§5隐函数的求导公式

§8. 5 隐函数的求导公式
课 题：§8.5隐函数的求导公式
教学目的：通过学习，使学生掌握隐函数的求导公式
教学重点：一个方程的情形隐函数的求导公式
教学难点：方程组的情形隐函数的求导公式
教学过程：
一、一个方程的情形
隐函数存在定理1
设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有
y
x F F dx dy -=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式
F (x , f (x ))≡0,
等式两边对x 求导得
0=⋅∂∂+∂∂dx
dy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得
y
x F F dx dy -=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值. 解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).
y x F F dx dy y x -=-=, 00
==x dx dy ;
3
32222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 10
22-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.
隐函数存在定理2
设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有
z x F F x z -=∂∂, z y F F y
z -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0,
将上式两端分别对x 和y 求导, 得
0=∂∂⋅+x
z F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得
z x F F x z -=∂∂, z y F F y
z -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2
-4z =0, 求2
2x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4, z
x z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222
)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂. 二、方程组的情形
在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数2
2y x y u +=,
2
2y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22y
x y u +=, 2222y
x x y x y y x v +=+⋅=. 如何根据原方程组求u , v 的偏导数？
隐函数存在定理3
设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:
v
G u G
v F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有
v
u v u v x v x G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1
, v
u v u x u x u G G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1
, v
u v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1, v
u v u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.
隐函数的偏导数:
设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的
二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则
偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定; 偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定. 例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, x v ∂∂, y
u ∂∂和y v ∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于x
u ∂∂和x v ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v x
u y x v y x u x u , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y
x yv xu x u ++-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y
u ∂∂和y v ∂∂的方程组 ⎪⎩
⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y
x yv xu y v ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得
⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx
udy xdv ydu udx vdy ydv xdu . 解之得 dy y x yu xv dx y x yv xu du 2
222+-+++-=,
dy y
x yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=. 于是 22y
x yv xu x u ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂, 22y
x yv xu y v ++-=∂∂. 例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又
0)
,(),(≠∂∂v u y x . (1)证明方程组
⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).
(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.
解 (1)将方程组改写成下面的形式
⎩⎨⎧=-≡=-≡0
),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F , 则按假设 .0)
,(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J 由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.
(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得
⎩⎨⎧≡≡)]
,(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x , 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得
⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x
v
v y x u u y x v v x x u u x 01.
由于J ≠0, 故可解得
v y J x u ∂∂=∂∂1, u
y J x v ∂∂-=∂∂1. 同理, 可得 v x J y u ∂∂-=∂∂1, u x J y v ∂∂=∂∂1.。