信号与系统第6章拉氏变换

F1(w)
f (t)estdt
0
重新定义 F1(w) 为 f (t) 的拉氏变换并将F1(w) 重新命名
为：
F(s) f (t)estdt 0
可见信号 f (t) 的拉氏变换是 f (t)et 的付里叶变换
根据付里叶变换的性质，有：
f (t )e t 1
2
F1 (w)e
jwt
dw
有：
L[t]
1 s2
，
L[t 2 ]
2 s3
，
L[t n ]
n! s n1
4、冲激函数
L [ ( t )] ( t ) e st dt 1 0
可见，冲激函数的拉氏变换为常数
6.4 拉氏变换的基本性质
1、线性
函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和
L [ K 1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K 1 L [ f1 (t )] K 2 L [ f 2 (t )]
lim
t
f (t )e t 0 ,则
f (t) 的 拉 氏 变
换存在。
对拉氏变换，对应付 里叶变换的频域概念， 有s域的概念，付里叶 变换的频域是一个轴， s域有两个轴，横轴为 轴，纵轴为jw轴。 如图：
jw收
敛 轴
o 0
收 敛 域
6.3 一些常用函数的拉氏变换
1、阶跃函数
L[u(t)]esd t t1
即
L [ K 1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K 1 F1 ( s ) K 2 F 2 ( s )
2、微分
3、积分
若L[f (t)]F(s)，则
t
L[
f()d]F(s) f 1(0)
s
s
其中：
f
(1)(0)
0
f
()d，为常数
4、延时（时域平移）
若 ： L [ f ( t )] F ( s ) ， 则
信号与系统第6章拉氏变换
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。
而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。
后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
Ki (s pi )F(s)|spi
由
F (s)
K1 s p1
K1 s p2
K1 s pn
可知：
f (t) K1e p1t K2e p2t Kne pnt
举例：
F(s)
10(s 2)(s 5) s(s 1)(s 3)
则展开后应有：
F
(s)
K1 s
K2 s 1
K3 s3
K1 sF (s) |s0 100 / 3 ， K2 (s 1)F (s) |s1 20 ， K3 (s 3)F (s) |s3 10 / 3
由于技术的发展，拉氏变换的用处不象 以前那么大了，但其建立的系统函数及 零极点分析的概念依然具有重要的作用， 在连续、线性、时不变系统的分析中， 仍然是不可缺少的强有力工具。
6.2 拉氏变换
1、拉氏变换的定义
从付里叶变换出发，对信号f (t) ，假设该信号是因果的，
即 f (t) 0 if t 0 ，则：
0
s
2、指数函数
L[eat] eaet stdt 1
0
sa
3、tn (n为正整数)
L[t n ] t n e st dt t n e st n t n 1e st dt
0
s
0 s0
n t n 1e st dt s0
所以；
L[t n ] n L[t n1 ] s
将 et 放 到 右 边 积 分 号 内 有 ：
f (t) 1
2
பைடு நூலகம்
F1
(
w
)et
e
jwt
dw
1 2
F1
(
w
)e
st
dw
而 ： s jw ，若 选 定
，即 令
为 常 数 ，有 dw
ds j
，同
时 F (s) F1 (w) ， 上 式 改 写 为 ：
f (t) 1 jF(s)estds
1、极点为实数，无重根
此时，有：F(s)
(s
p1)(s
A(s) p2)(s
pn)
设F(s)
可以分解为：F( s)
s
K1 p1
s
K2 p2
Kn s pn
为求Ki ，上式两边同乘以s pi
(s
pi
)F(s)
(s pi)K1 s p1
(s pi)K2 s p2
Ki
(s pi)Kn s pn
将s pi 代入上式
F (w) f (t)e jwt dt f (t)e jwt dt
0
如果将 f (t) 乘上一个衰减因子et ，令 f1(t) f (t)et ，则
f1(t) 的付里叶变换为：
F1(w)
f (t )et e jwt dt
0
f (t )e ( jw)t dt
0
如令：s jw ，则上式变成：
2j j
对信号f (t) ，
F(s) f (t)estdt 0
f (t) 1 jF(s)estds
2j j
被称为拉氏变换对 后面我们用L[ f (t)]表示f (t)的拉氏变换
2、拉氏变换的收敛
对拉氏变换而言，所谓收敛就是
0
f ( t ) e ( jw ) t dt
可积
如果当
0 时 ，有
L [ f ( t t 0 ) u ( t t 0 )] e st 0 F ( s )
5、S域平移
若 ： L[ f (t )] F ( s ) ， 则
L [ f (t )e at ] F ( s a )
6、尺度变换
若 ： L[ f (t)] F (s) ， 则
L[ f (at )] 1 F ( s ) a 0 aa
6.5 拉氏逆变换
部分分式分解
F(s) 具有以下一般形式：
F (s)
A(s) B(s)
am s m bn s n
am1sm1 a1s a0 bn1sn1 b1s b0
系数ai bi 都是实数，m n 为正整数。
为便于分解，将上式写成：
F(s)
A(s) B(s)
am (s z1)(s z2 )(s bn (s p1)(s p2 )(s
zm ) pn )
p1 p 2 p n1 p n 为 极 点 z1 z 2 z m 1 z m 为 零 点 如 果 pi p j p* 则 称 p* 为 二 阶 极 点 。 K 阶极点，和 K 阶零点的概念以此类推。
考虑以下几种情况： 极点为实数，无重根，即所有极点均为
一阶极点 包含共轭复数极点 有多重极点