数论02二次同余式与平方剩余4.3勒让德符号

■ 一勒让德符号定义

■二欧拉判别法则 ■三高斯引理 ■四定理3及其证明

2013-4 10

一勒让彳惠符号定以

思考题（一）：.O o （r ） 求模17的平方剩余和平方非剩余

第

章

二次同余式与平方剩余

4. 3勒让彳惠苻号

ate

勒iJL 徳号定义

思考题(二)：・。。辽］

判断5是不是模17的平方剩余？

52 = 25 = 8(mod 17) , 51 =82三—l(mod 17) 5s = (-4) =16 = -1 (mod 17)

所以5是模17的平方非剩余

2013-4 10ate

1717丿

9)

17>

侧朗;卅)需)需)

1

-1

—r勒庁上德符号

定义1设p是素数，定义勒让德符号如下: 卜若。是模"的平方剩余

(a)= < -L若d是模#的平方非剩余

P 0,若 p'a

2013-4 10 ate

Sodp)有解或杖有解.

2013-4 10

定土甲.1(欧扌立判 另IJ 法贝IJ) 设 P 是奇-素数，贝驭寸

任意執数a,

(自三a 乎(mod p)

例2证明2是模17平方剩余；3是17 平方非剩余. 解:因为(17-1 )/2=2',且有

2 = 4,2’ = 4 = —1,2、= (— I)2

= l(mod 1 7)

由定义駅

政协同余式*劭

敦论

~r

勒德符号

瓠P 冋财■仔卜1,翻»

二欧拉判别法

根据欧拉判断法则，并注意到a 二1

时, = 1以及a=・l 时，<<=（一1）丁，且P 是 奇数.

推论1,设p 是奇素数，则

例1若质数9=如+1,期一1是p 的平方剩余；若P0

4匕一I..则一1是P 的平方非剩余.

(D

(2) — =(—1尸

I P 丿

二欧拉判别法

2013-4-10 敷陀 7

二欧拉判另！J 法

证由推论知，当卩二4叶1时, =1；而当pB“一l时『

=一1・于是由定义知绪论成立.

二欧拉判别法

推论2设p是奇索数，刃R么

若p 三 1 (mod 4) 若p 三

3(mod 4) iiR木2掬；区久J立旳J另U法贝iJ • 找彳门YZ

=(一1)丁

贝IJWX L K轄数k仗码卩=41<+1,从而 (于〕=j 2013-4 10

二欧拉判别法

(iii)设 3"则(p)

=1

2013-4-10 Ste

1 ( mod 4)

=(_1 尸

ab

、

/

、

a

、P

P=4k + 3.从而

定理2设p是奇索数，则

(H)

2013-4 10

二欧拉判别法

因为勒让徳符号取值±1,且p 是奇素 数，所以我们有

'ab 、

I P ?

I P

二欧拉判别法

ill: (i) I 大I 为

= a 4- p(mod p)

咎价 JT4:^工弋

x 2 = a(mod p)

所以

(ii) 根抑;欧扌立判别法则，我彳门有 厂a 、

I P J

J

( b 、

BZ1

(mod p),

= b 2 (mod p)

ab

P-1

三(ab) ' (mod p)

2013-4 10

(ab)

p-1 p-l p-1

(b)

=(ab) r =a T b T

=

(mod p)

2013-4 10

推论设p 是奇素数，如果整数爲b 满足

2013-4 10

证：由欧拉判别法则及a = b(mod p) 知 —=a 2 = b 2

= — (mod p) I P 丿 I P 丿

所以 一 ——=0(mod p) I P 丿I P 丿 证毕.

2013-4-10

敷堆

冇

—

◎

\P \P

证毕.

a = b(mod p),则

（

(b

、

a

I P

二欧拉判别法

(iii)设(“，p)=l,所以 p/a,则根据(ii)

1二欧拉判别法

2013-4 10

三高斯弓I理

)!= I I ak = n a f i b

k —・K 1 j—1 J

(—l),n I I tij fl (p —b )(mod p)

易矢口 , …，p —・・・，p —叽是

模P网网不同余的，否则，我们有ak = p —

ak」,S^ak + ak」三0(mod p)

三高斯弓I理

因而匕+kj三0(mod p), 这不可自巨，因为 1 M k + k V + 已二v p.

1 J

2 2” 因为(a k , p) = I ,k = 1, • • •, P 以

个整数码,…,a., p _ — b m

是1,…，呼的一个排列，故

2

2013-4 10ate

2013-4 10