三角函数的概念、同角关系、诱导公式及三角恒等变换

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三角函数知识点归纳总结

三角函数知识点归纳总结三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.任意角角的概念可以推广为正角、负角、零角，根据旋转的方向不同。

同时也可以根据终边的位置分为象限角和轴线角。

对于一个角α，如果它的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它就是一个象限角，终边落在第几象限就称它为第几象限角。

各象限角的集合分别为：第一象限角：α=k·360°+α，k∈Z，αXXX°<α< k·360°+90°第二象限角：α=k·360°+90°+α，k∈Z，αXXX°+90°<α< k·360°+180°第三象限角：α=k·360°+180°+α，k∈Z，αXXX°+180°<α< k·360°+270°第四象限角：α=k·360°+270°+α，k∈Z，αXXX°+270°<α< k·360°+360°终边在x轴上的角的集合为：α=k·180°，k∈Z终边在y轴上的角的集合为：α=k·180°+90°，k∈Z终边在坐标轴上的角的集合为：α=k·90°，k∈Z2.弧度制弧度制是另一种角度量方式，其中1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。

弧度与角度可以相互换算，其中360°=2π弧度，180°=π弧度。

对于一个半径为r的圆，它的圆心角α所对的弧长为l，则角α的弧度数的绝对值是α=l/r（弧度制），它的周长为C=2r+l，面积为S=lr=αr²。

3.任意角的三角函数定义对于一个任意角α，它的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r=√(x²+y²)，则角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

三角函数的概念及三角恒等变换

三角函数专题复习知识点一：三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式一．考试要求二．基础知识1.角的概念的推广：按逆时针方向旋转所形成的角叫角，按顺时针方向旋转所形成的角叫_______角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角（1）定义：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角任何象限。

（2）象限角的集合：第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为___________________________________第四象限角的集合为___________________________________终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为______________________终边在坐标轴上的角的集合为_____________________（3）终边相同的角：与终边相同的角注意：相等的角的终边一定________，终边相同的角_____________.3、与的终边关系：若是第二象限角，则是第_____象限角4.弧度制:弧度与角度互换公式：1rad＝、1°＝（rad）。

弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：【典例】已知扇形周长为10，面积为4，求扇形的圆心角.5、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，.注：三角函数值与角的大小关，与终边上点P的位置关。

思考：判断各三角函数在每个象限的符号？【典型例题】1.（2014全国）已知角的终边经过点，则=（）A.B.C.D.2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=____________,=____________,=____________3.（2011江西）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则=_____________.【变式训练】1.（2014湖北孝感）点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若，且，则所在的象限为_______________.3.已知角的终边上一点，且，求的值.6.特殊角的三角函数值：7.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）商数关系：【典型例题】1.已知，，则（）A.B.C.D.无法确定2：已知,,则__________3.（2012江西）若，则=_________.【变式训练】1.（2011全国）已知，，则=______.2.如果，且，那么的值是（）A.B.或C.D.或3.若，则=____________，=_______，=_____________.8、三角函数的诱导公式（重难点）【规律总结】奇偶（对而言，取奇数或偶数），符号___________（看原函数，同时把看成是锐角）.诱导公式的应用的一般步骤：（1）负角变正角，再写成+,；（2）转化为锐角三角函数.【典型例题】1.（2013广东）已知，那么（）A．B．C．D．2.如果为锐角，（）A.B．C．D．3.的值等于（）A.B．－C．D．－4.+的值是 .【变式训练】1.=_________；2.已知的值等于___________.3.已知.（1）化简；（2）若角的终边在第二象限且，求.【迁移应用】1．下列各命题正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于的角都是锐角2．等于（）ABCD3.（2013山东诸城）集合中的角的终边所在的范围（阴影部分）是（）4.化为弧度等于（）A.B.C.D.5．点在第（）象限.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6.点在第三象限,则角的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7.点从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为（）A.B.C.D.8.设,角的终边经过点,那么的值等于( )A.B.C.D.9.已知,且,则的值为( )A.B.[C.D.10.化简的结果是（）A．B．1 C．D．11.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴正半轴重合,终边在直线上，则=（）A．B．2 C．0 D．12.（2014山东济南质检）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=_________.13.（2011全国）已知，，则__________.14.已知,则____________.15..扇形的圆心角是，半径为20cm，则扇形的面积为16.（2012山东）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为__________________.17.化简：（1）（2）18.已知，求（1）；（2）的值19.（2013江苏启东中学测试）已知是关于的方程的两个根.（1）求的值.（2）求的值.知识点二：三角恒等变换1．考试要求二．基础知识（1）两角和与差的三角函数（正余余正号相同）（余余正正号相反）（2）．二倍角公式______________=_____________=______________.（3）降幂公式；____________；___________.（4）辅助角公式。

三角函数及解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0yx xα=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）＋＋－＋－＋－－－＋＋－sin αcos αtan α3.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sincos 1,1tan cos αααα+=+=（2）商数关系：sin tan cos ααα=（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。

注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质 sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2ππcos α132 221212- 22- 32- 1- 0 1tan α 0 331 3无3- 1-33-0 无 0函数性质7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

(完整版)三角函数及解三角形知识点总结

2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）＋＋－＋－＋－－－＋＋－sin α cos α tan α3. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sincos 1,1tan cos αααα+=+=（2）商数关系：sin tan cos ααα=（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。

注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质 sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值度0 30 45 60 90 120 135 150 180︒270360弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2πsin α122232132 22121cos α132 2212 012- 22- 32- 1- 0 1tan α 0 3313无3-1-33-无函数性质7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

题组9三角函数的概念、同角关系、诱导公式、恒等变换

高考圈题（新课标II数学文）题组9三角函数的概念、同角关系、诱导公式、恒等变换一、考法解法命题特点分析2014年新课标全国Ⅱ卷第一个解答题为数列题,且2014年数列题考查的放缩难度较大,2015年第一个大题为三角综合问题的可能性极大.对本部分的考查,重点考查性质、化简求值、图像变换、恒等变换.简答题重视解三角形，特别是实际应用问题，当然，还得重视与其他知识的综合，如平面向量。

三角恒等变换是高考考查的重点内容之一,是三角函数的基础常与解三角形以及三角函数的图像与性质结合起来综合考察少单独考察.常见题型以选择题、填空题为主，解答题.难度系数在0.6左右.解题方法荟萃计算转化为主要解题方法.掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍.和差公式,二倍角公式及降幂公式,辅助角公式是解高考题必用公式.二、真题剖析【题干】(2012高考真题全国卷7)已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α=(A) B ） (C) 【解析】(命题意图)本题主要考查同角三角函数关系、二倍角公式的应用. (解题点拨)因为33c o s s i n =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. (点评)注意题目中的角的范围, 结合平方关系与三角恒等变形来做,难度不大.这里要注意sin cos αα±与sin cos αα之间的关系.【题干】（2013•全国新课标卷•Ⅱ）设θ为第二象限角，若π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin θ＋cos θ＝__________.【答案】【解析】 (命题意图) 考查三角函数定义，两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，三角函数在各个象限的符号等4个知识点.(解题点拨)由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得210cos 19θ=.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θsin θ＋cos θ＝.(点评) 主要利用三角函数定义及化一公式求解;涉及方程、转化与化归等数学思想.本题属于中档题，也是高考中的主要考点之一【题干】（2014•全国新课标Ⅰ卷）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 ( )A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】B(命题意图)本题三角函数中的恒等变换应用和切割化弦的技巧 (解题点拨)解法1.选B （演绎推理） ∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-= 解法2.选B （特殊角）取6πβ=代入1sin tan cos βαβ+=，可得3tan =α，所以3πα=，通过四个选项验证，只有选项B 符合。

专题09三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换（解析版）

专题09三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换（解析版）考查同角三角函数基本关系及三角恒等变换历来都是高考热点问题之一，题型一般为选择题或填空题，难度为基础题或中档题.易错点1:不能正确理解三角函数的定义当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误。

根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。

易错点2:单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘,应用意识不强，另—方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的球易错点3：不瞄常数T的代换1=sin2a+cos2 a=sec2a-tan2a=tancrcotcr=tan—=sin—=cos()这些统称42为1的代换。

易错点4:易遗忘关于sin。

和cos。

齐次式的处理方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降皋或升皋.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降"是基本的规律,根号中含有三角函数式时，一般需要升次.易错点5:不能准确运用诱导公式进行化简求值三角化简的通性通法…奇变偶不变，符号看象限（切化弦、降慕公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次）：易错点6:没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象；易错点7:不重视弧度制下弧长公式和扇形面积公式的记忆（/=1q I r.5扇形=§/尸）。

题组一：三角函数的定义1.(2014新课标I)若tana>0,则()A.sin>0B.cosa>0C.siii2tZ>0D.cos2tz>0【解析】tana＞（）w匚第一象限或第三象限.此时sinaL cosa|“E.故sin la=2sin acosa>01选C.2.（2011新课标）已知角0的顶点与原点重合,始边与X轴的正半轴重合，终边在直线y=2a上，则cos2^=()4 A.—5B.——53C.-54D.-5【解析】由角。

七三角函数的概念及同角三角函数关系式与诱导公式

七三角函数的概念及同角三角函数关系式与诱导公式知识要点：1．三角函数的概念（1）角的概念：角的定义，正角、负角和零角，象限角，轴线角，终边相同的角.（2）弧度制：弧度制的概念，弧度与角度的互换，弧长公式、扇形面积公式.（3）任意角的三角函数：三角函数的定义，三角函数的符号.2．同角三角函数的关系式：αααααcos sin tan ,1cos sin 22==+ 3．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 θθπ→+2k任意角的三角函数→正角的三角函数→︒0~︒360角的三角函数→锐角的三角函数.基础题例：例1．（1）如果α是第三象限的角，那么-α，2α的终边落在何处？（2）写出终边在直线x y 3=上的角的集合；（3）若角θ的终边与76π角的终边相同，求在[0，2π）内终边与3θ角的终边相同的角.例2已知一扇形的周长为C(C>0)，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？并求出这个最大值.例3解答下列问题（1）若θ在第四象限，试判断)cos(sin )sin(cos θθ⋅的符号；（2）若0)tan(sin )tan(cos >⋅θθ，试指出θ所在象限，并用图形表示出2θ所取值的范围.例4化简下列各式（1）)3tan()cos()tan()2sin(απαπαπαπ--+-（2）︒︒+︒-⋅︒+︒⋅︒1050tan 120tan )870cos(930cos 150sin 690sin例5已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值：（1）ααααcos sin cos 3sin +-（2）2cos sin sin 2++ααα练习：1．已知1)21(2sin <θ，则θ所在的象限是 .2．已知角α的终边在直线x y 43-=上，则ααcos sin 2+的值是 .3．（08高考四川卷）设πα20<≤，若ααcos 3sin >，则α的取值范围是 .4．（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？5．若524cos ,53sin +-=+-=m m m m θθ（其中πθπ≤≤2），则m 的值等于 .6．已知),0( ,51cos sin πθθθ∈=+，求值：（1）θtan ；（2）θθcos sin -；（3）θθ33cos sin +7．（08高考浙江卷）若5sin 2cos -=+αα，则=αtan .七三角函数的概念及同角三角函数关系式与诱导公式参考答案：例1 （1）第二象限；第一、二象限及y 轴的非负半轴（2）},3|{Z k k ∈+=ππαα （3）πππ2134,2120,72 例2 θ=2， 162c 例3（1） + （2）第一、三象限例4 （1）-tan α (2)23例5 （1）-513)2(,35练习1．第一、三象限2．52或 - 523．)34,3(ππ４．（１）21（２）θ＝２，１００５．ｍ＝０（舍），ｍ＝８６．（１）12537)3(,57)2(,34-７．２。

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）任意角---------⎧⎪⎨⎪⎩正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角.角α（弧度）(,)∈-∞+∞.（2）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）（3）弧度制度：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则lrα=（弧度或rad ）. （4）与角α（弧度）终边相同的角的集合为{}2,k k Z ββαπ=+∈，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad 可省略（5）两制互化：一周角=036022rrππ==（弧度），即0180π=. 1（弧度）00018057.35718π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭故在进行两制互化时，只需记忆0180π=，01180π=两个换算单位即可：如：005518015066π=⨯=；036361805ππ=⨯=. （6）弧长公式：l r α=((0,2])απ∈，扇形面积公式：21122S lr r α==. 注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有11=22S lr =底高，如图4-1所示.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点(,)P x y （非原点O ），则P到原点O的距离0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r xααα===.此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对y ↔，邻x ↔，斜r ↔，如图4-2所示.2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例.角α的终边交单位圆于P ，PM 垂直x 轴于M ， α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT 于T ，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sin α=MP>0, cos α=OM<0, tan α=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中1r ==，则：（1）sin yy rα==，即α终边与单位圆交点的纵坐标y 即为α的正弦值sin α. 如图4-4（a ）所示，sin α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩上正、下负；上（90），下（270），左、右都为；按逆时针方向旋转，向上（一、四）象限为增，从增到，向下（二，三象限）为减，从减到（2）cos xx rα==，即α终边与单位圆交点的横坐标x 即为的余弦值cos α. 如图4-4（b ）所示，cos α的特征为：01101111.⎧⎪-⎪⎨⎪⎪--⎩右正、左负；右（0），左（180），上、下都为；按逆时针方向旋转，向右（三、四）象限为增，从增到，向左（一，三象限）为减，从减到（3）tan yxα=.如图4-4（c ）所示，tan α的特征为： 0.⎧⎪⎨⎪⎩一、三正，二、四负；上、下是（即不存在），左、右都是；逆时针方向旋转，各象限全增三、同角三角函数的基本关系、诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos ααα=2. 诱导公式（1）sin ()sin()sin ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数cos ()cos()cos ()n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数；为奇数tan()tan ()n n απα+=为整数.（2）奇偶性.()()()sin -=-sin cos -=cos tan -=-tan αααααα，，.（3）1sin -=cos cos -=sin tan -=222tan πππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 例如（1）sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭,因为+22ππαπ<<，所以sin +>02πα⎛⎫⎪⎝⎭，即sin +=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭，（2）()sin +πα，因为3+2ππαπ<<，所以()sin +<0πα，即()sin +=-cos παα，简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”.题型归纳及思路提示题型1终边相同的角的集合的表示与区别思路提示（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.例4.1终边落在坐标轴上的角的集合为（） A. {},k k Zααπ=∈ B. ,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C. ,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.,2k k N παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭分析表示终边相同的角的集合，必有k Z ∈，而不是k N ∈.解析解法一：排除法.终边在坐标轴上的角有4种可能，x 轴正、负半轴，y 轴正、负半轴，取1,2,3,4,,k =可知只有选项B占有4条半轴，故选B. 解法二;推演法.终边在坐标轴上的角的集合为3113",2,,,,0,,,,2,",2222ππππππππ----可以看作双向等差数列，公差为2π，取初始角0α=，故0()2k k Z πα=+∈，故0()2k k Z πα=+∈⇒,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭故选B. 评注终边在x 轴的角的集合，公差为π，取初始角0α=⇒{},k k Z ααπ=∈；终边在y 轴的角的集合，公差为π，取初始角2πα=⇒,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.例4.2 请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.分析本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求解.解析（1）如图4-5（a ）所示阴影部分的角的集合表示为22,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）如图4-5（b ）所示阴影部分的角的集合表示为222,63k k k N ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（3）如图4-5（c ）所示阴影部分的角的集合表示为21122,36k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（4）如图4-5（d ）所示阴影部分的角的集合表示为,63k k k N ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 评注任一角α与其终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和，正确理解终边相同的角的集合中元素组成等差数列，公差为2π，即集合的周期概念，是解决本题的关键.变式1设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ⊆N B ． N ⊆M C ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅例4.3 下列命题中正确的是（）A. 第一象限角是锐角B. 第二象限角是钝角C.()0,απ∈，是第一、二象限角D. ,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，α是第四象限角，也叫负锐角解析第一象限角的集合为022,2k k k Z παπαπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭，锐角的集合是是其真子集（即当0k =时）故选项A 错；同理选项B 错；选项C 中(0,)2ππ∈，但2π不是象限角，选项C 也错，故选D. 题型2 等分角的象限问题思路提示先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示. 例4.4 α 是第二象限角，2α是第象限角解析解法一：α与终边相同的角的集合公差为2π，该集合中每个月的一半组成的集合公差为π，取第二象限的一个初始集合,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α的初始集合,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，对比集合以π公差旋转得2α的分布，如图4-6所示，得2α是第一、三象限角.解法二：如图4-7所示，α是第二象限角，2α是第一、三象限角，又若α是第四象限角，2α是第二、四象限角.解法三：取α=0120，000012036060,2402α+⇒=，即2α是第一、三象限角.评注对于2α是第几象限角的问题，做选填题以记住图示最为便捷，解法三是一种只要答案的特值方法；解法一能准确找出2α的分布. 对于3α是第几象限角可使用象限分布图示的规律，如图4-8所示，那么对于“nα是第几象限角”的象限分布图示规律是什么？只需要把第一个象限平均分成n 部分，并从x 轴正向起，逆时针依次标注1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4…..，则数字（α终边所在象限）所在象限即为nα终边所在象限.例如：3α的象限分布图示如图4-8所示，若α为第一象限角，则3α为第一、二、三象限角.变式1 若α是第二象限角，则3α是第象限角；若α是第二象限角，则3α的取值范围是题型3 弧长与扇形面积公式的计算思路提示（1）熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法例4.5 有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小. 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α（弧度），扇形面积S.依题意0024r l r l >⎧⎪>⎨⎪+=⎩，12S lr =，则12S lr =11(42)(42)224r r r r =-=-32π 2π4π O yx 54π 图 4-62 3 1 4 x 4 13 2 y图 4-7O21422()142r r -+≤=，（当且仅当422r r -=时，即1r =时取“=”，此时2l =）故扇形的面积最大值为1，此时lrα==2（弧度）.评注本题亦可解作21112212442l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22l r ==，即2l =，1r =时“=”成立，此时lr α==2.本题可改为扇形面积为1，求周长的最小值，2C l r =+≥且112lr =得2lr =，故4C ≥（当且仅当22l r ==时“=”成立），扇形周长的最小值为4.变式1 扇形OAB 的圆心角∠OAB=1（弧度），则AB =（） A. 1sin2 B. 6π C. 11sin 2D. 21sin 2变式2 扇形OAB ，其圆心角∠OAB=0120，其面积与其内切圆面积之比为题型4 三角函数定义题思路提示（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；（2）诱导公式；（3）理解并掌握同角三角函数基本关系.例4.6 角α终边上一点(2sin 5,2cos5)P -，(0,2)απ∈，则α=（） A. 52π-B. 35π-C. 5D.5+2π 解析解法一：排队法. 005557.3286.5≈⨯=，是第四象限角，2sin50x =<，2cos50y =-<，2r ==，α是第三象限角.选项C 中，5是第四象限角，选项D 中，5+2π是第一象限角，故排除C 、D ；选项B 中， ()cos cos 35cos5απ=-=-，与cos sin 5xrα==矛盾，排除B ，故选A.解法二：推演法.由解法一，35,2πθαπθ'=+=+，,(0,)2πθθ'∈（这样设的原因是cos sin5α=），cos cos()απθ'=+=cos θ'-，3sin 5sin()cos 2πθθ=+=-⇒cos cos θθ'-=-⇒cos cos θθ'=，,(0,)2πθθ'∈⇒352πθθ'==-， ⇒35522ππαπ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭故选A.变式1 已知角α终边上一点(2sin 2,2cos 2)P -，(0,2)απ∈，则α=（）A.2B.-2C.22π-D. 22π- 变式2 已知角α终边上一点22(2sin ,2cos )77P ππ-，则α=变式3 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（） A. 45-B. 35-C. 35D. 45题型5 三角函数线及其应用思路提示正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线一，利用三角函数线证明三角公式例4.7 证明（1）()sin -=sin παα，（2）sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3）31tan =-2tan παα⎛⎫+⎪⎝⎭解析（1）如图4-9所示，角-πα与α的终边关于y 轴对称，MP MP '=⇒()sin -=sin παα. （2）如图4-10所示，角-2πα与α的终边关于直线y x =对称.OM M P ''=⇒sin -=cos 2παα⎛⎫⎪⎝⎭（3）如图4-11所示，.2311tan =k =--2tan tan OT πααα⎛⎫+=⎪⎝⎭评注用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求，必须掌握，重点在(),,2ππααα±-±.在（1）证明中易得()cos -=-cos παα，，相除得()tan -=-tan παα，，在（2）证明中易得cos -=sin 2παα⎛⎫⎪⎝⎭，相除得1tan =2tan παα⎛⎫-⎪⎝⎭.角α与-πα的终边关于终边（即y 轴）对称，角-2πα与α的终边关于终边所在的直线y x =轴对称.一般地，角α,β的终边关于终边所在直线2αβ+轴对称二.利用三角函数线比较大小例4.8 ,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小. 解析如图4-12所示，,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，在单位圆中作出α的正弦线MP ，余弦线OM 和正切线AT ，显然有OM<MP<A T,故cos sin tan ααα<<.评注由本例可看出，三角函数线可直观、形象地处理三角函数中的大小比较问题变式1 求证：（1）当角α的终边靠近y 轴时，cos sin αα<及tan 1α>；（2）当角α的终边靠近x 轴时，cos sin αα>及tan 1α<；变式2 （1）α为任意角，求证：cos sin 1αα+>；（2）0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，比较sin ,cos ,tan ααα的大小变式3 比较大小（1）sin 2,sin 4,sin 6 （2）cos 2,cos 4,cos6（3）tan 2,tan 4,tan 6 变式4 1sin tan ()tan 22ππαααα>>-<< ，则α∈（） A. ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、利用三角函数线求解特殊三角方程例4.9 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程：（1）1sin 22x =；（2）2cos 22x =；（3）tan 23x =.解析（1）在单位圆中作为正弦为12的正弦线，如图4-13所示，得正弦为12的两条终边，即16πα=，256πα=，故226x k ππ=+或5226x k ππ=+，k Z ∈. 解得12x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈.（2）如图4-14所示14πα=，24πα=-，故224x k ππ=+或224x k ππ=-+，k Z ∈，解得8x k ππ=+或8x k ππ=-+，k Z ∈.（3）如图4-15所示，得13πα=，243πα=，公差为π，故23x k ππ=+，k Z ∈. 解得6x k ππ=+，k Z ∈.评注（1）sin 1α≤ ，cos 1α≤，tan x R ∈；（2）当1k <时，方程sin ,cos x k x k ==在[0,2)π有两解. 四、利用三角函数线求解特殊三角不等式例4.10利用单位圆，求使下列不等式成立的角的集合. （1）1sin 2x ≤；（2）2cos 2x ≥；（3）tan 1x ≤.分析这是一些较简单的三角函数不等式，在单位圆中，利用三角函数线作出满足不等式的角所在的区域，由此写出不等式的解集.解析（1）如图4-16所示，作出正弦线等于12的角：5,66ππ，根据正弦上正下负，得在图4-16中的阴影区域内的每一个角均满足1sin 2x ≤，因此所求的角x 的集合为 51322,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-17所示，由余弦左负右正得满足2cos 2x ≥的角的集合为 22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）如图4-18所示，在[0,2]π内，作出正切线等于1的角5,44ππ：则在如图4-18所示的阴影区域内（不含y 轴）的每一个角均满足tan 1x ≤，因此所求的角的集合为,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.评注解简单的三角不等式，可借助于单位圆中的三角函数线，先在[0,2]π内找出符合条件的角，再利用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合，借助关于单位圆中的三角函数线，还可以比较三角函数值的大小.例4.11利用单位圆解下列三角不等式：（1）2sin 10α+>；（2）23cos 30α+≤；（3）sin cos αα>；（4）若02απ≤<，sin 3cos αα>，则则α∈（） A. ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析（1）由题意1sin 2α>-，令1sin 2α=-，如图4-19所示，在单位圆中标出第三、四象限角的两条终边，这两条终边将单位圆分成上、下两部分，根据正弦上正下负，取α终边上面的部分，按逆时针从小到大标出16πα=-，2766ππαπ=+=，故不等式的解集为 722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.（2）如图4-20所示，3cos α≤标出3cos α=的角在单位圆中第二、三象限的两条终边，这两条终边将单位圆分成左，右两部分，根据余弦左负右正，取α终边在左侧的部分，按逆时针从小到大标出1566ππαπ=-=，2766ππαπ=+=，.故不等式的解集为 5722,66k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）sin cos αα>y x y x r r ⇒>⇒>.如图4-21所示，在单位圆中作出y x =所对的两个角14πα=，254πα=.这两个角的终边将单位圆分成上、下两部分.在上面的部分取2πα=，sin cos 22ππ>成立，故不等式的解集为522,44k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 注本题也可通过线性规划的知识直接判断出表示y x >的平面区域为如图4-21所示的阴影部分.（4）sin 3cos αα>，得33y x y x r r>⇒>，如图4-22所示，在单位圆中标出3y x =所对的角13πα=，243πα=.，.这两个角的终边把单位圆分为上、下两部分，因为02απ≤<，在上面的部分取2πα=，sin 3cos αα>成立，所以取α终边上面的部分，故不等式的解集为433ππαα⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，故选C.评注三角函数线的应用(1)证明三角公式；(2)比较大小；(3)解三角方程；(4)求解三角不等式. 变式1 已知函数()3cos ,,()1f x x x x R f x =-∈≥若,则x 的取值范围（） A. ,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. 22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ C. 5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D. 522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭题型6 象限符号与坐标轴角的三角函数值思路提示正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；. 余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；. 正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.例4.12（1）若()0,2απ∈，sin cos 0αα<，则α的取值范围是；（2）3tan 0sincos sincos 222ππππ+---= ；解析：（1）由sin cos 0αα<得sin 0cos 0αα>⎧⎨>⎩或sin 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，得α为第二象限角或第四象限角⇒α的取值范围是3,,222ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）01(1)(1)12+-----=.变式1 sin 0α>是α为第一、二象限的（）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式2 ，43sin,cos 2525αα==-,2α是第象限角，α是第象限角. 变式3若sin cos 1=-，则α的取值范围是 .变式4 已知tan cos 0αα<，则α是第（）象限角.A.一或三B. 二或三C.三或四D.一或四变式5 若α为第二象限角，则tan2α的符号为变式6 若点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第象限角变式7 函数cos sin tan sin tan x x xy x cox x=++的值域为 . 题型7 同角求值-----条件中出现的角和结论中出现的角是相同的思路提示（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值.（2）若无象限条件，一般“弦化切”. 例4.13 （1）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3α=-，cos α= , tan α=（2）已知tan α=2， 1. 3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin α= , cos α= 2.2sin cos 3sin 4cos αααα-+= ,3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--= , （3）已知2sin cos αα-= 1. sin cos tan ααα+= ； 2. sin cos αα-= . 解析（1）因为3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,cos 0,tan 0αα><,故cos α==.sin tan cos ααα==（2）1.因为3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0αα<<，22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得21cos 5α=.cos 5α=-,sin 5α=-2.无象限条件，弦化切.2sin cos 3sin 4cos αααα-+=2tan 122133tan 432410αα-⨯-==+⨯+3. 22sin 2sin cos 3cos αααα--=2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα--=+22tan 2tan 3tan 1ααα--=+35- （3）无象限条件，弦化切.，两边平方，得()()2222sin cos 5sin cos αααα-=+222sin 4sin cos 4cos (sin 2cos )0αααααα⇒++⇒+=sin 2cos 0αα⇒+=,tan 20α+=⇒tan 2α=-.1. sin cos tan ααα+=22sin cos tan sin cos ααααα+=+2tan 12tan tan 15ααα+=-+2. 2sin cos αα-=()αϕ+=可知当x α=时，2sin cos x x -取最小值.()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.2sin cos sin 2cos 0αααα⎧-=⎪⎨+=⎪⎩⇒cos 5sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，sin cos αα-=5-. 评注本题给出同角求值的几种基本题型..（1）及（2）中的1体现了有象限条件的任意角三角函数与锐角三角函数的本质联系（只多了一个象限符号）；（2）中的2体现了无象限条件弦化切的解题策略.（3）中无象限条件，2sin cos αα-=()αϕ+=表示函数2sin cos y x x =-在处取得极小值，导数0x y α='=，故有更简便做法：()2sin cos sin 2cos 0x x x ααα='-=+=.如已知sin cos αα-=()0,απ∈，则tan α= .答案为-1，与本题（3）同理可解.变式1 若tan α=2，则2212sin cos cos sin αααα+=-=（） A. 13 B.3 C. 13- D.-3变式2 当x θ=时，函数sin 2cos y αα=-取得最大值，则cos θ= ；例4.14 已知1sin cos 5αα+=-时，,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan α=（）A. 34-B. 43-C. 34D.- 43解析解法一：已知角的象限条件，将方程两边平方得112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα⇒=-<，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，tan 0α<，排除C 和D.， sin 0,cos 01sin cos 05αααα<>⎧⎪⎨+=-<⎪⎩⇒sin cos ,αα>tan 1α>，故排除A ，故选B. 解法二：将方程两边平方得，()22221sin 2sin cos cos sin cos 25αααααα++=+ 2212sin 25sin cos 12cos 0αααα⇒++=212tan 25tan 120αα⇒++=43tan 34α⇒=--或由解法一知tan 1α>，得4tan 3α=-，故选B. 变式1 已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 变式2 已知3sin cos 8αα=，42ππα<<，则cos sin αα-=（）A. 12B. 12-C. 14D. 14-题型8 诱导求值与变形思路提示（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数. （2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化例4.15 求下列各式的值.（1）0sin(3000)-；（2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）51tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭解析（1）0sin(3000)-=0sin(8360120)sin120-⨯+=-000sin(18060)sin 602=--=-=-；（2）41cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭=411cos cos 14cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）5151tan tan tan(13)tan 14444πππππ⎛⎫-=-=--== ⎪⎝⎭. 评注利用诱导公式化简或求值，可以参照口决“负角化正角，大角化小角，化为锐角，再计算比较”.变式1 若()cos 2-3πα=，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()sin -πα= ；变式2 若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，()3tan 74απ-=，则cos sin αα+=（） A. 15± B. 15- C.15 D. 75- 变式3 若cos-80°= k ,则tan 100°的值为（）A.B. D.变式4 已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin ()63x x ππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭= ；最有效训练题A. 15± B. 15- C. 15 D. 75-2.已知点33(sin ,cos )44P ππ落在角θ的终边上，且[]0,2θπ∈，则θ的值为（）A. 4πB. 34πC. 54πD. 74π3.若角α的终边落在直线0x y +==（）A. 2B. 2-C. 1D. 0 4.若角A 是第二象限角，那么2A 和2A π-都不是（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.已知sin -=cos ,cos -=sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，对于任意角α均成立.若(sin )cos 2f x x =，则(cos )f x =（）A. cos2x -B. cos2xC. sin 2x -D. sin 2x6.已知02x π-<<，1cos sin 5αα+=-，则sin cos 1αα-+=（） A. 25- B. 25 C. 15 D. 15-7.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y = .8.函数2lgsin 29y x x =+-的定义域为 .9.如图4-23所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于1P ，然后以B 为圆心，1BP 长为半径画弧，交CB 的延长线于2P ，再以C 为圆心，2CP 长为半径画弧，交DC 的延长线于3P ，再以D 为圆心，3DP 长为半径画弧，交AD 的延长线于4P ，再以A 为圆心，4AP 长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧度之和为 .10.在平面直角坐标系xOy 中，将点3,1)A 绕点O 逆时针旋转090到点B ，那么点B 的坐标为；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 . 11.一条弦的长度等于半径r ，求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所围成的弓形的面积.12.已知001tan(720)3221tan(360)θθ++=+--. 求2221cos ()sin()cos()2sin ()cos (2)πθπθπθπθθπ⎡⎤-++-++⎣⎦--的值.。

高一数学必修一三角函数的概念及公式

三角函数的概念及公式教学目标1、掌握同终边角的求法，熟悉象限角、轴线角，掌握角度与弧度的互化，会求弧长与扇形面积；2、掌握三角函数的概念，会求角的三角函数值；3、同角三角函数的基本关系；4、掌握诱导公式及应用。

重难点分析重点：1、角度、弧度的转化； 2、同角三角函数基本关系； 3、诱导公式。

难点：1、角度的表示；2、同角三角函数值的求解；3、诱导公式的变换。

知识点梳理1、角度概念：角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

2、角度分类：按逆时针方向旋转的角叫做正角；按顺时针方向旋转的角叫做负角；若一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

4、终边相同的角：所有与角α的终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合=S ________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

5、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

6、弧度制与角度制的换算关系式：π弧度=o180。

7、在弧度制下，弧长公式为R l ⋅=α，扇形面积公式为R l S ⋅=21。

（α为圆心角，R 为半径） 8、一般的，设角α终边上任意一点的坐标为),(y x ，它与原点的距离为r ，那么（1）r y叫做α的正弦，记作αsin ；（2）rx叫做α的余弦，记作αcos ；（3）xy叫做α的正切，记作αtan 。

9、同角三角函数关系的基本关系式（1）平方关系：1cos sin 22=+x x （2）商数关系：xxx cos sin tan =10、同角三角函数基本关系式的常用变形（1）α2sin =________________；α2cos =________________；（2）2)cos (sin αα+=________________；2)cos (sin αα-=________________；（3）ααcos sin ⋅=__________________=___________________。

考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式-备战2020年高考数学(理)考点一遍过

考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1．任意角的概念、弧度制（1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出2απ±，πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=.一、角的有关概念 1．定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ；终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ；终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ；终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ；终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ．二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0O P r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是s i n ,c o s ,t a n yxy rrxααα===．注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则ta n AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：4．特殊角的三角函数值α0︒ 30︒45︒60︒90︒120︒135︒150︒ 180︒270︒360︒π6π4π3π22π3 3π4 5π6 π3π22πsin α0 12 223213222121-cos α132 221212-22- 32-1-1tan α3313 不存在3-1- 33-不存在补充：6262sin15cos 75,sin 75cos15,44︒=︒=︒=︒= tan1523,tan 752 3.︒=︒=+四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=；（3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．五、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π+α（k ∈Z ）π+α −α π−α2π−α 2π+α正弦 sin α −sin α −sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α −cos α cos α −cos α sin α −sin α 正切tan αtan α−tan α−tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限考向一三角函数的定义1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.典例1 已知角θ的终边上有一点P （m ），且sin 4θ=m ，求cos θ与tan θ的值.【解析】由已知有4m =m =0，或m =当m =0时，cos 1,tan 0θθ=-=；当5m =615cos ,tan 43θθ=-=-；当5m =615cos tan θθ==【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．1．已知角8π3=θ的终边经过点(,3)P x ，则x 的值为 A ．±2 B ．2 C ．﹣2D ．﹣4考向二象限角和终边相同的角的判断及表示方法1．已知θ所在的象限，求nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.典例2 已知sin325α=,4cos 25α=- ,试确定角α是第几象限的角. 【解析】因为sin325α=>0,4cos 25α=-<0，所以2α是第二象限的角，所以π2π2ππ,22k k k α+<<+∈Z .由32sin5α=<3π2π2ππ,42k k k α+<<+∈Z ,所以3π4π4π2π,2k k k α+<<+∈Z , 故角α是第四象限的角. 【名师点睛】角2α与α所在象限的对应关系：若角α是第一象限角，则2α是第一象限角或第三象限角；若角α是第二象限角，则2α是第一象限角或第三象限角；若角α是第三象限角，则2α是第二象限角或第四象限角；若角α是第四象限角，则2α是第二象限角或第四象限角．2．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角考向三同角三角函数基本关系式的应用1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化． 2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.典例3 已知， . （1）当时，求的值；（2）当时，求的值. 【解析】（1）由已知得，∴ ，∴ ，又，∴ ，∴. （2）当时，.① 方法1：，∴，∴， ∵，∴.② 由①②可得，，∴ .方法2：， ∴ ，∴ ， ∴ 或，又，∴，∴ ，∴ .3．已知ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭θ，则2cos 12sin(π)cos --=θθθ A ．sin cos +θθ B ．sin cos -θθ C ．cos sin -θθD ．3cos sin -θθ考向四诱导公式的应用1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等；常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.典例4 已知()2sin π3α-=-,且π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 2πα-= A 25B ．25C ．52D ．52-【答案】A【解析】∵()2sin π3α-=-，∴2sin 3α=-. ∵π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴5cos α=，则25tan α=.∵()tan 2πtan αα-=-，∴()25tan 2πα-=.故选A ．典例5 （1）化简：()()()()()()sin πcos 3πtan πtan 2πtan 4πsin 5πa ααααα------+；（2）化简：()()()()()()sin 540cos 360tan 540tan tan 900sin x x x x x x ︒-︒-⋅︒+⋅-⋅︒--.【解析】（1）()()()()()()()()()()sin πcos 3πtan πtan 2πsin cos tan tan tan 4πsin 5πtan sin a ααααααααααα-------=-+--=cos tan sin ααα==.（2）原式()()2sin cos tan tan cos sin tan sin x xx x x x x x =⋅-⋅=-⋅=---.4．已知2019π1cos 22⎛⎫+= ⎪⎝⎭α，π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则cos =αA ．12B ．12-C ．3D 3考向五同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：πA B C +=-,222π2A B C +=-，π2222A B C ++=等，于是可得in i (s s n )A B C =+，cos sin 22A B C +=等．典例6 在ABC △中，内角，，所对的边分别是，，，若，π3C =，，则 ______， ________.【答案】35，【解析】由sin 3tan cos 4A A A ==,得22π34sin cos 1,sin cos 255A A A A A <+=∴==，又，， ()3143343sin sin sin cos cos sin 525B A C A C A C +∴=+=+=⨯+=, 由正弦定理sin 34352343sin sin sin 103b a a B b B A A +====+，得5．在△ABC 中，“sin cos A B <”是“△ABC 为钝角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．与2019终边相同的角是 A ．37 B ．37-C ．37-D ．141-2．设集合{|9036,}M k k ==⋅︒-︒∈ααZ ，{|180180}N =-︒<<︒αα，则M N =A ．{36,54}-︒︒B ．{126,144}-︒︒C ．{36,54,126,144}-︒︒-︒︒D ．{54,126}︒-︒3．已知扇形面积为3π8，半径是l ，则扇形的圆心角是 A ．3π16 B ．3π8 C ．3π4D ．3π24．函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域是 A ．{}1,0,1,3- B ．{}1,0,3- C ．{}1,3-D ．{}1,1-5．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>6．若()()sin 3sin παβαβ+=-+，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan tan αβ= A ．2 B ．12 C ．3D ．137．在平面直角坐标系中，若角α，则()sin πα+=A ．2-B ．12-C ．12D 8．已知()()sin π22sin 3cos 5+=-+-ααα ，则tan =αA ．23 B ．23-C ．6D ．6-9．若()0,π∈α，()2sin πcos -+=αα，则sin cos -αα的值为 A 2B ．2C ．43 D ．43-10．已知点()12，P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos +=-αααα______．11．在平面直角坐标系中, 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭, 是第三象限内一点, ,且3π4POQ ∠=,则点的横坐标为_________. 12．已知π(0)2αα<<的终边与单位圆交于点P ,点P 关于直线y x =对称后的点为M ,点M 关于y 轴对称后的点为N ,设角β的终边为射线ON .（1）β与α的关系为_________;（2）若1sin 3α=,则tan β=________. 13．在ABC △中，3sin()3sin()2A A π-=π-，且cos A ＝－3 cos （π－B ），则C 等于．14．已知角α的终边经过点(P m ，且1cos 3=-α．（1）求m 的值；（2）求22cos sin 2sin cos -+⋅αααα的值．15．已知△ABC 中，7sin cos 5A A -=. （1）试判断三角形的形状；（2）求tan A 的值.16．已知向量2,sin θ=（）a 与1,cos θ=（）b 互相平行，其中θ∈(0,)2π.（1）求sin θ和cos θ的值；（2）若sin （θ－φ100<φ<2π，求cos φ的值．1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 5C．3D．52．（2017年高考北京卷理数）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 3．（2018年高考全国Ⅱ理数）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 4．（2018年高考浙江卷）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．1．【答案】C【解析】∵已知角8π3=θ的终边经过点(,P x ，变式拓展∴8π2ππtantan tan 333==-==x，则2x =-. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．求解时，直接利用任意角的三角函数的定义求得x 的值． 2．【答案】D【解析】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0， ∴0＜cos x ≤1，又sin x ＜0，∴角x 为第四象限角，故选D ．【名师点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．求解时，根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 3．【答案】A 【解析】因为ππ,42⎛⎫∈⎪⎝⎭θ，所以()2cos 12sin πcos --θθθ2cos 12sin cos =-θθθ()22cos sin cos =+-θθθ2cos sin cos sin cos =+-=+θθθθθ.故选A.【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可. 4．【答案】C 【解析】因为2019π1cos 22⎛⎫+=⎪⎝⎭α，由诱导公式可得，2019π3π1cos()cos()sin 222+=+==ααα，又因为π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，所以cos ==-α. 故选C.【名师点睛】本题考查了诱导公式，解题的关键是在于诱导公式的掌握，易错点为没有注意角的范围，属于较为基础题.求解时，先由诱导公式对原式进行化简，从而可得sin α，再利用角的平方关系可得结果. 5．【答案】A【解析】由πsin cos cos cos 2A B A B ⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，且B 必为锐角，可得π2A B ->或π2A B ->，即角A 或角C 为钝角；反之，当100A =︒，30B =︒时，3cos B =3sin sin120A >︒==cos B ，所以sin cos A B <不成立，所以“sin cos A B <”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式等，属于综合题．求解时，先由诱导公式将正弦化为余弦，利用余弦的三角函数线比较大小即可得到角A 或角C 为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.1．【答案】D【解析】终边相同的角相差了360︒的整数倍，设与2019︒角的终边相同的角是α，则2019360k =︒+⋅︒α，k ∈Z ，当6k =-时，141=-︒α．故选D ．【名师点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．终边相同的角相差了360︒的整数倍，由2019360k =︒+⋅︒α，k ∈Z ，令6k =-，即可得解． 2．【答案】C【解析】∵{|9036,}M k k ==⋅︒-︒∈ααZ ，∴当0k =时36=-︒α，1k =时54=︒α，2k =时144=︒α，1k =-时126=-︒α，又{|180180}N =-︒<<︒αα，考点冲关∴{}36,54,144,126MN =-︒︒︒-︒．故选C ．【名师点睛】本题考查了交集及其运算，考查了赋值思想，是基础题．求解时，分别取0,1,2,1k =-，得到M 内α的值，与N 取交集得答案． 3．【答案】C【解析】设扇形的圆心角是α，则23π1182α=⨯，解得3π4α=，故选C ． 4．【答案】C【解析】由题意可知：角x 的终边不能落在坐标轴上，当角x 终边在第一象限时，cos sin tan 1113sin cos tan ；x x x y x x x=++=++= 当角x 终边在第二象限时，cos sin tan 1111sin cos tan ；x x xy x x x=++=--=- 当角x 终边在第三象限时，cos sin tan 1111sin cos tan ；x x xy x x x=++=--+=- 当角x 终边在第四象限时，cos sin tan 1111,sin cos tan x x xy x x x=++=-+-=- 因此函数的值域为{}1,3-，故选C.【名师点睛】本题考查了三角函数的正负性、分类讨论思想、数学运算能力.因为角x 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角x 终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域. 5．【答案】C【解析】由tan 0α>得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 22sin cos ααα=知sin 20α>，C 正确；α取π3时，2211cos 22cos 12()1022αα=-=⨯-=-<，D 错． 6．【答案】A【解析】因为()()sin 3sin παβαβ+=-+，所以sin cos 2cos sin ,αβαβ=即tan 2tan αβ=，选A ． 7．【答案】B12=，即12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由三角函数的定义可得：11sin 2α==，则()sin πα+= 1sin 2α-=-.故选B.8．【答案】C【解析】根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式，可得：()()sin πsin tan 22sin 3cos 2sin 3cos 2tan 35+--===-+-++αααααααα，解得tan 6=α，故选C.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 9．【答案】C【解析】由诱导公式得()2sin πcos sin cos -+=+=αααα 两边平方得()22sin cos 12sin cos 9+=+=αααα，则72sin cos 09=-<αα，所以()216sin cos 12sin cos 9-=-=αααα，又因为()0,π∈α，所以sin cos 0->αα，所以4sin cos 3-=αα，故选C ． 10．【答案】5【解析】∵点P （1，2）在角α的终边上，∴tan α2=，将原式分子分母同除以cos α，则原式6tan 86282053tan 23224+⨯+====-⨯-αα.故答案为：5．【名师点睛】此题考查了任意角的三角函数定义,同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．求解时，根据P 坐标，利用任意角的三角函数定义求出tan α的值，原式分子分母除以cos α，利用同角三角函数间基本关系化简，把tan α的值代入计算即可求出值．11．【答案】10-【解析】设xOP α∠=,则34cos ,sin 55αα==, Q 点的横坐标为3πcos 410α⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 12．【答案】（1）π2βα=+;（2）22- 【解析】（1）由题意可得点P 为单位圆上的点，并且以射线OP 为终边的角的大小为α，所以(cos ,sin ),P αα 又因为P M ，两点关于直线y x =对称，所以(sin ,cos )M αα．即ππcos sin 22Mαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（，）．则π2βα=+.（2）ππ1,cos cos sin ,223βαβαα⎛⎫=+∴=+=-=- ⎪⎝⎭ππ220,sin sin cos ,223αβαα⎛⎫<<∴=+== ⎪⎝⎭ 故sin tan 2 2.cos βββ==- 13．【答案】2π33sin()3sin()33sin ,tan 2A ΑA A A π-=π-=，∴∴ 又0A <<π，6A π=∴. 又cos 3),A B =π-即cos 3A B =，1cos ,0623B B π==<<π,∴..32B C ΑΒππ==π-(+)=∴∴ 故填2π. 14．【解析】（1）因为角α的终边经过点(22，P m ，且1cos 3=-α， 2138m =-+，求得1m =-.（2）由（1）可得，tan 22=-α 所以22cos sin 2sin cos -+⋅αααα=2222cos sin 2sin cos cos sin -++αααααα=221tan 2tan 1tan -++ααα=79--．【名师点睛】本题考查了余弦函数的定义，同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为1的关系和商关系，考查了数学运算能力.15．【解析】（1）将原式平方得1−2sin A cos A =49,25即2sin A cos A =−24025<，故cos A 0<，则三角形为钝角三角形.（2）由（1）cos A +sin A =112sin cos 5A A ±+=±，解得4sin 53cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故tan A =34-或43-. 【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查化简求值能力，是中档题.求解时，（1）将原式平方得2sin A cos A <0,得cos A 0<即可判断三角形为钝角三角形；（2）结合（1）求得cos A +sin A =15±，求得sin A 及cos A 即可求解. 16．【解析】（1）∵a 与b 互相平行，∴sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos θ＝5，又θ∈(0,)2π，∴cos θ5 ∴sin θ25（2）∵0<φ<2π，0<θ<2π，∴－2π<θ－φ<2π，又sin （θ－φ∴cos （θ－φ10， ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos （θ－φ）＋sin θsin （θ－φ）=2. 1．【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 2．【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1s i n s i n 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z . 3．【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα直通高考所以11sin ,cos 22==αβ，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算. 4．【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.。

§5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式(试题部分)

专题五三角函数与解三角形【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.4.理解同角三角函数的基本关系式.5.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α、π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.本专题考查的核心素养以数学运算、逻辑推理为主,同时兼顾考查直观想象.2.从近5年高考情况来看,本专题内容为高考必考内容,以中档题为主.几种题型均有可能出现.1.在备考复习中,注意基础知识的积累,基础概念、定义要弄清楚.2.切实掌握三角函数的图象、性质以及基本变换思想.3.三角函数与解三角形的综合问题,要灵活运用正弦定理或余弦定理.注意方程思想与函数思想的应用.二、三角恒等变换1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.三、三角函数的图象、性质及应用1.理解正弦、余弦、正切函数的性质及图象.2.能画y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函数图象变换的影响.3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.四、解三角形及综合应用1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的解三角形问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.【真题探秘】§5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式基础篇固本夯基【基础集训】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为()A.10πB.9πC.910π D.109π答案D2.cos 330°=()A.12B.-12C.√32D.-√32答案C3.若sin θ·cos θ<0,tanθsinθ>0,则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D4.若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x上,则角α的取值集合是()A.{α|α=2kπ-π3,k∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k∈Z}C.{α|α=kπ-2π3,k∈Z} D.{α|α=kπ-π3,k∈Z}答案D5.已知扇形的周长为20 cm,当这个扇形的面积最大时,半径R的值为()A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.7 cm答案B6.已知sin(π2+θ)+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sin θcosθ+cos2θ=()A.15B.25C.35D.√55答案 C综合篇知能转换【综合集训】考法一利用三角函数定义解题1.(2018河南天一大联考,2)在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边经过点P(3,4),则sin (α-2 017π2)=( )A.-45B.-35C.35D.45答案 B2.(2018广东深圳四校期中联考,5)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点(1,4),则cos 2θ-sin 2θ的值为( )A.35B.-35C.717D.-717答案 D3.(2020届四川绵阳南山中学月考,4)已知角α的终边过点(-8m,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为( ) A.±12B.-12C.12D.√32答案 C考法二同角三角函数的基本关系式的应用技巧4.(2018福建福州八校联考,8)已知sinα+3cosα2cosα-sinα=2,则cos 2α+sin αcos α=( )A.65B.35C.25D.-35答案 A5.(2019河北邯郸重点中学3月联考,5)已知3sin (33π14+α)=-5cos (5π14+α),则tan (5π14+α)=( )A.-53B.-35C.35D.53答案 A6.(2018湖北武汉调研,13)若tan α=cos α,则1sinα+cos 4α= .答案 2考法三利用诱导公式化简求值的思路和要求7.(2020届广东珠海摸底测试,3)若角θ的终边过点(4,-3),则cos(π-θ)=( ) A.45 B.-45 C.35 D.-35答案 B8.(2018河北衡水中学2月调研,3)若cos (π2-α)=√23,则cos(π-2α)=( )A.29 B.59 C.-29 D.-59答案 D9.(2018浙江名校协作体考试,13)已知sin (-π2-α)cos (-7π2+α)=1225,且0<α<π4,则sin α= ,cos α= .答案35;45考法四同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用10.(2019江西赣州五校协作体期中,15)已知角α终边上有一点P(1,2),则sin(2π-α)-sin(π2-α)cos(3π2+α)+cos(π-α)=. 答案-3【五年高考】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos2α+2sin2α=()A.6425B.4825C.1D.1625答案A2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案-123.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)=.答案-794.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,-45 ).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.解析(1)由角α的终边过点P(-35,-45)得sin α=-45,所以sin(α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P(-35,-45)得cos α=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cos β=-5665或cos β=1665.思路分析(1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.(2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的余弦公式得cos β的值.教师专用题组考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2014大纲全国,3,5分)设a=sin 33°,b=cos55°,c=tan35°,则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案 C2.(2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( ) A.-45B.-35C.35D.45答案 B【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届吉林白城通榆一中月考,3)已知角α的终边过点(12,-5),则sin α+12cos α等于( ) A.-113 B.113 C.112 D.-112答案 B2.(2020届四川邻水实验学校月考,4)已知tan(π-θ)=3,则sin (π2+θ)-cos(π-θ)sin (π2-θ)-sin(π-θ)=( )A.-1B.-12C.1D.12答案 D3.(2020届吉林白城通榆一中月考,2)已知扇形OAB 的圆心角为2 rad,其面积是8 cm 2,则该扇形的周长是( ) A.8 cm B.4 cm C.8√2 cm D.4√2 cm 答案 C4.(2020届宁夏银川一中月考,2)已知tan α=-3,α是第二象限角,则sin (π2+α)=( ) A.-√1010B.-3√1010C.√105D.2√55答案 A5.(2020届湖南长沙一中月考,8)如图,点A 为单位圆上一点,∠xOA=π3,点A 沿单位圆按逆时针方向旋转角α到点B (-√22,√22),则sin α=( )A.-√2+√64B.√2-√64C.√2+√64D.-√2+√64答案 C6.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知α是第三象限角,且|cos α3|=-cos α3,则α3是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案 C7.(2018湖北襄阳四校3月联考,8)△ABC 为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sin A-cos B,cos A-sin C),则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|的值为( )A.1B.-1C.3D.-3 答案 B8.(2019广东珠海四校联考,3)设a=sin 5π7,b=cos 2π7,c=tan 2π7,则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 答案 D9.(2019北京师范大学附中期中,6)在平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,始边在x 轴的正半轴上,角α的终边经过点M (-cos π8,sin π8),且0<α<2π,则α=( ) A.π8 B.3π8 C.5π8 D.7π8答案 D10.(2018江西南昌一模,3)已知角α的终边经过点P(sin 47°,cos 47°),则sin(α-13°)=( ) A.12B.√32C.-12D.-√32答案 A二、多项选择题(每题5分,共10分)11.(改编题)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15,则有( ) A.sin α=45,cos α=-35B.sin α=-35,cos α=-45 C.tan α=-43D.tan α=43答案 AC12.(改编题)已知α为锐角且有2tan(π-α)-3cos (π2+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则有( ) A.tan α=3 B.sin β=13C.sin α=3√1010D.tan β=√24答案 ABC三、填空题(每题5分,共15分)13.(2019豫北六校精英对抗赛,13)若f(x)=cos (π2x +α)+1,且f(8)=2,则f(2 018)= . 答案 014.(2018广东佛山教学质量检测(二),14)若sin (α-π4)=7√210,α∈(0,π),则tan α= .答案 -43或-3415.(2019江西金太阳联考卷(六),15)已知sin α和cos α是方程4x 2+2√6x+m=0的两个实数根,则sin 3α-cos 3α= .答案 ±5√28四、解答题(共15分)16.(2019山东夏津一中月考,19)已知tan (π4+α)=2. (1)求tan α的值; (2)求2sin 2α+sin2α1+tanα的值.解析 (1)∵tan (π4+α)=tan π4+tanα1−tan π4·tanα=1+tanα1−tanα=2,∴tan α=13. (2)2sin 2α+sin2α1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα(1+tanα)(sin 2α+cos 2α)=2tan 2α+2tanα(1+tanα)(tan 2α+1),由(1)知tan α=13,∴原式=2×(13)2+2×13(1+13)×[(13)2+1]=35.。

三角函数与三角恒等变换知识点

三角函数与三角恒等变换（知识点）1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=o ，1180π=o 弧度，1弧度180()π=o '5718≈o .⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211||22S R Rl α==. 2．三角函数定义：⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的余弦，记作cos α；yx叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则：sin ,cos ,y x r r αα==tan yxα=.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线：正弦线：MP ；余弦线：OM ；正切线： AT . 4．诱导公式：六组诱导公式统一为“()2k Z α±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos ααα=（商数关系）.6．两角和与差的正弦、余弦、正切：①sin()sin coscos sin αβαβαβ±=±；② cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ； ③ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=；② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； ③ 22tan tan 21tan ααα=-. 变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2αα+=. （降次公式）8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ϕ+. 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为2T πω=，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ωπ==，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x ωϕ+为相位；ϕ为初相.11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路：① 最小正周期2T πω=，值域为[,]A A -.② 五点法图：把“x ωϕ+”看成一个整体，取30,,,,222x ππωϕππ+=时的五个自变量值，相应的函数值为0,,0,,0A A -，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.③ 三角函数图象变换路线：sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位sin()y x ϕ=+ ω−−−−−→1横坐标变为倍sin()y x ωϕ=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. 或：sin y x = ω−−−−−→1横坐标变为倍sin y x ω=ϕω−−−−−→左移个单位sin ()y x ϕωω=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. ④ 单调性：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间，把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈，即求解22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈.⑤ 整体思想：把“x ωϕ+”看成一个整体，代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.。

三角函数恒等变换知识点总结

三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合：；与α角终边关于x 轴对称的角的集合：；与α角终边关于y 轴对称的角的集合：；与α角终边关于x y =轴对称的角的集合：；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ；（5）由α的终边所在的象限，通过来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：。

三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式

三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式三角函数是数学中研究角和三角形的重要分支之一、它是用来描述角的位置、大小和比较角度之间关系的函数。

三角函数常用于解决与几何形体、物体运动、电流与电压等相关的问题。

在解决这些问题时，我们需要理解三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式。

1.概念角是以其中一点为顶点，以两条射线为边的图形。

三角函数是角的函数。

常见的三角函数有正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)和余切函数(cot)。

这些三角函数可以表示角度的大小和位置，并且它们在数学中有非常重要的应用。

2.同角三角函数的基本关系式同角三角函数是指在同一个角中，不同三角函数之间的关系。

常见的同角三角函数关系式有：(1) 正弦函数和余弦函数的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1这个关系式可以由勾股定理推导得出。

在单位圆中，θ角对应的直角三角形的斜边长为1，根据勾股定理可得到上述关系式。

(2) 正切函数和余切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ这个关系式说明，正切函数和余切函数可以分别由正弦函数和余弦函数表示。

(3) 正切函数和余切函数的关系：sinθ = 1 / cscθ，cosθ = 1 / secθ这个关系式说明，正弦函数和余弦函数可以分别由余切函数和正切函数表示。

这些基本关系式可以帮助我们在计算过程中简化和转化表达式，使得计算更加方便。

3.诱导公式诱导公式指的是通过基本关系式可以推导出其他三角函数之间的关系式。

常见的诱导公式有：(1) 余弦函数的诱导公式：cos(A ± B) = cosAcosB - sinAsinB根据这个公式，可以得到余弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到余弦函数的结果。

(2) 正弦函数的诱导公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB根据这个公式，可以得到正弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到正弦函数的结果。

三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式

（４）注意公式的逆用和变形用，
（２）按终边的位置可以分为象限角和轴线角．终边在轴上的角的
集合为｛Ｉｏｌ＝ｋ＇ｔｒ，ｋ ∈ Ｚ｝，终边在Ｙ轴上
的角的集合为｛Ｌｌａ＝ｋ＋，ｆ上，ｋ ∈ ＺＪ｝．
知角转化为０～３６０。的角．
终边所在的象限求出其他的三角函
数值．
１２
“ 小化锐’ ’ 是指利用订 ± ． ±
２
为奇数时，得的异名函数值，然后在前面加上一个把Ｏｄ看成锐角时原函数值的符号．概括为 “ 奇变偶不
般有直
Ｊ
接法和几何法
两种解法，其中几何法的具体操作如下：
图１
方程直接求出ｔａｎａ。然后再根据角的
使用ｓｉｎ（２ｋ￣ｒ＋ａ）＝ｓｉｎａ，ＣＯＳ（２霄＋）＝ＣＯＳＯｔ，ｔａｎ（耵＋）＝ｔａｎ这组公式将已
式，利用函数的观点求函数的最值；
嬲锶
１．角的分类
如图１，把各象限均分为２等份，再从
轴正向的上方按逆时针的顺序起．
４．同角三角函数关系式的用途
（１）按旋转方向分类可以分为正角、负角和零角．

2024年新高考版数学专题1_5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

函数名改变,符号看象限
综合篇
考法一三角函数定义的应用 1.已知角α终边上一点P的坐标,求三角函数值:先求出点P到原点的距离r, 然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需对参数进行讨论. 2.已知角α的终边所在直线的方程(角α的终边为射线,此处给的是直线方程),求三角函数值:一般地,由于不确定终边所在象限,故在终边上任取一个异于原点的点时应分两种情况,然后利用三角函数的定义求解;若直线的倾斜角为特殊角,则可直接写出角α的三角函数值.
r
r
x
2)三角函数值在各象限内的符号
记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:tan
α=
sin α cos α
α
2
k
,
k
Z
.
三、三角函数的诱导公式
公式
角
正弦
Hale Waihona Puke 一2kπ+α
sin α
(k∈Z)
二
π+α
-sin α
三
-α
-sin α
四
π-α
sin α
五
-α
cos α
2
六
2 +α
cos α
七
3
2 π+α
-cos α
八
3
2 π-α
-cos α
余弦 cos α
-cos α cos α -cos α sin α -sin α sin α -sin α
正切 tan α
tan α -tan α -tan α
口诀函数名不变,符号看象限
高考数学

三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式和诱导公式

第四章三角函数第1讲三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示命题探究考点三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式1 三角函数的有关概念 (1)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．(2)角度与弧度的互化①360°＝2π rad ；②180°＝π rad ；③1°＝π180 rad ；④1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.(3)弧长及扇形面积公式 ①弧长公式：l ＝|α|r ；②扇形面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.其中l 为扇形弧长，α为圆心角，r 为扇形半径． (4)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α的终边上任意一点P (与原点不重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r ＝x 2＋y 2.记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (6)三角函数线2 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 3 诱导公式及记忆规律 (1)诱导公式①诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．②“奇”“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 为奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．③“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．注意点应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号．(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍.1．思维辨析(1)120°角的正弦值是12，余弦值是－32.( )(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．( ) (3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( )(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．( )(5)锐角是第一象限角，反之亦然．( ) (6)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√ 2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45B.35C ．－35D ．－45答案 D解析由三角函数的定义知cos α＝－4－2＋32＝－45.故选D. 3．(1)角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．答案 (1)C (2)4 6π解析 (1)因为－870°＝－2×360°－150°，又－150°是第三象限角，所以－870°的终边在第三象限．(2)弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝|α|·r ，得r ＝l |α|＝3π34π＝4，面积S ＝12lr ＝6π.[考法综述] 对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合．如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力．命题法三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用典例 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32 C ．－34D.34(2)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(3)已知扇形周长为40，当它的半径r ＝________和圆心角θ＝________分别取何值时，扇形的面积取最大值？(4)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________.[解析] (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)点P (－3，m )是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sin θ＝m3＋m2.又sin θ＝24m ， ∴m3＋m 2＝24m . 又m ≠0，∴m 2＝5， ∴cos θ＝－33＋m2＝－64. (3)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. ∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，∴α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.[答案] (1)B (2)－64 (3)10 2 (4)－23【解题法】同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤 (1)同角关系式的应用技巧①弦切互化法：主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦函数．②和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ. (2)使用诱导公式的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～π2之间角的三角函数，然后求值．1.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C.2．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.3．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．3答案 A解析设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上答案－8解析若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝y x .P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 5.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．答案 12解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α>0，∴sin2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan α4＋tan 2α＝2tan α＋4tan α≤12，当且仅当tan α＝2时取等号．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.已知角α的终边在直线2x －y ＝0上，求角α的正弦、余弦和正切值． [错解][错因分析] 直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解． [正解] 在直线2x ＋y ＝0上取点(m,2m )(m ≠0) 则r ＝5|m |，当m >0时，r ＝5m ，sin α＝y r ＝2m 5m ＝255，cos α＝x r ＝m 5m ＝55，tan α＝y x ＝2mm ＝2.当m <0时，r ＝－5m ，sin α＝y r ＝2m －5m ＝－255，cos α＝x r ＝m －5m ＝－55，tan α＝y x ＝2mm＝2. [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1．[2016·冀州中学期中]已知角α的终边过点P (－a ，－3a )，a ≠0，则sin α＝( )A.31010或1010B.31010C.1010或－1010D.31010或－31010答案 D解析当a >0时，角α的终边过点(－1，－3)，利用三角函数的定义可得sin α＝－31010；当a <0时，角α的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sin α＝31010.故选D.2. [2016·衡水中学仿真]若sin α＋cos α＝713(0<α<π)，则tan α等于( )A ．－13B.125 C ．－125D.13 答案 C解析由sin α＋cos α＝713，两边平方得1＋2sin αcos α＝49169，∴2sin αcos α＝－120169，又2sin αcos α<0,0<α<π. ∴π2<α<π.∴sin α－cos α>0. ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169，∴sin α－cos α＝1713.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝713，sin α－cos α＝1713，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1213，cos α＝－513，∴tan α＝－125.3．[2016·枣强中学预测]设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N＝⎩⎨⎧x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ⎭⎬⎫，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案 B 解析M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x | x ＝2k4·⎭⎪⎬⎪⎫ 180°＋45°，k ∈Z ，故当集合N 中的k 为偶数时，M ＝N ，当k 为奇数时，在集合M中不存在，故M ⊆N .4．[2016·冀州中学一轮检测]已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－－θ＝( )A ．－2B ．2C ．0 D.23答案 B解析由角θ的终边在直线2x －y ＝0上，可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.5．[2016·武邑中学一轮检测]已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )C.22 D ．1答案 A解析解法一：由sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：由sin α－cos α＝2及sin 2α＋cos 2α＝1，得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝－1<0，故tan α<0，且2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝－1，解得tan α＝－1(正值舍)． 6．[2016·武邑中学月考]已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x的最小正值为( )A.5π6 B.5π3 C.11π6D.2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.7. [2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是( )A ．－43B.43 C ．－34D.34答案 C解析因为f (x )＝sin x －cos x ，所以f ′(x )＝cos x ＋sin x ，于是有cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，整理得sin x ＝3cos x ，所以tan x ＝3，因此tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×31－32＝－34，故选C. 8．[2016·衡水二中期中]已知sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos α＝1－sin 2α＝53，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.9．[2016·武邑中学预测]在三角形ABC 中，若sin A ＋cos A ＝15，则tan A ＝( )A.34 B ．－43C ．－34D ．±43答案 B解析解法一：因为sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，所以1＋2sin A cos A＝125，所以sin A cos A ＝－1225. 又A ∈(0，π)，所以sin A >0，cos A <0.因为sin A ＋cos A ＝15，sin A cos A ＝－1225，所以sin A ，cos A 是一元二次方程x 2－15x －1225＝0的两个根，解方程得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.故选B.解法二：由解法一，得sin A >0，cos A <0，又sin A ＋cos A ＝15>0，所以|sin A |>|cos A |，所以π2<A <3π4，所以tan A <－1，故选B.10．[2016·枣强中学模拟]已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.答案 0解析原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.11.[2016·武邑中学猜题]设f (α)＝＋α－α－＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.答案 3解析 ∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝ 3.能力组12.[2016·冀州中学仿真]已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )A.3π16B.3π8 C.3π4 D.3π2答案 B解析 S 扇＝12|α|r 2＝12|α|×1＝3π16，所以|α|＝3π8.13．[2016·武邑中学预测]已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α等于( )A ．－25B.25 C.25或－25 D ．－15答案 A解析因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25.14．[2016·衡水二中模拟]已知α∈(0，π)且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，则cos α－sin α的值( )A ．为正B ．为负C ．为零D ．为正或负答案 B解析若0<α<π2，如图所示，在单位圆中，P (cos α，sin α)，OM ＝cos α，MP ＝sin α，所以sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α－sin α<0，故选B.15．[2016·枣强中学期末]△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4答案 B解析因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.。

2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题三第二讲三角恒等变换与解三角形

高考考点考点解读[解析] 由题意S △ABC ＝12ab sin C ＝a2＋b2－c24，即sin C ＝a2＋b2－c22ab ，由余弦定理可知sin C ＝cos C ，即tan C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π4.3．(20xx·全国Ⅰ卷，11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A ()1，a ，B()2，b ，且cos2α＝23，则||a －b ＝( B ) A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 由cos2α＝2cos 2α－1＝23可得cos 2α＝56＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1，化简可得tan α＝±55；当tan α＝55时，可得a 1＝55，b 2＝55，即a ＝55，b ＝255，此时|a －b |＝55；当tan α＝－55时，仍有此结果，故|a －b |＝55. 4．(20xx·天津卷，6)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减 [解析] 选A ．因为将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，得到函数y＝sin2x 的图象．用五点法作出草图，如图：从图中可以看出选项A 正确，其他都不正确．⎝ ⎛4－α＝5，则sin22 .＝4＋2c＝R，则△9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为2＋3.[解析] 由题意设BC ＝x (x >1)米， AC ＝t (t >0)米，依题设AB ＝AC －0.5 ＝(t －0.5)米，在△ABC 中，由余弦定理得： AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°，即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，化简并整理得： t ＝x2－0.25x －1(x >1)，即t ＝x －1＋0.75x －1＋2，因为x >1，故t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3，当且仅当x ＝1＋32时取等号，此时取最小值2＋3.10．(20xx·全国卷Ⅰ，17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．[解析] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sinA ＝AB sin ∠ADB. 由题设知，5sin45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题意知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.∴a ·(－MB →－MC →)＋b MB →＋33c ·MC →＝0.即(b －a )·MB →＋(33c －a )·MC →＝0，∵MB →与MC →不共线， ∴b －a ＝0，32c －a ＝0. 得a b33c ＝111，令a ＝1，b ＝1，c ＝3，则cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝1＋1－32×1×1＝－12，∴C ＝2π3，故选D ．2．(20xx·××市一模)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( A ) A ．－79B ．79C ．－29D ．29[解析] ∵cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝－(1－29)＝－79.3．(20xx·威海二模)已知等腰△ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上的一点且AD ＝BD ，则sin ∠ADB 的值为( C )A ．36B ．23C ．223D ．63[解析] 如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB ，。