材料力学课件：组合变形

972Nm
z
q L2 358 3.32
M y max
z 8
487Nm 8
b=80mm h=120mm
q
y =26°34′
§ 9 . 2 斜弯曲
例1：矩形截面檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m 的均布力作用， []=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa， 试校核此梁的强度和刚度。
组合变形
§9.1 组合变形的概念 §9.2 斜弯曲 §9.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §9.4 弯曲与扭转的组合变形
§9.1 组合变形的概念
§ 9 . 1 组合变形的概念
工程上的吊车梁立柱
屋架传来的压力
风力
吊车传来的压力 自重
§ 9 . 1 组合变形的概念
一、组合变形概念 当构件的某一截面或某一段内，包含两种或两种以上 的基本变形，如几种变形所对应的应力（或变形）属 同一量级，称为组合变形
（2）一般情况下， I y I z
即中性轴并不垂直于外力作用面。
tg y0 Iz tg
z0 I y
拉 z
Fy
中性轴 压
§ 9 . 2 斜弯曲
正应力的分布规律
中性轴
σtmax x
σcmax
F
§ 9 . 2 斜弯曲
4、斜弯曲梁的变形——叠加法
中性轴
fy
Fyl3 3EI z
F
cosl3
3EI z
fz
Fzl3 3EI y
F sin l3 ,
3EI y
z fz
f fy
总挠度： fz 和 fy 矢量和
大小为： f fy2 f 2 z
F
y
设总挠度与y轴夹角为 ：
tg fz FzIz Iz tg tg
f y Fy I y I y
总挠度的方向与中性轴的方向是垂直的
一般情况下，Iy Iz
§ 9 . 2 斜弯曲
b
b
a
a
l x
Mz
z
c
dy
z
My z
c
y
dy
x
F
3、强度计算
危险截面——固定端 M z max Fyl, M y max Fzl
危险点——“b ”点为最大拉应力点，“d ”点为最大压应力点。
Mz max ymax
max
Iz
M y max zmax Mz max M y max
z
f
Fy
——平面弯曲 中性轴
§ 9 . 2 斜弯曲
例1：矩形截面檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m
的均布力作用， []=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa，
试校核此梁的强度和刚度。
q
A
B
L
b=80mm h=120mm
z
q
=y26°34′
§ 9 . 2 斜弯曲
例1：矩形截面檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m
z y
x
F
z F
y
§ 9 . 2 斜弯曲
二、斜弯曲的计算
x lx
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
y
（1）内力：
Mz ( x ) Fy l x F cos l x
M y ( x ) Fz l x F sin l x
k
z Fz
x
F
（2）应力：
a Fz
y0 cos z0 sin 0
Iz
Iy
F
z0和y0同时为零 必定满足中性轴方程
y Fy
中性轴为过截面形心的 一条斜直线
y0 Iz tg tg
z0 I y
截面上距中性轴最远的点应力值最大， 就是危险点
§ 9 . 2 斜弯曲
（1）中性轴只与外力F的倾角及截面的几何形状与 尺寸有关；
Iz
Iy
y cos z sin
F (l x)
0
Iz
0 Iy
0
Mz ( x ) Fy x F cos l x M y ( x ) Fz x F sin l x
——中性轴方程
§ 9 . 2 斜弯曲
对于无棱角的截面——如何确定危险点的位置 中性轴
1、首先确定中性轴的位置；
Fz
b
A LB
即挠曲线平面与荷载作用面不相重合——斜弯曲
§ 9 . 2 斜弯曲
当截面为圆形、正方形、正三角形或正多边形时，
Iy Iz
所有通过形心的轴均为主轴，且惯性矩相等 中性轴垂直于外力作用面、垂直于变形的挠曲线平面
外力作用面与挠曲线平面重合
平面弯曲：当外力作 用面通过形心主惯性 平面时,则弯曲变形 后,梁的轴线位于外 力的作用面内.
工程实例: 烟囱(水塔)，传动轴， 吊车梁的立柱
烟囱(水塔)：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
§ 9 . 1 组合变形的概念
二、解组合变形问题的一般步骤—— 叠加原理
1.外力分析 将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的 静力等效力系
Iy
Wz
Wy
强度条件（看作简单应力状态）—— max
§ 9 . 2 斜弯曲
对于无棱角的截面
F
k
z
确定危险点的位置?
A
LB
Fz
k
Mz k
M y k
Mz y Iz
Myz Iy
F y Fy
1、首先确定中性轴的位置；
令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标
Mz y0 M y z0 0
2.内力分析 分别做出各基本变形的内力图,确定构件危 险截面位置及其相应内力分量
3.应力分析 按危险截面上的内力值，分析危险截面上的 应力分布，确定危险点所在位置。
4.强度分析 根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度 理论进行强度计算。
§ 9 . 2 斜弯曲
§ 9 . 2 斜弯曲
一、斜弯曲的概念
的均布力作用， []=12MPa，容许挠度为：L/200 ，E=9GPa，
q 试校核此梁的强度和刚度。
解：1、外力分解
A
B
qy q cos 800 0.894 714N / m
L
qz q sin 800 0.447 358N / m
2、强度计算
M zmax
q y L2 8
714 3.32 8
平面弯曲：当外力作用面通过纵向对称面(过形心的主惯性面） 时,则弯曲变形后,梁的轴线位于外力的作用面内
z y
z
x
F
F
y xy平面内的平面弯曲
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z
y
x
F
zF
y xz平面内 的平面弯曲
一、斜弯曲的概念
§ 9 . 2 斜弯曲
斜弯曲：当外力作用面仍然过形心但不过主惯性平面时,则弯 曲变形后,梁的轴线将不在位于外力的作用面内.
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
F
Fy
y
（应力的 “＋”、“－” 可由变 形判断）
正应力的分布——
在 Mz 作用下：
§ 9 . 2 斜弯曲 在 My 作用下：
k
z Fz
Mz
z
z
My
F
Fy
y
y （3）叠加：
y
k
Mz k
M y k
M z yk Iz
M y zk Iy