大数据数学基础(R语言描述) 第5章 数值计算基础

• Lagrange插值
• 线性插值
• 样条插值
10
Lagrange插值

若已知函数 f(x) 在互异的两个点
x和 0
x 处的函数值 1
y 0
f x 和 y
0
1
f
x 1

。估计出该函数在点

处
的函数值，最简单的方法是，做过点

x 0
,
y 0

和点

x 1
,
y 1

的直线
L 1

x
，用


y k
k
0,1,
,n，并以 x 作为 f(x) 的近似值。通常称
f(x)
为被插值函数，
x, 0
x, 1
,x n
为插值节点，
x 为插值函数，

x k


y k
为插值条件。若用代数多项式作为插值函数，则称相应的插
值法为多项式插值，称相应的多项式为插值多项式。
插值方法：
i
i
2
2
12
Lagrange插值
对于一般情况，若已知函数 f(x) 在 n +1个互异的点 x , x ,
0
1
, x 处的函数值 n
y k

f x k
k 0,1,
,n ，
常用的插值方法是Lagrange（拉格朗日）插值法。
设函数 y f x 在区间 a,b 上有定义，且已知在 a x x x b 上的值 y , y , , y ，若存在
x*的相对误差
e* r
的绝对值的上限
ε* r
为
x*的相对误差限，
记为 e* x x* ε* 。
r
x*
r
相对误差和相对误差限都是无量纲的数，常用百分比表示。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
数值计算的衡量标准
算法大致可以分为两类： • 一类是直接法，指在没有误差的情况下可在有限步内得到计算问题的精确解的算法。 • 另一类是迭代法，指采取逐次逼近的方法来逼近问题的精确解，而在任意有限步内都不能得到其精确解的
5
小结
9
插值方法

定义 5-5设已知区间 a,b 上的实值函数
f(x) 在
n 1
相异点
x k
a,b 处的函数值
y k

f
x k
k
0,1,
,n
要求估计出 f(x) 在 a,b 中某点 x 的值。插值法就是用一个便于计算的函数 x 去代替 f(x)，
使得


x k
0
1
n
0
1
n
一个次数不超过 n 的多项式 L x a a x a xn，使其满足(式 5-1)，称 L x 为 f(x) 的 n 次
n
0
1
n
n
Lagrange插值多项式，称点
x k
k 0,1,
, n 为插值节点，称条件(式 5-1)为插值条件，包含插值节点的
区间称为插值区间。值得注意的是，满足插值条件(式 5-1)的次数不超过 n 的多项式 L x a a x a xn
简称误差限，记为 e* x x* *。
5
误差分类
2. 相对误差
e*
定义 5-3 设 x 是准确值， x*是其一个近似值，称比值 为近似值 x* 的相对误差，记为 e*，
e* x x*
e 即 * r

x*

x*
。
x*
r
除了相对误差外，同时还引入相对误差限的概念。

定义 5-4 设 x 是准确值， x*是其一个近似值，称
数值计算基础
2019/5/7
目录
1
数值计算的基本概念
2
插值方法
3
函数逼近与拟合
4
非线性方程（组）求根
5
小结
2
误差的来源
误差在日常生活中无处不在。如在热力学实验中，从温度计上读到的温度是25.4℃，这就不是一个精确的 值，而是含有误差的近似值。又如量体裁衣，量与裁的结果都不是精确无误的，都含有一定的误差。
观测误差
在这些数参学量模显型然中也往包往含还误有差一。些这根种据由观观测测得产到生的的物误理差量称，为如观温测度误、差长或度参、数电误压差等，否
截断误差 舍入误差
在计算中常常遇到只有通过无限过程才能够得到结果，但实际计算时只能用 有限过程来计算。这种用有限过程代替无限过程的误差称为截断误差。而这 是 种误差是由计算方法本身引起的，也称为方法误差
n
0
1
n
是存在且唯一的。
L x y k 0,1, ,n
一般来说，科学计算过程和误差来源如下图所示。
模型误差
观测误差
实际问题 计算结果
数学模型
数值方法
截断误差 舍入误差
程序设计
3
误差的来源
各误差的概念及解释如下表所示。
误差名称 模型误差
定义
数值分析是 否考虑
数把数学学模模型型是与通实过际将问实题际之问间题出经现过的抽这象种和误简差化称，为并模忽型略误了差一些次要的因素所得。否
算法。 由于现代计算机的运算速度远远高于数据的传输速度，所以一个算法实际运行快慢在很大程度上依赖于该
算法软件实现后数据传输量的大小。
7
数值计算的衡量标准
除了算法的快慢以外，衡量数值计算方法的标准还有算法是否稳定、算法的逻辑结构是否简单、算法的运 算次数和存储量是否尽量少等。一般地，设计和使用算法应注意以下几个问题。
1 在计算中遇到的数据可能位数很多，也可能是无穷小数，如 2 ， 3 等，但
计算时只能对有限位数进行计算，因此往往进行四舍五入，这样产生的误差 是 称为舍入误差
4
误差分类
1. 绝对误差 定义 5-1 设 x 是准确值， x*是它的一个近似值，则称 x x* 为 x* 的绝对误差，简称误差，记为 e* 。 定义 5-2 设 x 是准确值， x*是其一个近似值，称 x* 的绝对误差的绝对值上限 ε* 为 x* 的绝对误差限，
• 避免两个非常接近的数直接相减。 • 尽可能避免一个很大的数与一个很小的数相加。 • 多个数相加时，应从绝对值较小的数依次加起，以避免有效数字的损失。 此外，还要特别注意控制计算过程的中间环节出现误差的过分积累和传播。
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目录
1
数值计算的基本概念
2
插值方法
3
函数逼近与拟合
4
非线性方程（组）求根
L 1


作为
f
的近似值，
如下图所示。
y
y=L1(x)
y=f(x)
x0
ξ
x1
x
11
Lagrange插值

若已知 f(x) 在互异的三个点
x 、x 和 x 处的函数值为
0
1
2
y f x i 0,1,2 。最简单的方法是过
i
i
三点 x , y i 0,1,2 构造一条抛物线 y L x，用 L 作为 f 的近似值，如下图所示。