基本不等式求最值问题

1 S＝2AD· DP
72 1 12－ ＝2(12－x)· x 432 ＝108－6x＋ x .
∵x＞0， 432 ∴6x＋ ≥2 x 432 6x· ＝72 2. x 2.
432 ∴S＝108－6x＋ x ≤108－72
432 当且仅当 6x＝ x 时，即当 x＝6 2时，S 有最大值 108－ 72 2. 答：当 x＝6 2时，△ADP 的面积有最大值 108－72 2.
p 1 2 1 (2)周长 p＝2r＋rθ 一定，∴θ＝ －2，面积 s＝ θr ＝ r(p r 2 2 p r＋2－r 2 p p p p 2 －2r)＝r( －r)≤[ ] ＝ ，等号在 r＝ －r 即 r＝ 时成 2 2 16 2 4 p 立，∴半径 r＝4时，面积最大．
练习 如图，设矩形 ABCD(AB＞AD)的周长为 24，把它沿 AC 折起来，AB 折过去后，交 DC 于点 P.设 AB＝x，求△ADP 的 最大面积及相应的 x 值．
命题方向
变形技巧： “1”的代换
[例 1] [分析]
1 1 已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求 ＋ 的最小值． x y 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常
常将不等式“乘以 1”， “除以 1”或将不等式中的某个常数 用等于 1 的式子代替． 本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替， 1 1 也可以将式子 ＋ 乘以 x＋2y. x y
1 ≥2 2， xy 1 1 ∴ ＋ ≥2 x y 1 2 ＝ ≥4 2则是错误的，因为此时等号取 xy xy
1 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝ ，后一个不等式则 2 是在 x＝y 时成立． 1 1 (2)也可以直接将 ＋ 的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” x y 是相同的．
巩固练习 1 9 已知 x＞0，y＞0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值． x y
π 2 令 u＝sinx，∵0<x< ， ，0<u<1，∴可利用 y＝u＋ 在(0,1) 2 u 上是减函数得出 y＞3. ∴此函数值域为(3，＋∞)．
(2)此解答过程错误，当 x<0 时，y＝x 1－x2≠ x21－x2， 忽视了对符号的关注． 正解：由 1－x2≥0 知－1≤x≤1，当 0＜x≤1 时，x 1－x2
∴函数的值域为[2 2，＋∞)．
(2)求 x 1－x2的最大值．
解：令 y＝x 1－x2，
2 2 x ＋ 1 － x 1 2 2 则 y＝ x 1－x ≤ ＝2， 2
2 等号在 x ＝1－x ，即 x＝± 时成立， 2
2 2
1 ∴所求最大值为 . 2
4 (3)已知 a＞3，求 a＋ 的最小值． a－3
重点：基本不等式的应用． 难点：将实际问题化为不等式问题．
1．基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不等 式求最值时一定要注意其“一正、二定、三相等”的条件，实 际解题时主要技巧是“拆项”，“添项”，“配凑因式”．
2．由基本不等式导出的结论． (1) 反向不等式： a ＋ b≤ 2a2＋b2 (a ， b ∈ R ＋ ) ，由 a2 ＋ b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得． a＋b 2 a＋b ＋ (2)ab≤( ) ，(a，b∈R )，由 ≥ ab两边平方即得． 2 2 (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ 2ab 2 ≥ ab≥ ＝ ≥a. a＋b 1 1 a＋b a2＋b2 a＋b 2 ≥ 2
命题方向
变形技巧：拆项与配凑
[例 2] [分析]
x2＋4 y＝ (x>－1)的值域为________． x＋1 分子是 x 的二次式， 分母是一次式， 适当将分子
变形可化为 x＋1 的表达式或由分母构造平方差，则可化为 “积为定值”的和式．
[解析]
x2＋4 x＋12－2x＋1＋5 y＝ ＝ x＋1 x＋1 (x＋1>0)，
命题方向
综合应用
[例 4]
1 1 m 设 a＞b＞c，且 ＋ ≥ 恒成立，则 m a－b b－c a－c
的取值范围是__________．
[答案] (－∞，4]
[分析]
由 a＞b＞c 知： a－b＞0， b－c＞0， a－c＞0.因此，
a－c a－c a－c 不等式等价于 ＋ ≥m， 要使原不等式恒成立， 只需 a－b b－c a－b a－c ＋ 的最小值不小于 m 即可． b－c
4 4 解：∵a＞3，∴a， ＞0.∴a＋ ≥2 a－3 a－3 4 4 ＝ ，即 a＝4 时，a＋ 取最小值 2 a－3 a－3
4 a· .当 a a－3
4a ＝8. a－3
[解析]
(1)此解答过程错误，错在忽视了应用基本不等式
wk.baidu.com
求最值时，等号成立的条件． π 2 正解： ∵0＜x＜ ， ∴0＜sinx＜1， 但 sinx＝ 时 sinx＝ 2， 2 sinx 不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条 件，因此取不到值 y＝2 2.
[答案] C
[解析]
解法 1：∵x，y∈R＋， 36 xy ＝12 1 xy，
4 9 ∴ 1＝ x ＋ y ≥ 2 ∴xy≥144.
4 9 1 等号在 x＝ y＝2，即 x＝8，y＝18 时成立．
4 9 解法 2：xy＝xy· 1＝xy· ( x＋ y)＝4y＋9x ≥ 4y· 9x＝12 xy， ∴xy≥144. 4y＝9x 等号在4 9 即 x＝8，y＝18 时成立，故选 C. ＋ ＝1 x y
[分析]
要求△ADP 的最大面积，首先要写出△ADP 的
面积表达式．由于 AD＝12－x，关键是要将 DP 用 x 表示出 来．从图中看到，DP＝PB′，AP＝x－DP，于是在△ADP 中 运用勾股定理，可以将 DP 用 x 表示出来．
[解析]
如图，因为 AB＝x，所以 AD＝12－x.
又 DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP. 由勾股定理得 (12－x)2＋DP2＝(x－DP)2， 整理得 72 DP＝12－ x . 因此△ADP 的面积
[解析]
∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1.
1 1 1 1 2y x 2y ∴ ＋ ＝(x＋2y)( ＋ )＝3＋ ＋ ≥3＋2 2，当且仅当 x y x y x y x x 2 ＝y，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 2 时等号成立． 1 1 ∴ x＋y的最小值为 3＋2 2.
[点评]
(1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得
[分析]
要求 x＋y 的最小值，根据极值定理，应构建某个
积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行 “1 的代换”，也可以“消元”等．
1 9 [解析] 解法 1：(1 的代换)∵x ＋y ＝1，
1 9 y 9x ＋ ＝10＋ ＋ . ∴x＋y＝(x＋y)· x y x y
1 3．注意函数 f(x)＝x＋ 是常遇到的一个函数，根据基本不 x 等式知，x＞0 时，f(x)≥2，x＜0 时，f(x)≤－2，其值域为(－ ∞，－2]∪[2、＋∞)． 另外其单调性为：在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0)上单 调递减，(0,1]上单调递减，[1，＋∞)上单调递
1 记忆方法是|x|很大(|x|＞1)时， x 可忽略，其单调性与 y＝x 1 单调性相同，|x|很小(|x|＜1)时，x 可忽略，其单调性与 y＝ x 单 k 调性同．进而可扩展到 f(x)＝x＋x(k＞0)的情形．
y 9x ∵x＞0，y＞0，∴x＋ y ≥2
y 9x x· y ＝6.
y 9x 当且仅当 ＝ ，即 y＝3x 时，取等号． x y 1 9 又 ＋ ＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. x y ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
1 9 y 解法 2：(消元法)由x＋y＝1，得 x＝ . y－9 ∵x＞0，y＞0，∴y＞9. y－9＋9 y 9 9 x＋ y＝ ＋ y＝ y ＋ ＝ y＋ ＋1＝(y－9)＋ y－9 y－9 y－9 y－9 ＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0， 9 ∴y－9＋ ≥2 y－9 9 y－9· ＝6. y－9
5 ＝x＋1＋ －2≥2 5－2 x＋1
5 等号在 x＋1＝ ，即 x＝ 5－1 时成立， x＋1 ∴函数的值域为[2 5－2，＋∞)．
[ 点评 ]
x2＋4 x2－1＋5 还可以如下进行 y ＝ ＝ ＝x－1＋ x＋1 x＋1
5 5 ＝x＋1＋ －2. x＋1 x＋1
巩固练习 4 9 已知正数 x、y 满足 ＋ ＝1，则 xy 有( x y A．最小值 12 C．最小值 144 B．最大值 12 D．最大值 144 )
9 当且仅当 y－9＝ ，即 y＝12 时取等号，此时，x＝4， y－9 ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
1 9 解法 3：(配凑法)由x＋y＝1 得，y＋9x＝xy，∴(x－1)(y－ 9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2 x－1y－9＝16. 当且仅当 x－1＝y－9 时取等号． 1 9 又∵x＋y＝1，∴x＝4，y＝12. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
4 9 9x 解法 3：(消元法)由x＋y＝1 得 y＝ ， x－4 ∵y>0，x>0，∴x－4>0， x2－16＋16 9x2 16 ∴ xy ＝ ＝ 9· ＝ 9· (x － 4 ＋ ＋ x－4 x－4 x－4 8)≥9(2 16 x－4· ＋8)＝144. x－4
16 等号在 x－4＝ ，即 x＝8 时成立， x－4 9×8 此时 y＝ ＝18，∴xy 的最大值为 144. 8－4
2 2 x ＋ 1 － x 1 2 2 ＝ x 1－x ≤ ＝2， 2
2 等号在 x ＝1－x 即 x＝ 2 时成立；当 x＝0 时，x 1－x2＝
2 2
0，当－1≤x＜0 时，x 1－x2＜0， 1 ∴x 1－x 的最大值为2.
2
(3)此解答过程不对，它没有找出定值条件，只是形式的套 用公式． 正解：利用 a＞3 的条件及结构式中一为分式，一为整式 的特点配凑： 4 4 a＋ ＝(a－3)＋ ＋3≥2 a－3 a－3 4 号在 a－3＝ 即 a＝5 时成立． a－3 4 a－3· ＋3＝7，等 a－3
[例 3]
(1)在面积为定值的扇形中，半径是多少时，扇形
的周长最小？ (2)在周长为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的面积 最大？
[解析]
设扇形中心角为 θ，半径 r，面积 s，弧长 l，则 s
1 1 2 ＝ lr＝ θr ，l＝rθ. 2 2 2s (1)s 为定值，则 θ＝ 2 ，∴扇形周长 p＝2r＋l＝2r＋rθ＝2r r 2s s ＋ r ≥4 s.等号在 r＝r即 r＝ s时成立， ∴半径是 s时扇形周长最小．
[解析]
a－c a－c ∵ ＋ a－b b－c
a－b＋b－c a－b＋b－c ＝ ＋ a－b b－c b－c a－b ＝ 2＋ ＋ ≥ 2＋ 2 a－b b－c b－c a－b · ＝4. a－b b－c
b－c a－b 当且仅当 ＝ ，即 2b＝a＋c 时，等号成立． a－b b－c ∴m≤4，即 m∈(－∞，4]．
第三章
第 2 课时 基本不等式应用—最值问题
理解领会基本不等式成立时的三个限制条件，熟练应用基 本不等式求解实际问题中的最大、最小值问题．
1．分析下列各题的解题过程，有错误的加以更正． (1)求函数 y＝sinx＋ 2 π (0<x< )的值域． sinx 2
2 解：y＝sin＋sinx≥2
2 sinx· sinx＝2 2，
[点评]
本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且
都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经 常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法 2，通过消元， 化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另 一个变量范围给出限制． (消去 x 后，原来 x 的限制条件，应当由代替它的 y 来“接 班”，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)
[点评] (1)分离 m 以后，注意到 a－c＝(a－b)＋(b－c)是 a－c a－c 求解 ＋ 的最小值的关键． a－b b－c 1 1 m (2)注意到 a＞b＞c.及式子 ＋ ≥ 中分母都是多 a－b b－c a－c 项式略嫌复杂，可换元简化． 令 x＝a－b＞0，y＝b－c＞0. 则 a－c＝x＋y. 1 1 m ∴ ＋ ≥ 恒成立， a－b b－c a－c