第04章 立体截切及

椭圆
抛物线
双曲线
例4-10 已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。 解题步骤
1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影均为椭圆；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 3 求出一般点Ⅴ； 4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
例4-11
求正平面与圆锥的截交线。
4” 5” 2’ 1’ 1” 2”
补个其水平投影，并作出侧面投影。
3’(4’) 5’ 3”
5 4 1
2
3
三、多个平面截切平面体
4.1.1
平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形， 多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题 可以简化为求平面与平面的交线问题，迚而简化为求直线与平 面交点的问题。
y
c'
d e a g c h f b
y
2.
辅助平面法
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使 辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。
例4-18 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。
1'
1"
4'
3' 5'
PV2 PV1 PV3
2"
y y
4" PW2
PW1 3" PW3
5"
2'
2 5
1 4
y
3
y
截交线具有如下的性质
1）共有性 2）封闭性
平面体的截交 线是一个平面 多边形。
二、求平面体截交线的一般步骤
• 截交线的空间形状是立体的形状及截平面对立体的截切位置决 定的。
1．空间及投影分析
• 确定截交线的空间形状；
• 确定截交线的投影特性。如实形性、积聚性、类似性等。
• 确定截交线的已知投影，预见未知投影。
4.2
4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4
立体与立体相交
概 述
求作两曲面立体的相贯线 相贯线的特殊情况 组合相贯线
4.2.1
概
述
立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面 的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回 转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面曲 线或直线。
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
Ⅵ
Ⅰ
4
6 1
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤：
（1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截 交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可 见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓 素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
1.两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直 轴线的圆
2.外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为 两条平面曲线—椭圆
两圆锥共锥顶相贯线 为相交两直线
两圆柱轴线平行相贯线 为平行两直线
4.2.4
组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相 贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体 相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合Fra Baidu bibliotek一起。
（2）求特殊点 相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓 转向点、曲线特征点和结合点四种。
（３） 根据需要求出若干个一般点。
（４）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。 （５）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并 擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。
例4-16
已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。
例4-3
求带切口三棱锥的投影
s' s"
解题步骤
1. 分析 截交线的 正面投影已知，水 平投影和侧面投影 未知； 2 .求出截交线上的 折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ；
4'
4"
1'
a'
2' 3'
b'c' c
3"
c"
y
1"
a" y
2"
3. 顺次地连接各点 b" ，作出截交线，并 且判别可见性； 4 .整理轮廓线。 关键：使两截交面 的郊线垂直于正立 投影面。
2 . 求特殊点Ⅰ、Ⅱ，其 中Ⅱ点也是最大辅助球 面上的点 3 . 求小辅助球面上的点Ⅲ
3
步骤2
2 ' 4 3 ' ' 1 ' 5 ' 1 "
2 "
4 "3 " 5 "
4 .求一般点Ⅳ、Ⅴ；
2
4 5 3
1
5 . 顺次连接各点，并判别 可见性； 6 .整理轮廓线。
4.2.3
相贯线的特殊情况
两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线， 但特殊情况下可能是平面曲线或直线。
2. 求截交线的投影
• 先求出截交线多边形各顶点的投影，然后，根据可见性连接其 同面投影；
• 可直接求出截交线多边形各边的投影。
例4-1
s’
三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s
3
2 1
a’ b’
3 1
c’
2
a(c)
y
b
a 1 s 2 3
c
Ⅲ Ⅰ
A
y
Ⅱ
b
B
[例4-2]
已知正五棱柱被截切后的正面投影和部分水平投影，试
例4-22
求作物体相贯线的投影
§4-3
平面体与平面体相惯
一､求作三棱柱与三棱柱的相贯线
求作相贯线的基本步骤
1、求相贯线上的各个顶点。2、依次连接各相贯点。3、补全棱线和轮廓线的 投影。
二､求作两五棱柱的相贯线
三､L型同坡屋面的投影
四､Z型同坡屋面的投影
§4-4
平面体与曲面体相贯
• 一般情况下，平面体与曲面立体相贯，其相贯线是由若干 段平面曲线组合而成的，通常也是闭合的。 • 每一段曲线都是由平面体的一个表面与曲面体相交而成的 截交线 • 一､圆柱与矩形梁相贯穿
5”(7”)
6 4 3
8
1 5
2 7
4.1.2
平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由 曲线和直线所围成的平面图形或多边形。
1.
平面与圆柱相交
截平面平行于轴 线，交线为平行 于轴线的 两条平行直线
截平面垂直于轴 线，交线为 圆
截平面倾斜于轴线， 交线为 椭圆
平面与圆柱的截交线
第四章 立体截切及相贯的投影
杨永前
4.1
平面体截切
4.1.1
平面与平面立体相交
4.1.2
平面与曲面立体相交
一、截交线的概念
截平面 截交线
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该 平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线， 截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截 平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范 围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线 或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。
两条平行直线
垂直于轴线的圆
椭 圆
例4-6 求斜切圆柱的截交线
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为椭 圆，侧面投影为圆；
1' 5‘6' 3‘(4‘) 7'8' 2' 8 2 8" 4" 6"
1" 5"
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ ；
3 求出若干个一般点Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
1’ 2’(3’) 6’
1”
3”
4’(5’) 5” 6” 4”
2”
5
3
6 1 2 4
3.
平面与圆球相交
平面与圆球相交,截交线为 圆
例4-13
已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。
例4-14
求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。
例4-15
分析并想象出圆球穿孔后的投影
相贯线性质图例
4.2.2
1. 表面取点法
求两曲面立体的相贯线
表面取点法求作相贯线的一般步骤
（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，迚一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况 （平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置， 两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相 贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。
特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
例4-7
3
y
a
1 4
s
2
b
y
例 4-4
求立体截切后的投影
6
6 5
3
（5）
1 2
4
4
1 2
（3）
Ⅵ Ⅴ
3 5 1 2 4 6
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
例4-5
已知棱台被截切后的正面投影和部分水平投影、试补全
其水平投影并作出侧面投影。
1’(4’)
2’(3’)
4”(3”)
1”(2”)
6”(8”) 5’(6’) 7’(8’)
二､求作圆柱与四棱锥的相贯线。
续
三､求作正三棱柱与圆锥的相贯线。
续
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面 与两立体表面交线的投影为直线或圆。
例4-21
求圆柱与圆锥斜交的相贯线 解题步骤
1. 分 析 圆 柱 与圆锥轴线 斜交 ，相贯 线的三个投 影均未知， 可利用辅助 球面法求共 有点；
步骤1
2 '
3 ' 1 ' 1 " 2 " 3 "
作图步骤
2
1
a " b "
a' d' c' e'
b'
d" e" c"
y
y
a c
b
y
d
e
y
圆柱表面交线的三种情况
两外表面相交
外表面与内表面相交
两内表面相交
两正交圆柱相贯线的变化趋势
例4-17 a' g'
求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 e' d' f' b' h' d" e“(f “) a“(b“) g“(h“) c“
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影 和侧面投影已知，正面投影 为双曲线并反映实形；
1’ 4’ 2’ 5’ 3’
1”
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ 、ⅡⅢ； 3 求出一般点ⅣⅤ ； 4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性； 5 整理轮廓线。
4”(5”)
2”(3”)
1 2
4
5
3
例4-12
例4-19 求水平圆柱与半球的相贯线的投影。
PV QV a’ a”
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
PW QW
RV
RW
df h b g a
c e
例4-20
PV2 PV3 PV4
2' 5' 3' 4'
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
1' 1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
1 分析 截交线的水平投影 为圆的一部分，侧面投影 为矩形；
2 求出截交线上的特殊点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3顺次地连接各点，作出截 交线并判别可见性； 4Ⅱ 整理轮廓线。
Ⅳ Ⅰ Ⅲ
例4-9
1'
求截切圆柱截交线的投影。
4' 5' 3' 4" 1" 5" 3" 2"
2'
4
12
5
3
2.
平面与圆锥相交
圆
两条相交直线
求切口圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影积 聚在圆，侧面投影为矩形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ 、Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；
3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ 、 Ⅵ、Ⅶ；
4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性； 5 整理轮廓线。
例4-8
求截切圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤