陈宏芳原子物理答案第六章
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2 2
1⎞ 3 1 ⎛ 粒子能量为 En = ⎜ n + ⎟ ω （ n = 0, 1, 2, … ）的概率 Pn 为： P0 = ，P ， 1 = − C C 2⎠ ⎝
Pn( ≥ 2)
3 1 3 1 = 0 ．由归一化条件 +− = 1 得 C = 2 ，Ψ ( x,0 ) = u0 ( x ) − u1 ( x ) ， C C 2 2
(5)
和
⎧ χ1+1 1 ⎪ ψ 1− = ⎡ ⎣u0 ( x1 ) u1 ( x2 ) − u1 ( x1 ) u0 ( x2 ) ⎤ ⎦ ⎨ χ10 ， 2 ⎪χ ⎩ 1−1
(6)
分属自旋单态和三重态． （注：如果粒子存在排斥相互作用，则第一激发态简并 的两个状态由于交换效应产生能级分裂，三重态ψ 1− 粒子平均距离大，能量较低； ） 单态ψ 1+ 粒子平均距离小，能量较高．
+ a
+∞
1⎛ nπ ⎞ ⌠ 2 2 nπ ⎛ a⎞ ⎜ −i ⎟ ⎮ a sin ⎜ x + ⎟ dx = 0 ． a⎝ a ⎠ ⌡− a ⎝ 2⎠
2
+
a
2⌠ 2 nπ ⎛ a⎞ a2 ⎛ 6 ⎞ x = ∫ u ( x ) x un ( x ) dx = ⎮ x 2 sin 2 ⎜ x + ⎟ dx = ⎜1 − 2 2 ⎟ ． −∞ a ⌡− a a ⎝ 2⎠ 12 ⎝ n π ⎠
2
n2 π2 −2 ≥ ． 2 3 2
6-4 ．自旋 s = 1 2 ，质量为 m 的两个无相互作用全同粒子束缚于一维简谐势场 V = mω 2 x 2 2 中．设一维谐振子的波函数为 un ( x ) ， n = 0, 1, 2, … ．以 χ SM S 表示自
旋态，写出体系两最低能级的能量和相应波函数． 解： s = 1 2 的粒子为费米子，体系总波函数应反对称．粒子无相互作用，体系能 量为两粒子能量之和．单粒子（谐振子）能量为 ε n = ( n + 1 2 ) ω ，因此两个最低 能级的能量分别为：
6-3．一维无限深势阱内，粒子处于定态．取势阱中心为坐标原点．(1) 求坐标、
动量及两者平方的平均值；(2) 验证不确定关系． 解：(1) 设阱宽为 a ，定态波函数可取为
⎧ 2 nπ ⎛ a⎞ sin ⎜ x + ⎟ , ⎪ ⎪ a a ⎝ 2⎠ un = ⎨ ⎪ 0, ⎪ ⎩
+∞ + a ∗ n
−i 3 u0 ( x ) e 2 E0 t −i 1 − u1 ( x ) e 2 E1 t
2
2
Ψ ( x, t ) =
=
−i ωt −i ωt 3 1 u0 ( x ) e 2 − u1 ( x ) e 2 ． 2 2
1
3
(2) 平均能量为 E =
3 2 E0 + −1 2 E1 =
2
2
3 ω． 4
6-2．一维谐振子的初始状态为ψ ( x,0 ) = 3u0 ( x ) − u1 ( x ) ，其中 un ( x ) 是振子的定
态波函数．求：(1) 归一化波函数Ψ ( x, t ) ；(2) 振子的平均能量． 解：(1) 设归一化初始波函数为Ψ ( x,0 ) =
1 3 1 ψ ( x,0) = u0 ( x ) − u1 ( x ) ，则测得 C C C
(1) 基态 两粒子均处于谐振子基态 u0 ，体系能量为 E0 = 2ε 0 = ω ．
轨道波函数 u0 ( x1 , x2 ) = u0 ( x1 ) u0 ( x2 ) 对称，则自旋波函数反对称，总波函数为
(2)
ψ 0 = u0 Βιβλιοθήκη Baidu x1 ) u0 ( x2 ) χ 00 ．
(2) 第一激发态 两粒子分别处于基态 u0 和第一激发态 u1 ，体系能量为 E1 = ε 0 + ε1 = 2 ω ．
轨道波函数为 u1± ( x1 , x2 ) =
(3)
(4)
1 ⎡ 分属对称和反对称波 ⎣u0 ( x1 ) u1 ( x2 ) ± u1 ( x1 ) u0 ( x2 ) ⎤ ⎦， 2
函数，相应自旋波函数的对称性必须与轨道部分相反，总波函数为
ψ 1+ =
1 ⎡ ⎣u0 ( x1 ) u1 ( x2 ) + u1 ( x1 ) u0 ( x2 ) ⎤ ⎦ χ 00 2
6-1．试根据不确定关系估算一维无限深势阱内粒子的基态能． a 2 解： 粒子束缚在势阱 （宽度为 a ） 内，∆x ∼ ， 不确定关系给出 ∆p ∼ ． 由 ∼ 2 ∆x a 于粒子动量等概率地取正负两个方向，故有 p = 0 ， ( ∆p ) = p 2 ，得基态能量为
2
E=
p2 4 2 ∼ ． 2m 2ma 2
2 +∞ ∗ n 2 2
⌠ ⎛ ∗ p = ⎮ un ( x)⎜ − ⌡ −∞ ⎝
2
+∞
2
d2 ⎞ n2 π2 ⎟ un ( x ) dx = dx 2 ⎠ a2
2 2 2
2
n2 π 2 ∫−∞ u ( x ) un ( x ) dx = a 2
+∞ ∗ n
2
．
(2)
( ∆x ) = x 2 − x ， ( ∆p ) = p 2 − p ， ∆x∆p = x 2 p 2 =
a 2 , n = 1, 2, 3, … ． a x> 2 x≤
(1)
2⌠ 2 nπ ⎛ a⎞ x = ∫ u ( x ) xun ( x ) dx = ⎮ x sin 2 ⎜ x + ⎟ dx = 0 （注：被积函数是奇函数， −∞ a a ⌡− a ⎝ 2⎠
2
在对称区间上的积分必定为零） ．
d ⎞ ⌠ ∗ p = ⎮ un ( x)⎛ ⎜ −i ⎟ u n ( x ) dx = dx ⎠ ⌡ −∞ ⎝
1⎞ 3 1 ⎛ 粒子能量为 En = ⎜ n + ⎟ ω （ n = 0, 1, 2, … ）的概率 Pn 为： P0 = ，P ， 1 = − C C 2⎠ ⎝
Pn( ≥ 2)
3 1 3 1 = 0 ．由归一化条件 +− = 1 得 C = 2 ，Ψ ( x,0 ) = u0 ( x ) − u1 ( x ) ， C C 2 2
(5)
和
⎧ χ1+1 1 ⎪ ψ 1− = ⎡ ⎣u0 ( x1 ) u1 ( x2 ) − u1 ( x1 ) u0 ( x2 ) ⎤ ⎦ ⎨ χ10 ， 2 ⎪χ ⎩ 1−1
(6)
分属自旋单态和三重态． （注：如果粒子存在排斥相互作用，则第一激发态简并 的两个状态由于交换效应产生能级分裂，三重态ψ 1− 粒子平均距离大，能量较低； ） 单态ψ 1+ 粒子平均距离小，能量较高．
+ a
+∞
1⎛ nπ ⎞ ⌠ 2 2 nπ ⎛ a⎞ ⎜ −i ⎟ ⎮ a sin ⎜ x + ⎟ dx = 0 ． a⎝ a ⎠ ⌡− a ⎝ 2⎠
2
+
a
2⌠ 2 nπ ⎛ a⎞ a2 ⎛ 6 ⎞ x = ∫ u ( x ) x un ( x ) dx = ⎮ x 2 sin 2 ⎜ x + ⎟ dx = ⎜1 − 2 2 ⎟ ． −∞ a ⌡− a a ⎝ 2⎠ 12 ⎝ n π ⎠
2
n2 π2 −2 ≥ ． 2 3 2
6-4 ．自旋 s = 1 2 ，质量为 m 的两个无相互作用全同粒子束缚于一维简谐势场 V = mω 2 x 2 2 中．设一维谐振子的波函数为 un ( x ) ， n = 0, 1, 2, … ．以 χ SM S 表示自
旋态，写出体系两最低能级的能量和相应波函数． 解： s = 1 2 的粒子为费米子，体系总波函数应反对称．粒子无相互作用，体系能 量为两粒子能量之和．单粒子（谐振子）能量为 ε n = ( n + 1 2 ) ω ，因此两个最低 能级的能量分别为：
6-3．一维无限深势阱内，粒子处于定态．取势阱中心为坐标原点．(1) 求坐标、
动量及两者平方的平均值；(2) 验证不确定关系． 解：(1) 设阱宽为 a ，定态波函数可取为
⎧ 2 nπ ⎛ a⎞ sin ⎜ x + ⎟ , ⎪ ⎪ a a ⎝ 2⎠ un = ⎨ ⎪ 0, ⎪ ⎩
+∞ + a ∗ n
−i 3 u0 ( x ) e 2 E0 t −i 1 − u1 ( x ) e 2 E1 t
2
2
Ψ ( x, t ) =
=
−i ωt −i ωt 3 1 u0 ( x ) e 2 − u1 ( x ) e 2 ． 2 2
1
3
(2) 平均能量为 E =
3 2 E0 + −1 2 E1 =
2
2
3 ω． 4
6-2．一维谐振子的初始状态为ψ ( x,0 ) = 3u0 ( x ) − u1 ( x ) ，其中 un ( x ) 是振子的定
态波函数．求：(1) 归一化波函数Ψ ( x, t ) ；(2) 振子的平均能量． 解：(1) 设归一化初始波函数为Ψ ( x,0 ) =
1 3 1 ψ ( x,0) = u0 ( x ) − u1 ( x ) ，则测得 C C C
(1) 基态 两粒子均处于谐振子基态 u0 ，体系能量为 E0 = 2ε 0 = ω ．
轨道波函数 u0 ( x1 , x2 ) = u0 ( x1 ) u0 ( x2 ) 对称，则自旋波函数反对称，总波函数为
(2)
ψ 0 = u0 Βιβλιοθήκη Baidu x1 ) u0 ( x2 ) χ 00 ．
(2) 第一激发态 两粒子分别处于基态 u0 和第一激发态 u1 ，体系能量为 E1 = ε 0 + ε1 = 2 ω ．
轨道波函数为 u1± ( x1 , x2 ) =
(3)
(4)
1 ⎡ 分属对称和反对称波 ⎣u0 ( x1 ) u1 ( x2 ) ± u1 ( x1 ) u0 ( x2 ) ⎤ ⎦， 2
函数，相应自旋波函数的对称性必须与轨道部分相反，总波函数为
ψ 1+ =
1 ⎡ ⎣u0 ( x1 ) u1 ( x2 ) + u1 ( x1 ) u0 ( x2 ) ⎤ ⎦ χ 00 2
6-1．试根据不确定关系估算一维无限深势阱内粒子的基态能． a 2 解： 粒子束缚在势阱 （宽度为 a ） 内，∆x ∼ ， 不确定关系给出 ∆p ∼ ． 由 ∼ 2 ∆x a 于粒子动量等概率地取正负两个方向，故有 p = 0 ， ( ∆p ) = p 2 ，得基态能量为
2
E=
p2 4 2 ∼ ． 2m 2ma 2
2 +∞ ∗ n 2 2
⌠ ⎛ ∗ p = ⎮ un ( x)⎜ − ⌡ −∞ ⎝
2
+∞
2
d2 ⎞ n2 π2 ⎟ un ( x ) dx = dx 2 ⎠ a2
2 2 2
2
n2 π 2 ∫−∞ u ( x ) un ( x ) dx = a 2
+∞ ∗ n
2
．
(2)
( ∆x ) = x 2 − x ， ( ∆p ) = p 2 − p ， ∆x∆p = x 2 p 2 =
a 2 , n = 1, 2, 3, … ． a x> 2 x≤
(1)
2⌠ 2 nπ ⎛ a⎞ x = ∫ u ( x ) xun ( x ) dx = ⎮ x sin 2 ⎜ x + ⎟ dx = 0 （注：被积函数是奇函数， −∞ a a ⌡− a ⎝ 2⎠
2
在对称区间上的积分必定为零） ．
d ⎞ ⌠ ∗ p = ⎮ un ( x)⎛ ⎜ −i ⎟ u n ( x ) dx = dx ⎠ ⌡ −∞ ⎝