高中数学双曲线函数的图像与性质及应用
高中双曲线知识点
高中双曲线知识点高中双曲线知识点包括双曲线的定义、性质、图像、方程与参数方程以及应用等方面内容。
1. 双曲线的定义：双曲线是平面上的一个曲线，其定义是一个平面上的点到两个焦点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹。
双曲线有两个分支，它们在两个焦点之间无限延伸，与对称轴相交于两个顶点。
2. 双曲线的性质：- 双曲线的焦点和直角双曲线的焦点一样，离中心越远，曲线越稀疏。
- 双曲线的渐近线是两条直线，它们与双曲线无穷远处的分支趋于平行。
- 双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线，并且是曲线的中心轴。
- 双曲线的顶点是对称轴上与曲线相交的点。
- 双曲线的离心率是一个大于1的实数，用来描述焦点与顶点之间的距离关系。
3. 双曲线的图像：双曲线的图像可以分为三种情况：椭圆双曲线、双曲线、和抛物线双曲线。
椭圆双曲线的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，而抛物线双曲线的离心率等于1。
具体的图像形态取决于双曲线的方程参数。
4. 双曲线的方程与参数方程：通常来说，双曲线的方程可以表示为Ax^2 + By^2 = C，其中A、B、C为常数。
不同的A与B的取值将决定双曲线的形态。
而双曲线的参数方程则可以表示为x = Asec(t)和y = Btan(t)，其中t为参数。
5. 双曲线的应用：双曲线在数学和物理学中有广泛的应用。
它们可以用来描述光学中的折射、电磁场中的电场分布、机械振动中的弹簧系统等等。
在实际生活中，双曲线也常常被用来作为美学设计的元素，例如建筑物的外形、家具的造型等等。
总之，高中双曲线知识点包括双曲线的定义、性质、图像、方程与参数方程以及应用等方面内容。
了解这些知识点有助于学生深入理解双曲线的特性和应用，为进一步学习相关数学和物理学科打下坚实基础。
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结双曲线是高中数学中的一个重要概念，属于二次曲线的一种。
其特点是曲线两支无限延伸且不相交，且中心对称。
双曲线有很多重要的性质和应用，在此对双曲线的知识点进行归纳总结。
1. 双曲线的方程形式双曲线的标准方程由两部分构成，具体形式为：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1其中(h, k)为中心点坐标，a和b为两支曲线的半轴长度。
2. 双曲线的焦点和直径双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值恒为常数，记作2c。
而双曲线的直径是指通过中心点且垂直于双曲线的线段，其长度为2a。
3. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与两支曲线无限接近而永不相交。
渐近线的方程为：y = k1(x-h) + k2 或者 y = k1(x-h) - k2其中k1为双曲线的纵轴斜率，k2为两支曲线与渐近线的交点与中心距离之差。
4. 双曲线的对称轴双曲线的对称轴是通过两支曲线的对称轴的中点且垂直于对称轴的一条直线。
对称轴的方程为：x = h5. 双曲线的准线和离心率离心率是双曲线的一个重要性质，定义为焦点到中心点的距离与准线的长度之比，记作e。
准线是通过中心点且与两支曲线相切的一条直线。
准线的方程为：y = k 或者 y = -k其中k为焦点到中心点的距离。
6. 双曲线的图象特点双曲线的图象是两个关于中心点对称的分支，并且曲线无限延伸。
双曲线的左右两支是无边界的，而上下两支则被渐近线所截断。
双曲线在原点处有一个拐点，两支曲线在拐点处相切。
7. 双曲线的变形双曲线可以通过坐标变换进行平移、伸缩和旋转等变形。
平移是通过改变中心点的坐标实现的，伸缩是通过改变半轴长度实现的，旋转是通过改变坐标轴的方向实现的。
8. 双曲线的应用双曲线在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如在物理学中，双曲线可以用于描述光的折射和反射现象；在工程领域，双曲线可以用于设计梁和拱桥等结构。
高中数学知识点总结双曲函数与双曲线
高中数学知识点总结双曲函数与双曲线高中数学知识点总结：双曲函数与双曲线介绍在高中数学中，我们学习了许多重要的数学知识点，其中之一就是双曲函数与双曲线。
本文将为您总结双曲函数与双曲线的定义、性质和应用，帮助您更好地理解和掌握这一知识点。
一、双曲函数的定义及性质双曲函数是以指数和的形式表达的函数，通常用sinh(x)和cosh(x)来表示。
其中，sinh(x)为双曲正弦函数，cosh(x)为双曲余弦函数。
1. 双曲正弦函数（sinh(x)）：双曲正弦函数是一个奇函数，其定义为：sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2。
它的图像与指数函数类似，呈现出对称轴为y轴的特点。
2. 双曲余弦函数（cosh(x)）：双曲余弦函数是一个偶函数，其定义为：cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2。
它的图像也与指数函数类似，但呈现出对称轴为x轴的特点。
3. 双曲函数的性质：a. 双曲正弦函数和双曲余弦函数都是无界的；b. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的导数分别等于双曲余弦函数和双曲正弦函数，即：(d/dx)sinh(x) = cosh(x)，(d/dx)cosh(x) = sinh(x)；c. 双曲函数的反函数分别为反双曲正弦函数（arsinh(x)）和反双曲余弦函数（arcosh(x)）。
二、双曲线的定义及性质双曲线是平面上的一类曲线，其定义为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0) 或 y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1 (a>0, b>0)。
其中，a和b分别为双曲线的横轴和纵轴的半轴长度。
1. 双曲线的形状：若a>b，则双曲线的形状呈现为左右开口，称为左右开口的双曲线；若a<b，则双曲线的形状呈现为上下开口，称为上下开口的双曲线。
2. 双曲线的特点：a. 双曲线在原点处有渐近线，分别为y = b/a * x和y = -b/a * x；b. 双曲线的离心率定义为e = c/a，其中c为双曲线的焦点到原点的距离；c. 双曲线与直线的交点称为双曲线的顶点；d. 双曲线上的点到焦点的距离之差等于定点到双曲线的直径。
高考数学中的双曲线的性质应用策略
高考数学中的双曲线的性质应用策略双曲线作为高中数学中比较重要的一个部分，是高考的必考内容之一。
虽然双曲线的形状比较特殊，但是掌握其基本性质和应用策略，对于考生来说，是必不可少的。
接下来，我将从双曲线的基本性质和应用策略两个方面来谈谈双曲线在高考数学中的重要性。
1、双曲线的基本性质双曲线是一种二次曲线，其函数表示形式为y=\frac{a}{x}+bx，其中a和b都是常数。
双曲线有两条渐近线，分别为y=bx和y=-bx，且其图像在第一象限和第三象限中。
双曲线还有一些重要的性质，如对称性、渐近线等，接下来详细阐述。
（1）对称性双曲线关于直线y=x和y=-x对称。
也就是说，当双曲线上一点(A,B)关于直线y=x对称的点为(B,A)，关于直线y=-x对称的点为(-B,-A)。
（2）渐近线双曲线有两条渐近线，分别为y=bx和y=-bx。
双曲线趋近于这两条直线，但永远不会与它们相交。
当a>0，双曲线图像位于x轴上方，两条渐近线夹角为\frac{\pi}{2}，称为右双曲线；当a<0，双曲线图像位于x轴下方，两条渐近线夹角仍为\frac{\pi}{2}，但是由于图像翻转，被称为左双曲线。
（3）极值点当x=±\sqrt{\frac{a}{b}}时，双曲线存在极值点，此时y=±2\sqrt{ab}。
极值点是双曲线的重要特征之一，是在应用双曲线求极值的过程中，必须要用到的要素。
2、双曲线的应用策略双曲线的应用策略主要体现在二次函数和三角函数的运用中。
（1）二次函数利用双曲线的性质，可以求二次函数的最值问题。
通过找到极值点，可以得到二次函数的最小值或最大值。
比如，已知二次函数y=ax^2+bx+c，通过求出其极值点x=\frac{-b}{2a}，然后带入函数中求得y的最大值或最小值。
（2）三角函数三角函数的题目在高考中也是比较常见的。
在解决某些三角函数问题时，也需要用到双曲线的性质，如弧度制下的三角函数图像、反三角函数等。
双曲线的知识点归纳总结高中
双曲线的知识点归纳总结高中双曲线是一种重要的数学函数，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将对双曲线的基本定义、性质、图像以及常用的求解方法进行归纳总结，以帮助高中学生更好地理解和应用双曲函数。
一、基本定义双曲线是指形如y=a cosh(x/b)或y=a sinh(x/b)的函数，其中a、b均为实数，并且b≠0。
其中cosh(x)和sinh(x)分别称为双曲余弦函数和双曲正弦函数，是指数函数的一种。
二、性质1. 双曲余弦函数cosh(x)为偶函数，满足cosh(x)=cosh(-x)。
2. 双曲正弦函数sinh(x)为奇函数，满足sinh(x)=-sinh(-x)。
3. 双曲余弦函数与双曲正弦函数的图像分别为关于x轴对称和关于原点对称的开口向上的曲线。
4. 双曲余弦函数的导数为双曲正弦函数，即cosh'(x)=sinh(x)，而双曲正弦函数的导数为双曲余弦函数，即sinh'(x)=cosh(x)。
三、图像1. y=cosh(x)的图像是一条开口向上的曲线，它在x=0处取最小值1，随着x的增大而不断逼近直线y=1，即y=cosh(0)=1。
2. y=sinh(x)的图像是一条对称的曲线，它在x=0处取最小值0，随着x的增大而不断逼近直线y=x。
四、常用求解方法1. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的加减法公式：cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)2. 双曲函数的导数和积分公式：(cosh(x))'=sinh(x)(sinh(x))'=cosh(x)∫cosh(x)dx=sinh(x)+C∫sinh(x)dx=cosh(x)+C综上所述，双曲线是一种重要的数学函数，在高中数学学习中有广泛的应用。
双曲线 函数
双曲线函数双曲线函数是一类重要的函数类型，它的图像形状类似于一个双曲线。
这类函数在数学中广泛应用于各种分析问题中。
本文将介绍双曲线函数的定义、性质、图像及应用。
双曲线函数是指形如f(x) = (ax + b)/(cx + d)的函数形式，其中a、b、c、d为实数，且满足ad - bc ≠ 0。
1.定义域与值域根据双曲线函数的定义，其定义域为除去使得分母为0的点x = -d/c，即x ≠ -d/c。
而在定义域内，双曲线函数的值可以取到任意实数。
2.奇偶性双曲线函数一般既不是奇函数也不是偶函数。
但当a、b、c和d都为偶数或奇数时，双曲线函数为偶函数；当a、b、c和d都为奇数时，双曲线函数为奇函数。
3.渐近线双曲线函数的渐近线有两条，分别是x轴与y轴。
当x趋向于无穷大时，双曲线函数逼近x轴；而当x趋向于-d/c时，双曲线函数逼近y轴。
4.对称轴双曲线函数的对称轴是由两条渐近线所确定的直线，即x轴和y轴。
5.单调性双曲线函数在它的定义域内是单调的。
当c > 0时，双曲线函数存在正的斜渐近线，此时函数在x趋向于无穷大时，增长到正无穷，而在x趋向于-d/c时，逐渐趋近于y轴。
当c < 0时，双曲线函数存在负的斜渐近线，此时函数在x趋向于无穷大时，逐渐趋近于y 轴，而在x趋向于-d/c时，增长到正无穷。
双曲线函数的图像通常呈现出双曲线的形态，因此又称为双曲线图像。
双曲线图像对称于两条渐近线，并与两条渐近线相切。
其具体形态与常数a、b、c、d的取值情况有关。
下面是一些常见的双曲线图像：1.当a、b、c和d都为正数时，双曲线函数的图像如下：双曲线函数在数学中有广泛的应用。
1.利用双曲线函数可以对一些特殊曲线或轨道进行研究和描述。
一些天体运动中的轨迹正是由双曲线函数描述的。
2.双曲线函数也可以用于描述一些物理问题，比如电场分布、热力学和流体力学等方面的问题。
3.在工程学和技术领域中，双曲线函数也有其应用。
高中抛物线知识点双曲线
高中抛物线知识点：双曲线双曲线是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形和函数的研究中起着重要的作用。
在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、性质和应用。
一、双曲线的定义双曲线是平面上一条特殊的曲线，它的定义是到两个固定点的距离差的绝对值等于一个常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的数学表示形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 (焦点在 x 轴上时) (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1 (焦点在 y 轴上时)其中，(h, k)是双曲线的中心点，a和b分别是 x 轴和 y 轴的半轴长度。
二、双曲线的性质 1. 双曲线的形状：双曲线在中心点附近呈现出两条分离的曲线，形状类似于两个对称的开口。
这两个开口的形状由离心率决定，离心率越大，开口越窄。
2.对称性：双曲线关于中心点对称。
3.渐近线：双曲线有两条渐近线，分别接近于曲线的两个分支。
渐近线的方程为 y = k ± (b/a)(x-h)。
4.焦点和直纹的关系：对于双曲线上的任意一点P，其到两个焦点的距离差的绝对值等于双曲线的离心率。
三、双曲线的应用双曲线不仅仅是一种数学图形，它在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用。
1.物理学中的光学系统：双曲线可以用来描述光线在光学系统中的传播路径。
例如，抛物面镜和椭圆面镜都是双曲线的特殊情况。
2.工程学中的电子设备：双曲线可以用来描述天线的辐射模式和电磁波的传播。
在雷达和卫星通信等领域，双曲线经常被用来分析和设计天线系统。
3.经济学中的成本函数：在经济学中，双曲线可以用来描述成本函数和供应曲线。
这对于研究企业的生产和供应决策非常重要。
双曲线作为一种重要的几何图形和函数形式，在高中数学中占据着重要的地位。
通过了解双曲线的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一知识点，进一步拓宽数学的视野。
高考双曲线基本知识点总结
高考双曲线基本知识点总结在高中数学课程中，双曲线是一个重要的内容，也常常在高考中出现。
双曲线作为一个二次方程的图像，具有许多有趣的性质和应用。
在这篇文章中，我们将总结一些高考双曲线的基本知识点，并探讨一些相关的应用。
一、双曲线的定义和标准方程双曲线可以由一个二次方程的图像表示，其标准方程如下：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b分别代表双曲线在x轴和y轴方向的半轴长度。
双曲线的图像具有两支分离的曲线，通过对称轴将平面分成两个部分，分别称为双曲线的两个分支。
对称轴是与x轴和y轴垂直的直线，传统上被称为实轴和虚轴。
二、双曲线的基本性质1. 焦点和准线双曲线上的每个点到焦点F和F'的距离之差等于常数2a，这个常数称为焦距。
焦距是双曲线的一个重要属性，它决定了双曲线的形状。
双曲线的对称轴上存在两个点，它们与焦点的距离之差等于焦距2a，这两个点称为准线。
2. 渐近线双曲线还具有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限接近但永远不会相交。
这两条渐近线分别是对称轴和过焦点的直线。
3. 离心率双曲线的离心率是一个重要的参数，它决定了双曲线的形状。
离心率定义为焦距与准线之比。
当离心率大于1时，双曲线的形状更加扁平；当离心率接近于1时，双曲线的形状更加接近于抛物线。
三、双曲线的应用1. 焦距和接近问题双曲线的焦距特性可以用于解决一些实际问题。
例如，在声学中，可以利用双曲线的焦点和准线来确定声源的位置。
同样地，在雷达技术中，焦距的应用可以用于确定目标的位置和距离。
2. 双曲线的参数方程通过引入参数t，我们可以用参数方程来表示双曲线的图像。
双曲线的参数方程如下：$x = a \sec(t)$$y = b \tan(t)$其中，sec(t)表示余切函数的倒数，tan(t)表示正切函数。
使用参数方程，可以更加灵活地描述双曲线的形状和位置，对于解决一些复杂的几何问题非常有用。
高中数学双曲线知识点总结
高中数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义双曲线是由平面上距离不变的所有点的轨迹组成的曲线。
具体地说，双曲线是平面上的一条曲线，其上的每一点到两个给定的不同点F1和F2的距离之差是一个常数。
在平面直角坐标系中，双曲线的定义可以表示为：一个点到两个不同点F1和F2的距离之差是一个常数e，即PF1-PF2=e。
二、双曲线的性质1. 双曲线包括两条分支，它们分别靠近两个焦点。
对于双曲线的每个分支来说，离焦点越远，离另一个分支越近。
2. 双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，是双曲线的重要参量，通常用2c表示。
3. 双曲线的渐近线是双曲线的一条特殊的直线，与双曲线有两个不同的交点。
双曲线的两条分支在渐近线上无限趋近。
4. 双曲线具有对称性，关于两个坐标轴都具有对称性，即当双曲线与一个坐标轴相交时，在另一个坐标轴上也有交点。
5. 双曲线有一个中心，它是两个焦点的中点，也是双曲线的对称中心。
6. 双曲线的方程通常可以表示为x^2/a^2-y^2/b^2=1或者y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a 和b分别是椭圆的轴长。
三、双曲线的方程在平面直角坐标系中，双曲线的一般方程可以表示为：1. 若横轴为实轴，纵轴为虚轴，则双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；2. 若横轴为虚轴，纵轴为实轴，则双曲线的方程为y^2/b^2-x^2/a^2=1。
在双曲线的方程中，a和b分别代表横轴和纵轴方向的轴长，e为离心率。
四、双曲线的图像1. 当a>b时，双曲线的中心在x轴上，两分支朝向y轴；2. 当a<b时，双曲线的中心在y轴上，两分支朝向x轴。
双曲线的图像可以通过手工绘图或者计算机绘图软件来绘制，使学生更好地理解双曲线的性质和特点。
双曲线的图像在实际生活中也有许多应用，比如在光学中的抛物面镜和双曲面镜、在通信中的双曲线天线和成像原理等。
五、双曲线的相关定理和定律1. 双曲线的面积定理：双曲线的面积等于焦距的一半与两个辅助椭圆的面积之和。
高三数学双曲线知识点总结归纳
高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。
下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。
一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。
双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。
横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。
二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。
2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。
3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。
4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。
5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。
四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。
2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。
五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。
2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。
高二数学双曲线知识点汇总
高二数学双曲线知识点汇总双曲线是高二数学中重要的一章，它是解析几何的重要内容之一。
在本文中，将对双曲线的定义、性质以及相关公式进行详细的总结与汇总，以帮助学生更好地理解和掌握双曲线的知识。
1. 双曲线的定义双曲线是一个平面上的曲线，其定义为平面上所有点到两个不相交定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线有两种类型：横向双曲线和纵向双曲线，具体形状与焦点之间的距离差有关。
2. 双曲线的标准方程横向双曲线的标准方程为：x²/a² - y²/b² = 1，其中a为焦点到原点的距离，b为垂直于主轴的距离。
纵向双曲线的标准方程为：y²/a² - x²/b²= 1，其中a和b的含义同上。
3. 双曲线的焦点、准线和直径横向双曲线的焦点为(±c,0)，准线为x = ±a，直径为两焦点间的距离，即2c。
纵向双曲线的焦点为(0, ±c)，准线为y = ±a，直径同样为2c。
4. 双曲线的离心率离心率是双曲线的一个重要属性，表示焦点到准线的距离与焦点到曲线上任意点的距离之比。
对于横向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/a，而对于纵向双曲线，离心率的计算公式为e = √(a² + b²)/b。
5. 双曲线的对称性和渐近线横向双曲线关于y轴对称，纵向双曲线关于x轴对称。
双曲线还有两条渐近线，横向双曲线的渐近线方程为y = ±b/a * x，纵向双曲线的渐近线方程为y = ±a/b * x。
6. 双曲线的图像特点当双曲线的焦点位于原点时，曲线两支在原点相交；当焦点位于x轴上时，曲线两支分离，称为“非奇异双曲线”；当焦点位于y轴上时，曲线两支开口向下，称为“奇异双曲线”。
7. 双曲线的参数方程双曲线也可以通过参数方程来表示。
高中数学高二知识点双曲线和圆
高中数学高二知识点双曲线和圆高中数学高二知识点：双曲线和圆在高中数学的学习过程中，双曲线和圆是高二学生需要重点掌握的两个重要知识点。
本文将从定义、性质以及相关公式等方面进行详细的介绍。
一、双曲线双曲线是二次函数图象的一种，其定义可以通过以下方程得到：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad(a>0, b>0)$。
其中，$a$和$b$分别表示双曲线的横坐标半轴和纵坐标半轴的长度。
通过调整$a$和$b$的值，可以得到不同形状和方向的双曲线。
双曲线的性质：1. 双曲线的中心点位于坐标原点$(0,0)$。
2. 双曲线关于$x$轴和$y$轴对称。
3. 双曲线有两条渐近线，即$x=a$和$x=-a$。
当$x$趋近于无穷大时，双曲线的图像将无限接近于这两条直线。
4. 双曲线分为两支，分别位于$x$轴的两侧。
两支之间的间距为$2a$。
双曲线的常见公式：1. 离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，用字母$e$表示。
其计算公式为：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$。
2. 焦点坐标：双曲线的焦点分别位于$(\pm ae, 0)$。
3. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$。
4. 弦长公式：双曲线上一条弦的长度可以通过如下公式计算：$l=2a\sqrt{1+\left(\frac{d}{2a}\right)^2}$，其中$d$表示弦与中心点的距离。
二、圆圆是我们生活中常见的几何图形之一，其定义可以通过以下方程得到：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
其中，$(a,b)$表示圆心的坐标，$r$表示圆的半径。
圆的性质：1. 圆的中心点位于$(a,b)$。
2. 圆对称于其中心点。
3. 圆的半径相等，即任意点到圆心的距离都相等。
4. 圆的直径等于半径的两倍，即直径$d=2r$。
5. 圆的周长可以通过公式$C=2\pi r$计算，其中$\pi$为圆周率。
高中双曲线知识点总结
高中双曲线知识点总结高中数学中，双曲线作为一个重要的图形，在几何的研究中具有广泛的应用。
它不仅仅是一个数学问题，更是一种抽象的表达方式，让我们能够更好地理解和分析一些复杂的现象。
本文将对高中数学中的双曲线知识点进行总结，帮助读者更好地掌握并应用这一部分内容。
一、双曲线的定义和基本图形特征双曲线是解析几何中的一个图形，它由平面上满足特定条件的点的集合组成。
双曲线的定义可以基于焦点和直角截线的方式，也可以基于离心率的方式。
无论采取哪种定义方法，双曲线的图形特征都是相似的。
双曲线具有以下基本图形特征：1. 双曲线具有两个分离的焦点，它们位于双曲线的两侧。
这两个焦点的距离决定了双曲线的大小。
2. 双曲线还具有两条与其无穷远处的渐近线。
这两条渐近线与双曲线的两支趋近而不相交。
3. 双曲线的两支无法与直线相交，但可以与其他曲线相交。
这使得双曲线的研究和应用具有一定的灵活性。
二、双曲线的方程和参数方程双曲线的方程可以通过离心率、焦点坐标和直角截线等参数进行描述。
根据方程的不同形式，双曲线可以分为多种类型，如标准双曲线、水平双曲线和垂直双曲线等。
以标准双曲线为例，其方程形式为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中，a和b是正实数，分别表示双曲线的半径。
通过调节a和b的取值，我们可以改变双曲线的大小和形状。
另外，双曲线也可以用参数方程表示。
参数方程的优势在于可以更直观地描述双曲线的形状和特征。
例如，对于标准双曲线，其参数方程可以表示为：x = a * cosh(t)y = b * sinh(t)其中，t是参数，cosh和sinh分别是双曲余弦和双曲正弦函数。
通过调整参数t的取值范围，我们可以得到双曲线上的不同点，从而描绘出整个双曲线的形状。
三、双曲线的性质双曲线具有多种性质，这些性质不仅仅是抽象的理论概念，更是可以应用于实际问题求解的重要工具。
以下是几个重要的双曲线性质：1. 对称性：双曲线关于坐标轴和坐标原点具有对称性。
数学高二双曲线知识点
数学高二双曲线知识点在高中数学的学习中，双曲线是一个重要的知识点。
它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍高二数学中关于双曲线的一些基础概念和性质。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上两个定点F1和F2到平面上所有点P的距离之差的绝对值等于定值2a所确定的点的轨迹。
双曲线的方程可以表示为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1，其中a和b分别为正实数。
双曲线的几个重要性质如下：1. 双曲线有两个不相交的分支，分别称为左、右狭双曲线。
2. 双曲线的对称轴是y轴或x轴。
3. 双曲线的顶点为原点(0, 0)。
4. 双曲线的渐近线是通过两个焦点和顶点的直线。
二、双曲线的焦点和直径在双曲线上，焦点是与曲线定义密切相关的点。
对于左狭双曲线，焦点位于x轴的正半轴上；对于右狭双曲线，焦点位于x轴的负半轴上。
双曲线的直径是通过顶点，且在曲线上的最长的线段。
双曲线的直径长度为2a。
三、双曲线的离心率和通径离心率是描述双曲线形状的一个重要参数，它定义为焦距与直径之比的绝对值，即e = c/a，其中c为焦距，a为直径的一半。
双曲线的通径是垂直于对称轴且通过焦点的线段。
对于左狭双曲线，通径长度为2b；对于右狭双曲线，通径长度为-2b。
四、双曲线的图像和方程形式1. 左狭双曲线的方程形式为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。
图像在y轴两侧打开，曲线与对称轴的交点为顶点，曲线逐渐靠近渐近线。
2. 右狭双曲线的方程形式为(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1。
图像在x轴两侧打开，曲线与对称轴的交点为顶点，曲线逐渐靠近渐近线。
五、双曲线在实际问题中的应用双曲线在物理、经济等领域有广泛的应用。
以下是一些实际问题中双曲线的应用案例：1. 空间科学中，双曲线被用来描述行星轨道、彗星轨道等天体运动。
2. 电子学中，双曲线被用来描述电场和磁场的分布与相互作用。
高中双曲线知识点
高中双曲线知识点概述双曲线是高中数学中的一个重要概念，它在代数和几何中都有广泛的应用。
本文将深入探讨高中双曲线的知识点，包括定义、性质、图像、方程以及相关应用等方面。
定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的定义可以从几何和代数两个角度进行阐述。
几何定义在平面直角坐标系中，以两焦点F1和F2为中心，两焦距之差为常数2a，构造以a 为焦距的双曲线。
对于双曲线上的任意一点P(x,y)，它到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|PF1-PF2|=2a。
这个性质可以用数学符号表示为：|PF1-PF2|=2a代数定义双曲线也可以用代数方程进行定义。
在平面直角坐标系中，双曲线的代数方程可以表示为：(x2/a2)-(y2/b2)=1其中a和b分别表示双曲线的半焦距。
性质双曲线具有多个特点和性质，下面将介绍其中一些重要的性质。
1.对称轴：双曲线的对称轴是通过两焦点的中垂线，它是双曲线的对称轴线，且与双曲线的短轴垂直。
2.焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线，焦点是双曲线的重要属性，准线是双曲线上的一条特殊直线，与双曲线的有关性质密切相关。
3.渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两支无穷远点相切，渐近线的斜率等于主轴的倾角。
4.图像：根据双曲线的方程，可以推导出双曲线的图像特点，双曲线的形状和方向与a和b的取值有关。
图像双曲线的图像可以通过对其方程进行分析和绘制来得到。
下面将介绍几种常见的双曲线图像。
横向双曲线当双曲线的a2大于b2时，双曲线为横向双曲线，图像水平展开。
对于横向双曲线，焦点位于双曲线的左右两侧，中心在坐标系原点。
纵向双曲线当双曲线的a2小于b2时，双曲线为纵向双曲线，图像垂直展开。
对于纵向双曲线，焦点位于双曲线的上下两侧，中心在坐标系原点。
特殊情况当双曲线的a2等于b2时，双曲线退化为两条互相垂直的直线。
方程双曲线的代数方程为(x2/a2)-(y2/b2)=1，其中a和b为常数。
通过对方程的分析，可以得到双曲线的一些重要信息。
高中双曲线知识点
高中双曲线知识点高中数学中，学习曲线是一个非常重要的内容。
其中，双曲线作为一种特殊的曲线形状，具有一些独特的性质和特点。
在这篇文章中，我们将深入探讨高中双曲线的知识点，包括定义、图像、方程、性质等方面。
一、双曲线的定义双曲线可以通过平面上的一个定点F（焦点）和一条定直线（准线）L来定义。
对于平面上的任意点P，它到焦点F的距离减去到准线L的距离等于一个常数e，即PF - PL = e。
这个常数e被称为离心率，决定了双曲线的形状。
二、双曲线的图像双曲线的图像可以被看作是一条平滑的弧线，同时具有两个非常重要的分支。
这两个分支在焦点F处相交，并逐渐远离准线L。
曲线呈现出向两个方向无限延伸的形状，就好像是两个永远不会相交的直线。
三、双曲线的方程双曲线的方程可以有多种形式，其中最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程如下：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中a和b分别代表椭圆横轴半径和纵轴半径。
这个方程表达了双曲线在坐标平面上的形状和位置。
当a^2大于b^2时，双曲线的分支打开向左右两个方向；当a^2小于b^2时，双曲线的分支打开向上下两个方向。
另外，一般方程形如：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0这个方程描述了双曲线的一般形式，其中A、B、C、D、E和F为常数。
通过求解这个方程，我们可以确定双曲线的具体方程和形状。
四、双曲线的性质双曲线有许多独特的性质和特点，以下是其中一些重要的性质：1. 零点性质：双曲线的方程中，x和y坐标可同时或分开取零值。
这与其他曲线形状有所不同，是双曲线独有的性质。
2. 渐近线性质：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支相切。
这些渐近线在无穷远处与曲线趋于平行，给予双曲线一种无限延伸的视觉效果。
3. 对称性质：双曲线关于y轴和x轴分别具有对称性。
这意味着曲线的左右分支和上下分支在对称轴上是对称的。
4. 焦点性质：焦点是双曲线的重要特征，它定义了曲线的形状和定位。
高二数学双曲线知识点
高二数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的曲线类型之一，它具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍高二数学中关于双曲线的知识点。
一、定义与基本概念1. 双曲线的定义：双曲线是平面上一个动点与两个给定点（称为焦点）之间的距离差的绝对值等于一个定值（称为离心率）的轨迹。
2. 双曲线的几何特征：双曲线是非闭合曲线，两支曲线相似但不相交。
3. 双曲线的标准方程：一般形式为x²/a² - y²/b² = 1或y²/a² - x²/b²= 1。
4. 双曲线的焦点与离心率关系：离心率e的值决定了焦点与曲线形状的关系，e大于1时，焦点位于x轴；e小于1时，焦点位于y轴。
二、双曲线的性质1. 集中性质：双曲线的焦点位于x轴或y轴上，并且距离原点越远，离心率越大。
2. 对称性质：双曲线关于x轴、y轴和原点分别对称。
3. 渐进线性质：双曲线的渐进线是x轴和y轴，即曲线无限延伸但不与x轴和y轴相交。
4. 双曲线的渐成线性质：双曲线的渐成线是曲线两支的连接线段。
三、曲线的参数方程1. 参数方程的定义：对于双曲线，可以使用参数方程来描述曲线上的点的位置。
常用的参数方程有x = asect，y = btant和x = acost，y = bsint。
2. 参数方程的图像特征：通过改变参数t的取值范围，可以观察到双曲线在平面上的不同部分以及曲线的形状。
四、双曲线的应用1. 物理中的应用：双曲线常用于描述天体运行轨迹、电磁波等物理现象。
2. 经济学中的应用：双曲线可以用于描述供需曲线、价格水平等经济学概念。
3. 工程中的应用：双曲线可用于工程设计和建模，如道路、桥梁等工程结构的设计。
总结：双曲线是高二数学中重要的曲线类型，它具有许多独特的性质和应用。
了解双曲线的定义、基本概念、性质以及参数方程的描述方法，可以帮助我们更好地理解和应用这一曲线类型。
高三数学知识点双曲线
高三数学知识点双曲线双曲线是高中数学中重要的数学知识点之一，它在数学中有广泛的应用和重要的作用。
在本文中，将详细介绍双曲线的定义、性质和相关的数学知识。
一、双曲线的定义双曲线是平面解析几何中的曲线之一，它的定义可以通过平面上一动点与两个不相交固定点的距离之差的绝对值等于常数来描述。
以坐标平面为例，双曲线的定义可表示为：在平面直角坐标系中，两个不相交的点F1（c, 0）和F2（-c, 0）为焦点，直线L：x = -a为准线，且常数e（e＞1）为离心率时，平面上动点P（x, y）到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数e（e＞1）与动点到直线L的距离的积，即|PF1 - PF2| = e|PL|。
二、双曲线的性质1. 双曲线的离心率双曲线的离心率e定义为焦点到准线的距离与焦点到准线的垂线段的比值，即e = PF1 / PL，其中PF1为焦点到动点的距离，PL为动点到准线的垂线段。
双曲线的离心率大于1，离心率越大，双曲线的形状越扁平。
2. 双曲线的对称轴以焦点连线为轴，双曲线与对称轴关于对称轴对称。
3. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是与双曲线趋于无穷远处（焦点以外）的直线。
双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两支无限延伸，且互相对称。
4. 双曲线的焦点双曲线的焦点F1和F2是双曲线的两个特殊点，焦点到双曲线上任意一点的距离之差的绝对值等于常数e与该点到准线的距离的积。
焦点与双曲线的形状和位置密切相关。
三、双曲线的方程双曲线的一般方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（双曲线的主轴平行于x轴）或y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1（双曲线的主轴平行于y 轴）。
其中，a为椭圆的轴长，b为双曲线的离心距离。
四、双曲线的应用双曲线广泛应用于数学和物理等领域。
在数学中，双曲线是对数函数、双曲函数和双曲积分等的基础；在物理中，双曲线是电磁场、光学和天体力学等的重要工具。
在高中数学中，我们需要熟练掌握双曲线的定义、性质和方程，能够准确地绘制双曲线图形，并能运用双曲线解决相关的问题。
高二年级双曲线的知识点
高二年级双曲线的知识点双曲线是高中数学中的一个重要概念，它在几何图形和函数中都有广泛的应用。
本文将介绍高二年级学生所需了解的双曲线的基本知识点，包括定义、性质和图像特征。
一、定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，它可以由以下方程表示：$(\frac{x^2}{a^2}) - (\frac{y^2}{b^2}) = 1$，其中 a 和 b 是正实数。
二、焦点和准线双曲线的图像由两个焦点 F1 和 F2，以及两条与 x 轴垂直的准线 L1 和 L2 组成。
焦点到准线的距离等于焦点之间的距离，即F1L1 = F2L2 = c，其中 c = $\sqrt {a^2 + b^2}$。
三、主轴和顶点对于双曲线，它的主轴是通过焦点的直线，与主轴垂直的线段称为次轴。
主轴的长度为 2a，焦点所在的直线被称为对称轴。
双曲线的顶点是主轴与对称轴的交点。
四、渐近线双曲线与两条直线分别称为渐近线。
渐近线与双曲线的距离在无限远处趋于零。
对于双曲线，渐近线与 x 轴和 y 轴的夹角分别为 $\theta$ 和 90° - $\theta$。
五、图像特征双曲线的图像特点有以下几点：1. 图像在 x 轴和 y 轴上有对称性，即关于 x 轴和 y 轴对称。
2. 图像是无界的，即没有边界或端点。
3. 图像趋向于渐近线，当 x 趋于正无穷或负无穷时，双曲线的图像将无限接近于渐近线。
4. 图像可能有多个分支，每个分支都有一个焦点和两条准线。
六、经典双曲线在双曲线的研究中，有两种经典的双曲线，分别是椭圆双曲线和双曲双曲线。
它们在 a 和 b 的取值不同情况下呈现不同的图像特征。
1. 椭圆双曲线：当 a > b 时，双曲线的图像类似于两个向外张开的弯曲叶子。
2. 双曲双曲线：当 a < b 时，双曲线的图像类似于两个向内凹陷的弓形。
七、应用领域双曲线在数学的几何图形、物理学、电子工程等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，双曲线可以描述光线在折射过程中的轨迹；在电子工程中，双曲线可以用于描述电子流的传输特性。
高三双曲线的知识点总结
高三双曲线的知识点总结高三阶段是学生面临高考冲刺阶段的重要时期。
在数学中，双曲线是一个重要的概念，它在高等数学中具有广泛的应用。
在此，我将对高三阶段学习中的双曲线相关知识点进行总结和归纳。
一、双曲线的基本定义双曲线是指平面上到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的集合。
一般来说，双曲线可以分为两类：横向双曲线和纵向双曲线。
- 横向双曲线的方程一般形式为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1，其中(a > 0, b > 0)。
- 纵向双曲线的方程一般形式为：(y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1，其中(a > 0, b > 0)。
双曲线的标准方程：双曲线的标准方程一般形式为x^2 / a^2 -y^2 / b^2 = c，其中a、b、c是常数。
二、双曲线的图像特征从双曲线的方程可以看出，双曲线的图像具有以下特点：1. 具有两个分支：双曲线有两个分离的分支，分别沿焦点的两侧延伸。
2. 双曲线的对称轴：对称轴是双曲线的一条轴线，通过双曲线的中心点，垂直于双曲线的两个分支，并且与两个分支都相交。
3. 焦点和直线的关系：焦点是双曲线的一个重要特点，它与双曲线上的点之间的距离之差等于常数。
同时，双曲线上的每个点到焦点的距离之和等于双曲线的长轴的长度。
4. 双曲线的渐近线：双曲线的渐近线是双曲线的两个分支在无限远处趋于的直线。
横向双曲线的渐近线是y = ±(b / a) * x，纵向双曲线的渐近线是y = ±(a / b) * x。
5. 双曲线的离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，它决定了双曲线的形状。
离心率的计算公式为e = √(a^2 + b^2) / a。
三、双曲线的性质和应用1. 高中阶段，双曲线的主要性质是焦点、顶点、长轴、短轴之间的关系。
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一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数xx y 1+=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习xbax y +=（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数xbax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与xb的值比较，当x 很大很大的时候，xb的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．例1．若函数xx y 3233+=是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 33=和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32,由渐近线与实轴的夹角是30º，则有ab=tan30º,得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x,xx 3233+）满足3421=-PF PF 即可；34)323232()323232()32323()2()32323()2(222221=++--+=++++--++-=-x x x x x x x x x x PF PF所以，函数xx y 3233+=表示的曲线是双曲线． （在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．）2．2五种表现形式表现 1：函数xbax y += （a >0,b >0）的双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡ab上函数分别是单调递增的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递减的；在x=a b -处有极大值，在x=ab处有极小值；值域是(][)+∞-∞-,22,ab ab ．表现 2：函数xbax y += （a <0,b <0）的双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在⎥⎦⎤--∞a b ,(和),+∞⎢⎣⎡a b 上函数分别是单调递减的，在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,a b 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上函数分别是单调递增的；在x=a b -处有极小值，在x=ab处有极大值；值域是(][)+∞-∞-,22,ab ab ．表现1图表现 3：函数xbax y += （a >0,b <0）的双曲线大概图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2xba y -='>0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R ．表现 4：函数xbax y += （a <0,b >0）的双曲线图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵2x ba y -='<0，所以，函数在)0,(-∞和),0(+∞上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R特别，后面两个函数的单调性很“单纯”引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．表现 5：函数 xby = (x ≠0) 是等轴双曲线，以轴、y 轴为渐近线，在两个区间)0,(-∞和),0(+∞别是单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数2、3应用举例与重点推广这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．例2．已知x >y >0 , xy=1 ,求yx y x -+22的最小值及此时x 、y 的值解：∵x >y >0 ，∴x-y>0, 又 xy=1，∴y x y x -+22=222)(2)(2≥-+-=-+-yx y x y x xy y x ； 解混合式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=y x y x xy y x 210得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x所以当：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=226226y x 时候，y x y x -+22取得最小值为22．例3．求y=2101122+---x x x (x ≥0)解：令x+2=t 则 x=t-2 代入得 342-+-=t t y 由 x ≥0得t ≥2,而342-+-=tt y 在[)+∞,2上是减函数的，所以y ≤-5,值域为(]5,-∞- 例11．已知2)(-⋅-=a a x x f （1）若a ＞0，求()f x 的单调区间（2）若当[]0,1x ∈时，恒有()f x ＜0，求实数a 的取值范围解：()2f x x x a =--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+--≥---a x a a x a x a a x ,24)2(,24)2(2222当a ＞0时，()f x 的单调递增区间为(,)(,)2aa -∞-∞和，单调递减区间为,2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）（i ）当0x =时，显然()f x ＜0成立，此时，a R ∈ （ii ）当(]0,1x ∈时，由()f x ＜0，可得2x x-＜a ＜2+x x ，令 (](]22(),(0,1);()(0,1)g x x x h x x x x x =-∈=+∈ 则122()1g x x =+＞0，∴()g x 在要求区间内是单调递增，可知[]max ()(1)1g x g ==-122()1h x x=-＜0，∴()h x 在要求区间内是单调递减，可知[]min ()(1)3h x h ==此时a 的范围是（—1，3）综合i 、ii 得：a 的范围是（—1，3）从上面几个例子可以看出，形如n mx c bx ax y +++=2 或cbx ax nmx y +++=2（m ≠0,a ≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．重点推广：到此我们来看看函数bax dcx y ++= （ad ≠bc ，a ≠0）究竟是什么样的图象与性质呢？它可以通过变形化为)()(ab x a a bc ad a b x c y +-++=，继续化为2))((abc ad a b x a c y -=+-，因此，函数b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象是可以从2a bc ad xy -=的图象通过平移而来的，从而bax dcx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，acy =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b 两个区间上都具有相同的单调性，2a bcad ->0时都是单调递减，2a bc ad -<0时都是单调递增．这个函数与函数x bax y += （a >0,b >0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，要熟练理解和应用，．例4．已知正项数列{}n a 满足a 1=a (0<a<1)且an+1≤nna a +1, 求证 an aa n )1(1-+≤分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理； i ）n=1时 a 1=a ，符合求证结论 ii 设n=k 时 ak aa k )1(1-+≤结论成立则n=k+1时候， a k+1≤k k a a +1,而ak aa k )1(1-+≤，因此，考虑函数f(x)=x x +1=1-x+11在区间)1,(--∞和区间),1(+∞-都是递增函数，（0，1）⊂),1(+∞-，所以f(x)=xx+1在0，1）也是递增函数，从而，a k+1≤k k a a +1ak a ak a ak a)11(1)1(11)1(1-++=-++-+≤，所以 n=k+1时,不等式也成立．综上所述，an aa n )1(1-+≤对任意n 是正的自然数都成立．这样，b ax d cx y ++=（ad ≠bc ，a ≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是a b x -=，acy =的两条直线，在),(a b --∞和),(+∞-a b两个区间上都具有相同的单调性的应用要得到巩固，它是函数xbax y +=（ab ≠0）的图象、性质的知识系统的重要组成部分．。