矩形八结点单元刚度矩阵的通用公式

ｆｃ［２＊ｉ－ １］：＝ｕ（ｘｙ［ｉ，１］，ｘｙ［ｉ，２］）＝ｕ［ｉ］；
ｆｃ［２＊ｉ－ ０］：＝ｖ（ｘｙ［ｉ，１］，ｘｙ［ｉ，２］）＝ｖ［ｉ］；
ｅｎｄ ｄｏ：
Ａ：＝ｇｅｎｍａｔｒｉｘ（［ｓｅｑ（ｆｃ［ｉ］，ｉ＝１．．１６）］，［ｓｅｑ（ａ［ｉ］，ｉ＝１．．１６）］）：
Ｃｚ：＝ｇｅｎｍａｔｒｉｘ（［ｄｉｆｆ（ｕ （ｘ，ｙ），ｘ），ｄｉｆｆ（ｖ（ｘ，ｙ），ｙ），ｄｉｆｆ（ｕ （ｘ，ｙ），ｙ）＋ｄｉｆｆ（ｖ（ｘ，ｙ），ｘ）］，
一 、加 强 “终 身 体 育 ”思 想 的 教 育 加强教育应成为“终身体育”的一个过程， 而学生则是这一过程的 主体。因此在教学中， 首先应加强对学生的“终身体育”思想的教育和 培养， 树立正确的体育观。使学生充分认识到体育的功能， 充分体验到 体育的魅力， 充分认识到坚持终身体育锻炼于国于民的重大意义和作 用。 我 们 还 要 充 分 做 好 学 生 体 育 观 念 的 更 新 工 作 。即 终 身 体 育 不 仅 是 社会发展的需要， 也是个人生存、享受、发展的需要。这样才能提高学 生的认识水平。学生认识水平越高， 对体育的热爱、兴趣、爱好就愈大， “终身体育”思想的 产 生 和 发 展 就 愈 稳 固 ， 提 高 了 学 生 对 体 育 的 认 识 ， 就 能 为 实 施 “终 身 体 育 ”教 育 奠 定 坚 实 的 思 想 基 础 。 二 、注 意 兴 趣 的 培 养 坚持终身体育锻炼， 就必须充分调动起学生的自觉性和积极性， 而自觉性和积极性的动力又来源于对体育的兴趣和爱好。因此， 在体 育教学和业余训练中， 教师要善于发展学生的兴趣和爱好， 培养学生 的兴趣和爱好， 切不可为完成教学任务， 而自觉或不自觉地抹杀了学 生对体育的兴趣和爱好。 我们在强调学习兴趣的同时， 还要注意培养学生创造性学习和主 动性学习。在体育教学和锻炼中充分确定以学生为主的教学思想， 尊
ｍａｐ（ｉｎｔ，ｍａｐ（ｉｎｔ，ＢＤＢ，ｘ＝ｘ１．．ｘ１＋２＊ａ），ｙ＝ｙ１．．ｙ１＋２＊ｂ）：
Ｋ：＝ｍａｐ（ｆａｃｔｏｒ，ｍａｐ（ｖａｌｕｅ，％））；
在 ＭＡＰＬＥ ７．０ 及其以后版本中执 行 以 上 程 序 ， 即 可 以 得 到 矩 形
八结点单元的单元刚度矩阵的通用公式， 限于篇幅， 仅列出部分结果。
建立图示的整体坐标系 ｏｘｙ， 考虑其通用性， 假设结点 １ 的坐标为
ｘ１、ｙ１， 其余各点的坐标见图 ２ 所示， 设各结点的水平位移、垂直位移分 别 为 ｕｉ、ｖｉ（ ｉ＝１，２，…，８） ， 将 八 个 结 点 的 坐 标 ｘｉ、ｙｉ（ ｉ＝１，２，…，８） ， 依 次 代 入
式⑴， 可 以 得 到 １６ 个 方 程 构 成 的 线 性 方 程 组 ， 其 系 数 矩 阵 设 为［Ａ］
Ｄ＝
Ｅ
２
ｕ
１
０
１－ ｕ ０ ０ （ １－ ｕ） ／２
只要将上式作替换 Ｅ→
Ｅ
２
， ｕ→
Ｅ
，
就可以得到平面应变问
１－ ｕ
１－ ｕ
题的弹性矩阵［ Ｄ］ ， 将其二者统一为：
* + ｄ１ ｄ２ ０
［ Ｄ］ ＝ ｄ２ ｄ１ ０
０ ０ ｄ３
利用有限单元法知识得到计算矩形八结点单元的单元刚度矩阵
的公式为：
-Ｔ
［ｋ］＝ ［Ｂ］ ［Ｄ］［Ｂ］ｔｄｘｄｙ
（ １６×１６ 阶， 略） ， 未知系数列阵为｛ａ｝＝｛ａ１ ａ２ … ａ１６｝Ｔ。
根据弹性力学平面问题几何方程的矩阵表达式：
! "εｘ
$ %
#
εｙ
＝
%%#ｘ
%
γｘｙ
０%
%% &
０
# #ｙ
Ｔ
#
’ (
!" #ｙ #
( ( ( (
ｕ ｖ
［ Ｃ］ ｛ａ｝
#ｘ
(( )
计算得到：
$%０
１
０
ｙ
２ｘ
０
２ｘｙ
２
ｙ
００００００
［１５］＊ｘ＾２＊ｙ＋ａ［１６］＊ｘ＊ｙ＾２：
ｘｙ：＝ｍａｔｒｉｘ （［［ｘ１，ｙ１］，［ｘ１＋２＊ａ，ｙ１］，［ｘ１＋２＊ａ，ｙ１＋２＊ｂ］，［ｘ１，ｙ１＋２＊ｂ］，［ｘ１＋ａ，
ｙ１］，［ｘ１＋２＊ａ，ｙ１＋ｂ］，［ｘ１＋ａ，ｙ１＋２＊ｂ］，［ｘ１，ｙ１＋ｂ］］）：
ｆｏｒ ｉ ｆｒｏｍ １ ｔｏ ８ ｄｏ ；
利 用 ＭＡＰＬＥ 自 身 所 带 的 ｃｏｄｅｇｅｎ 库 ， 可 以 自 动 将 其 转 换 为 Ｃ、
ＦＯＲＴＲＡＮ 代码。
＞ ｗｉｔｈ（ｃｏｄｅｇｅｎ）：
＞ Ｃ（Ｋ）：
Ｋ［０］［０］ ＝ ２６．０／４５．０＊ｔ／ａ／ｂ＊（ｄ［０］＊ｂ＊ｂ＋ｄ［２］＊ａ＊ａ）；（ 下转第 ４０２ 页）
４２８
科技信息
位移插值函数为：
２
２
２
２
ｕ（ｘ，ｙ）＝ａ１ ＋ａ１ ｘ＋ａ３ ｘ ＋ａ５ ｘｙ＋ａ６ ｙ ＋ａ７ ｘ ｙ＋ａ８ ｘｙ
２
２
２
２
ｖ（ｘ，ｙ）＝ａ９ ＋ａ１０ ＋ａ１１ ＋ａ１２ ｘ ＋ａ１３ ｘｙ＋ａ１４ ｙ ＋ａ１５ ｘ ｙ＋ａ１６ ｘｙ
⑴
图 １ 矩形八结点 单元的结点编号
图 ２ 矩形八结点 单元各结点的坐标
Ｋ１，１
＝
２６ ４５
２
２
ｔ（ｄ１ ｂ ＋ｄ３ ａ ａｂ
）
， Ｋ２，２＝
２６ ４５
２
２
ｔ（ｄ３ｂ ＋ｄ１ ａ ａｂ
） ，
Ｋ３，３＝
２６ ４５
２
２
ｔ（ｄ１ｂ ＋ｄ３ａ ） ，
ａｂ
２
２
２
２
２
２
Ｋ４，４
＝
２６ ４５
ｔ（ｄ３ｂ ＋ｄ１ａ ａｂ
）
，
Ｋ５，５＝
２６ ４５
ｔ（ｄ１ｂ ＋ｄ３ａ ａｂ
） ， Ｋ６，６ ＝
２６ ４５
ｔ（ｄ３ｂ ＋ｄ１ａ ） ， ａｂ
２
２
２
２
２
２
Ｋ７，７＝
２６ ４５
ｔ（ｄ１ｂ ＋ｄ３ａ ａｂ
）
， Ｋ８，８＝
２６ ４５
ｔ（ｄ３ｂ ＋ｄ１ａ ａｂ
）
，
Ｋ９，９＝
８ ４５
ｔ（ｄ１ｂ ＋ｄ３ａ ） ， ａｂ
２
２
２
２
Ｋ１０，１０＝
８ ４５
ｔ（３ｄ１ｂ ＋ｄ３ａ ａｂ
）
，
Ｋ１１，１１＝
８ ４５
ｔ（１０ｄ３ｂ ＋３ｄ１ａ ） ， ａｂ
⑵
Ａ
在整个计算过程中， 要用到有关矩阵求逆、矩阵乘积、二重数值积
分等运算， 其运算量是相当大的， 并且会产生较大的误差， 且浪费计算
机的计算时间与存储空间。
２．利用 ＭＡＰ ＬＥ 推导单元刚度矩阵
数学计算软件 ＭＡＰＬＥ 不仅能进行数值计算， 其符号运算功能也
是其最大特色之一， 将上述推导矩形八结点单元的单元刚度矩阵的过
式的； 本文讨论了先利用数学 计 算 软 件 ＭＡＰＬＥ 来 推 导 矩 形 八 结 点 单
元之单元刚度矩阵的通用公式， 然后直接利用所得到的通用公式来计
算其单元刚度矩阵的方法和过程。
１．推导矩形八结点单元的单元刚度矩阵的方法
图 １ 所示的矩阵八结点单元， 长 ２ａ、宽 ２ｂ、厚 ｔ， 结点编号如图， 设
○高校讲台○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７ 年 第 ３５ 期
谈体育教学中大学生终身体育习惯的培养
姚金香 （ 兰州资源环境职业技术学院体育教研室 甘肃 兰州 ７３００２１）
【摘 要】终身体育锻炼是受终身教育思想的启发而产生， 加强“终身体育”教育习惯培养， 就是要引导学生要学、会学， 解决学生学习态度， 学习能力等问题。体育教学不仅传授知识、技术、技能， 更重要地使学生掌握学习锻炼身体的科学方法， 养成终身体育锻炼的习惯， 不断提高学 生的认识能力。
重并发展学生的个性 ， 开 发 学 生 智 力 ， 使 学 生 主 动 、积 极 、自 觉 地 去 体 验运动的乐趣， 从而 培 养 学 生 自 主 的 体 育 兴 趣 ， 意 识 、习 惯 和 能 力 ， 主 动积极地走向终身体育。
三 、教 学 内 容 体 现 终 身 体 育 的 观 点 学校体育作为终身体育的一个有机组成部分， 要求学校体育能根 据学校自身和学生自身两个方面的特点发挥优势， 为终身体育打下坚 实基础。终身体育能否最终实施的关键之一， 就在于各个方面的客观 条件都具备时， 离校后学生对体育的热爱程度， 既是否有自觉锻炼的 习惯和独立进行锻炼的能力， 以及是否掌握科学的锻炼的方法。为此， 必须对现有教材体系加以改革， 在国外各级各类学校社会体育的内容 都要占体育教材内容相当的比例， 从小学到大学社会体育的内容依次 增多。我们在教学内容改革中应根据课程的目标， 突出体育基础理论 知识， 增加理论教材的时数。理论教材应选择有利于强化学生健康知 识、增强健身能力， 善护身心原理和方法等内容。实践部分， 则打破以 竞技运动为中心的体系， 采用较高锻炼价值和能有终身效益的个性教 材， 培养学生锻炼， 善护身体的能力。压缩基本教材的比例， 增加选用 教材的比例， 增加教材的科学性、知识性、实用性。使教学内容系列化， 以适应终身体育锻炼的要求。 四 、改 革 传 统 的 教 学 方 法 以前我们总是围绕着如何使学生动作做得更好些， 运动成绩如何 提高等， 而缺乏对学生“学 法 ”的 研 究 ， 练 习 方 法 多 样 性 、针 对 性 、趣 味 性的研究。忽略了引导学生要学、会学、解决学生学习态度， 学习能力 等问题。 体育教学不仅传授学生知识、技术、技能， 更重要地使学生掌握学 习锻炼身体的科学方法，养成终身体育锻炼的习惯，不断提高学生的认 识能力。在体育教学中应注意启发学生思维， 重视培养学生的理解力、 观察力、想象力和创造力， 以及进行情感与审美能力的教育， 养成良好 心理素质和道德品质， 提高自我锻炼、自我评价、自我监护的能力。 总之， 注意在体育教学中培养学生终身体育习惯， 是时代变革、社 会发展的需要， 使 体 育 教 育 、体 育 锻 炼 不 再 是 一 个 人 离 开 学 校 走 向 社 会就算结束的过程， 而是贯穿于人的一生。科
【关键词】大学生； 终身体育习惯； 培养
现代教育的特点是强调终身教育， 它从宏观上影响着世界各国教 育战略的规划， 这一观点的提出令世人瞩目。终身体育就是受终身教育 思想的启发而产生的， 终身教育思想对终身体育思想的形成、发展， 不 仅起到直接启迪作用， 而且使终身教育的内容得到了扩展和补充。它随 着体育本身的功能， 社会经济发展和人们观念行为的变化而产生。
［ｓｅｑ（ａ［ｉ］，ｉ＝１．．１６）］）：
Ｂ：＝（ｍｕｌｔｉｐｌｙ（Ｃｚ，ｉｎｖｅｒｓｅ（Ａ）））：
Ｔ：＝ｍａｔｒｉｘ（［［ｄ［１］，ｄ［２］，０］，［ｄ［２］，ｄ［１］，０］，［０，０，ｄ［３］］］）：
ＢＤＢ：＝ｅｖａｌｍ（ｍｕｌｔｉｐｌｙ（ｍｕｌｔｉｐｌｙ（ｔｒａｎｓｐｏｓｅ（Ｂ），Ｔ），Ｂ）＊ｔ）：
科技信息
○高校讲台○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７ 年 第 ３５ 期
矩形八结点单元刚度矩阵的通用公式
肖文芹 １ 李学建 ２ 赵明波 １ 郭怀仁 １ （ １．西南科技大学土木工程与建筑学院 四川 绵阳 ６２１０１０； ２．无锡市公路管理处 江苏 无锡 ２１４０００）
【摘 要】本文讨论分析了现行数值计算方法在计算平面问题的 矩 形 八 结 点 单 元 的 单 元 刚 度 矩 阵 中 存 在 的 缺 陷 ， 给 出 了 数 学 计 算 软 件 ＭＡＰＬＥ 在推导矩形八结点单元的单元刚度矩阵中的应用及其相应的 ＭＡＰＬＥ 通用程序、单元刚度矩阵的通用计算公式， 并利用 ＭＡＰＬＥ 自带 的 ｃｏｄｅｇｅｎ 库自动给出了相应的 Ｃ、ＦＯ Ｒ ＴＲ ＡＮ 代码， 得出结论， 利用该通用公式来计算其单元刚度矩阵矩阵， 可以节约大量的计算时间与存 储空间以提高计算速度与精度， 并可将其应用到 Ｃ、ＦＯ Ｒ ＴＲ ＡＮ 中。
所谓终身体育是指一个人各个时期所接受的体育教育， 所参加的 体育活动， 所坚持的体育锻炼的总和。它强调体育在人的一生中的重 要性， 进行体育活动的必要性， 要求人们在人生的各个时期都应将体 育作为生活内容来安排和看待， 充分享受体育的乐趣。
如何使 学 生 在 校 期 间 即 能 够 学 到 全 面 的 体 育 知 识 、技 能 ， 又 能 使 他 们 有 几 项 热 爱 的 可 以 坚 持 终 身 的 运 动 项 目 。如 何 使 他 们 既 能 在 校 阶 段锻炼身体， 又 能 使 他 们 愉 快 自 觉 地 在 一 生 中 从 事 体 育 运 动 、锻 炼 身 体。因此， 体育教学与终身体育的接轨已成为学校体育改革的重要课 题。
２
２
２
２
Ｋ１２，
１２＝
８ ４５
ｔ（１０ｄ１ｂ ＋３ｄ３ａ ａｂ
）
，
Ｋ１３， １３＝
８ ４５
ｔ（３ｄ１ｂ ＋ｄ３ａ ） ａｂ
２
２
２
２
Ｋ１４，
１４＝
８ ４５
ｔ（３ｄ１ｂ ＋ｄ３ａ ａｂ
）
，
Ｋ１５，
１５＝
８ ４５
ｔ（１０ｄ３ｂ ＋３ｄ１ａ ） ａｂ
２
２
Ｋ１６，
１６＝
８ ４５
ｔ（１０ｄ１ｂ ＋３ｄ３ａ ） ａｂ
【关键词】平面问题； 矩形八结点单元； ＭＡＰＬＥ； 单元刚度矩阵
求解弹性力学平面问题的矩形八结点单元具有精度高、形状规
则、便于实现计算自动化等优点， 但是其单元刚度矩阵的计算， 如果采
用常规的数值计算方法来进行矩阵运算和数值计算， 不仅精度差， 也
浪费机时与存储空间， 至今还没有见到有关文献资料中推导其通用公
０
０
’ (
%
(
［Ｃ］＝ %%０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
０
０
０
１
ｘ０
２
２ｙ ｘ
２ｘｙ
( (
%
(
０%%
&
０
１
ｘ０
２
２ｙ ｘ
２ｘｙ ０
１
０
ｙ ２ｘ ０
２ｘｙ
ｙ２ (( )
利用有限单元法的知识可得应变矩阵［ Ｂ］ ＝［ Ｃ］ ［ Ａ］ －１， 对于弹性力
学平面应力问题的弹性矩阵［ Ｄ］ 为：
* + １ ｕ ０
程可用下述 ＭＡＰＬＥ 程序来自动完成。
＞ｕ： ＝（ｘ，ｙ）－ ＞ａ ［１］＋ａ ［２］＊ｘ＋ａ ［３］＊ｙ＋ａ ［４］＊ｘ＊ｙ＋ａ ［５］＊ｘ＾２ ＋ａ ［６］＊ｙ＾２ ＋ａ ［７］
＊ｘ＾２＊ｙ＋ａ［８］＊ｘ＊ｙ＾２：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ｖ：＝（ｘ，ｙ）－ ＞ａ［９］＋ａ［１０］＊ｘ＋ａ［１１］＊ｙ＋ａ［１２］＊ｘ＊ｙ＋ａ［１３］＊ｘ＾２＋ａ［１４］＊ｙ＾２＋ａ