波函数、势井中的粒子、氢原子(公式讲解).ppt

2 2m
2x x 2
E x x
一维自由粒子薛定谔方程
2 2 U E
2m
三维势场粒子的薛定谔方程
U E 是 x y z 的函数
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例：已知氢原子中电子的径向波函数为
r
Ae a
A、ar为常数，求 r r dr
之间电子出现的概率。在何处这个 概率最大？
解：先归一化求出常数A
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4r 2r
E p2 2m
i 2 Et px
t,x Ae h
i 2 E
t
h
2 x 2
2
h
2
p2
8
h
h2 2
i
2
t
8 2m x2
一维自由粒子
若粒子处在势场，还应考虑势能：
E
p2 2m
Ux
h
2
2 2 2 2
x2 y2 z2
i t
2
2m
2 x2 Ux
一维势场粒子
i t
2 2m 2 Ux
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解下列定态薛定谔方程：
2 d2
E
2m dx2
a a 0
x a
令
2mE k2 2
h
2
d2 k 2 0
dx 2
其通解为 x Aeikx Beikx
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利用边界条件求常数A、B
a Aeika Be ika 0 a Aeika Beika 0
这是决定A、B的线行方程组。A、B不会全
n为偶数时
nx A eiknx eiknx
n
2iA sin kn x A2 sin 2a x
归一化（-a,a)的波函数
nx
1 cos n x
a 2a
n不同、能量不同、 波函数不同。
nx
1 sin n x
a 2a
nx 2 为该处粒子 出现的几率
n4
E4 16E1
4
1 sin 2x
§1 波函数
对于微观粒子，牛顿方程已不适用，粒子的位 置这一概念是毫无意义的。必需建立能描述微 观粒子运动的基本方程。
一、波函数：
微观粒子，具有波粒二象性，为了把波动性和粒子性 统一起来，建立了薛定谔方程，方程的解（波函数） 即能很好的反映微观粒的波粒二象性。
一个沿x轴正向传播的频率一定的平面简 谐波可用下式表示
y Acos 2 t x
1
上式是波动 方程的解
2 y x2
1 u2
2 y t 2
y Ae 用指数形式表示：
i
2
t
x
取复数实部
ei cos i sin ei cos i sin
对于动量为p、能量为E的微观粒子
2
E h p h
i 2 Et px
t,x Ae h
称为波函数
2
dxdydz
1 c
若另有一个波函数： x, y,z
cx, y,z
2
2
v x, y,z dv v cx, y,z dv 1
则： x, y,z 称为归一化波函数
模的平方即为几率密度
这两个波函数表示粒子的同一状态， 由它们计算的几率密度是一样的。
6
4、粒子的平均位置可由概率分布算出：
x
En
2n
1 2 2
8ma 2
改写
i 2 px i 2 Et
t,x Ae h e h
振幅波函数、定态波函数
3
二、波函数的统计意义
1、几率密度：单位体积内粒子出现的可能性
v x, y,z dxdydz 1
标准条件：
归一化
单值：在一个地方出现只有一种可能性
连续：不能突变
有限： 某处几率越大，粒子出现的 可能性越大，位置越准确
2、几率密度正比于该处波的强度，振幅 A2 ，波函 数模的平方。
等于零（否则 x 0 ）。系数行列式必须
等于零。
eika eika
eika =0 eika
18
用欧拉公式展开 sin2ka=0
2ka n
kn 2a n
n 1,2,
n 不能取零，n=o,k=0 , x 在 x
a
区间内是一常数，无物理意义
将kn En
2a 2kn2
2m
n回代k 2
2 2
8ma 2
n2
2mE 2
n
得
1,2,
19
将 kn 代入 Aeika Be ika 0
i n
i n
则 Ae 2 Be 2 0
B 1 n1 A
nx A eiknx 1 e n1 iknx
n为奇数时
nx A eiknx eiknx
n
2 A cos
kn x
A1
cos
x 2a20
xx, y,zdxdydz
三、薛定谔方程的建立
波函数是薛定谔方程的解，实际问题是
先建立薛定谔方程而根据边界条件求解
波函数。
d2x dt 2
2
x
0
x Acost
2y 1 2y x2 u2 t 2
y Acos 2 t x
7
当粒子的运动速度远小于光速时，能量E（对自由 粒子，就是动能）和动量P之间的关系：
2
dr
4
A
2
r
2e
2r a
dr
1
0
0
13
A
a3
1 2
归一化波函数
r
1
r
ea
a3
在 r r dr之间出现的概率
Wr
r
2 4r 2dr
4 a3
e
2r a
r
2dr
wrdr
14
dwr dr
4 a3
2re 2r / a 1 r 0 a
d2wr 0 dr 2 r a 处出现的概率密度最大
4
2
x, y,z c x, y,z
模的平方也可用共軛复数相乘而得到。
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反 映粒子出现的几率，在这一点上不同于机械波， 电磁波。
3、波函数的归一化：
2
x, y,zdv cx, y,z dxdydz 1
v
v
看来任意一个波函数模的平方对体积积分 不一定等于1
x,y,z v
aa
n3
E3 9E1
3
1 cos 3x
a 2a
n2
E2 4E1
2
1 sin x
aa
-a
0
n 1
a
E1
h2 2
8ma2
1
1 cos x
a 2a
讨论：
1、n=1时的能量为最低能量，也叫基态能量
E 0 否则 E 0 E p2 2m
p0
xp h
x 2a 不附和事实
2、能级差
E
En1
W wrdr
概率最大
概率密度与概率不一样
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§2 势阱中的粒子
一、 势阱中的粒子：
Ux 设粒子在势场中运动
x a x a
势能为零
势能为U 0
U0
-a 0 +a x
这样的势场称为方势阱，若U0 无限大，称为 无限方势阱。粒子在阱内自由，不能越出阱外。 阱外波函数必为零。
电子受原子核作用力与此类似。
三维势场粒子
9
四、定态薛定谔方程
i 2 px i 2 Et
t,x Ae h e h
定态波函数
一维势场中的粒子
i 2 px
x Ae h
E x
p2 2m
Ux
10
2x x 2
x
i
2
h
p 2
令
h
2
x
i
p 2
p2 x 2
2 2m
2x x 2
U xx
E xx
势场中一维定态薛定谔方程 11