排队论课件MM排队模型
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《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
排队论课件
③服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾客， 每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客， 也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。 服务时间的分布主要有如下几种： • 负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相 同的负指数分布(看病)； • 爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相 同的爱尔朗分布。
• 定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物品）；
为叙述方便，引用下列符号，令
• M代表泊松分布输入或负指数分布服务；
• D代表定长分布输入或定长分布服务； • Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队系 统可以写成M/M/N； • 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写成M/D/1。 • 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 • 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先服务， 单个服务通道的等待制系统。
多通道服务方式
(1)系统中没有车辆的概率 为： 1 P (0) N 1 k N N !(1 / N ) k 0 k! ( 2)系统中有 k个车辆的概率： k .P (0), k! P（k） k P (0), kN N! N k N k N
1
5 5 10s / 辆
两种系统比较
4个M/M/1
平均车辆数 平均排队长 平均耗时 平均等候时间 20 16.68 30 25
M/M/4
6.6 3.3 10 5
设顾客平均到达率为，则到达的平均时距为1/ 。排队从单通道通过接受 服务的平均服务率为，则平均服务时间为1/ 。比率 / 叫做服务强度 或交通强度，可以确定系统的状态。所谓状态，指的是排队系统的顾客数。 1)在系统中没有顾客的概率为P(0) 1 2)在系统中有n个顾客的概率为P (n) n (1 ) 3)系统中的平均车辆数n 4)系统中的平均方差 2 5)平均排队长度q n 6)非零平均排队长度q w 1 1 n
排队模型掌握mm1,mmc,mm1k ppt课件
Ek——k阶爱尔朗分布
GI——一般相互独立的时间间隔分布
G——一般服务时间分布
四、排队模型的数量指标
1、平均队长(Ls)： 指在系统中的顾客数（包括正被服务的顾客 和排队等待的顾客）的期望值。 2、平均排队长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数的期望值。
Ls=Lq+正被服务的顾客数 3、平均逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间期望值。
4、平均等待时间(Wq)：指一个顾客在系统中排队等待的时间的期望值。 Ws=Wq+服务时间
5、忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲止 这段时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。
6、系统的状态概率[Pn( t )] ：指系统中的顾客数为n的概率。
7、稳定状态：limPn(t)→Pn
四、排队模型的数量指标
排队模型
凯里学院 余英
模型要点
1、掌握排队模型的基本概念 2、了解常见的分布函数及生灭过程 3、掌握典型排队系统模型的结构及应用
排队模型的基本概念
一、引言 1、什么是排队模型（排队论）？ 排队论是研究拥挤现象的一门学科。
它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上， 解决有关排队系统的最优化设计（静态）和最 优控制（动态）问题。
的，它们之间可以是平行排列（并列）的，也可以 是前后排列（串列）的，也可以是混合的； b、服务时间可以是确定的，也可以是随机的，对于 后者要知道它的概率分布； c、服务时间可以是平稳的，也可以是非平稳的，我 们研究前者； d、对于等待制，服务规则又可以分为先到先服务 （FCFS），后到先服务（LCFS），随机服务和有 优先权的服务。
二、排队系统的特征及其组成
1、排队系统的特征即拥挤现象的共性 1）、有请求服务的人或物 2）、有为顾客服务的人或物 3）、具有随机性 4）、服务的数量超过服务机构的容量
GI——一般相互独立的时间间隔分布
G——一般服务时间分布
四、排队模型的数量指标
1、平均队长(Ls)： 指在系统中的顾客数（包括正被服务的顾客 和排队等待的顾客）的期望值。 2、平均排队长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数的期望值。
Ls=Lq+正被服务的顾客数 3、平均逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间期望值。
4、平均等待时间(Wq)：指一个顾客在系统中排队等待的时间的期望值。 Ws=Wq+服务时间
5、忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲止 这段时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。
6、系统的状态概率[Pn( t )] ：指系统中的顾客数为n的概率。
7、稳定状态：limPn(t)→Pn
四、排队模型的数量指标
排队模型
凯里学院 余英
模型要点
1、掌握排队模型的基本概念 2、了解常见的分布函数及生灭过程 3、掌握典型排队系统模型的结构及应用
排队模型的基本概念
一、引言 1、什么是排队模型（排队论）？ 排队论是研究拥挤现象的一门学科。
它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上， 解决有关排队系统的最优化设计（静态）和最 优控制（动态）问题。
的，它们之间可以是平行排列（并列）的，也可以 是前后排列（串列）的，也可以是混合的； b、服务时间可以是确定的，也可以是随机的，对于 后者要知道它的概率分布； c、服务时间可以是平稳的，也可以是非平稳的，我 们研究前者； d、对于等待制，服务规则又可以分为先到先服务 （FCFS），后到先服务（LCFS），随机服务和有 优先权的服务。
二、排队系统的特征及其组成
1、排队系统的特征即拥挤现象的共性 1）、有请求服务的人或物 2）、有为顾客服务的人或物 3）、具有随机性 4）、服务的数量超过服务机构的容量
排队理论模型ppt课件
排队论模型
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学 方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学 科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立 一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统 预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、 机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取 得了显著的成绩。
1 n k
(9.3)
当S为可数状态集时(9.2)式变为
n01
pn1 p0
( n 1 p1
n ) pn
0
p n1 n1
0
从而可以求得概率分布列 {pn}
n1
(9.4
（五）、典型排队模型和理论结果
下面给出满足生灭过程典型排队M/M/1与M/M/C的 结果
(一)单服务台等待制M/M/1排队模型
1.M/M/1/ 顾客来到的时间间隔 服从参数 的
负指数分布，服务员为顾客服务时间 服从参数
的指数分布，且 与 相互独立，1个服务台，系
统容量为 的等待制排队模型。
可理解为:单位时间平均到达的顾客数-----平均到 达率
可理解为:单位时间平均服务完的顾客数----平均 服务率
(1)顾客输入过程 {N(t):t 0},( N(0) 0)是平均率为
3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计
服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否 合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行 优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是
(1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务 的)的数目，它的期望值为 Ls ；排队长度则仅指在队列中 排队等待的顾客数，其期望记为 Lq. 系统中的顾客数
煤矿 火车 煤仓
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学 方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学 科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立 一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统 预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、 机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取 得了显著的成绩。
1 n k
(9.3)
当S为可数状态集时(9.2)式变为
n01
pn1 p0
( n 1 p1
n ) pn
0
p n1 n1
0
从而可以求得概率分布列 {pn}
n1
(9.4
（五）、典型排队模型和理论结果
下面给出满足生灭过程典型排队M/M/1与M/M/C的 结果
(一)单服务台等待制M/M/1排队模型
1.M/M/1/ 顾客来到的时间间隔 服从参数 的
负指数分布，服务员为顾客服务时间 服从参数
的指数分布，且 与 相互独立，1个服务台，系
统容量为 的等待制排队模型。
可理解为:单位时间平均到达的顾客数-----平均到 达率
可理解为:单位时间平均服务完的顾客数----平均 服务率
(1)顾客输入过程 {N(t):t 0},( N(0) 0)是平均率为
3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计
服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否 合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行 优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是
(1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务 的)的数目，它的期望值为 Ls ；排队长度则仅指在队列中 排队等待的顾客数，其期望记为 Lq. 系统中的顾客数
煤矿 火车 煤仓
第六章排队论-PPT精选
(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系
统时，所有服务台都被先到的顾客占用， 那么他们就自动离开系统永不再来。
2．服务规则
(2)等待制 这是指当顾客来到系统时，所有服务台
都不空，顾客加入排队行列等待服务。等待制中，服务 台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则： 1)先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。 2)后到先服务。 3)随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随 意指定某个顾客接受服务。 4)优先权服务。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
第六章 排 队 论
随机服务系统理论
第六章 排 队 论
排队系统描述 基本概念 M / M / 1 模型 M / M / S 模型
第一节 排队系统描述
顾客－－－要求服务的对象统称为“顾 客”
服务台－－－把提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
(2)其他常用数量指标
Pn PNn:稳态系统任一 为n时 的刻 概状
特别n＝ 当0时（系统中0顾 ）客 ，数为 P0即稳态系统所 全有 部服 空务 闲台 的概
(2)其他常用数量指标
ρ ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平 均服务时间，—般有ρ =λ ／(sμ )，这是衡量 排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ 趋近于0时， 表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地 说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务 台有大量的空闲时间；如服务强度ρ 趋近于1， 那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。 我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ，即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多， 以后总是保持这个假设而不再声明。
统时，所有服务台都被先到的顾客占用， 那么他们就自动离开系统永不再来。
2．服务规则
(2)等待制 这是指当顾客来到系统时，所有服务台
都不空，顾客加入排队行列等待服务。等待制中，服务 台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则： 1)先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。 2)后到先服务。 3)随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随 意指定某个顾客接受服务。 4)优先权服务。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
第六章 排 队 论
随机服务系统理论
第六章 排 队 论
排队系统描述 基本概念 M / M / 1 模型 M / M / S 模型
第一节 排队系统描述
顾客－－－要求服务的对象统称为“顾 客”
服务台－－－把提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
(2)其他常用数量指标
Pn PNn:稳态系统任一 为n时 的刻 概状
特别n＝ 当0时（系统中0顾 ）客 ，数为 P0即稳态系统所 全有 部服 空务 闲台 的概
(2)其他常用数量指标
ρ ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平 均服务时间，—般有ρ =λ ／(sμ )，这是衡量 排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ 趋近于0时， 表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地 说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务 台有大量的空闲时间；如服务强度ρ 趋近于1， 那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。 我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ，即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多， 以后总是保持这个假设而不再声明。
排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)
Pn(t+Δt)= Pn(t)(1-λΔt )+Pn-1(t)λΔt+ o(Δt) [Pn(t+Δt)-Pn(t)]/Δt =-λPn(t)+λPn-1(t)+[o(Δt)]/Δt
令Δt0
d Pn(t)/dt= -λPn(t) +λPn-1(t)
Pn(0)=0
（n1）
d P0(t)/dt= -λP0(t)
T= v1+v2+...+ vk 服从k阶爱尔朗分布。
五、常见的分布函数及生灭过程
5、生灭过程 定义：设{N（t），t≥0}为一随机过程，若N（t）的概
率分布具有以下性质： a、假设N（t）=n,则从时刻t起到下一个顾客到达时刻 止的时间服从参数为λn的负指数分布，n=0,1,2,… b、假设假设N（t）=n,则从时刻t起到下一个顾客离 去时刻止的时间服从参数为μn的负指数分布， n=0,1,2,… c、同一时刻时只有一个顾客到达或离去。 则称{N（t），t≥0}为一个生灭过程。
…
…
n-1
pn =λn-1pn-1/μn+(μn-1pn-1- pn-2λn-2)/μn
=p0λn-2λn-1…λ0/(μnμn-1…μ1)
n
p3 =λnpn/μn+1+(μnpn- pn-1λn-1)/μn+1
=p0λnλn-1…λ0/(μn+1μn…μ1)
五、常见的分布函数及生灭过程
记
cn
n 1 n2...0 n n1...0
平均服务率： 41/127=0.32(人/分钟)
六、典型排队系统模型的结构及应用
M/M/C等待制排队模型研究要点： a、系统意义 b、状态转移速度图与状态转移速度矩阵 c、状态概率方程 d、系统的基本数量指标
排队论大学课件9-多服务窗排队模型
顾客到达的间隔时间——负指数分布，参数为 顾客接受服务的时间——负指数分布，参数为 系统有n个服务窗 系统最多容纳顾客个
10
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
E {0,1, 2,...}
k
k k n k n k n
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
外线利用率
L服 n
外线损失系数，（空闲、浪费系数）
q ( n) 1
L服 n
1
28
5 M/M…排队系统的输出过程
输出是与输入同强度的泊松流 设排队系统为M/M/n/m(1nm )，设到 达的顾客流是参数为的泊松流（在等待制 时，进入系统的流是参数为的泊松流；在 混合制与损失制时，进入系统的流是参数 为(1-pm)的泊松流），如果把混合制与损 失制时的损失流也看作系统的输出，则系 统的输出是参数为的泊松流。 证明略
29
队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布 的关系
设统计平衡条件下，顾客到达时看到的队长为ls（不包括到达的这个顾客）， ls-与平稳队长ls的 分布相同吗？
排队系统
平稳分布记做： pn P (ls n)
pn P (ls n)
30
队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布 的关系
k 0
k!
称为爱尔兰损失公式，又称爱尔兰B公式，欧洲人称 为爱尔兰第一公式
6
1 多服务窗损失制排队模型M/M/n/n
爱尔兰B公式的广泛性：
我们把一个具有泊松输入的损失制排队系统称为 爱尔兰损失制系统，这种损失制系统对于任何服 务时间分布，它在统计平衡条件下的状态概率都 相同与M/M/n/n相同。 即M/M/n/n排队系统的平稳分布＝M/G/n/n排队系 统的平稳分布
10
2 多服务窗等待制排队模型M/M/n
E {0,1, 2,...}
k
k k n k n k n
4 多服务窗闭合式排队模型M/M/n/m/m
外线利用率
L服 n
外线损失系数，（空闲、浪费系数）
q ( n) 1
L服 n
1
28
5 M/M…排队系统的输出过程
输出是与输入同强度的泊松流 设排队系统为M/M/n/m(1nm )，设到 达的顾客流是参数为的泊松流（在等待制 时，进入系统的流是参数为的泊松流；在 混合制与损失制时，进入系统的流是参数 为(1-pm)的泊松流），如果把混合制与损 失制时的损失流也看作系统的输出，则系 统的输出是参数为的泊松流。 证明略
29
队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布 的关系
设统计平衡条件下，顾客到达时看到的队长为ls（不包括到达的这个顾客）， ls-与平稳队长ls的 分布相同吗？
排队系统
平稳分布记做： pn P (ls n)
pn P (ls n)
30
队长分布与顾客到达时刻看到的队长分布 的关系
k 0
k!
称为爱尔兰损失公式，又称爱尔兰B公式，欧洲人称 为爱尔兰第一公式
6
1 多服务窗损失制排队模型M/M/n/n
爱尔兰B公式的广泛性：
我们把一个具有泊松输入的损失制排队系统称为 爱尔兰损失制系统，这种损失制系统对于任何服 务时间分布，它在统计平衡条件下的状态概率都 相同与M/M/n/n相同。 即M/M/n/n排队系统的平稳分布＝M/G/n/n排队系 统的平稳分布
Queue Theory
排队论课件
21
M/M/1/N/ 举例
M/M/s with Finite Queue
Arrival rate 5 Service rate 6 Number of servers 1 Maximum queue length 4 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system Probability that a customer waits Probability that a customer balks
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 NUMBER IN SYSTEM 28 30 32 34 36 38 40
♂
Probability
排队论课件
24
其他模型
M/M/c/K/K
1
(c )c P0 P c !(1 ) P P Lq , L c 1 1 L 1 W , Wq W
排队论课件23M/M/c 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 10 6 2 83.33% 0.0909 3.7879 5.4545 0.3788 0.5455 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
排队论(讲稿)PPT课件
概况2
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
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1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
排队论课件ppt
2023最新整理收集 do
something
第十章 排队论
Operational Research ( OR )
引言
生灭过程和Poisson过程
本
M/M/s等待制排队模型
章
M/M/s混合制排队模型
内
其他排队模型简介
容
排队系统的优化
分析排队系统的模拟方法
排队系统特征及排队论
排队 系统 的特 征及 排队 论
服
L npn n(1 ) n
n0
n1
务 台
( 2 2 33 …) ( 2 23 3 4 …)
2
3
…=
1-
模
平均排队长Lq为：
型
Lq (n 1) pn L (1 p0 )
n1
L 2 2
1 ( )
关于顾客在系统中的逗留时间T，可说明它服从参 数为μ-λ
单
P T t e()t t≥0
(3) 普通性： 在［t,t+Δt］内多于一个顾客到达的概 率为o(Δt)。 则称{N(t),t≥0}为Poisson过程。
生 灭 过 程 和
Poisson 过 程
定理1
设N(t)为时间［0,t］内到达系统的顾客数，则
{N(t),t≥0}为Poisson过程的充分必要条件是：
PN (t) n (t)n et
的
(3) 系统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问
题，其基本目的是使系统处于最优或最合理的状态。
基
系统优化问题包括最优设计问题和最优运营问题，其
内容很多，有最少费用问题、服务率的控制问题、服
本
务台的开关策略、顾客(或服务)根据优先权的最优排
序等方面的问题。
something
第十章 排队论
Operational Research ( OR )
引言
生灭过程和Poisson过程
本
M/M/s等待制排队模型
章
M/M/s混合制排队模型
内
其他排队模型简介
容
排队系统的优化
分析排队系统的模拟方法
排队系统特征及排队论
排队 系统 的特 征及 排队 论
服
L npn n(1 ) n
n0
n1
务 台
( 2 2 33 …) ( 2 23 3 4 …)
2
3
…=
1-
模
平均排队长Lq为：
型
Lq (n 1) pn L (1 p0 )
n1
L 2 2
1 ( )
关于顾客在系统中的逗留时间T，可说明它服从参 数为μ-λ
单
P T t e()t t≥0
(3) 普通性： 在［t,t+Δt］内多于一个顾客到达的概 率为o(Δt)。 则称{N(t),t≥0}为Poisson过程。
生 灭 过 程 和
Poisson 过 程
定理1
设N(t)为时间［0,t］内到达系统的顾客数，则
{N(t),t≥0}为Poisson过程的充分必要条件是：
PN (t) n (t)n et
的
(3) 系统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问
题，其基本目的是使系统处于最优或最合理的状态。
基
系统优化问题包括最优设计问题和最优运营问题，其
内容很多，有最少费用问题、服务率的控制问题、服
本
务台的开关策略、顾客(或服务)根据优先权的最优排
序等方面的问题。
第三章三节MM1排队模型
首先可证，逗留时间W 服从参数为 的负指数分布， 而负指数分布的均值等于其参数的倒数，故平均逗留时间 W
s
1
平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间，即 1 W q W s
（3）上述4个指标之间的关系——里特公式
Ls W s Lq W q
Ls Lq
3 1 1 4 0.304, (c) N 5, P0 1 6 1 0.178 P5 5 P0 0.237 0.304 0.072
三.顾客源有限的M/M/1模型（M/M/1/ /m ）
1.与（M/M/1/ / ）的区别
(1) 系统状态n 0，，m; 1，
1
5! 5! 5! 5! 5! 5! (1) P0 (0.8)0 (0.8)1 (0.8)2 (0.8)3 (0.8)4 (0.8)5 0.0073 4! 3! 2! 1! 0! 5! 1 5! 5 P0 m (2) P5 (0.8) P0 0.287; m! i 0! (m i)! ( ) i 0 1 (3) Ls 5 (1 0.0073) 3.76(台； ) m! n 0.8 ( ) P0 , n 1,, m Pn
W s W q
1
一般的里特公式中 应为e，称有效到达率，即实际进入 系统率。本模型中因系统容量无限制，故e 。
例2 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从 泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均 需6分钟。求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内有3个顾 客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客 的平均数；（5）顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服 务的顾客平均数；（7）平均等待修理时间；（8）必须在店 内消耗15分钟以上的概率。
s
1
平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间，即 1 W q W s
（3）上述4个指标之间的关系——里特公式
Ls W s Lq W q
Ls Lq
3 1 1 4 0.304, (c) N 5, P0 1 6 1 0.178 P5 5 P0 0.237 0.304 0.072
三.顾客源有限的M/M/1模型（M/M/1/ /m ）
1.与（M/M/1/ / ）的区别
(1) 系统状态n 0，，m; 1，
1
5! 5! 5! 5! 5! 5! (1) P0 (0.8)0 (0.8)1 (0.8)2 (0.8)3 (0.8)4 (0.8)5 0.0073 4! 3! 2! 1! 0! 5! 1 5! 5 P0 m (2) P5 (0.8) P0 0.287; m! i 0! (m i)! ( ) i 0 1 (3) Ls 5 (1 0.0073) 3.76(台； ) m! n 0.8 ( ) P0 , n 1,, m Pn
W s W q
1
一般的里特公式中 应为e，称有效到达率，即实际进入 系统率。本模型中因系统容量无限制，故e 。
例2 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从 泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均 需6分钟。求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内有3个顾 客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客 的平均数；（5）顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服 务的顾客平均数；（7）平均等待修理时间；（8）必须在店 内消耗15分钟以上的概率。
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t 0
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务 j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
04:37:02
9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
04:37:02
8
增长率和消亡率的分析
由此，M/M/…型排队模型，在状态时的增长率和消亡率为：
i lim pi ,i 1 (t ) t pi ,i 1 (t ) t lim
t 0(t )
t 0
i lim
t 0
t j t 0(t ) lim j t 0 t
04:37:02
10
第一节 单服务窗损失制排队模型 M/M/1/1
04:37:02
11Байду номын сангаас
排队模型分析
M/M/1/1 t 顾客到达间隔时间为负指数分布，参数为， a(t ) e t 服务窗服务时间为负指数分布，参数为， b(t ) e
损失的顾客
0 1
系统最大顾客数1决定了系统状态为{0,1}
队列长度有限
D= 等待制
队列最大长度
04:37:02
3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
M/M/…的排队系统顾客数变化有什么特点？
顾客到达间隔与顾客服务时间均服从负指数分布
Q
状态0系统中顾客数为0 服务窗空闲 状态1 系统中有1个顾客，此顾客正在接受服务 系统顾客满服务窗忙
04:37:02
12
求解平稳分布
根据马氏链、生灭过程求平稳分布的公式： Q 0 列出平衡方程：
p1 p0 p0 p1 1 p0
t e t C1 te o(t ) j
j t o(t )
04:37:02 7
增长率和消亡率的分析
pii (t ) P(t内到达了0个，离开了0个) P(t内到达了k个，离开了k个,k 1) e t (e t ) j o(t ) 1 ( j ) t o ( t ) 当i 0时 p00 (t ) P(t内到达了0个) P(t内到达了k个，离开了k个,k 1) e t o(t ) 1 t o ( t )
p1 1
1 令 1
本书从现在开始用{p0,p1,p2,…}表示平稳分布
04:37:02 13
M/M/1/1的各个目标参量
单位时间内损失的顾客数
L p1
P损 p1
2
1
因为顾客到达间隔时间是相互独立的，顾客接受服务也是相互 独立的，因此，之前的顾客到达情况、服务情况不影响当前顾 客数变化概率 因为到达间隔时间和服务时间都具有无记忆性，因此，下一个 顾客的到达间隔时间已经过去了多久、当前正在服务的顾客的 服务时间已经过去了多久不影响当前顾客数的变化概率
04:37:02
04:37:02 2
排队模型－Kendall记号
A/B/C/D/E
顾 客 到 达 间 隔 时 间 分 布
服 务 窗 服 务 时 间 的 分 布 服 务 窗 个 数 系 统 中 允 许 的 最 大 顾 客 数 ，
默 认 无 穷
C=D<E 损失制
顾 客 源 中 顾 客 数 ，
默 认 无 穷
C<D< 混合制
单位时间内平均进入系统的顾客数
假定顾客到达为强度为的泊松流，服务窗的服务 率为，服务时间服从负指数分布。考察在t（极 短）时间内，
若顾客到达间隔时间服从参数为的负指数分布，则在 t（极短）时间内有1个顾客到达的概率为t＋o(t)， 没有顾客到达的概率为1-t＋o(t) 若服务时间服从参数为的负指数分布，则在t（极短） 时间内有1个正在忙的服务窗服务完当前顾客的概率是 t＋o(t)， 1个正在忙的服务窗没有服务完的概率是 1-t＋o(t)
4
M/M/…的排队模型
M/M/…的排队系统，系统中顾客数变化是一种生 灭过程
0状态代表系统有0个顾客 1状态代表系统中有1个顾客 2状态代表系统中有2个顾客 …
生灭过程的增长率和消亡率怎么确定？
增长率取决于到达率和当前系统状态 消亡率取决于服务率和当前系统状态
04:37:02
5
增长率和消亡率的分析
排队模型回顾
顾客到达排队系统请求服务
服 务 机 构
排队机构
如果排队系统中顾客数没有满，则进入排队系统 如果有空闲的服务窗，则直接到服务机构接受服务 如果服务窗全部被占用，则排队等候
04:37:02
1
M/M..排队系统的几种可能状态
λ0= λ μ0= 0
λ2= λ μ2= 2μ
λ7= λ 假如此系统容量为 7 (M/M/3/7) λμ 03μ 7= 7= μ7= 3μ
04:37:02
6
增长率和消亡率的分析
i状态下，i状态代表排队系统中有i个顾客，假定此时有j 个顾客正在接受服务(ji)。若m为服务窗个数，j=i 当i m 时, j=m 当i>m时。
pi ,i 1 (t ) P(t内到达了1个，离开了0个) P(t内到达了k个，离开了k 1个,k 2) te t (e t ) j o(t ) t o(t ) pi ,i 1 (t ) P(t内到达了0个，离开了1个) P(t内到达了k个，离开了k 1个,k 1)
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务 j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
04:37:02
9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
04:37:02
8
增长率和消亡率的分析
由此，M/M/…型排队模型，在状态时的增长率和消亡率为：
i lim pi ,i 1 (t ) t pi ,i 1 (t ) t lim
t 0(t )
t 0
i lim
t 0
t j t 0(t ) lim j t 0 t
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10
第一节 单服务窗损失制排队模型 M/M/1/1
04:37:02
11Байду номын сангаас
排队模型分析
M/M/1/1 t 顾客到达间隔时间为负指数分布，参数为， a(t ) e t 服务窗服务时间为负指数分布，参数为， b(t ) e
损失的顾客
0 1
系统最大顾客数1决定了系统状态为{0,1}
队列长度有限
D= 等待制
队列最大长度
04:37:02
3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
M/M/…的排队系统顾客数变化有什么特点？
顾客到达间隔与顾客服务时间均服从负指数分布
Q
状态0系统中顾客数为0 服务窗空闲 状态1 系统中有1个顾客，此顾客正在接受服务 系统顾客满服务窗忙
04:37:02
12
求解平稳分布
根据马氏链、生灭过程求平稳分布的公式： Q 0 列出平衡方程：
p1 p0 p0 p1 1 p0
t e t C1 te o(t ) j
j t o(t )
04:37:02 7
增长率和消亡率的分析
pii (t ) P(t内到达了0个，离开了0个) P(t内到达了k个，离开了k个,k 1) e t (e t ) j o(t ) 1 ( j ) t o ( t ) 当i 0时 p00 (t ) P(t内到达了0个) P(t内到达了k个，离开了k个,k 1) e t o(t ) 1 t o ( t )
p1 1
1 令 1
本书从现在开始用{p0,p1,p2,…}表示平稳分布
04:37:02 13
M/M/1/1的各个目标参量
单位时间内损失的顾客数
L p1
P损 p1
2
1
因为顾客到达间隔时间是相互独立的，顾客接受服务也是相互 独立的，因此，之前的顾客到达情况、服务情况不影响当前顾 客数变化概率 因为到达间隔时间和服务时间都具有无记忆性，因此，下一个 顾客的到达间隔时间已经过去了多久、当前正在服务的顾客的 服务时间已经过去了多久不影响当前顾客数的变化概率
04:37:02
04:37:02 2
排队模型－Kendall记号
A/B/C/D/E
顾 客 到 达 间 隔 时 间 分 布
服 务 窗 服 务 时 间 的 分 布 服 务 窗 个 数 系 统 中 允 许 的 最 大 顾 客 数 ，
默 认 无 穷
C=D<E 损失制
顾 客 源 中 顾 客 数 ，
默 认 无 穷
C<D< 混合制
单位时间内平均进入系统的顾客数
假定顾客到达为强度为的泊松流，服务窗的服务 率为，服务时间服从负指数分布。考察在t（极 短）时间内，
若顾客到达间隔时间服从参数为的负指数分布，则在 t（极短）时间内有1个顾客到达的概率为t＋o(t)， 没有顾客到达的概率为1-t＋o(t) 若服务时间服从参数为的负指数分布，则在t（极短） 时间内有1个正在忙的服务窗服务完当前顾客的概率是 t＋o(t)， 1个正在忙的服务窗没有服务完的概率是 1-t＋o(t)
4
M/M/…的排队模型
M/M/…的排队系统，系统中顾客数变化是一种生 灭过程
0状态代表系统有0个顾客 1状态代表系统中有1个顾客 2状态代表系统中有2个顾客 …
生灭过程的增长率和消亡率怎么确定？
增长率取决于到达率和当前系统状态 消亡率取决于服务率和当前系统状态
04:37:02
5
增长率和消亡率的分析
排队模型回顾
顾客到达排队系统请求服务
服 务 机 构
排队机构
如果排队系统中顾客数没有满，则进入排队系统 如果有空闲的服务窗，则直接到服务机构接受服务 如果服务窗全部被占用，则排队等候
04:37:02
1
M/M..排队系统的几种可能状态
λ0= λ μ0= 0
λ2= λ μ2= 2μ
λ7= λ 假如此系统容量为 7 (M/M/3/7) λμ 03μ 7= 7= μ7= 3μ
04:37:02
6
增长率和消亡率的分析
i状态下，i状态代表排队系统中有i个顾客，假定此时有j 个顾客正在接受服务(ji)。若m为服务窗个数，j=i 当i m 时, j=m 当i>m时。
pi ,i 1 (t ) P(t内到达了1个，离开了0个) P(t内到达了k个，离开了k 1个,k 2) te t (e t ) j o(t ) t o(t ) pi ,i 1 (t ) P(t内到达了0个，离开了1个) P(t内到达了k个，离开了k 1个,k 1)