向量的概念及表示教案(1)

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空间向量复习教案设计

空间向量复习教案设计第一章：空间向量的基本概念1.1 向量的定义与表示介绍向量的定义：向量是具有大小和方向的量。

解释向量的表示方法：用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

1.2 向量的坐标表示介绍向量的坐标表示方法：在三维空间中，向量可以用三个坐标表示，分别为x 轴、y轴和z轴上的分量。

1.3 向量的运算介绍向量的加法：两个向量相加，其结果向量的大小等于两个向量大小的和，方向等于两个向量方向的和。

介绍向量的减法：两个向量相减，可以将减法转换为加法，即加上相反向量。

第二章：空间向量的几何性质2.1 向量的模介绍向量的模的定义：向量的模是指向量的长度，是一个非负实数。

介绍向量的模的运算：向量的模的平方等于向量的平方，即|a|²= a·a。

2.2 向量的数量积介绍向量的数量积的定义：两个向量的数量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

介绍向量的数量积的运算：两个向量的数量积等于它们的坐标乘积之和，即a·b = ax·bx + ay·+ az·bz。

2.3 向量的夹角介绍向量的夹角的定义：两个向量的夹角是指它们之间的最小正角度。

介绍向量的夹角的计算方法：使用向量的数量积公式，即cosθ= (a·b) / (|a||b|)。

第三章：空间向量的线性运算3.1 向量的数乘介绍向量的数乘的定义：将一个实数与一个向量相乘，结果是一个向量，其大小等于原向量的大小乘以实数，方向与原向量相同。

3.2 向量的线性组合介绍向量的线性组合的定义：将两个或多个向量相加或相减，结果仍然是一个向量。

介绍向量的线性组合的运算：根据向量的加法和数乘运算，可以得到任意向量的线性组合。

3.3 向量的人格化介绍向量的人格化的定义：将向量表示为一组基向量的线性组合，其中基向量是相互正交的。

介绍向量的人格化的运算：通过选择适当的基向量，将任意向量表示为它们的线性组合。

平面向量基本定理(教案)

平面向量基本定理(教案)教案章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为(a, b)。

1.2 向量的加法向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。

向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

教案章节二：平面向量的基本定理2.1 定理的定义平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。

基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。

2.2 基底的性质基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。

基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。

教案章节三：向量的线性组合3.1 线性组合的定义向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。

例如，a u + b v 表示将向量u 乘以实数a，向量v 乘以实数b，将两个结果相加。

3.2 线性组合的性质线性组合满足分配律，即(a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。

线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。

教案章节四：向量的坐标表示4.1 坐标系的建立坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。

在二维空间中，通常使用x 轴和y 轴作为坐标轴。

4.2 向量的坐标表示向量可以用坐标形式表示，即(x, y)，其中x 表示向量在x 轴上的投影，y 表示向量在y 轴上的投影。

向量的长度可以用勾股定理计算，即|u| = √(x^2 + y^2)。

教案章节五：向量的线性相关性5.1 线性相关的定义向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。

例如，向量组(u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数a, b, c，使得a u +b v +c w = 0。

5.2 线性相关性的性质如果向量组线性相关，其中任意一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。

向量的概念及表示

向量的概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。

【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作│ │。

（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作。

（3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。

（5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量和相等，则记作 = 。

2、共线向量共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。

平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。

（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。

例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？解：因任一单位向量的始点移到同一点O 时，终点一定落在以O 为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P 都对应一个单位向量，故构成的图形为一单位圆。

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

例：向量、平行，记作// 。

向量、、平行，记作// // 。

（6）零向量与任一向量平行（7）相反向量：与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量。

记为- ，与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。

例：在平行四边形ABCD 中，向量和向量方向相同O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB且长度相等； = 。

向量和向量长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。

3、向量的表示几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如用| |表示长度。

例：如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形；①用有向线段表示与向量相等的向量； ②用有向线段表示与向量共线的向量；解：①与相等的向量是、、。

向量的概念及表示(公开课)

必修 4 平面向量
蒋华中学蒋新红
问题情境
• 如果要找一个物理量来刻画从家到学校的位置变化，应该用哪个量？
• “位移”和“路程”这两个物理量一样吗？
2021/6/12
2
建构数学
一．向量的相关概念
１、向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
吗? a b
10
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
（1）与 C O 相等的向量为（2）与C O 共线的向量为
A O ；
；
（3）与 C O 的模相等的向量为
；
（4）向量 C O 与 A是否相等？答
例2：在45的方格中有一个向量AB,以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？
这两个量仅从大小上刻画了向量．
思考:
a
• 零向量有没有方向？
• 单位向量唯一吗?
• 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向
量,它们终点的轨迹是什么图形?
2021/6/12
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学生活动
记作：ab.
（1）如上图,设图中小正方形的边长为1，则| 2 2|= 。
（2）请在上图中画出与| a |相等的向量（要求所画向量的起
“a 大小”和“,方向”b 是向量的,两个c 重要方面
！
2021/6/12
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建构数学 2、向量的表示
几何表示
向量常用一条有向线Ｎ段来表示.
i: ii:
有箭向头线所段指的的长方度向表表示示向向f 量量的的大方小向..

苏教版数学高一必修4教案 2.1向量的概念及表示

2．1向量的概念及表示●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辩证思维的教育.●重点难点重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示．难点：向量的概念和共线向量的概念．●教学建议1．关于向量概念的教学教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征．2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练．●教学流程创设问题情境，引入向量的概念.⇒引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.⇒通过类比数与向量的概念，引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用有向线段表示向量的方法，并注意向量模的大小.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握写出图形中的相等共线向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3.理解向量的几何表示.向量及其有关概念(1)火车向正南方向行驶了50 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是正南．(2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？【提示】它们的大小和方向都是确定的．2．上述实例中的速度和力，如何表示？【提示】可以用有向线段表示，也可以用字母表示．1．向量的概念向量：既有大小，又有方向的量叫向量．2．向量的表示(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →.向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. (2)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.向量的有关概念(1)单位向量一定相等； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)若AB →＝CD →，则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合； (4)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； (5)若向量a ＝b ，则a ∥b ； (6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .【思路探究】从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .(3)不正确．这是因为AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定有A 与C 重合，B 与D 重合．(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．(5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b ＝0时，满足a ∥b ，b ∥c ，但a 与c 不一定共线．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量． 3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号)【解析】方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确．【答案】 ②向量的表示50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．【自主解答】 (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD. 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形．∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．图2－1－1(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．【解】取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，在△ABC 中，三边长均不相等，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与EF →共线的向量； (2)与EF →长度相等的向量； (3)与EF →相等的向量．【思路探究】 (1)与EF →共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与EF →长度相等即表示向量的线段与EF 长度相等；(3)与EF →相等的向量即与之共线且长度相等的向量．【自主解答】 (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)∵D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ，EF ＝12BC.∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →.1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．图2－1－3如图2－1－3，D ，E ，F 分别是△ABC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：(1)与CM →模相等且共线的向量； (2)与ED →相等的向量； (3)与BF →相反的向量．【解】 (1)DE →，ED →，BF →，FB →，FA →，AF →，MC →. (2)FB →，AF →，MC →. (3)FB →，AF →，ED →，MC →.对向量的有关概念理解不透彻致误判断下列说法是否正确： (1)向量就是有向线段； (2)AB →＝BA →；(3)若向量AB →与向量CD →平行，则线段AB 与CD 平行； (4)若|a |＝|b |，则a ＝±b ；(5)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形．【错解】以上说法都正确．【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．因此，有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．(2)AB →与BA →的长度相等，但方向相反，故当AB →是非零向量时，AB →与BA →不相等． (3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，故若AB →与CD →平行，则线段AB 与CD 可能平行，也可能共线．(4)由|a |＝|b |，仅能说明两向量的模相等，但方向却不能确定，故(4)不正确．而(5)中，A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上，故(5)不正确．【防范措施】首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性．【正解】以上说法都不正确．1．如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB →，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．1．下列说法正确的是________． ①若|a |＝0，则a ＝0； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →是相反向量； ④若a ∥b ，则a ＝b .【解析】 ①不正确，若|a |＝0，则a ＝0；由于相等向量的长度相等且方向相同，故②④不正确；③显然正确．【答案】 ③图2－1－42．如图2－1－4所示，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来)．【解析】 ∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∴适合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 【答案】 FE →，BC →，CB →3．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是________． ①AB →与CD →共线；②AC →与BD →相等；③AD →与CB →是相反向量；④AB →与CD →的模相等．【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，故①，④正确； AC ＝BD ，但AC →与BD →的方向不同，故②不正确； AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →的方向相反，故③正确．【答案】 ②4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O. (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°；(2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°. 【解】所求向量及其向量的终点坐标如图所示：一、填空题1．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b .其中正确的是________．(填序号)【解析】 |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 和b 不一定平行.a|a |是与a 方向相同的单位向量，所以②⑤不正确；a 为非零向量，显然有|a |＞0. 只有③正确．【答案】 ③2．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝________. 【解析】 ∵a ＝b ，且|a |＝0，∴a ＝b ＝0. 【答案】 0图2－1－53．如图2－1－5所示，四边形ABCE 为等腰梯形，D 为CE 的中点，且EC ＝2AB ，则与AB →相等的向量有________．【解析】易知四边形ABDE 为平行四边形，则AB →＝ED →，又∵D 是CE 的中点，则ED →＝DC →. 【答案】 DC →，ED →4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是________．【解析】如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.【答案】南偏东30°5．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a 与b 共线成立的是________．【解析】两向量共线只需两向量方向相同或相反．①a ＝b ，两向量方向相同；②|a |＝|b |两向量方向不确定；④|a |＝0或|b |＝0即为a ＝0或b ＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．综上所述，答案应为①③④. 【答案】 ①③④图2－1－66．如图2－1－6，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________. 【解析】正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 【答案】27．四边形ABCD 满足AD →＝BC →且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】由四边形ABCD 满足AD →＝BC →可知，四边形ABCD 为平行四边形．又|AC →|＝|BD →|，即平行四边形ABCD 对角线相等，从而可知四边形ABCD 为矩形．【答案】矩形8．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．【解析】如图，正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．【答案】 ①②③二、解答题图2－1－79．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，如图2－1－7所示，点K ，L ，M ，N 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：KL →＝NM →.【证明】 ∵N ，M 分别是AD ，DC 的中点，则NM →＝12AC →，同理KL →＝12AC →，故KL →＝NM →.图2－1－810．如图2－1－8所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为起点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．【解】由题意可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.11．一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，最后从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．【解】如图所示，由|AB →|＝200 km ，|BC →|＝100 2 km ，知C 在A 的正北100 2 km 处．又由|CD →|＝50 2 km ，∠ACD ＝60°，知∠CDA ＝90°，所以∠DAC ＝30°，所以|DA →|＝50 6 km.故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.如图，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CN綊MA.【思路探究】要证CN ∥MA 且CN ＝MA ，只需证四边形AMCN 是平行四边形，而四边形AMCN 是平行四边形，可以通过AN →＝MC →得证．【自主解答】由条件AB →＝DC →可知AB ＝DC 且AB ∥DC ，从而四边形ABCD 为平行四边形，从而AD →＝BC →.又M ，N 分别是BC ，AD 的中点，于是AN →＝MC →，所以AN ＝MC 且AN ∥MC ，所以四边形AMCN 是平行四边形，从而CN ＝MA 且CN ∥MA ，即CN 綊MA.1．若AB →＝DC →，且四点A ，B ，C ，D 不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →.2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题：(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．【证明】 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．。

向量的概念及表示(1)

| 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
3.向量之间的关系：
平行向量 : 方向相同或相反的非零向量.
a
b c
记作：a // b // c
我们规定, 零向量与任一向量平行. 共线向量 : 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量 .
(注:若 ,则与起点位置无关.) 记作： a b a b
猫能捉住老鼠吗?

老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜,而猫由B向东南方向每秒10米的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
速度是既有大小又有方向的
量!
学习目标
1 了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解向量的几何表示. 2 理解零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相等向量等概念.
自学指导
二.向量的表示
1. 几何法:用有向线段表示 A B 其中有向线段的长度表示向量的大小，
箭头所指的方向表示向量的方向
2. 代数法:用字母表示
AB,
或 aBiblioteka 三. 向量的有关概念1.向量的长度(模): 向量
AB 的大小
记作：| AB |
2.两个基本向量：
零向量: 长度为零的向量(方向任意).
记作： 0,
1 位移和距离有什么不同? 2 什么是向量?向量的表示方法有哪些? 3 零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相等向量是怎样定义的?
自主检测
P 59
练习
1
2
问题1.判断下列命题的真假 : ( 假 )(1)两个非零向量长度相等则这两个向量相等. , ( 假 )(2)若两个向量共线, 则这两个向量相等. ( 真 )(3)若两个向量相等, 则这两个向量平行. ( 真 )(4)零向量与任一个非零向量共线. ( 假 )(5)任意两个单位向量相等 . ( 假 )(6)若两个向量方向相同且有相同的起点, 则这 , 两个向量的终点相同 . ( 真 )(7 )若两个向量相等, 且有相同的起点, 则这两个向量的终点相同.

向量的概念及表示教案

向量的概念及表示一、教学目标：1. 让学生理解向量的概念，知道向量是有大小和方向的量。

2. 让学生掌握向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。

3. 让学生学会向量的加减法和数乘运算。

二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以用来表示物体的位移、速度等。

2. 向量的表示方法：（1）字母表示：用大写字母表示向量，如\( \vec{a} \)，\( \vec{b} \) 等。

（2）坐标表示：用小写字母加上坐标轴上的坐标表示，如\( \vec{a} = (a_x, a_y) \)，\( \vec{b} = (b_x, b_y) \) 等。

3. 向量的加减法：（1）向量加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x, \vec{a}_y + \vec{b}_y) \)。

（2）向量减法：\( \vec{a} \vec{b} = (\vec{a}_x \vec{b}_x, \vec{a}_y \vec{b}_y) \)。

4. 向量的数乘：（1）数乘向量：\( k\vec{a} = (ka_x, ka_y) \)，其中\( k \) 是实数。

三、教学重点与难点：1. 重点：向量的概念、表示方法以及向量的加减法和数乘运算。

2. 难点：向量的坐标表示以及向量的加减法和数乘运算的坐标表示。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解向量的概念和表示方法。

2. 采用练习法，让学生通过例题和练习掌握向量的加减法和数乘运算。

3. 采用提问法，检查学生对向量知识的理解和掌握程度。

五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如物体位移、速度等，引入向量的概念。

2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量有大小和方向。

3. 讲解向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。

4. 讲解向量的加减法，让学生掌握向量加减法的运算规则。

5. 讲解向量的数乘，让学生掌握向量数乘的运算规则。

向量的坐标表示及其运算教案

向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。

2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。

3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。

二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。

2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。

二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。

2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。

4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。

四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。

2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。

3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。

4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。

5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。

五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。

向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。

优秀高中数学向量教案

优秀高中数学向量教案
课时安排：2个课时
课堂内容：
第一课时：
1.引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法。

让学生了解向量的性质和运算规则。

2.教授向量的加法和减法。

通过示范和练习，让学生掌握向量加减法的方法。

3.讨论向量的数量积和向量的夹角。

引导学生理解向量的数量积和夹角的概念，并通过实例演练加深理解。

第二课时：
1.复习向量的加减法，数量积和夹角概念。

2.讲解向量的应用，如解决平面几何问题，力的合成与分解等。

3.进行一些综合练习，让学生熟练运用向量知识解题。

作业布置：完成课堂练习，巩固所学内容。

课堂评价：通过课堂练习和课后作业，检查学生对向量的理解和掌握情况。

补充材料：提供相关的练习题和习题解析，帮助学生巩固向量知识。

教学目标：使学生掌握向量的概念、运算方法和相关的应用，提高学生的数学解题能力和思维能力。

中职数学平面向量教案

中职数学平面向量教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的概念，向量的表示方法（字母表示和箭头表示）通过实际例子解释向量的方向和大小1.2 向量的几何表示介绍向量的几何表示方法，箭头表示向量的方向和长度绘制向量图，让学生理解向量的直观表示1.3 向量的坐标表示介绍向量的坐标表示方法，二维和三维空间中的向量坐标表示解释坐标轴上的向量表示，以及坐标系中的向量表示第二章：向量的运算2.1 向量的加法介绍向量的加法运算，同一直线上的向量加法，不同直线上的向量加法利用图形和坐标表示向量的加法运算2.2 向量的减法介绍向量的减法运算，通过加上相反向量实现向量的减法利用图形和坐标表示向量的减法运算2.3 向量的数乘介绍向量的数乘运算，即向量与实数的乘积解释数乘运算的性质和运算规律，利用图形和坐标表示向量的数乘运算第三章：向量的数量积3.1 向量的数量积定义介绍向量的数量积概念，即向量的点积解释数量积的性质和运算规律3.2 数量积的计算公式介绍数量积的计算公式，即两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积利用图形和坐标表示数量积的计算3.3 数量积的应用介绍数量积的应用，如判断两个向量的垂直关系，计算向量的模长和夹角利用实际例子展示数量积的应用第四章：向量的叉积4.1 向量的叉积定义介绍向量的叉积概念，即向量的叉积结果为一个向量，其方向垂直于原来的两个向量解释叉积的性质和运算规律4.2 叉积的计算公式介绍叉积的计算公式，即两个向量的叉积结果的模长等于它们的模长的乘积与夹角的正弦值的乘积，方向垂直于原来的两个向量利用图形和坐标表示叉积的计算4.3 叉积的应用介绍叉积的应用，如计算平行四边形的面积，求解两个向量的夹角利用实际例子展示叉积的应用第五章：向量的线性相关性5.1 向量的线性相关性定义介绍向量的线性相关性概念，即一组向量中存在至少一个向量可以由其他向量通过线性组合表示解释线性相关性的性质和判定条件5.2 向量的线性组合介绍向量的线性组合，即一组向量的加权和利用图形和坐标表示向量的线性组合5.3 向量的线性无关性介绍向量的线性无关性，即一组向量中没有任何一个向量可以由其他向量通过线性组合表示利用判定条件判断一组向量是否线性无关第六章：向量的应用6.1 物理中的应用介绍向量在物理学中的应用，如速度、加速度、力等物理量的向量表示通过实际例子解释向量在物理学中的作用6.2 几何中的应用介绍向量在几何中的应用，如计算线段的长度、夹角的大小、平行四边形的面积等通过实际例子解释向量在几何中的作用第七章：向量的分解7.1 向量的分解概念介绍向量的分解概念，即将一个向量分解为两个或多个向量的和解释向量分解的意义和作用7.2 向量的正交分解介绍向量的正交分解，即将一个向量分解为两个垂直向量的和利用正交基底进行向量分解，解释正交分解的性质和运算规律7.3 向量的坐标分解介绍向量的坐标分解，即将一个向量分解为坐标轴上的分量之和利用坐标表示向量的分解，解释坐标分解的性质和运算规律第八章：向量的方程8.1 向量的方程概念介绍向量的方程概念，即用向量的运算表达式描述向量之间的关系解释向量方程的意义和作用8.2 向量的线性方程组介绍向量的线性方程组，即由多个线性方程组成的方程组解向量的线性方程组，解释解的性质和判定条件8.3 向量的非线性方程介绍向量的非线性方程，即方程中包含向量的非线性运算通过实际例子解释向量非线性方程的解法和应用第九章：向量的空间9.1 向量的空间概念介绍向量的空间概念，即由向量组成的几何空间解释向量空间的意义和性质9.2 向量空间的基本性质介绍向量空间的基本性质，如向量加法、数乘运算的封闭性，线性组合的性质等解释向量空间的公理体系和判定条件9.3 向量空间的子空间介绍向量空间的子空间，即由原向量空间中的一部分向量组成的子集解释子空间的性质和运算规律，以及子空间之间的关系第十章：向量的进一步应用10.1 向量在工程中的应用介绍向量在工程技术中的应用，如力学、电路、控制等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在工程中的应用和作用10.2 向量在计算机科学中的应用介绍向量在计算机科学中的应用，如图形学、计算机图形处理、机器学习等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在计算机科学中的应用和作用10.3 向量在其他领域的应用介绍向量在其他领域中的应用，如经济学、生物学、环境科学等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在其他领域的应用和作用重点和难点解析1. 向量的概念与几何表示：重点关注向量的定义和几何表示方法，理解向量的方向和大小。

向量的坐标表示及其运算教案

向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义引导学生回顾初中阶段所学到的向量概念，向量是有大小和方向的量。

解释向量在高中数学中的重要性，特别是在坐标系中的运用。

1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头表示和用字母表示。

强调在坐标系中，向量可以用有序数对(a, b) 表示，其中a 表示向量在x 轴上的分量，b 表示向量在y 轴上的分量。

1.3 向量的模解释向量的模是指向量的大小，用||v|| 表示。

引导学生利用坐标系计算向量的模，即||v|| = √(a²+ b²)。

第二章：向量的加法和减法2.1 向量的加法解释向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。

引导学生利用坐标系进行向量的加法运算，即将对应分量相加。

2.2 向量的减法解释向量的减法是指从第一个向量中减去第二个向量，即加上第二个向量的相反向量。

引导学生利用坐标系进行向量的减法运算，即将对应分量相减。

第三章：向量的数乘3.1 向量的数乘概念解释向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

强调数乘不改变向量的方向，只改变向量的大小。

3.2 向量的数乘运算引导学生利用坐标系进行向量的数乘运算，即将每个分量与实数相乘。

举例说明数乘运算的性质，如a(b·c) = (a·b)c 等。

第四章：向量的点积4.1 向量的点积概念解释向量的点积是指两个向量的对应分量相乘后相加的结果，用v·w 表示。

强调点积的计算结果是一个标量，而不是向量。

4.2 向量的点积运算引导学生利用坐标系进行向量的点积运算，即将对应分量相乘后相加。

举例说明点积的性质，如v·w = w·v、v·(w+z) = v·w + v·z 等。

第五章：向量的叉积5.1 向量的叉积概念解释向量的叉积是指两个非共线的向量形成的平行四边形的面积，用v×w 表示。

2019-2020学年苏教版必修4 2.1 向量的概念及表示学案

2．1向量的概念及表示1.理解平面向量的基本概念和几何表示．2.掌握相等向量、共线向量和相反向量的定义．1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小，又有方向的量． (2)有向线段①定义：带有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以A 为起点、B 为终点的有向线段记为AB →.④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，记作|AB →|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量(又称共线向量)．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b .(3)相反向量：把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a ，其中a 与－a 互为相反向量，并规定零向量的相反向量仍是零向量，对任一向量a 都有－(－a )＝a .1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大小相等的两个向量是共线向量．( ) (2)向量的模是一个正实数．( )解析：(1)错误．方向相同或相反的非零向量才是共线向量． (2)错误．零向量的模是零，不是正实数．答案：(1)× (2)×2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M答案：D3．下列说法正确的序号是________． ①两个单位向量一定相等；②若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③共线的单位向量必相等；④两个相等的向量起点、方向、长度都必须相同．解析：因为零向量与任意向量都共线，又因为a 与b 不共线，所以a 与b 都是非零向量．答案：②4．与非零向量a 平行的单位向量的个数是________．解析：与非零向量a 平行的单位向量只有与a 方向相同和方向相反的两个向量．答案：2向量的有关概念如图，O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心．根据图中标出的向量，回答下列问题：(1)AO →与AF →的长度相等吗？它们是相等向量吗？(2)AB →与DE →的长度相等吗？它们平行吗？它们是相等向量吗？【解】 (1)AO →与AF →的长度相等，都是1，即|AO →|＝|AF →|，但AO →与AF →不是相等向量．(2)|AB →|＝|DE →|，且AB →∥DE →，但AB →与DE →不是相等向量，因为AB →与DE →的方向相反．对向量有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量、共线向量与平行向量之间的区别和联系．(1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．(2)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．1.判断下列各命题是否正确．(1)因为|AB →|＝|BA →|，所以AB →＝BA →； (2)因为a ＝b ，b ＝c ，所以a ＝c ；(3)因为AB →＝DC →，所以AB →与DC →是共线向量，即A 、B 、C 、D 四点共线； (4)因为|0|＝0，所以0＝0.解：(1)不正确.AB →表示以A 为起点，B 为终点，方向从A 指向B ；BA →表示以B 为起点，A 为终点，方向从B 指向A ；虽然|AB →|＝|BA →|，但AB →与BA →的方向不同．(2)正确．相等向量是大小相等，方向相同的向量，显然由a ＝b ，b ＝c 可知，a 、c 都与b 大小相等，方向相同．(3)不正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量中AB →与DC →所在的直线不一定共线，也可能平行．(4)不正确．向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小没有方向，故0≠0.向量的表示一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|. 【解】 (1)向量AB →、BC →、CD →，如图所示．→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线．(2)由题意，易知AB又|AB→|＝|CD→|，所以在四边形ABCD中，AB═∥CD．所以四边形ABCD为平行四边形．所以AD→＝BC→，|AD→|＝|BC→|＝200 km.用有向线段表示向量的步骤(1)运用向量观点将实际问题抽象转化成数学模型．(2)确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 的正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)求出|AB →|的值．解：取每个方格的单位长度为1，依题意，结合向量的表示可知， (1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|AB→|＝|OB→|2－|OA→|2＝3.相等向量与共线向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【解】 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →， OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．3.如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(1)与DO →，CO →相等的向量； (2)与DO →共线的向量；(3)与AO →模相等的向量．解：(1)DO →＝CF →，CO →＝DE →. (2)与DO →共线的向量为CF →，BO →，AE →.(3)与AO →模相等的向量有：DO →，CO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.1．向量与数量的区别和联系(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相等向量；(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．同一直线上的向量也是平行向量．4．与非零向量a共线的单位向量是a|a|或－a|a|.给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中的正确命题有________个．【解析】对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．【答案】 1(1)解答本题误认为|a|与|a|是同一问题，把向量的模按实数的绝对值来处理．(2)注意实数和向量的区别，不能简单地将实数中的性质直接迁移到向量中．1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．图中与AE →平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个． 2．下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．关于零向量，下列说法中错误的是________． ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0； ③零向量的模都相等； ④零向量的方向是任意的．解析：零向量是指长度为0的向量，也有方向，只不过方向是任意的．答案：①4.如图，已知四边形ABCD 为▱ABCD ，则 (1)与OA →的模相等的向量有多少个？ (2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有AO →，OC →，CO →三个向量． (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →. (3)与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.[学生用书P101(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D ．根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D ．A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B ．因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．4．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B ．①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．5.如图所示，四边形ABCD 和BCEF 都是平行四边形． (1)写出与BC →相等的向量：________； (2)写出与BC →共线的向量：________．解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同．平行向量是指方向相同或相反的向量．这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量．答案：(1)FE →、AD → (2)FE →、AD →、EF →、DA →、CB →6.如图所示，O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．解析：因为正方形的对角线互相平分，所以AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．答案：①②③7.已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线，所以AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，所以m ＝0. 答案：08.在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a .(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．9．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．解：如图所示，在B 处有3种走法；在C 处有8种走法．[B 能力提升]1.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．解析：因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →.答案：BA →，CD →2．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8组向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，BO →(OD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：123．设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF →＝HG →.证明：如图所示，连结AC ．在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ＝12AC ，EF ∥AC ，同理HG ＝12AC ，HG ∥AC ．所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，所以EF →＝HG →.4．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由第一问所画的图知，①当点C 位于点C 1和C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时， |BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。

中职数学教案：向量的概念(全2课时)

中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 2.1向量的概念（第1课时）教学目标通过学习，以位移、力等物理背景，了解平面向量、有向线段、单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义；能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量；能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量。

重点向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．难点向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点. 如果S舰沿其他方向航行100 n mile,能不能到达B点呢？教学内容二、探索新知可以看出，S舰从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．事实上,图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100 n mile；航向东北方向．物理学中，把“S舰沿东北方向航行100 n mile”称为S舰的位移.生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量. 向量常用小写黑体英文字母a、b、c 等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如a.向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|.模为1的向量称为单位向量．规定:模为零的向量为零向量，记作0或0.零向量的方向是任意的.一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．“情境与问题”中，有向线段直观地表示了S 舰的位移，其长度表示S 舰位移的大小，其箭头指向表示S舰位移的方向.一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.三、典型例题例1如图(1)所示，用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出A地至B、C 两地的位移，并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到1km）.教学内容解如图(2)所示，用有向线段AB表示A地到B地的位移.测量可得AB≈2.5cm.因此位移AB的大小|AB|≈25km，方向是正北.同理，用有向线段AC表示A地到C 地的位移.位移的大小|AB|≈22km，方向是正东.例 2 如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量.解向量a：|a|=222+2=22，东北方向；向量b：|b|=222+2=22，东北方向；向量c：|c|=221+1=2，西南方向；向量d：|d|=221+1=2，东北方向；向量m：|m|=2，正北方向；向量i：|i|=1，正东方向；向量j：|j|=1，正北方向；其中的单位向量有：i、j.四、巩固练习1.在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N).教学内容(1)方向正北、大小为20N的力，用向量AB表示；(2)方向正东、大小为50N的力，用向量CD表示.2.按图中的比例尺,分别求出由A地到B、C两地的位移(长度精确到1km)五、归纳总结六、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案教学内容向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系.一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等时，记a=b.与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a.规定：零向量的相反向量仍是零向量.进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量a与b平行时，记a∥b.规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有0∥a.温馨提示对于坐图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l. 然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出OA=a、OC=c、OD=d如右图所示. 这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.因此，平行向量也称共线向量.（3）因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、三、典型例题AD的平行向量；AB相等的向量；AO的相反向量．由平行四边形的性质可知，因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以AD的平行向量有DA、BC、CB；）因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量AB相等的向量只有DC；因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向相反的向量，所以AO的相反向量有OA、CO.四、巩固练习试判断下列说法是否正确。

向量的概念及表示优秀教案

向量的概念及表示执教:张亮点评:孔凡海【教学目标】一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景；二、理解平面向量和向量相等的概念；三、掌握向量的几何表示；四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。

【重点难点】重点：向量的概念和向量的几何表示；难点：向量概念的理解【点评】知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。

目标明确有效，重点突出。

为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。

向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。

向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。

由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。

这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。

【教学过程】一、设置情境情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？合作探究看下面哪些量是与众不同的：（1）线段的长度（2）物体的质量（3）物体的体积（4）物体所受重力（前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）【点评】根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。

通过学生活动，感知数学，进行意义建构。

物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。

由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。

二、探索研究问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？1．向量的定义既有大小又有方向的量叫向量。

师：你还能举出一些向量的例子吗？师：在这一概念中你认为关键词有哪些？板书向量的二要素大小和方向师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？2．向量的表示方法①几何表示法——向量常用有向线段表示师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

《2.1向量的概念》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一上册

《向量的概念》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：理解向量的概念，掌握向量加、减法的概念及其几何意义，了解向量数乘的概念及运算律。

2. 过程与方法：通过观察、比较、归纳得出向量加、减法的运算法则，培养学生的观察能力和归纳能力。

3. 情感态度与价值观：通过学习，培养学生的空间想象能力，激发学生对数学的兴趣。

二、教学重难点1. 教学重点：向量加、减法的运算法则及其几何意义。

2. 教学难点：理解向量的概念，正确表示向量。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、纸张等。

2. 准备教学视频：向量的概念、加法、减法及数乘的运算法则。

3. 准备练习题：针对本节课内容的练习题，用于学生巩固所学知识。

4. 制定教学计划：根据教学内容和学生实际情况，制定详细的教学计划。

四、教学过程：（一）导入新课1. 复习：请学生回顾初中所学过的关于“数”与“式”的内容，并举例说明。

2. 提问：这些内容是否还能继续学习下去？3. 导入：我们将在中职数学课程中学习向量，它是既有大小又有方向的量。

（二）新课教学1. 向量的概念（1）教师介绍向量在物理中的意义，如速度、力等。

（2）教师介绍向量在生活中的应用，如位移、距离等。

（3）教师给出向量的定义：既有大小又有方向的量。

（4）学生思考：如何用数学符号表示向量？（5）教师给出向量的表示方法：几何表示法和代数表示法。

2. 向量的分类（1）按照方向相同或相反，可以将向量分为同向向量和反向向量。

（2）按照大小是否相等，可以将向量分为相等向量和不相等向量。

（3）教师引导学生归纳总结向量的基本性质。

3. 向量的加法与减法（1）教师介绍向量的加法与减法的几何意义和代数表示方法。

（2）学生尝试用几何和代数两种方法进行向量的加法和减法的运算。

（3）教师总结向量的加法和减法的运算法则，并进行举例说明。

4. 向量的数乘（1）教师介绍数乘向量的意义和运算法则。

（2）学生尝试进行数乘运算，并总结数乘的运算法则。

大学向量的概念的教案

一、教学目标1. 知识目标：使学生理解向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 能力目标：培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对向量学习的兴趣，培养学生的数学思维。

二、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、向量的表示方法。

2. 教学难点：向量的几何表示和向量的运算。

三、教学过程一、导入1. 提问：同学们在生活中有哪些现象可以用向量来描述？2. 学生回答，教师总结：向量在物理、工程、计算机等领域都有广泛的应用，如力、速度、加速度等。

二、新课讲解1. 向量的概念（1）向量的定义：向量是既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示方法：向量可以用有向线段表示，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。

（3）向量的性质：向量具有方向性、大小、相加、数乘等性质。

2. 向量的几何表示（1）有向线段表示：向量的几何表示就是用一条有向线段来表示向量，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。

（2）向量坐标表示：在直角坐标系中，向量可以用一对有序实数（坐标）来表示。

3. 向量的运算（1）向量加法：两个向量的和等于它们的终点与起点的连线。

（2）向量减法：两个向量的差等于它们的终点与起点的连线，但方向相反。

（3）向量数乘：一个向量乘以一个实数，相当于向量的大小乘以实数的大小，方向不变。

三、课堂练习1. 根据向量的定义和表示方法，写出下列向量的表示：（1）一个向东的向量，大小为5；（2）一个向北的向量，大小为3；2. 计算下列向量的和与差：（1）向量a = (2, 3)，向量b = (1, -1)；（2）向量a = (4, -2)，向量b = (-3, 5)。

四、总结1. 向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段或坐标表示。

2. 向量具有方向性、大小、相加、数乘等性质。

3. 向量的运算包括加法、减法和数乘。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 思考向量在实际生活中的应用，如力、速度、加速度等。

空间向量与立体几何(整章教案

空间向量与立体几何第一章：空间向量基础1.1 向量的定义与表示了解向量的概念，掌握向量的几何表示和代数表示。

学习向量的长度和方向，掌握向量的模和单位向量。

1.2 向量的运算学习向量的加法、减法和数乘运算。

掌握向量加法和减法的几何意义，理解数乘向量的意义。

1.3 向量的坐标表示学习空间直角坐标系，了解向量的坐标表示方法。

掌握向量坐标的加法和数乘运算，理解向量坐标的几何意义。

第二章：立体几何基础2.1 平面立体几何学习平面的基本性质，掌握平面方程和点到平面的距离公式。

学习直线与平面的位置关系，了解线面平行、线面相交和线面垂直的判定条件。

2.2 空间立体几何学习空间几何体的基本性质，包括点、线、面的位置关系。

掌握空间几何体的体积和表面积计算公式，了解空间几何体的对称性。

第三章：空间向量在立体几何中的应用3.1 空间向量与直线的位置关系学习利用空间向量判断直线与直线、直线与平面的位置关系。

掌握向量夹角的概念，学习利用向量夹角判断直线与直线的夹角。

3.2 空间向量与平面的位置关系学习利用空间向量判断平面与平面的位置关系。

掌握平面法向量的概念，学习利用平面法向量求解平面方程。

3.3 空间向量与空间几何体的位置关系学习利用空间向量判断空间几何体与空间几何体的位置关系。

掌握空间几何体的体积和表面积计算方法，学习利用空间向量求解空间几何体的体积和表面积。

第四章：空间向量的线性运算与立体几何4.1 空间向量的线性组合学习空间向量的线性组合，掌握线性组合的运算规律。

理解线性组合在立体几何中的应用，包括线性组合与空间几何体的关系。

4.2 空间向量的线性相关与线性无关学习空间向量的线性相关和线性无关的概念。

掌握判断空间向量线性相关和线性无关的方法，理解线性相关和线性无关在立体几何中的应用。

4.3 空间向量的基底与坐标表示学习空间向量的基底概念，掌握基底的选取方法。

学习空间向量的坐标表示方法，理解坐标表示在立体几何中的应用。

向量的概念及表示(1)

向量概念练习：1、给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若a ，b 都是单位向量，则a =b；③向量BA 与向量AB 相等．④若非零向量AB与是CD 共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．以上命题中，正确命题序号是_________2、若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a //b ；③|a|＞0；④|b=b，其中正确的是（）3、如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg 和2 kg 的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少？（忽略滑轮半径、绳子的重量）4、下列说法中,A ．共面向量就是向量所在的直线在同一平面内；B ．长度相等的向量叫做相等向量；C ．零向量的长度为零；D ．共线向量的夹角为0°.正确的是（）5、若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB +CD =BC +DA；②AC +BD =BC +AD ；③AC -BD =DC +AB．其中正确的有_______6、如图所示，△ABC 中，AD =23AB，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上中线，交DE 于N ．设AB =a ，AC =b ，用a ，b 分别表示向量AE ，BC ，DE ，DN ，AM ，AN．7、在直角坐标系中，画出下列向量：（1）|a |＝2，a的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°；（2）|a|＝4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°；（3）|a|＝，a 的方向与x 轴正方向的夹角为135°，与y 轴正方向的夹角为135° 8、若|AB |=|AD |且BA =CD，则四边形ABCD 的形状为9、下列关于向量a ，b 的命题中:①若a 2+b 2=0，则a =b =0；②若k ∈R ，k a =0 ，则k=0或a=0；③若a •b =0，则a =0 或b =0；④若a ，b 都是单位向量，则a •b ≤1恒成立, 假命题为________________10、某人从A 点出发向西走了10m ，到达B 点，然后改变方向按西偏北60°走了15m 到达C点，最后又向东走了10米到达D 点．（1）作出向量AB ，BC，CD （用1cm 长的线段代表10m 长）（2）求|DA|．11、在△ABC 中，CA =a ，CB =b，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，用a ，b 表示AP为_______________12、（易错向量的概念）下列命题中，①若a ∥b ，则a ,b的方向相同或相反; ②若a ∥b ， b //c ，则a //c;③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等;④若a =b ， b =c ，则a =c;正确的是（）13、点Q 在x 轴上，若存在过Q 的直线交函数y=2x的图象于A ，B 两点，满足QA＝AB，则称点Q 为“Ω点”，那么下列结论中:①x 轴上仅有有限个点是“Ω点”;②x 轴上所有的点都是“Ω点”;③x 轴上所有的点都不是“Ω点”;④x 轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”,正确的是（）14、已知两点A （4，1），B （7，-3），则与向量AB的单位向量是（）15AC =2CB ，则16、向量a ,b 不共线，若向量a +λb 与b +λa 的方向相反，则λ=（）17、已知M （3，-2），N （-5，-1），且MP =12MN，则P 点的坐标为18、如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若=a ，11A D =b，1A A =c ．则1B M =___________（用向量a ,b ,c表示）19、下面给出四个命题：（1）对于实数m 和向量a ,b 恒有：m （a -b ）=m a -m b；（2）对于实数m ，n 和向量a ，恒有：（m-n ）a =m a -n a ；（3）若m a =m b（m ∈R ，m ≠0），则a =b ；（4）若m a =n a（m ，n ∈R ），则m=n ，其中正确命题的个数是（）。

向量的概念及表示教案(1)

空间向量复习教案设计

平面向量基本定理(教案)

向量的概念及表示

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中职数学教案：向量的概念(全2课时)

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