常见信号单边拉普拉斯变换
常见函数的拉普拉斯变换1
如f(t)= (t)←→F(s)=1/s
F(j) lim 1 lim lim j 0 j 0 2 2 0 2 2
= () + 1/j
（3）0 >0，F(j)不存在。 例 f(t)=e2t(t) ←→F(s)=1/(s –2) , >2；其傅里叶变 换不存在。
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第3页
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边 拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
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第4页
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。
解 F1b (s)
et est d t e(s )t
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第 14 页
1 1 esT
T 0
fT (t) estd t
特例：T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
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第 12 页
五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F(s) f (t) est d t 0
Re[s]>0
F(j) f (t) e j t d t
要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。
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第8页
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为
F(s) f (t) est d t 0
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
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常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在数学和工程领域中，拉普拉斯变换是一种非常有用的工具，它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使一些复杂的微分方程和积分方程的求解变得更加简单。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义是对于一个实值函数＼（f(t)＼），其拉普拉斯变换＼（F(s)＼）定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt＼其中＼（s ＝＼sigma ＋j\omega\）是一个复变量，＼（＼sigma\）是实部，＼（＼omega\）是虚部，＼（j\）是虚数单位。
下面我们来看一些常见函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数＼（u(t)＼），当＼（t ＜ 0\）时，＼（u(t) ＝ 0\）；当＼（t ＼geq 0\）时，＼（u(t) ＝ 1\）。
它的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}u(t) ＝＼frac{1}｛s}＼指数函数＼（e^｛at}＼），其拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}e^｛at} ＝＼frac{1}｛s a}＼正弦函数＼（sin(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}sin(＼omega t) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼余弦函数＼（cos(＼omega t)＼）的拉普拉斯变换为：＼＼mathcal{L}cos(＼omega t) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼这些常见函数的拉普拉斯变换在解决实际问题中经常会用到。
那么，拉普拉斯反变换又是什么呢？拉普拉斯反变换就是将复频域中的函数＼（F(s)＼）转换回时域中的函数＼（f(t)＼）。
拉普拉斯反变换的计算通常比较复杂，但是对于一些常见的形式，我们可以通过一些方法来求解。
例如，对于形如＼（F(s) ＝＼frac{A}｛s a}＼）的函数，其反变换为＼（f(t) ＝ Ae^｛at}＼）。
4-2单边拉普拉斯变换的性质
ω0 sin(ω0t )ε (t ) ↔ 2 2 ( s + α ) + ω0
Re[ s ] > −α
4.尺度变换 4.尺度变换
若 则
傅立叶变换域
Re[ s ] > σ 0
1 ω f (at ) ↔ F ( j ) a a
f (t ) ↔ F ( s )
1 s f (at )ε (at ) ↔ F ( ) a > 0, Re[ s] > aσ 0 a a 的拉氏变换。 例. 求 f ( at − b)ε ( at − b), a > 0, b > 0 的拉氏变换。 1 s Re[ s ] > aσ 0 f (at )ε (at ) ↔ F ( ) a a b − s b b 1 s a f (at − b)ε (at − b) = f [a (t − )]ε [a (t − )] ↔ F ( )e
+∞ 0
= ∫ − f1 (τ )[ ∫ − f 2 (t − τ )e− st dt ]dτ
0
17-6 17-
= ∫ − f1 (τ )e − sτ F2 ( s )dτ
0
∞
= F1 ( s ) ⋅ F2 ( s ) Re[ s ] > σ 0
• 应用于系统的零状态响应分析
y f (t ) = f (t ) * h(t ) b b
∞
Re[s] > σ0
不成立！ 不成立！
证明： 证明：由单边拉氏变换的定义有
L[ f (t − t0 )ε (t − t0 )] = ∫ − f (t − t0 )ε (t − t0 ) e dt
− st
= ∫ f (t − t0 ) e − st dt
信号的单边拉普拉斯变换
信号的单边拉普拉斯变换一、引言信号处理是计算机科学和电子工程领域中的一个重要分支，它涉及到数字信号处理和模拟信号处理两个方面。
单边拉普拉斯变换是信号处理中的一个重要概念，它在信号的频域分析和系统的稳定性分析中有着广泛应用。
本文将介绍单边拉普拉斯变换的概念、性质、应用以及计算方法等方面内容。
二、单边拉普拉斯变换的概念1. 拉普拉斯变换在介绍单边拉普拉斯变换之前，先来了解一下普通的拉普拉斯变换。
设函数f(t)在区间[0,∞)上连续，并且满足|f(t)|≤Me^at(a>0,M>0)，则称f(t)是指数增长函数。
如果存在常数s0使得积分收敛，即∫[0,∞)e^-stf(t)dt<∞，则称F(s)=L{f(t)}=∫[0,∞)e^-stf(t)dt为函数f(t)的拉普拉斯变换。
2. 单边拉普拉斯变换与普通的拉普拉斯变换不同，单边拉普拉斯变换是只对t>0的函数进行变换。
设函数f(t)在区间(0,∞)上连续，并且满足|f(t)|≤Me^at(a>0,M>0)，则称f(t)是指数增长函数。
如果存在常数s0使得积分收敛，即∫[0,∞)e^-stf(t)dt<∞，则称F(s)=L{f(t)}=∫[0,∞)e^-stf(t)dt为函数f(t)的单边拉普拉斯变换。
三、单边拉普拉斯变换的性质1. 线性性质：若F(s)=L{f(t)}，G(s)=L{g(t)}，则aF(s)+bG(s)=L{af(t)+bg(t)}2. 变换定理：若F(s)=L{f(t)}，则有lim_(s->∞)(sF(s))=lim_(t->∞)(f(t))3. 初值定理：若F(s)=L{f(t)}，则有lim_(t->0)(f(t))=lim_(s->∞)(sF(s))4. 终值定理：若F(s)=L{f(t)}，则有lim_(t->∞)(f(t))=lim_(s->0)(sF(s))四、单边拉普拉斯变换的应用1. 信号分析单边拉普拉斯变换可以将时域上的信号转换到频域上进行分析。
拉普拉斯变换
解： Q lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
f 0 lim sF (s) s lim s s s a lim 1 s 1 a s 1
f (0)
❖ 6、终值定理
若
f t F s
则
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
2.3 拉氏反变换
一、定义：
将象函数 F(s) 变换到与其对应的原函数 f (t)
1 2
Rt
2
t0
0
t
上式中R为常数, 表示抛物线函数信号的幅值。
R(s)
Lr(t)
R S3
4、其他常见函数
L[sin t]
s2
2
L[cos t ]
s2
s
2
L[eat ] 1 sa
L[ (t)] 1
2.2 拉氏变换的运算定理
❖ 1、线形定理(叠加+比例)
若
f1 t F1 s f2 t F2 s
0 1
t 0 t 0
F (s) L[ (t)] 1
s
1 1 s
阶跃信号
0 t 0
r(t)
r(t) R t 0
R 0
t
上式中R为常数, 表示阶跃函数信号的幅值。
阶跃函数的拉氏变换为
R(s) L[r(t)] L[R] R s
2、单位斜坡函数
0 t 0 f (t) t t 0
F (s)
s2 3s 5 A1 (s 2)(s 3) 1.5
s 1
1.5 3 2.5 s 1 s 2 s 3
A2
s2 3s 5 (s 1)(s 3)
3
s 2
故原函数为
(完整版)拉普拉斯变换
t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(
拉普拉斯变换(推荐完整)
f
-st
(t)e a dt
1
F(
s
)
aa
收敛域：
Re(s/a) s0 Re(s) as0
3)时移特性（Time Shifting）
若 f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (t - t0 )u(t - t0 ) L e-st0 F (s) t0 0, Re(s) s 0
例：求信号f
(t)
sin 0
t
0 t 其它
的Laplace变换。
f (t) sin(t)u(t) sin(t - )u(t - )
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
L[cos(w0t)u(t)]
s
s2
w
2 0
Re(s) 0
L[sin(w0t)u(t)]
w0
s2
w
2 0
Re(s) 0
单边拉普拉斯的基本性质 (properties of Laplace Transform)
1 ) 线性特性(linearity)
CH9-9单边拉普拉斯变换及其性质
2015-7-6
L
2 s 2 0 2 2 ( s 2 0 )
Re (s) 0
Re (s) 0
5
L
2 0 s 2 2 2 ( s 0 )
单边拉氏变换的性质－时域微分性质
1.单边拉氏变换的时域微分性质
以下均假设f (t )是起始于零的因果信号 。（单边信号）
2
3
4
5
分析：周期为T的单边周期信号f(t)可以表示为第一个周
期信号f1(t)及其时移f1(tkT)的线性组合，即
f ( t ) f1 ( t kT )u( t kT )
k 0
若计算出f1(t)的Laplace变换F1(s)，利用Laplace变换的时 移特性和线性特性，即可求得单边周期信号的Laplace变换为
如果原函数有终值存在，那么其单边拉氏变换乘以 s 后所得函数sF(s) 的ROC ，一定为包含纵轴的 RHP。
2015-7-6 24
用Matlab计算Laplace正反变换
Matlab的符号数学工具箱提供了计算Laplace正 反变换的函数laplace和ilaplace。其调用形式 为：
时域表示式
L
f (t ) f1 (t ) f1 (t 2) f1 (t 4) , T 2
因为 所以
2015-7-6
Re (s )
Re(s) > 0
17
L [ f ( t)u(t)] = F (s)
则： L
[ f (t )u(t )]
1
F(
s s )e
原函数从正方向趋 近原点时的极限
单边拉普拉斯变换的性质
f (t) F (s)
1 (1 es )2 s2
6.时域积分特性
t f ( )d
1 F ( j ) F (0) ( ) j
如果：
f (t) F(s)
则：
t
f ( )d
若 f(t)为因果信号：
则：
t f ( )d
F ( s ) 1 0 f ( )d
s
s
F (s) s
0
f
(t
t0) (t
t0) est dt
令 t t0
st
t0 f (t t0 ) e dt
f ( )e s +t0d 0
则有 t 0
=est0 f ( )es d est0 F(s) 0
2.时移特性的应用
f (t t0 ) (t t0 ) 1
例2 t s2
e s t0 F(s)
F1 s 1 esT e2sT L
故有
F
s
F1 s
1
1 e sT
3.尺度变换特性
f ( t ) 1 F ( j )
为 非 0实 数
如果： f (t) F(s)
则：
f ( t)
1 F ( s )
其中： 实数 0
3.尺度和时移特性
f( t
b)
1
e
j
b a
F
(
j
)
为 非 0实 数
1.线性性质
如果： 则：
f1 (t) F1(s) f2 (t)
c1 f1 (t) c2 f2 (t)
其中：c1,c2为任意复常数
F2 (s)
c1F1(s) c2 F2 (s)
例1：
f (t ) cos( 0t )
信号的单边拉普拉斯变换是
信号的单边拉普拉斯变换是什么？信号的单边拉普拉斯变换是一种常见的信号分析工具，它可以将时域上的信号转换为复平面上的函数，从而可以方便地对信号进行频域分析和滤波处理。
在本文中，我们将深入探讨单边拉普拉斯变换的定义、性质、应用以及实现方法。
一、单边拉普拉斯变换的定义单边拉普拉斯变换是指对于一个实数函数f(t)，其单边拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫0^∞ e^-st f(t) dt其中s是一个复数，e^-st是指数衰减函数。
该式子表示了在时域上对f(t)进行积分，并在每个时间点上乘以e^-st得到一个复数值，最终得到一个关于s的复函数F(s)。
这个函数通常被称为信号f(t)的单边拉普拉斯变换。
二、单边拉普拉斯变换的性质1. 线性性质：如果f1(t)和f2(t)都有单边拉普拉斯变换，则它们的线性组合a*f1(t)+b*f2(t)也有单边拉普拉斯变换，其中a和b是任意常数。
2. 移位性质：如果f(t)有单边拉普拉斯变换F(s)，则f(t-a)的单边拉普拉斯变换为e^-as*F(s)，其中a是任意常数。
3. 初值定理：如果f(t)是一个因果信号（即在t<0时为0），则它的单边拉普拉斯变换在s趋近于无穷大时等于f(0+)，即：lim s→∞ sF(s) = f(0+)这个公式表示了信号在t=0时的初始值与其单边拉普拉斯变换之间的关系。
4. 终值定理：如果f(t)是一个稳定信号（即在t趋近于无穷大时趋向于某个有限值），则它的单边拉普拉斯变换在s趋近于零时等于f(∞)，即：lim s→0 sF(s) = f(∞)这个公式表示了信号在无穷远处的稳态值与其单边拉普拉斯变换之间的关系。
5. 带宽性质：如果f(t)是一个带宽有限的信号（即其频率分布在一定范围内），则它的单边拉普拉斯变换也是带宽有限的，且具有以下形式：F(s) = 0, for |s| > ω其中ω是信号的带宽。
常见函数的拉普拉斯变换
常见函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种常见的数学方法，它可以将时间域中的函数变换到频率域中，从而方便研究函数的性质和应用。
在工程学科中，拉普拉斯变换被广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。
本文将介绍一些常见函数的拉普拉斯变换及其应用。
1. 常数函数常数函数f(t)=a是拉普拉斯变换的基础，它的拉普拉斯变换为F(s)=a/s。
常数函数的拉普拉斯变换在电路分析中有广泛应用。
例如，在电路中，电容C和电感L的电压和电流分别满足v(t)=1/C∫i(t)dt和i(t)=1/L∫v(t)dt，可以通过拉普拉斯变换将它们转化为频率域的复数形式，从而方便求解电路的响应。
2. 单位阶跃函数单位阶跃函数u(t)在t=0时从0跃升为1，拉普拉斯变换为F(s)=1/s。
单位阶跃函数的拉普拉斯变换可以用于描述系统的初值条件。
例如，在控制系统中，如果系统初始状态为0，则系统响应的拉普拉斯变换为u(t)F(s)，其中F(s)为系统传递函数的拉普拉斯变换。
3. 指数函数指数函数f(t)=e^-at的拉普拉斯变换为F(s)=1/(s+a)。
指数函数的拉普拉斯变换在研究系统的稳定性时有重要应用。
例如，在控制系统中，系统的传递函数F(s)的拉普拉斯变换为F(s)=G(s)/H(s)，其中G(s)为系统的分子函数，H(s)为系统的分母函数。
如果H(s)的根都在左半平面内，则系统是稳定的；反之，如果H(s)的根有一个或多个在右半平面内，则系统是不稳定的。
指数函数的拉普拉斯变换可以用于判定系统的稳定性。
4. 正弦函数正弦函数f(t)=sin(at)的拉普拉斯变换为F(s)=a/(s^2+a^2)。
正弦函数的拉普拉斯变换在信号处理中有广泛应用。
例如，在语音信号处理中，声波可以表示为不同频率的正弦波的叠加，可以通过拉普拉斯变换将音频信号转化为频率域的复数形式，从而方便对信号进行分析和处理。
总之，拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于工程学科中。
信号系统第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的
举例4.4:
已 知 F (s)s(s s 2 1 )3, 求 其 逆 变 换
解 ： F (s)(sk 1 1 1 )3 (sk 1 2 1 )2 (s k 1 3 1 ) k s 2 令 F 1(s)(s1)3F(s)s s2
举例4.4:
解：其中k11 F1(s) s p1
s2
3
s s1
k12
d ds
F1 ( s )
s p1
s (s 2) 1
s2
s 1
2
举例4.4:
解 ： k13
1 2
d2 ds2
F1 ( s )
s p1
k2
sF (s) s0
1 2
4s s4
s 1
2
s2 ( s 1) 3 s 0 2
F (s)(s３ 1 )3(s２ 1 )2(s２ １ )－ ２ s
其 中 K1i (i 11)!d dsii 11F1(s)sp1
得 多 重 根 部 分 的 逆 变 换 L 1 ：
fc(t) (kK111)!tk1ep1t L
K1i t e ki p1t (k i)!
L K1kep1t u(t)
例题4－4
三、留数法
f(t)21j
jF(s)estds,
1j2 5
s 1j2
即 k 1 , 2A jB ,(A 1 5 ,
B 2 ) 5
k０(s1js2 2) (s31j2)
7 5
s2
举例4.3:
1j2 1j2 解 ： F(s) 5 5 5 5
7
s1j2 s1j2 5(s2)
Q1,2
A1, B 2
5
5
f(t) 2 e t 1 5 c o s(2 t) 5 2 sin (2 t) 7 5 e 2 t u (t)
常见信号单边拉普拉斯变换
s
1
e(
s)t
|
0
1
s
Re(s) Re()
etu(t) L 1 , Re(s) Re() s
3. 指数类信号
etu(t) L 1 , Re(s) Re() s
当λ= 时， 实指数信号
etu(t) L 1
s
当λ=j 0时，虚指数信号 e j0t u(t) L
当λ= +j 0时，复指数信号 e( j0)tu(t) L
1 s2
tu(t) L
1, s2
Re(s
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源 于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处，特 此说明并表示感谢！
j0t
sin(0t) u(t)
2j
u(t)
L 1 ( 1 1 )
2 j s j0 s j0
0 , Re(s) 0 s2 02
5. 斜坡信号
※ 斜坡信号 tu(t)
st
L [tu(t)] te dt 0
=
t s
(est )
0
1 s
e st dt
0
1
s
st
e dt
0
1 st s2 e |0
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
常见信号单边拉普拉斯变换
冲激信号 阶跃信号 指数类信号 正弦信号 斜坡信号
1. 冲激信号
※ 冲激信号 (t), (n) (t)
L [ (t)]
(t)estdt
0
est
t0 1
Re(s)
(t) L 1,
同理可得：
Re(s)
(n) (t) L sn , Re(s)
重庆大学《841信号与系统》第四章 拉普拉斯变换 2012年4月16日稿
0
f est0 es d
est0 F s
此性质表明：若波形延迟 t0 ，则它的拉普拉斯变换应乘以 est0 。
五、 s 域平移
若 f t F s
则 f t etu t F s
六、尺度变换
若 f t F s
则
f
at
1 a
F
s a
a0
七、初值定理
初值定理常用于由 F s 直接求 f 0 的值，而不必求出原函数 f t 。
1 s2
t
nu
t
n! s n 1
4、 es0tu t 1
s s0
（ s0 为复常数）
特别地
etu t 1
s
etu t 1
s
5、 e jtu t 1
s j
0
e jtu t 1
s j
0
6、
sin
t
u
t
s
2
2
0
6
cos
t
u
t
s
2
s
2
7、 t sin t u t
F s L eatu t
e at e st dt e ast
0
as
0
1 ， as
a
即 eatut 1 ， a
as
3、复指数函数 es0tut （ s0 为复常数）
F s L es0tu t
e s0t e st dt e ss0 t dt e ss0 t
综述几种情况： （1）凡是有始有终，能量有限的信号，收敛坐标落于 ，全部 s 平面都属 于收敛区。例如：单个脉冲信号。
（2）信号的幅度既不增长也不衰减而等于稳定值，或随时间 t ，tn 成比例增 长的信号，则其收敛坐标落于原点， s 平面右半平面属于收敛区。例如：正弦信 号， t ， tn 信号。
第四章 拉普拉斯变换4月30日
( ) ∫ f (τ )dτ = f (0 )
0− −1 −∞
0−
−
为一常量
−1 ∞ t − − st 0− 0−
1 ∴ ∫ f (τ )dτ + ∫ f (τ )dτ ← ⎯→ f ( ) (0 ) + ∫ ⎡ ∫ f (τ )dτ ⎤e ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ s
t −∞ 0−
σ > −α
10、 ∑ δ ( t − nT ) ←⎯ →
n=0
∞
1 1 − e − sT
4.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性（叠加） 若 则
f1 ( t ) ←⎯ → F1 ( s ) ， f 2 ( t ) ←⎯ → F2 ( s ) ， K1 f1 ( t ) + K 2 f ( t ) ←⎯ → K1 F1 ( s ) + K 2 F2 ( s )
8、 e −α t sin (ωt ) u ( t ) ←⎯ →
→ e −α t cos (ωt ) u ( t ) ←⎯
ω 2 (s +α ) + ω2
s +α
σ > −α σ > −α
σ > σ1
2 (s +α ) + ω2
9、
1 n s1t 1 t e u ( t ) ←⎯ → n +1 n! ( s − s1 ) 1 n −α t 1 t e u ( t ) ←⎯ → n +1 n! (s +α )
f (0 + ) = lim sF (s )
s →∞
如果 f (t ) 在 t = 0 处有冲激函数及其导数，则 f (t ) 的拉普拉斯变换为 s 的多 项式与真分式 F1 (s ) 之和，即 F (s ) = k1 + k 2 s + L + F1 (s ) 。 此时初值定理应表示为： f (0 + ) = lim sF1 (s )
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电子信息工程学院
常见信号单边拉普拉斯变换
冲激信号 阶跃信号 指数类信号 正弦信号 斜坡信号
1. 冲激信号
※ 冲激信号 (t), (n) (t)
L [ (t)]
(t)estdt
0
est
t0 1
Re(s)
(t) L 1, 同理可得：
Re(s)
(n) (t) L sn , Re(s)
2. 阶跃信号
※ 阶跃信号 u(t)
L [u(t)]
u(t)estdt
0
estdt
0
1 s
e st
|
0
1 s
Re(s) 0
u(t) L 1 , Re(s) 0 s
3. 指数类信号
※ 指数类信号 e t u(t)， λ可为任一复数
L
[etu(t)]
et est dt
0
1
s
e( s )t
1
s j0
1
s ( j0 )
Re(s)
Re(s) 0
Re(s)
4. 正弦信号
※ 正弦信号 cos(ω0t)u(t), sin(ω0t)u(t)
cos(0t)
u(t)
e j0t
e j0t 2
u(t)
L
1( 1
2 s j0
1 )
s j0
s
s2 02 ,
Re(s) 0
sin(0t)
u(t)
e j0t
e j0t 2j
u(t)
L 1 ( 1 1 )
2 j s j0 s j0
s2
0 02
,
Re(s) 0
5. 斜坡信号
※ 斜坡信号 tu(t)
L
[tu(t)]
test dt
0
=
t (est ) s
0
1 s
est dt
0
1 s
est dt
0
1 s2
e st
|
0
1
s
Re(s) Re()
etu(t) L 1 , Re(s) Re() s
3. 指数类信号
etu(t) L 1 , Re(s) Re() s
当λ= 时， 实指数信号 etu(t) L 1
s
当λ=j 0时，虚指数信号
e j0tu(t) L
当λ= +j 0时，复指数信号
e( j0 )tu(t) L
|
0
1 s2
tu(t) L
1 s2 ,
Re(s) 0Re(Leabharlann ) 0常见信号单边拉普拉斯变换
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源 于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处，特 此说明并表示感谢！