复合函数的偏导数和全微分

类似地再推广,设 u = φ ( x , y ) ,v = ψ ( x , y ) , 类似地再推广,
w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数,复合 的偏导数,
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点( x , y ) 两个偏导数存在, 两个偏导数存在,且可用下列公式计算
2z 八, 2 = φ 11 (1 + ′ ) 2 + φ 1 ′′, x 2z = φ 11 ( ′ ) 2 φ 12 ′ + φ 1 ′′ φ 21 ′ + φ 22 . y 2
�
.
练习题
一,填空题: 填空题: x cos y z 1, ________________; 1,设 z = ,则 = ________________; y cos x x z ________________. = ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z _______________; 2 ,设 z = ,则 = _______________; 2 x y z = ________________. y dz sin t 2 t 3 3, 3,设 z = e ,则 = ________________. dt v z z 2 2 u 二,设 z = ue ,而 u = x + y , v = xy ,求 , . x y
例 1 设 z = e u sin v ,而u = xy ,v = x + y ,
z z 和 . 求 x y
解
z z u z v = + x u x v x
= e u sin v y + e u cos v 1 = e u ( y sin v + cos v ),
z z u z v = + y u y v y u u = e sin v x + e cos v 1 = e u ( x sin v + cos v ).
ye xe dz = z dx + z dy ( e 2) ( e 2) z ye xy z xe xy , = z . = z x e 2 y e 2
xy
三,小结
1,链式法则(分三种情况) , 分三种情况)
(特别要注意课中所讲的特殊情况) 特别要注意课中所讲的特殊情况)
2,全微分形式不变性 ,
dz z du z dv . = + dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t,
则 u = φ ( t + t ) φ ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );
由于函数 z = f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 有连续偏导数
z z z = u + v + ε 1 u + ε 2 v , u v
z z = du + dv . v u
例 4 已知e
xy
z z 2 z + e = 0 ,求 和 . x y
z
z
解
∵ d (e
xy
2 z + e ) = 0,
xy
∴ e xy d ( xy ) 2dz + e z dz = 0,
(e 2)dz = e
z
( xdy + ydx )
xy
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如
dz z du z dv z dw = + + dt u dt v dt w dt
z
dz 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
u v w
t
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况: 而是多元函数的情况: z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )].
dz 三,设 z = arctan(xy ) ,而 y = e ,求 . dx
x
四,设 z = f ( x 2 y 2 , e xy ), (其中f具 有一阶连续偏导
z z 数),求 , . x y ,(其 五,设 u = f ( x + xy + xyz ) ,(其中f具 有一阶连续偏导 u u u ),求 数),求 , , . x y z x ,(其 有二阶连续偏导数), ),求 六,设 z = f ( x , ) ,(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y 2z 2z 2z , , 2. 2 x xy y
同理有 f 2′,
w f u f v = + = f1′ + yzf 2′; x u x v x
f1′ f 2′ w ( f1′ + yzf 2′) = ; + yf 2′ + yz = z z xz z f1′ f1′ u f1′ v ′′ ′′ + = f11 + xyf12 ; = u z v z z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第五节
复合函数的偏导数和全微分
一,链式法则
定理 定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导 , 函数 z = f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏 导数, 导数,则复合函数 z = f [φ ( t ),ψ ( t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算: 导,且其导数可用下列公式计算:
(理解其实质) 理解其实质)
思考题
设 z = f ( u, v , x ) ,而u = φ ( x ) ,v = ψ ( x ) ,
dz f du f dv f = + + , 则 dx u dx v dx x dz f 是否相同?为什么? 试问 与 是否相同?为什么? dx x
思考题解答
不相同. 不相同
当 u → 0 , v → 0 时, ε 1 → 0 ,ε 2 → 0
z z u z v u v = + + ε1 + ε2 t u t v t t t
当 t → 0时, u → 0 ,v → 0
u du → , dt t
dv v → , dt t
dz z z du z dv = lim = + . dt t →0 t u dt v dt
y 其中为可导函数, , 其中为可导函数, 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 验证: 验证: + = 2. x x y y y 具有二阶导数, 八,设 z = φ [ x + ( x y ), y ], 其中 φ , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x y
七,设 z =
的函数, 等式左端的 z 是作为一个自变量x 的函数,
而 等 式 右 端 最 后 一 项 f 是 作 为 u , v, x 的 三 元 函 数 ,
写出来为
dz dx
x
f = u
du f ( u ,v , x ) x + dx v
dv ( u ,v , x ) dx
x
f + x
( u ,v , x )
例 2 设 z = uv + sin t ,而 u = e t ,v = cos t ,
dz 求全导数 . dt
解
dz z du z dv z = + + dt u dt v dt t
= ve u sin t + cos t
t
= e cos t e sin t + cos t
t t
= e t (cos t sin t ) + cos t .
, 无论 z是自变量 u,v的函数或中间变量 u,v , 的函数,它的全微分形式是一样的. 的函数,它的全微分形式是一样的
z z dz = dx + dy x y
z u z v z u z v = + dx + + dy u x v x u y v y z u u z v v = dx + dy + dx + dy u x y v x y
2x y z x2 + y2 ]e , 二, = [2 x + y 2 2 2 x (x + y )y
2
xy
2y x z ( x2 + y2 ) ]e . = [2 y + x 2 2 y (x + y )
2
xy
dz e x (1 + x ) 三, = . 2 2x dx 1 + x e z z ′ + ye xy f 2′ , = 2 yf 1′ + xe xy f 2′ . 四, = 2 xf 1 x y u u u = f ′( x + xz ), = xyf ′. 五, = f ′(1 + y + yz ), x y z 2 1 2z ′′ + f 12 + 2 f 22 , ′′ ′′ 六, 2 = f 11 y y x x 1 1 2z ′′ ′′ = 2 ( f 12 + f 22 ) 2 f 2′ , y x y y y x2 2z 2x ′′ = 3 f 2′ + 4 f 22 . 2 y y y
例3
设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶
w 2 w 连续偏导数, 连续偏导数,求 和 . x xz
解 令 u = x + y + z, 记
v = xyz;
f ( u , v ) f1′ = , u ′′ f11 ,
2 f ( u, v ) ′′ f12 = , u v ′′ f 22 .