2.2函数的性质与反函数

第二章 函数

二 函数的性质与反函数

【考点阐述】函数的单调性.奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 【考试要求】

（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． 【考题分类】

（一）选择题（共21题）

1.（安徽卷理9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x

y e =的图象关于直线

y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是（ ）

A ．e -

B ．1

e

-

C ．e

D ．1e

解：由题知()ln ,()ln(),g x x f x x ==-则1)ln(-=-m ，e

m 1

-=选D 。

2.（安徽卷理11）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x

f x

g x e -=，则有（ ）

A ．(2)(3)(0)f f g <<

B ．(0)(3)(2)g f f <<

C ．(2)(0)(3)f g f <<

D ．(0)(2)(3)g f f <<

解： 用x -代换x 得： ()(),x f x g x e ----=即()()x

f x

g x e -+=-，解得：

2

)(,2)(x

x x x e e x g e e x f +-=-=-，而)(x f 单调递增且大于等于0，1)0(-=g ，选D 。

3.（安徽卷文6）函数2

()(1)1(0)f x x x =-+≤的反函数为

A ．1

()11)f

x x -=≥ B ． 1

()11)f

x x -=+≥

C ．1()12)f x x -=≥

D ． 1()12)f x x -=≥

解：由原函数定义域是反函数的值域，1

()0f

x -≤，排除B,D 两个；又原函数x 不能取

1，()f x 不能取1，故反函数定义域不包括1，选C .(直接求解也容易) 4.（北京卷文5）函数2

()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ）

A ．1

()11)f

x x -=>

B ．1

()11)f

x x -=->

C ．1()11)f x x -=≥

D ．1()11)f x x -=≥

【答案】B

【解析】

221(1)1,(1)1,1x y x x y x <⇒=-+∴-=-⇒-=

所以反函数为1

()11)f x x -=->

5.（福建卷理4文4）函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R ),若f (a )=2,则f (-a )的值为 A.3

B.0

C.-1

D.-2

解：3

()1sin f x x x -=+为奇函数，又()2f a =∴()11f a -=

故()11f a --=-即()0f a -=.

6.（湖北卷文6）已知()f x 在R 上是奇函数，且2

(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则

A.-2

B.2

C.-98

D.98

解：由题设2

(7)(3)(1)(1)212f f f f ==-=-=-⨯=- 7.（湖南卷文4）函数)0()(2

≤=x x x f 的反函数是( )

)0()(.1

≥=-x x x f A )0()(.1

≥-=-x x x f

B

)0()(.1

≤--=-x x x f

C )0()(.21

≤-=-x x x f

D

【答案】B

【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),-则其反函数过点(1,1),-验证知只有答案B 满足.

也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。

8.（辽宁卷理12）设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足

3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭

的所有x 之和为（ ）

A ．3-

B ．3

C ．8-

D ．8

答案：C

解析：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足3

()(

)4

x f x f x +=+时，即34

x x x +=

+时，得2

330x x +-=，此时12 3.x x +=-又()f x 是连续的偶函数，∴()()f x f x -=，∴另一种情形是3()()4x f x f x +-=+，即34

x x x +-=

+，得2

530x x ++=，∴34 5.x x +=-∴满足3

()()4x f x f x +=+的所有x 之和为3(5)8.-+-=-

9.（辽宁卷文2）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

答案：C

解析：本小题主要考查函数的奇偶性。(1)2(1),f a =-(1)0(1),f f -== 1.a ∴= 10.（全国Ⅰ卷理6）若函数(1)y f x =-

的图像与函数1y =+的图像关于直线y x =对

称，则()f x =（ ）

A ．21x e -

B ．2x e

C ．21x e +

D ．22x e +

解析：B.

由()

()()

()212121,1,y x x y x e

f x e

f x e --=⇒=-==

11.（全国Ⅰ卷文8）若函数()y f x =

的图象与函数1y =的图象关于直线y x =对称，

则()f x =（ ） A ．22e x -

B ．2e x

C ．21e x +

D ．2+2e x

()2

y 1y 12y 22x 2

y ,x=e =e ,y=e A －－－－解析:本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法。∵－∴改写为：∴答案为，

12.（全国Ⅱ卷理3文4）．函数1

()f x x x

=

-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称

【答案】C 【解析】1

()f x x x

=

-是奇函数，所以图象关于原点对称 【高考考点】函数奇偶性的性质

13.（山东卷理4）设函数f (x )＝｜x +1｜+｜x -a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1

解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，他们的和()1f x x x a =++-关于1x = 对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） 14.（陕西卷理7文7）已知函数3

()2x f x +=，1

()f

x -是()f x 的反函数，若16

mn =（m n ∈+R ，），则1

1()()f m f n --+的值为（ ）

A ．2-

B ．1

C ．4

D ．10

解：31

2()2()log 3x f x f x x +-=⇒=-于是