电磁场理论补充习题及解答

电磁场理论复习题（通信05．1-5）一、填空与简答1、 既有大小、又有方向的量叫矢量。

只有大小、而没有方向的量叫标量。

2、在直角坐标系中，一个矢性函数和三个有序的数性函数（坐标）构成一一对应的关系。

3、若B A ,为矢量函数，u 为标量函数，dt dB dt dA B A dt d +=+)(，dtdAu A dt du uA dt d +=)(，B dt dA dt dB A B A dt d ∙+∙=∙)(，B dtdA dt dB A B A dt d ⨯+⨯=⨯)(， 如果)(),(t u u u A A ==，dtdu du dA dt dA = 4、∇表示哈密顿算子（W.R. Hamilton ），即ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂≡∇。

数量场u 梯度和矢量场A 的散度和旋度可表示为u u ∇= grad ，A A div ∙∇=，A A ⨯∇=rot 。

4、奥氏公式及斯托克斯公式可为dV A ds A S⎰⎰⎰⎰⎰Ω∙∇=∙)(，dS A dl A lS⋅⨯∇=⋅⎰⎰⎰)( 。

5、亥姆霍兹（H.V on Helmholtz ）定理指出：用散度和旋度能唯一地确定一个矢量场。

6、 高斯定理描述通过一个闭合面的电场强度的通量与闭合面内电荷的关系，即：⎰⎰=⋅SQdS E 0ε7、 电偶极子（electric dipole ）是指相距很近的两个等值异号的电荷，它是一个矢量，方向是由正电荷指向负电荷。

8、 根据物质的电特性，可将其分为导电物质和绝缘物质，后者简称为介质。

极化介质产生的电位可以看作是等效体分布电荷和面分布电荷在真空中共同产生的。

等效体电荷密度和面电荷密度分别为)()(r P r '⋅∇'-='ρ，n r P SP ⋅'=)(ρ 。

9、 在静电场中，电位移矢量的法向分量在通过界面时一般不连续，即s D D n ρ=-⋅)(12，电场强度的切向分量在边界两侧是连续的，即0)(12=-⨯E E n 。

10、凡是静电场不为零的空间中都存储着静电能，静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间的。

场中任一点的能量密度为D E w e ⋅=21。

11、欧姆定理的微分形式表明，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即E J σ=。

导体内任一点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，即2E p σ=。

12、在恒定电场中，电流密度J 在通过界面时其法向分量连续，电场强度的切向分量连续，即0)(12=-⋅E E n ，0)(12=-⨯J J n 。

13、 磁感应强度通过任意曲面的通量恒为零，这一性质叫磁通连续性原理，它表明，磁感应强度是一个无源的场。

14、 在恒定磁场中，磁感应强度的法向分量在分界面两侧连续，而其磁场强度的切向分量一般在分界面两侧不连续，即：0)(12=-⋅B B n ，s J H H n =-⨯)(12。

15、 静电场的唯一性定理表明：在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程必定唯一。

16、 采用镜像法解决静电场问题时应注意以下三点：（1）镜像电荷是虚拟电荷；（2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域；（3）导体是等位面。

17、 电磁感应现象说明，穿过一条回路的磁通发生变化时，在这个回路中将有感应电动势的出现，并在回路中产生电流。

18、 麦克斯韦方程组的物理意义为：（1）时变磁场将产生电场（2）电流和时变电场都会产生磁场，即变化的电场和传导电流是磁场的源（3）电场是有通量的源，穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量（4）磁场无“通量源”，即磁场不可能由磁荷产生，穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。

19、 高频电磁场只能存在于良导体表面的一个薄层内，这种现象称为集肤效应。

20、 电磁波的相速度随频率的变化而变化的现象称为色散。

当群速度小于相速度的这类色散称为正常色散，反之为非正常色散。

21、 电场强度的方向随时间变化的方式称为电磁波的极化。

电磁波的极化可分为三种，线极化、圆极化和椭圆极化。

22、 圆极化波具有两个与应用有关的重要性质：（1）当圆极化如射到对称目标上时，反射波变为反旋向的波，即左旋波变为右旋波，右旋波变为左旋波（2）天线若辐射左旋极化波，则只能接收左旋极化波，反之，天线若辐射右旋极化波，则只能接收右旋极化波。

这种现象称为圆极化天线的旋向正交性。

23、 根据导行波中有无纵向分量，导行波可分为：（1）横电磁波即TEM 波（2）横电波即TE 波或磁波H 波（3）横磁波即TM 或电波E 波。

24、 天线一般具有下列功能：（1）能量转化（2）定向辐射或接收（3）具有适当的极化（4）天线应与波导装置匹配。

25、 电基本振子是一段载有高频电流的短导线，其长度远小于工作波长，导线上各点的高频电流大小相等，相位相同。

26、 描述天线性能的电参数主要有：方向图，主瓣宽度，旁瓣电平，方向系数，极化特性，天线效率，频带宽度，输入阻抗。

二、证明与计算1、设u 是空间x,y,z 的函数，证明： （1）u du df u f ∇=∇)(，（2）du dA u u A ⋅∇=⋅∇)(，（3）dudA u u A ⨯∇=⨯∇)( 证明：（1）)()()()(u f ze uf y e u f x e u f z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇ z u u f e y u u f e x u u f e z y x∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)(zue y u e x u e uf z y x ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=u du df ∇= （2）)()()()(u A z u A y u A x u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=zu u u A y u u u A x u u u A z y x ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂)()()(=dudA u ⋅∇ （3）))()(())()(()(xu u u A z u u u A e z uu u A y u u u A e u A z x y y z x ∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=⨯∇ ))()((yu u u A x u u u A e x y z ∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂+=du dAu ⨯∇ 2、（1）应用高斯定理证明：⎰⎰⨯=⨯∇VSf dS f dV（2）应用斯托克斯定理证明：⎰⎰=∇⨯ϕϕdl dS S证明：（1）设d 为任意的常矢量，有⎰⎰⨯∇⋅=⨯∇⋅VVf dV f dV )()(d d ，由矢量公式)()()()(f f f f ⨯∇⋅-=⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇d d d d ，所以有：⎰⎰⨯⋅∇-=⨯∇⋅VVf dV f dV )()(d d ，根据高斯定理有)()(f dS f dV SV⨯⋅=⨯⋅∇⎰⎰d d所以⎰⎰⨯⋅-=⨯∇⋅SVf dS f dV )()(d d ⎰⨯⋅-=Sds f )(d ⎰⨯⋅=Sf ds )(d 故得证。

（2）设d 为任意的常矢量，有)()(d d d ⨯∇⋅=∇⨯⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰SSSdS dS dS ϕϕϕ由矢量公式 d d d ⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕ)(=d ⨯∇ϕ 所以)(d d ⎰⎰⨯∇⋅=∇⨯⋅SSdS dS ϕϕ根据斯托克斯定理有⎰⎰⋅=⨯∇⋅lSdl dS dd ϕϕ)(⎰⋅=ldl d ϕ所以，⎰⎰⋅=∇⨯⋅lSdl dS ϕϕd d ，于是有⎰⎰=∇⨯lSdl dS ϕϕ证毕。

3、证明格林（Green ）第一公式dVv u u v dS v u S⎰⎰⎰⎰⎰Ω∆+∇⋅∇=⋅∇)()(及格林第二公式dV u v v u dS u v v u S )()(⎰⎰⎰⎰⎰Ω∆-∆=⋅∇-∇，其中222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂≡∆ 证明：应用奥氏公式⎰⎰⎰⎰⎰Ω⋅∇=⋅SAdV ds A ，取v u A ∇=有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∆+∇⋅∇∇=∇⋅∇=⋅∇dV u u v u dV v u ds v u S)()()(格林第一公式得证。

同理有dV u v u v dS u v S⎰⎰⎰⎰⎰Ω∆+∇⋅∇=⋅∇)()(，将该式与格林第一公式相减可得格林第二公式。

4、证明：（1）3R ∇∙=；（2）3R ∇⨯=；（3）()A R A ∇∙=。

其中x y z R e x e y e z =++，A为一常矢量。

证：()()3xy z x y z x y z R e e e e x e y e z x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇∙=++++=++=∂∂∂∂∂∂()()()0000y y z x zx x y z x y z R R R R R R R e e e e e e y z z x x y∂∂∂∂∂∂∇⨯=-+-+-=∙+∙+∙=∂∂∂∂∂∂设x x y y z z A e A e A e A =++，其中,,x y z A A A 为常数，有()()x x y y z z x y z x y z A R e A e A e A e x e y e z A x A y A z ∙=++∙++=++()()()()xx y y z z x x y y z z A R e A x e A y e A z e A e A e A A x y z∂∂∂∇∙=++=++=∂∂∂ 5、计算半径为a ，电荷线密度为)(r l ρ的均匀带电圆环在轴线上的电场强度。

解：取圆环位于xoy 平面，圆环中心与坐标原点重合z ze r =,y x e a e a r θθsin cos +='22a z R r r +=='-,θad l d ='θθθπερπad z a e a e a ze r E yx z l⎰+--=203220)(sin cos 4)(z l e z a z a 322)(2+=ερ6、设有一个半径为a 的球，其中充满体电荷密度为V ρC/m 3的电荷，球内外的介电常数均为0ε，求：（1）球内、外的电场强度；（2）验证静电场的两个基本方程；（3）球内、外的电位分布。

解：（1）因为电荷分布为均匀的球体，所以具有球对称性，即在与带电球同心，半径为r 的高斯面上，E 是常数。

当r<a 时，有0311344ερππVSrrE dS E ==⋅⎰，即r V e r E 031ερ=V/m 。

当r>a 时，有0322344ερππVSa rE dS E ==⋅⎰，即rV e r a E 20323ερ=V/m 。

（2）采用球坐标散度、旋度公式。

因为球内、外电场强度只是r 的坐标，所以01sin 1=∂∂⋅-∂∂⋅=⨯∇θϕθθrr E r e E r E ，r E r rE r ∂∂⋅=⋅∇)(122 y当r<a 时有0ερVE =⋅∇，当r>a 时有0=⋅∇E （3）选无限远处为参考电，当r<a 时，有020221163ερερϕr a dr E dr E Edr V ar V a r -=+==⎰⎰⎰∞∞V 当r>a 时有r a dr E V r03223ερϕ==⎰∞V7、导体球及与其同心的导体球壳构成一个双导体系统。