在方差分析的数据结构模型中,需假设随机误差项===

试验数据
不同奖金水平失业者的再就业时间（天）
无奖金 92
低奖金 86
中奖金 96
高奖金 78
100
85 88 89 90
108
93 88 89 75
92
90 77 79 71
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奖金水平
1=无奖金 2=低奖金 3=中奖金 4=高奖金。根据实验 结果，可以认为各总体的平均失业时间相同吗？
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研究方法：两样本的t检验？
• 如果采用t检验法对多个总体均值进行差异显著性 检验 ，会出现如下问题：
▫ 全部检验过程烦琐，做法不经济 ▫ 无统一的总体方差估计 ，检验的精度降低 ▫ 犯第一类错误的概率增大，检验的可靠性降低
•
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总变差（离差平方和）分解的图示
组间变异 组内变异
总变异
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总变差
SST ( xij x)2
i 1 j 1
k
n
组间离差平方和
SSA n ( xi x)
i 1 k 2
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7.2.2
方差分析的基本原理
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总变差（离差平方和）的分解
• • 数据的误差用离差平方和(sum of squares)描述。 组内离差平方和(within groups) ▫ 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的变异 ▫ 比如，同一奖金水平下失业时间的差异 ▫ 组内离差平方和只包含随机误差 组间离差平方和(between groups) ▫ 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的变异 ▫ 比如，四个奖金水平之间失业时间的差异 ▫ 组间离差平方和既包括随机误差，也包括系统误差
Ai
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7.1.1 ：固定效应模型

若因素 A 的每一个水平（处理）均做试验， 相当于对该因素进行了全面调查。此种情形下， A1 , A2 , , Ak 方差分析目的在于：对 比较寻优， 即确定因素 的显著影响水平，且该显著影 A A1 , A2 ,中有效，在 , Ak 响水平仅在 A1 , A2 ,, Ak 外无效，一句话，试验数据不能 对因素做推断，这属于固定效应模型方差分析 范畴。
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实验数据误差类型
• 随机误差
▫ ▫ ▫ 因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 比如，同一奖金水平下不同不同人的失业时间是不同的 这种差异可以看成是随机因素影响的结果，称为随机误
差
因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 比如，不同奖金水平之间的失业时间之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是 由于奖金本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性 因素造成的，称为系统误差
X ij i ij i ij
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7.2.1 单因素方差分析模型（2）
ì ï xij = m+ a i + eij i = 1, 2, , k ; j = 1, 2, , n (可加性假定) ï ï ï k ï ï a = 0 约束条件 ( ) íå i ï i= 1 ï ï ï 2 ï e 相互独立，且均服从 N 0, s ( ) (独立性、正态性、方差齐性假定) ï î ij
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学习内容
第一节 方差分析简介 常用术语 基本假定
第二节 单因素方差分析 分析模型 基本思想 分析步骤 多重比较
第三节 双因素方差分析 无交互作用双因素方差分析 有交互作用双因素方差分析
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7.1 方差分析简介
失业时间
失业时间
失业时间
失业时间
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（2）等方差性的检验


经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 本例中，最大值和最小值的比例等于1.83<2。 Levene检验 *
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ANOVA (analysis of variance)
• 由于方差分析法是通过比较有关方差的大小而得 到结论的，所以在统计中，常常把运用方差分析 法的活动称为方差分析。 • 方差分析的内容很广泛，既涉及到实验设计的模 式，又关乎数据分析模型中因素效应的性质。本 章在完全随机试验设计下，讨论固定效应模型方 差分析的基本原理与方法，重点介绍单因素方差 分析及两因素方差分析的内容。
奖金水 平 1 2 3 4 均值 88.44 85.33 82.56 77.11 N 9 9 9 9 标准差 6.82 11.02 8.38 6.01
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(3) 其它说明
• 方差分析对前两个假设条件是稳健的，允许一定 程度的偏离。 • 独立性的假设条件一般可以通过对数据搜集过程 的控制来保证。 • 如果确实严重偏离了前两个假设条件，则需要先 对数据进行数学变换，也可以使用非参数的方法 来比较各组的均值。
组内离差平方和
SSE ( xij xi )2
i 1 j 1 k n
因素A及随机因素导致 的变差
随机因素导致的变差
SST＝SSA＋SSE
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方差分析与回归分析的联系*
• 回归分析主要用来研究定量自变量和定量因变量 之间的关系（第八章学习）。 • 回归分析中方差分析常常用来检验回归方程的整 体显著性。 • 回归模型中也可以包含定性自变量。这时回归模 型与方差分析模型是等价的。
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7.1.1 方差分析中的几个基本概念
• 方差分析主要用来研究一个定量因变量与一个或 多个定性自变量的关系 • 只有一个自变量的方差分析称为单因素方差分析。
• 研究多个因素对因变量的影响的方差分析称为多 因素方差分析，其中最简单的情况是双因素方差 分析。
固定效应模型：因素的所有水平都是由实验者 审慎安排而不是随机选择的。

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7.1.1 ：随机效应模型



若只对因素 A 的部分水平（处理）做试验，相 当于对 A 进行了抽样调查，此种情形下，方差 A 的总体变量所服从的 分析目的在于：对因素 2 分布 N , A 进行差异性检验和参数估计，即样 本推断总体，这属于随机效应模型方差分析范畴。 随机效应模型：因素的水平是从多个可能的水平 中随机选择的。 固定效应和随机效应模型在假设的设臵和参数估 计上有所差异，本章研究的都是固定效应模型。
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各个总体的均值相等吗？
f(X)
1 2 3 4
f(X)
X
3 1 2 4
X
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失业保险案例：实验结果……
110 100 90 80 70 1 2 3 4
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失 业 时 间
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7.1.1 方差分析中的几个基本概念
• 因变量：我们实际测量的、作为结果的变量，例 如失业持续时间。因变量也称试验指标，其不同 的取值常称为观察值或试验数据。 • 自变量：作为原因的、把观测结果分成几个组以 进行比较的变量例如奖金水平。 • 在方差分析中，自变量也被称为因素(factor)。 • 因素的不同表现，即每个自变量的不同取值称为 因素的水平。
• 7.1.1 方差分析中的基本概念 • 7.1.2 方差分析中的基本假设与检验
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失业保险案例：为什么要进行方差分析？
为了减小失业保险支出、促进 就业，政府试图为失业者提供再 就业奖励：如果失业者可以在限 定的时间内重新就业，他将可以 获得一定数额的奖金。政策会有 效吗？
7.1.2：方差分析中的基本假设
• （1）在各个总体中因变量都服从正态分布；
• （2）在各个总体中因变量的方差都相等；
• （3）各个观测值之间是相互独立的。
（1）正态性的检 验
• 各组数据的直方图 • Q-Q图， K-S检验*
奖金水平 1
4
2
3
4
F re q u e n c y
3 2 1 0
60 70 80 90 100 110 60 70 80 90 100 110 60 70 80 90 100 110 60 70 80 90 100 110
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方差分析可以用来比较多个均值
• 方差分析（Analysis of variance，ANOVA）的主要目的 是通过对方差的比较来同时检验多个均值之间差异的显著 性。 • 可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时与t检验等价。
• 20世纪20年代由英国统计学家费喧（R. A. Fisher）最早 提出的，开始应用于生物和农业田间试验，以后在许多学 科中得到了广泛应用。
•
系统误差
▫ ▫ ▫
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方差分析的实质与分析目的
• 方差分析的实质：观测值变异原因的数量分析。 • 方差分析的目的：系统中是否存在显著性影响 因素
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7.2.1 单因素方差分析模型（1）

单因素方差分析: 模型中有一个自变量（因素）和一 个因变量。 在失业保险实验中，假设张三在高奖金组，则 张三的失业时间 =高奖金组的平均失业时间 + 随机因素带来的影响 =总平均失业时间 +高奖金组平均值与总平均值之差 + 随机因素带来的影响
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7.2. 单因素方差分析
• • • • 7.2.1 单因素方差分析模型 7.2.2 方差分析的基本原理 7.2.3 单因素方差分析的步骤 7.2.4 方差分析中的多重比较
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7.2.1 单因素方差分析模型
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要研究的问题
总体1，μ1 （奖金=1） 总体2，μ2 （奖金=2）
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总体3，μ3 （奖金=3）
总体4，μ4 （奖金=4）
样本1
2 x1, s1
样本2
2 x2 , s2
样本3
2 x3 , s3
样本4
2 x4 , s4
H 0 : 1 2 3 4 ??
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单因素方差分析的数据结构
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试验数据变异原因（误差来源）分 析
• 同一试验条件下的数据变异-----随机因素影响 • 不同试验条件下，试验数据变异-----随机因素 和可能存在的系统性因素即试验因素共同影响
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在方差分析的数据结构模型 中,需假设随机误差项
方差分析
Analysis of Variance （ANOVA )
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学习目标
• • • • • 掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 初步了解多重比较方法的应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。
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7.1.1 ：固定效应与随机效应模型

为便于理解，在单因素方差分析中，将因 Ai i 1,2,, k 素 A 的任何一个水平（处理） 看作是一个总体，该水平（处理）下试验 得到的数据可看成是从总体 中抽出的 一个样本，处理的重复数即为样本容量。