33．令x=c，代入椭圆方程，求得y，可得|PF2|，由椭圆的定义可得|PF1|，再由双曲线的定义，可得m关于b的式子，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线和椭圆的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】313625【解析】解：设第n(n∈N∗)次取出红球的概率为P n，则取出白球的概率为1−P n，考虑第n+1次取出红球的概率为P n+1，①若第n次取出的球为红球，则第n+1次在红箱内取出红球的概率为35P n，②若第n次取出的球为白球，则第n+1次在白箱内取出红球的概率为25(1−P n)，故P n+1=35P n+25(1−P n)=15P n+25，且P1=35，故P2=15P1+25=15×35+25=1325，P3=15P2+25=15×1325+25=63125，故P4=15P3+25=63125×15+25=313625，故答案为：313625．设第n(n∈N∗)次取出红球的概率为P n，计算出P n+1=15P n+25，且P1=35，根据递推公式逐项可计算得出P4的值．本题考查了利用递推法求概率，关键就是分析出第n +1次与第n 次取出红球的概率之间的关系，再根据递推公式求解．17.【答案】解：(Ⅰ)∵b−a c =√2a+ca+b， ∴a 2+c 2−b 2=−√2ac ， 由余弦定理知，cosB =a 2+c 2−b 22ac=−√2ac 2ac=−√22， ∵B ∈(0,π)，∴B =3π4．(Ⅱ)由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB ， ∵b =2√2，B =3π4，∴8=a 2+c 2−2ac ×(−√22)≥2ac +2ac ×√22=(2+√2)ac ，∴ac ≤2+√2=4(2−√2)，当且仅当a =c 时，等号成立，∴△ABC 的面积S =12ac ⋅sinB ≤12⋅4(2−√2)⋅√22=2√2−2，故△ABC 的面积的最大值为2√2−2．【解析】(Ⅰ)结合已知条件和余弦定理，可得cosB =−√22，再求出B 的值；(Ⅱ)结合余弦定理和基本不等式，推出8≥(2+√2)ac ，再由S =12ac ⋅sinB ，求出△ABC 的面积的最大值．本题主要考查解三角形和利用基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】(Ⅰ)证明：由题意，当n =1时，S 1=12a 2+2=12×4+2=4，根据已知条件，S n =12a n+1+2=12(S n+1−S n )+2， 整理，得S n+1=3S n −4，两边同时减去2，可得S n+1−2=3S n −4−2=3(S n −2)， ∵S 1−2=4−2=2，∴数列{S n −2}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴S n −2=2⋅3n−1，∴S n =2⋅3n−1+2，n ∈N ∗．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，当n =1时，a 1=S 1=4，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2⋅3n−1+2−2⋅3n−2−2=4⋅3n−2，故a n ={4,n =14⋅3n−2,n ≥2，∴1a n={14,n =114⋅(13)n−2,n ≥2，当n =1时，T 1=1a 1=14，当n ≥2时，T n =1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n=14+14+14⋅(13)1+⋯++14⋅(13)n−2 =14+14⋅[1−(13)n−1]1−13 =58−18⋅3n−2，∵当n =1时，T 1=14， ∴T n =58−18⋅3n−2，n ∈N ∗．【解析】(Ⅰ)先根据表达式代入n =1计算出S 1的值，然后将a n+1=S n+1−S n 代入S n =12a n+1+2进行化简整理进一步转化即可推导出数列{S n −2}是以2为首项，3为公比的等比数列，然后通过计算出S n −2的表达式即可计算出S n 的表达式；(Ⅱ)先根据第(Ⅰ)题的结果以及公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2计算出数列{a n }的通项公式，然后计算出数列{1a n}的通项公式，再根据等比数列的求和公式进一步计算出前n 项和T n 的表达式．本题主要考查等比数列的判别，以及数列求通项公式和前n 项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分段数列的求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：在菱形ABCD 中，∠BAD =60°，所以△ABD 为等边三角形，又因为O 为AD 的中点，所以OB ⊥AD ， 又因为AD//BC ，所以OB ⊥BC ，因为PO ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥BC ， 因为OP ∩OB =O ，OP ，OB ⊂平面POB ，所以BC ⊥平面POB ， 因为M 是棱PB 上的点，所以OM ⊂平面POB ，所以BC ⊥OM ；(Ⅱ)解：因为PO ⊥底面ABCD ，OB ⊥AD ，建立空间直角坐标系如图所示， 设OA =1，则OP =OB =√3，所以O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,√3,0),C(−2,√3,0),P(0,0,√3)， 则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√3,0)，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(0,√3,−√3)， 所以OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +23PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√33,√33)， 设平面OMC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −√3y =0，令y =1，则x =√32,z =−2，故m ⃗⃗⃗ =(√32,1,−2)， 又因为平面POB 的法向量为n ⃗ =(1,0,0)， 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√32√34+1+4=√6923，由图可知，二面角B −OM −C 为锐二面角， 所以二面角B −OM −C 的余弦值为√6923．【解析】(Ⅰ)利用等边三角形的性质可得OB ⊥AD ，从而得到OB ⊥BC ，再利用线面垂直的性质可得OP ⊥BC ，从而可证BC ⊥平面POB ，即可证明BC ⊥OM ；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查线面垂直的判定定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)恰好打了7局小明获胜的概率是P 1=C 64(23)5×(13)2=15×2537， 恰好打了7局小亮获胜的概率为P 2=C 64(23)2×(13)5=15×2237，∴比赛结束时恰好打了7局的概率为P =P 1+P 2=15×25+15×223=2081，(2)X 的可能取值为2，3，4，5， P(X =2)=(23)2=49，P(X =3)=C 21×(23)2×13=827，P(X =4)=C 31×(23)2×(13)2+C 44×(13)4=1381， P(X =5)=C 43×23×(13)3=881，∴X 的分布列如下：E(X)=2×49+3×827+4×1381+5×881=23681．【解析】(1)比赛恰好打了7局的情况有两种，小明胜、小亮胜，即可解出； (2)分析可知X 的取值可以是2，3，4，5，分别求出对应的概率，即可解出． 本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，学生的运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)由P(1,32)在椭圆上，可得1a 2+94b 2=1，因为离心率e =ca =12，所以a =2c ， 又a 2=b 2+c 2，可得a =2，b =√3，c =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)， 直线AD 的方程为x =x 0+1y 0y −1，代入C ：x 24+y 23=1，得[3(x 0+1)2+4y 02]y 2−6(x 0+1)y 0y −9y 02=0， 因为x 024+y 023=1，代入化简得(2x 0+5)y 2−2(x 0+1)y 0y −3y 02=0，设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)， 则y 0y 1=−3y 022x+5，所以y 1=−3y 02x+5，x 1=x 0+1y 0y 1−1，直线BE 的方程为x =x 0−1y 0y −1，同理可得[3(x 0−1)2+4y 02]y 2−6(x 0−1)y 0y −9y 02=0， 化简得(5−2x 0)y 2−2(x 0−1)y 0y −3y 02=0，所以−y 0y 2=−3y 025−2x 0，即y 2=3y5−2x 0，x 2=x 0−1y 0y 2−1，所以k DE =y 1−y 2x 1−x 2=y 1−y 2x 0+1y 0y 1−x 0−1y 0y 2=y 1−y2x 0y 0(y 1−y 2)+y 1+y 2y 0=1x 0y 0+1y 0⋅y 1+y 2y 1−y 2，又y 1+y 2y1−y 2=−3y 02x 0+5+3y 05−2x 0−3y 02x 0+5−3y 05−2x 0=−25x 0，所以k DE =1x 0y 0+1y 0⋅(−2x 05)=53⋅yx 0=53k ，所以k DE k=53．【解析】(Ⅰ)由P(1,32)在椭圆上，离心率e =12，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(Ⅱ)设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，写出直线AD 的方程，联立椭圆的方程，设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，结合韦达定理可得y 0y 1=−3y 022x0+5，解得y 1，x 1，写出直线BE 的方程，联立椭圆的方程，同理可得y 2，x 2，写出k DE ，化简即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】(Ⅰ)解：函数f(x)=sinx +e −x ，所以f′(x)=cosx −e −x ，则f′′(x)=−sinx +e −x ， 所以当x ∈[3π2,2π]时，−sinx >0，故f′′(x)>0， 所以函数f′(x)在[3π2,2π]上单调递增， 又f′(3π2)<0，f′(2π)=1−e −2π>0， 所以f′(x)在[3π2,2π]上有唯一的零点t ，当x ∈(3π2,t)时，f′(x)<0，当x ∈(t,2π)时，f′(x)>0， 故f(x)在(3π2,t)上单调递减，在(t,2π)上单调递增， 又f(3π2)=−1+e −3π2<0，f(2π)=e −2π>0，所以f(x)在[3π2,2π]上的最大值为e −2π； (Ⅱ)证明：g′(x)=12−cosx −e −x ， ①当x ∈(0,π2)时，g′(x)单调递增，又g′(π4)=12−√22−e −π4<0，g′(π2)=12−e −π2>0，所以g′(x)在x ∈(0,π2)有唯一的零点t 1∈(π4,π2)， 此时当x ∈(0,t 1)时，g′(x)<0，则g(x)单调递减， 当x ∈(t 1,π2)时，g′(x)>0，则g(x)单调递减， 故x =t 1是极小值点，不妨设x 1=t 1∈(π4,π2)；②当x∈(π2,3π2)时，cosx<0，所以g′(x)=12−cosx−e−x>12−e−x>12−e−π2>0，故g(x)在x∈(π2,3π2)上单调递增，故g(x)没有极值点；③当x∈(3π2,2π)，g′′(x)=sinx+e−x=f(x)，由(Ⅰ)知，f(x)在(3π2,t)上单调递减，在(t,2π)上单调递增，且f(3π2)=−1+e−3π2<0，f(2π)=e−2π>0，故g′′(x)由唯一的零点t0∈(3π2,2π)，则当x∈(3π2,t0)时，g′′(x)<0，则g′(x)单调递减，当x∈(t0,2π)时，g′′(x)>0，则g′(x)单调递增，又g′(3π2)>0,g′(7π4)=12−√22−e−7π4<0，g′(2π)=−12−e−2π<0，所以g′(x)在x∈(3π2,2π)由唯一的零点t2∈(3π2,7π4)，此时x∈(3π2,t2)时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，当x∈(t2,2π)时，g′(x)<0，所以x=t2是极大值点，即x2=t2∈(3π2,7π4)，且{12−cosx1=e−x112−cosx2=e−x2，由于e−x1>e−x2，所以cosx1<cosx2=cos(2π−x2)，因为x1∈(π4,π2),2π−x2∈(π4,π2)，所以x1>2π−x2，即x1+x2>2π．【解析】(Ⅰ)求出f′(x)和f′′(x)，利用导数判断f′′(x)的正负，得到f′(x)的单调性，从而得到f′(x)在[3π2,2π]上有唯一的零点t，再利用导数判断f(x)的单调性，从而求出函数f(x)的最值；(Ⅱ)求出g′(x)，然后分x∈(0,π2)，x∈(π2,3π2)，x∈(3π2,2π)三种情况研究函数g(x)的极值点，确定极值点x1，x2，然后通过极值点构造方程组，求出cosx1<cosx2=cos(2π−x2)，由余弦函数的单调性即可证明．本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及零点问题，综合性强，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题。
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1
龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月数学试题参考答案
一、单项选择题： 1-4 CDCA 5-8 BCAB
一、多项选择题：9．BC 10．BC 11．BD 12．ABD
三、填空题 13．
334- 14．210 15．32
16．2π 四．解答题
17．解：（Ⅰ）由已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，结合正弦定理，得222a c b ac +=+． 再由余弦定理，得222
1
cos 222a c b ac B ac ac +-===，又(0,)B π∈，则3
B π=．………………4分
（Ⅱ）由,33
B b π
=
=，则由正弦定理，有
224sin 2sin 4sin 2sin 23cos 3a c A C C C C π⎛⎫
-=-=--= ⎪⎝⎭．……………………………7分
因为ABC ∆为锐角三角形，则62
C ππ<<，则3
0cos C <<．………………………………9分
所以2a c -的取值范围为()0,3．…………………………………………………………………10分
18．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，
由22
42214542221
d q d q d q d q +=⋅-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=⋅+=-⎩⎩………………………………………………………………2分 2,3q d ∴==…………………………………………………………………………………………4分 31,2n n n a n b ∴=+=．……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前6项时，令7
1273121283
n n +<=⇒<
此时至多有41748+=项（不符）…………………………………………………………………7分
当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项时，令8
31225685n n +<=⇒<
则{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项且含有{}n a 的前53项…………………………………9分
()7
602125352534343462544600212S -⨯⎛
⎫∴=⨯+⨯+
=+= ⎪-⎝⎭
．…………………………12分
19．解：（Ⅰ）证明：取AB 中点D ，连接PD ，DC
∵PA PB =，AC BC =，则AB PD ⊥，AB DC ⊥．又PD DC D =，
∴AB ⊥平面PDC ，故AB PC ⊥．……….…………………….………………….……….….2分 在ABC △中，22AB AC BC ==，∴BC AC ⊥．………….………………….………3分 又∵平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴BC ⊥平面ABC ，故BC PC ⊥． ……….4分 又AB PC ⊥，AB BC B =∴PC ⊥平面ABC ．………………………………………….5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设1AC =，则(0,1,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,1)P ，
11,0,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02N ⎛⎫
⎪⎝⎭
．……………………….……….………………..6分 设平面QAC 的一个法向量为(,,)n x y z =，∵(0,1,0)CA =，1
1,0,2
2CQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由0
n CA n CQ ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，可得(1,0,1)n =-，…………….……….…….…….8分
又111,,222MN ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，
∴6
cos ,||||
324
n MN
n MN n MN ⋅〈〉==
=
⋅⋅
….………….…….11分 所以直线MN 与平面QAC 所成角的正弦值为
6
．………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）第三局甲当裁判则前两局有两种情形：前两场都是乙胜，前两场都是丙胜，故所求概率
为12122
25255
P =
⨯+⨯=．………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由于不能连续两局都当裁判，第一局由甲当裁判，故X 的可能取值为0，1，2，………6分
当0X =时，则前三局乙均胜，故()2
122
02525
P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，………………………………7分
当2X
=时，乙只能在第2、4局中当裁判，故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉，则第一局丙胜
乙败；第二局无论甲丙谁胜，在第三局中甲或丙是连胜概率变为25
， 故()121
2255P X ==
⨯=，……………………………………………………………………………9分 ()2118
1125525
P X ==--=
，………………………………………………………………………10分 其分布列为
218128
0122525525
EX =⨯
+⨯+⨯=
．………………………………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）y x '=，设点(
)2
2,2(0)A t t
t >，则2AM
x t k
y t ='==，………………………2分
∴直线AM 的方程为：2
22(2)y t t x t -=-，即2
22y tx t =-，
∴(),0M t ，又OA k t =，∴1
BC k t
=-，……………………………………………………………4分
∴直线BC 的方程：()11
1y x t x t t
=-
-=-+经过定点()0,1．…………………………………5分 （Ⅱ）直线BC 与抛物线22x y =联立得2
220x x t
+-=，………………………………………6分。