数列问题的解题策略

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例谈数列不等式的解题策略

解法１（１ａ１＝ｎ＋ｎ１２１ｌａ＋ｌ｛｛＋ａｎ】）
。
谈解题中的常用求解策略，以期能给读者一些有益 ≤ｎ＋ｎ１ａ＋ｎ】；（｛｛￣２０｛｝＋（｛｛２ａ＋口１０．））＜
．
Ｉ１ｎ十ａｌＩ１。１≤ Ｏ
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等（１ｌ，口＋口１）
＋．．．＋
Ｓ＝５４，＝一５４一５２Ｓ５２，
・
一．
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５ ≤ Ｓ５．５ ≤ ５
Ｓ＝ｎ１ａ＋ａ３ … ＋ａ１＋２＋ｌ
１１
１合理联想
用好常规
又ｎ ’ ２ｎ …ａｌｌｎ，３ｌ成等差数列，
。．
在解决数学问题的过程中。常规条件的出现，常
－
使我们联想到常规的解题方法，因而抓常规条件运
用，往往可以促成思维的转化．
・．
．
信心，自信心提高了．
学生Ｃ：希望今后还能上这样的课．４还能作怎样的推广——延伸探究教师：后研究此问题的更一般的问题：课
－
．
．
己知 ”个正数２，２…，和为Ｍ，果他１２，２之如们之中没有一个数大于其余数的两倍么１２那２ …
解题方法与技巧－解碍怯与技巧・解霹方法与技巧・■疆方磕与技巧・■疆方珐与技巧－■厦方法与技巧・解霹方法与技巧・解疆方磕与技巧・・・・・・・
例谈数列不等式的解题策略奏
串
●孙广军（灌云级中２２）江苏高学２０２０

数学解题技巧与解题思路

解题技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。

二、数列题1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。

三、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3、注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。

四、概率问题1、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3、记准均值、方差、标准差公式;4、求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5、注意计数时利用列举、树图等基本方法;6、注意放回抽样，不放回抽样;7、注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8、注意条件概率公式;9、注意平均分组、不完全平均分组问题。

五、圆锥曲线问题1、注意求轨迹方程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法;2、注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等;3、战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。

高职高考数列试题的解题策略

高职高考数列试题的解题策略数列作为高职高考的必考题目，理解和掌握数列的基本概念以及解题方法是很关键的。

本文从数列的基本概念、公式推导、解题策略等方面进行介绍和探讨。

一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是由一列有限或无限个有序数字组成的序列。

序列中每一项称为数列的项，而这些项的下标记作$ a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n},…$ 。

2. 数列的分类：按照数列中项之间递推的方式的不同，数列可以分为等差数列、等比数列、等差数列和等比数列的组合等。

（1）等差数列：如果数列中每一项与它的前一项之差相等，则称该数列为等差数列。

（3）等差数列和等比数列的组合：有些数列既不是等差数列也不是等比数列，而是两者的组合。

二、常见数列的公式推导1. 等差数列等差数列的通项公式为$ {a}_{n}={a}_{1}+(n-1)d $，其中$ a_{1} $为首项，$ d $为公差。

推导过程：$2S_{n}=n[a_{1}+a_{n}]$利用等差数列的通项公式，将$ a_{n} $代入上式得到：整理之后得到等差数列的通项公式：使用等比数列前$ n $项和的公式：$ S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}$其中，当$ |r|<1 $时，若$n\rightarrow \infty $，则$ r^{n}\rightarrow0 $ ，即$ S_{\infty} =\frac{a_{1}}{1-r}$，则等比数列前$ n $项和的公式可一般化为：三、解题策略1. 牢记数列的定义、分类和基本公式，确立解题思路。

2. 确定等差数列或等比数列，并求出首项和公差、公比。

3. 应用数列前$ n $项和和通项公式，求出所需要的信息。

4. 在计算过程中，应注意项数与值之间的对应关系。

例如：$ D=10 $，$ a_{3}=23 $，计算$ a_{1} $和$ a_{5}$。

解：题目中给出的信息已经可以确定这是一个等差数列，根据等差数列的通项公式，得到：所以：。

浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思

浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思高考数列综合问题是近几年高考数学中的一个重要考点，通过解题策略的运用可以帮助考生更好地应对这类题目。

本文将浅谈高考数列综合问题的解题策略，并进行反思和总结。

一、高考数列综合问题的解题策略1. 确定数列的表达式在解决数列综合问题时，首先需要确定数列的表达式，即找出数列的通项公式。

通过观察数列的前几项，寻找数列的规律，并尝试找到递推公式或通项公式。

对于常见的等差数列、等比数列和斐波那契数列，可以直接利用已有的性质和公式进行求解。

而对于一些复杂的数列，可以通过列出递推关系式或使用递归思想进行求解。

2. 应用数列的性质和定理在解决数列综合问题时，可以利用数列的性质和定理来简化问题的求解过程。

例如，对于等差数列，可以应用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。

对于等比数列，可以利用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。

掌握这些数列的性质和定理，能够帮助考生更快地解答题目。

3. 运用数列思想和数学归纳法数列思想和数学归纳法在解决数列综合问题中起着关键作用。

通过观察数列的规律，推测出数列的通项公式，并通过数学归纳法来验证所推测的结论是否成立。

此外，还可以通过数列的特殊构造和等式的变换，运用数学归纳法来解决数列综合问题。

4. 利用图形化表示对于一些复杂的数列综合问题，可以通过图形化表示进行求解。

将数列的每一项用点表示在坐标系中，从而可以观察出数列的规律和特点。

通过图形化表示可以帮助考生更直观地理解问题，并以直观的方式解决问题。

二、解题策略的反思与总结在解题过程中，有时会遇到难题，但通过灵活运用不同的解题策略可以更好地应对。

然而，在实际解题中，我们还需注意以下几点：1. 理解题意，准确运用数列知识在解决高考数列综合问题时，首先要仔细阅读题目，明确问题所给条件和要求，确保理解题意。

其次，要准确运用数列的知识，利用已学过的公式和定理进行求解。

对于不太熟悉的数列类型，要通过多做习题和练习来加深理解，扩大解题思路。

数列中不等问题的解题策略

．｛单调递减．。Ｉａ１【．ｎ｝．．“ － ≥（＞．：
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方法四：缩法放ａ ≤ ａ一ａ＋，’ ＜＋ ≤ ａ一ａ一。（一：ｌ．Ｏ．】ｌ１
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都小于１（）；２探究ａ与的大小，并证明你的结论．
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Ⅱ ｎ去．１＞１，Ⅱ 等．＿ｌ１口．＂・＞．＞ √ Ｖ
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１＞０
学思想方法：函数方程的思想，特殊化（义域是正再定整数）利用函数的有关性质去解决问题更易！，方法三：学归纳法数解：当：ｌ，１ ① 时ｎ＜成立．
（）明：‘：ａ＋，．ｌａ．１证ａ ≤Ⅱ －１．ａ－≤ Ⅱ －：．ｈ
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高职高考数列试题的解题策略

高职高考数列试题的解题策略数列是高职高考数学中的重要内容之一，也是考生们备战高职高考数学的难点之一。

数列作为数学中的一个重要概念，在高职高考试题中经常出现，并且在解题时需要一定的策略和技巧。

下面就针对高职高考数列试题的解题策略进行详细的阐述，希望对广大考生有所帮助。

1.审题：解决数列问题的第一步是仔细审题，理解题意。

在审题的过程中需要弄清楚数列的类型，是等差数列、等比数列还是其他类型的数列；需要找到题目中所给的条件和要求，明确解题的目标是什么。

2.观察性质：在理解题目的基础上，要观察数列的性质。

观察数列的通项公式，根据题目中所给的条件和要求，推测数列的性质，比如首项、公差、公比等。

观察数列的性质有助于找到解题的突破口和思路。

3.列方程：在理解题目和观察数列性质的基础上，要尝试列方程解决问题。

根据数列的性质和题目所给的条件，列出方程式。

这个过程需要考生对数列的概念和相关知识有足够的掌握和理解，能够运用到实际问题中去。

4.应用数学工具：在解决数列问题的过程中，可能需要用到一些数学工具来辅助求解，比如代数公式、数学推理、等差数列、等比数列等的性质。

对于一些复杂的数列问题，有时需要将问题抽象化，运用相关的数学工具进行求解，这就需要考生对数学工具的应用有一定的掌握。

5.检验结果：在利用数学工具求解出结果之后，需要对结果进行检验，看是否符合题目所给的条件和要求。

如果不符合，需要再次审题和检查，找出问题所在，然后进行修正。

数列的解题策略主要围绕着审题、观察数列性质、列方程、应用数学工具和检验结果这几个方面展开。

数列问题的解题过程需要考生对数列的概念和相关知识有一定的掌握，能够熟练地运用到实际问题中去。

同时也需要考生有一定的逻辑思维能力和数学分析能力，能够从题目中寻找突破口，找到解题的方法和思路。

在解决数列问题的过程中，需要耐心和细心，不能大意，一丝不苟地进行思考和分析，才能得到正确的结果。

希望考生们在备战高职高考数学时，能够理解和掌握数列的解题策略，提高数学解题的能力，顺利通过高职高考数学考试。

数列中的放缩法解题策略

数列中的放缩法解题策略1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：；=<<= （2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-； 211111()1211k k k <=---+2k ；11n n n n -<+；212221n n n n +>-； >31n 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦（3）应用基本不等式放缩：222n n n n ++>=+； 4、把握放缩的尺度、精度的控制5、典型问题（一）放缩为可求和型（1）等差数列型1、证明：2)2()1(32212)1(+<+⨯+⨯+⨯<+n n n n n n )(*∈N n(2) 等比数列型1、证明：44371211211212<+++++n )(*∈N n （3）裂项相消型1、证明：2121122<++n)(*∈N n 变式：调整放缩度证明：35121122<++n )(*∈N n 2、证明： 23)12(151311222<-++++n )(*∈N n 变式：调整放缩度证明：45)12(151311222<-++++n )(*∈N n3、证明：45121133<++n)(*∈N n 4、证明：351211211212<-+-+-n )(*∈N n 5、已知121+<n b n ，求证：11221-+<+++n b b b n（4）错位相减法型1、证明：222221212<+++++nn n )(*∈N n（二）放缩为可求积型1、证明：1212124321+<-⨯⨯⨯n n n )(*∈N n 2、证明：1212674523+<-⨯⨯⨯n n n )(*∈N n 综合应用：1、正项数列{}n a 前n 项和为n S ，满足)1(21nn n a a S +=，（1）求n a ，（2）求10021111S S S S +++=的整数部分 2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,20(2)2n n n a a S S n -=+=≥。

数列中比较大小问题的解题策略

数列中比较大小问题的解题策略1.已知数列{na}满足条件：11,2 1.n na t a a+==+（I）判断数列{1na+}是否为等比数列；（Ⅱ）若123121,,nn n nn nt c T c c c ca a+===++++⋅令记，证明：（i）111;nn nca a+=-（ii）n T<1．2.在数列{}na中，1111,1nnnaa aca--==+（c为常数，*,2n N n∈≥），又125,,a a a 成公比不为l的等比数列．（I）求证：{1na}为等差数列，并求c的值；（Ⅱ）设{nb}满足1112,(2,*)3n n nb b a a n n N-+==≥∈，证明：数列{n b}的前n项和224.41nn nSn-<-3．已知数列{}n a ，{}n b 满足：31=a ，当2≥n 时，n a a n n 41=+-；对于任意的正整数n ， ++212b b n n n na b =+-12．设数列{}n b 的前n 项和为n S . （Ⅰ）计算2a 、3a ，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求满足1413<<n S 的正整数n 的集合.解：（Ⅰ）在n a a n n 41=+-中，取2=n ，得821=+a a ，又31=a ，故.52=a同样取3=n ，可得.73=a由n a a n n 41=+-及)1(41+=++n a a n n 两式相减，可得411=--+n n a a ，所以数列{}n a 的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而212=-a a ，故{}n a 是公差为2的等差数列，∴.12+=n a n(注：猜想12+=n a n 而未能证明的扣2分；用数学归纳法证明不扣分.)（Ⅱ）在n n n na b b b =+++-12122 中，令1=n ，得.311==a b由()111211222++-+=++++n n n n n a n b b b b 与11222n n n b b b na -+++=(2)n ≥两式相减，可得34)12()32)(1()1(211+=+-++=-+=++n n n n n na a n b n n n n ，化简，得n n n b 2341+=+. 即当2≥n 时，1214--=n nn b . 经检验31=b 也符合该式，所以{}n b 的通项公式为1214--=n n n b . ∴()1)21(142173-⋅-++⋅+=n n n S .()()n n n n n S )21(14)21(54)21(72132112-+⋅-++⋅+⋅=- . 两式相减，得()n n n n S )21(14])21()21(21[432112--++++=- .利用等比数列求和公式并化简,得127414-+-=n n n S .可见，对+∈∀N n ，14<n S .经计算，13323114,1316271465>-=<-=S S ，注意到数列{}n b 的各项为正，故n S 单调递增，所以满足1413<<n S 的正整数n 的集合为{}.,6N ∈≥n n n 4.已知数列{}n a 满足：1112,2,1,2,3,4,n na a n a +==-=．(1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列； (2)求数列{}n a 的通项公式； (3)令∑=+=ni ii n a a T 11,证明：43->n T n ．(1)证明： 112n na a +=-, 111n a +∴--11n a -=1121na ---11n a -=1n n a a --11n a -=111n n a a -=-数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列.(2)求数列{}n a 的通项公式；解: 由(1)得,11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列,公差为1, 首项为1121=-∴11(1)1n n n a =+-=- 111n n a n n +∴=+= (3)令∑=+=n i ii n a a T 11,证明：43->n T n 121n n a n ++=+,12(2)(1)n n a n n a n ++∴=+211(1)n =-+ 22221111[......]234(1)n T n n ∴=-+++++当2n ≥时, 21111313[......].22334(1)414n T n n n n n n >-++++=-+>-⨯⨯++当1n =时,1213124T =-=31.4>-综上所述:43->n T n5. 数列{n a }满足1a =1且)1(21)11(21≥+++=+n a n n a nn n 。

高中数学中数列教学的难点与对策

高中数学中数列教学的难点与对策数列作为高中数学的重要内容，其教学难点与对策一直是教师关注的焦点。

数列作为一类特殊的函数，其性质和规律需要学生深入理解和掌握。

然而，在实际教学中，数列教学存在一些难点，如概念抽象、解题方法多样、学生理解困难等。

本文将从高中数学数列教学的难点出发，探讨相应的对策，以期提高教学效果。

一、数列教学的难点1.概念抽象数列作为一种特殊的数据序列，其概念较为抽象。

学生需要理解数列的通项公式、前n项和等基本概念，同时还需要掌握数列的分类和性质。

这些概念对于初学者来说较为困难，需要教师通过生动的教学方式帮助学生理解。

2.解题方法多样数列问题往往需要通过灵活运用数列的概念、性质和解题技巧来解决。

解题方法多样，包括分组求和法、倒序相加法、错位相减法等。

学生需要掌握这些解题方法，并在实际应用中灵活运用。

然而，由于学生的基础知识不扎实、解题经验不足等原因，往往难以灵活运用解题方法。

3.学生理解困难数列作为一种特殊的数据序列，其性质和规律需要学生深入理解和掌握。

然而，由于学生的数学基础不扎实、思维能力有限等原因，往往难以理解数列的性质和规律。

同时，数列问题往往涉及多个知识点，学生难以全面掌握，导致解题困难。

二、对策针对以上难点，教师可以从以下几个方面入手，提高数列教学效果。

1.强化基础知识教学教师在教学中应该注重基础知识的教学，帮助学生建立扎实的基础知识体系。

对于数列概念、性质和解题方法等基础知识，教师应该通过生动的教学方式帮助学生理解掌握。

同时，教师应该注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，使学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。

2.注重解题方法的训练教师在教学中应该注重解题方法的训练，使学生能够灵活运用解题方法解决数列问题。

教师应该通过例题讲解、习题训练等方式，使学生掌握数列问题的解题技巧和方法。

同时，教师应该鼓励学生多做题、多思考、多交流，通过实践不断提高解题能力。

3.注重学生思维能力的培养教师在教学中应该注重学生思维能力的培养，使学生能够深入理解数列的性质和规律。

谈谈高考数列题的解题策略

构造数列，其】，≠ ）般等比ｑ
ａ＋＝）ｐ ” ＋
（）归法３数学纳
Ｓ＋＝２月Ｓ＋３
Ｓ＾１＝２＋３一３＋～３ “ Ｓ
Ｓ一３
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Ｓ一３一）２＝３
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谈谈高考数列题的解题策略
侯书红
（南省昆明市云南师范大学五华实验中学云
６５３００３）
【摘要】数列是历年高考的必考题。如何解数列题是高中数学教与学的一个重点与难点。由于高考数列题常考常新，因此
每一３ ’ ３。 ’ ｌ３３３３３』Ｊ３３一ｌＩ ” ３
楚，这样的分组：ａｄ，ｂ，ｃｆ，ｅ与ｃ，ｂ，ａｆｄ，ｅ是一样的，但分组时就把
位。研究方向：教育与心理测量。２００８年７月获理学硕士。中学一级教师，现在云南师范大学五华实验中学任教，仍从事中学数学教学。
，
探求一些常用方法与解题策
略是十分重要的。本文就解２００８年高考真题来谈谈数列题的题型与应对的解题策略。
【关键词】递推数列数学归纳法数列求和。【中图分类号】４ＧＯ［文献标识码ｊＡ［３￣］０９１Ｘ（０８１ｂ１０ —９４２０）２ｆ）一０１００４— １
，＝Ｓ２＋３＝ａｌ＋２＋９二２ａ＋１２：Ｓｌ一３＝ａＩ一３＝ｄ一３

高职高考数列试题的解题策略

高职高考数列试题的解题策略解题策略是针对高职高考数列试题的解题方法和技巧进行总结和归纳，以帮助考生更好地解决相关试题。

一、基本概念和性质的掌握1.掌握等差数列和等比数列的基本定义和通项公式；2.了解等差数列和等比数列的性质和常见数列的特点；3.熟悉常见数列的求和公式。

二、常见题型的解题方法1.等差数列相关的题型：（1）确定数列的通项公式，求指定位置的值；（2）根据已知的两项求公差，或根据已知的一项和公差求其他项；（3）根据数列的前n项和或某几项和求和公式，求指定范围内的和。

3.根据特殊的性质和规律解题：（1）利用递推关系式解题，通过找出每一项与前一项之间的关系来求解；（2）利用数列的对称性质和周期性来进行推导和计算；（3）利用数列的前后项之和与项数之间的关系来解题。

三、注意事项和技巧1.理解数列的递推关系式和通项公式之间的关系，可以对数列进行逆向推导；2.将数列问题转化为方程问题，通过方程的解来求解数列问题；3.注意找出数列的特殊性质和规律，可以简化计算过程；4.遇到复杂问题时，要善于分解和拆解，将问题转化为多个简单问题的组合。

四、练习和实践1.进行充分的练习和实践，通过做大量的数列题目来提高解题能力；2.查找相关的教材和习题集，进行系统的学习和练习；3.学会归纳总结，总结解题方法和技巧，形成自己的解题思路和方法。

总结：高职高考数列试题的解题策略包括对基本概念和性质的掌握，常见题型的解题方法，注意事项和技巧，以及练习和实践。

通过系统的学习和练习，掌握解题方法和技巧，提高解题能力，可以更好地解决数列试题。

要善于总结和归纳解题思路和方法，形成自己的解题策略。

数列中不定方程问题的几种解题策略

数列中不定方程问题的几种解题策略王海东（江苏省丹阳市第五中学，212300）数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位.数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的热点，在近年来的高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜，本文中的例题也都是近年来大市模考题的改编.本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助。

题型一：二元不定方程双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，下面介绍3种常用的方法。

方法1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论求解。

题1 （2014 •浙江卷）已知等差数列a n 的公差d > 0.设a n 的前1 , S2 S3 36. (1)求 d 及 S n ； (2)求 m k (m k € N)am 1 am 2… am k 65--2m k 113 比m 565 13 5 1 65，故 k 1 5 所以 k 4是唯一的，所以可以得到关于m,k 的二元一次方程组求解。

n 项和为S n , a 1 (2)由(1)得 a n 2n 1,S n n 2(n € N)(k 1) 2m 1 2m 2k 1am a m 1 am 2…am k解析（1）略 2所以(2m k 1)(k 1)65，由 m , k € N 知(2m k 1)(k 1)点评本题中将不定方程变形为 2m k 1 k 113,因为分解方式方法2.利用整除性质在二元不定方程中，当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解决. 题2.设数列的通项公式为2n 1，问：是否存在正整数t ，使得 bn2n 1 t成等差数列若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由. 解析：要使得b,,b 2,b m 成等差数列，则2b 2 b, b m 1 2m 1 日仃 c 4 即：m 3—— t 1当t 2时，m 7 ；当t 3时，m 5 ；3占得到占是整数，于是t 1是4的约数，从而估计出可能的所有取值，再逐一检验即可，当然，本题也可以利用m 表示t 来处理.方法3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，再分别求解。

系列讲座之六——非线性递推数列问题的解题策略

一３ｙ一１．
± 掣
，Ｎ求： ∈ ．证
又。１Ｙ一２由归纳法易推得所有的都一，，
２借助于变量代换
（）对任意ＥＮ，ａ１为正整数；（）对任意，ＥＮ，ａｎ一１为完全平方数．２ｚｎ
因一血－ｚ此１１）
例４已知数列｛ｎ）中，一１ｎ一Ｏ１＋ｎ，上（
证明
由
一 — ３ｙ
，，
—
＋
—
ｖ￣／５
一
－
４变形
，
得
４、ＩＦ口＋／＿／二
式．
， ”一１２，，… ，｛求口｝的通项公
２１第６００年期
１４将ｎ＝篮＋２，代入原式
一
，
得
（・＋
）．
一
于，一３＋ａｌ是ｌ（２）血ｋ
—
化简得（６）２一（３，６＋）
即２井一６＋３６３一１（ｂ，井一６
１借助于韦达定理
由原表达式得
≥ 丁．≥ ３ｙ
所以
一
≠ ０由 ① ，知１， ② ，
一＋１— ３于是ｙ，
是整数．
是方程ｚ一３ｙｚ＋：
例１
数列｛满足：。一１口ａ｝口，
＋１— ０的两个不相等的实数根，韦达定理得由
（０５年全国高中数学联赛试题）２０

数列和式不等式的解题策略

策略四、通项特征分析法有些和式不等式的证明，若从已知条件出
当m > 4 且 m
— 十气 —
a 4
为偶数时，土 + 工 . + 二 + “4 “5
1
以m 一 1
1
，1
“5
. 十气 — 十— ) 十 .’
“6
. 1 、
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1
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1
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Zn 一 1+ 2 ” 一 2
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3 ， 1 1 份二，t 一 --一一二十 — ) _ 2 、 2刀一 ‘ Zn 一且
决，但在证 k 到k + 1 时，不少同学有困难，如用 “ 放缩法” 来解决，给人耳目一新，简捷明了.
了
1 ，，了 + 1 久一，二尸一万万< - I n ‘ 了一〕 1 X X
1+ aZ
1 十a 、
1 十a l
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。。 1 < -
. 二，
二下一一一十
1
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1 十a l
1 十a Z
十
二
十 —
< 2. 1+ a。
1
点评 : 这类题目从条件出发，分析通项，将所求和式的各项一项拆成两项 ( 或多项 ) ，使得这个和式的部分项能前后相消，从而得到问题的解决，这也是解决数列求和问题的一种常用
设 B， =

如何应对高考数学中的概率与数列与数学归纳法的综合题目

如何应对高考数学中的概率与数列与数学归纳法的综合题目高考数学中的概率、数列和数学归纳法是常见的题型，也是考生们较为头疼的内容。

这些综合题目要求考生具备综合分析、运算和推理的能力。

本文将针对这些题型，给出应对策略和解题思路，帮助考生提高解题效率与准确性。

一、概率与数列综合题目的解题思路在解决概率与数列综合题目时，我们需要先理解题意，然后运用合适的概率知识和数列性质进行分析。

1.理解题意首先，我们需要读懂题目，并准确理解题目所给的条件和要求。

特别要注意关键词或关键信息，如“概率”、“数列”、“前n项和”、“事件发生次数”等。

2.概率知识的运用在解决概率问题时，我们需要根据题目的要求来计算概率。

常见的概率计算方法包括：排列组合、条件概率、事件的互斥和独立性等。

根据题目的特点，选择合适的概率计算方法，并运用数学公式进行计算。

3.数列性质的应用数列问题一般需要考生根据给定的条件求解数列的通项公式、前n 项和等。

在解题时，我们应用数列的性质和求和公式，列方程并解方程，以推导求解所需的结果。

二、数学归纳法在高考数学中的应用数学归纳法常用于证明或计算某一命题在正整数集合中的成立性。

在解决数学归纳法综合题目时，我们一般按照以下步骤进行：1.基本情况的验证首先，我们需要验证数学命题在最小的情况下是否成立，通常为n=1或n=2的情况。

通过计算或替换，判断命题的成立性。

2.归纳假设的假设与证明接下来，我们假设数学命题在n=k的情况下成立，即成立的前提是n=k-1成立。

对于一些需要递推的问题，我们可以根据归纳假设进行推导和计算。

3.递推步骤的证明最后，通过使用归纳假设，我们可以证明数学命题在n=k+1的情况下成立。

我们可以利用之前的结论进行递推，或根据题目特点进行具体的推导和计算。

三、综合题的解题技巧与注意事项在解答综合题时，考生需要考虑以下技巧和注意事项，以提高解题效率和准确性。

1.合理安排时间综合题通常包含多个小问，考生需要根据每个小问的难度和所占分值，合理安排时间。

高中数学数列解题方法与技巧

高中数学数列解题方法与技巧一、引言在高中数学学习中，数列是一个重要的章节。

数列解题是数学学习中的基础，在考试中也占有比较大比重。

数列解题需要注意以下方面：1.正确理解题意，判断题目要求，2.找准解题方法与策略，3.实际操作，不放过每一道小问题。

二、数列概念1.数列的定义所谓数列，就是按照一定规律排列的一组数，其中每一个数均称为这个数列的项，数列中第一个项的位置称为“第一项”。

数列可以写作：a1,a2,a3,a4,a5,…,an比如：1，3，5，7，9，…，n，其中的5表示数列的第5项，n表示数列的第n项。

2.数列分类数列可分为等差数列、等比数列、递推数列、Fibonacci数列等。

其中，等差数列的相邻两项之间的公差相等，为d；等比数列的相邻两项之间的比值相等，为q；递推数列则是通过前项计算出后项，最后项由第一项通过递推公式推出。

三、数列解题方法1.等差数列（1）判断等差数列一般来说，判断一组数列是否为等差数列，需要寻找其中的通项公式。

可以借助相邻两项之差是否相等的方法来判断是否为等差数列。

比如：5，8，11，14，17，…判断方法如下：8-5=11-8=14-11=33=d，为常数，因此，判断这个数列为等差数列。

（2）求等差数列公式已知等差数列的首项a1与公差d，求通项公式an的方法如下：an=a1+n-1×d其中，n为数列的项数。

此公式可以自己推导得出，需要注意的是，根据首项与公差可推出所有项，若题目信息不足，则需要另外的方法解题。

（3）等差数列求和等差数列求和有两种方法：平均数法和公式法。

平均数法：将首项与尾项之和除以2，再乘以项数n，即为等差数列之和。

Sn=[a1+an]n2公式法：首项加末项n次方乘公差除以2，即为等差数列之和。

Sn=na1+nna22.等比数列（1）判断等比数列判断一组数列是否为等比数列，需要寻找其中的通项公式。

可以借助相邻两项之比是否相等的方法来判断是否为等比数列。

【高考数学解题指导】数列中的最大项或最小项问题的求解策略

数列中的最大项或最小项问题的求解策略在数列、函数、导数以及不等式等知识的交汇处命题，可以很好地考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，已成为高考数列命题的热点，而不等式知识与单调性、最值密切相关，因而考查数列的单调性与最值成了高考一大亮点，本文试对求数列中的最值问题加以探讨.给出数列}{n a 的通项公式)(n f a n =的最大项或最小项，有以下解题策略：策略一利用差值比较法若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.策略二利用商值比较法若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.策略三利用放缩法若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.策略四利用导数法为求出)(n f a n =的最大值或最小值，可以转化为求出辅助函数)1)((≥=x x f y 的导数，进而求出该函数的单调区间，从而可知数列}{n a 的单调性，最后求出数列}{n a 的最大项或最小项.策略五先猜后证通过分析，推测数列}{n a 的某项k a (k ∈N *)最大（或最小），再证明)(k n k n a a a a ≥≤或对于一切n ∈N *都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.一、一题多解，殊途同归，培养学生思维广阔性例1 已知函数x x x f 63)(2+-= ，S n 是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N *）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c •=，且T n 是数列}{n c 的前n 项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解（Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当n =1时，311==S a . 当n >1时，1--=n n n S S a,69)]1(6)1(3[)63(22n•n n n n -=-+---+-=所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为•••n n b a •••c •n b n n n n n n ,)21)(23(6)21)(69(61,1)21(1-=-==-=- ①所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132•n T nn -++-+-+= ②,)21)(23()21)(3()21()1()21(211432•n T n n +-++-++-+= ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .整理得1)21)(12(-+=nn n T ， ④策略一利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12()21)(32[()21)(12()21)(32(11•n n n ••••••••n n ••••••••n n T T n n nn n n n-=+-+=+-+=+-+=-++因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值.211•T =策略二利用商值比较法由④式得0)21)(12(1>+=+nn n T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111•n n n n n n T T nn n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即n n T T <+1. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T / 所以T n 存在最大值211=T .策略三利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为T n 是数列}{n c 的前n 项和，所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T所以T n 存在最大值211=T .策略四利用导数江考查函数)1(1)21)(12()(≥-+=x x x g x的单调性.,]21ln )12(2[)21(221ln)21)(12()21(2)(•x •••••x x g x x x ++=•++=' 因为1≥x ，所以312≥+x ，而021ln <，所以.21ln 321ln )12(•x ≤+ 又21ln 81ln )21ln(21ln323-=<==e，所以221ln )12(-<+x ，所以021ln )12(2<++x .又0)21(>x ，所以0]21ln )12(2[)21(<++x x ，即0)(<'x g ，所以)(x g 在[)∞+••,1上是单调递减函数，所以当x =1时， 21121)12()1()(max =-•+==g x g . 因为)1(1)21)(12()(≥-+=x x x g x，所以1)21)(12()(-+==nn n n g T ，所以n T 存在最大值211=T .策略五先猜后证通过分析，推测数列}{n T 的第一项211=T 最在. 下面证明：*)2(1N ∈≥<n n T T n 且. 方法1 分析法因为1)21)(12(-+=nn n T ，所以只要证明211)21)(12(<-+nn . 即只要证明23)21)(12(<+nn . 只需要证明2423+>•n n. 即只要证明02423>--•n n由二项式定理得2≥n 且*Ν∈n 时，222)1(1)11(22210++=-++=++≥+=n n n n n C C C nnnnn，所以.02)23)(1(225324223242322•n n ••••••••••••n n ••••••••••••n n n n n>--=+-=--++•≥--• 所以02423>--•n n成立. 所以)2(1≥<n T T n 成立.所以n T 存在最大值211=T .方法2 利用数学归纳法（i ）当n =2时，因为1)21)(12(-+=nn n T ，所以12221411)21)(14(T T =<=-+=，不等式成立.（ii ）假设)2(≥=k k n 时不等式成立，即1T T k <.则当1+=k n 时，.1111•c T c T T k k k k ++++<+= 由①式得.0)21)(21()21)](1(23[111•k k c k k k <-=+-=+++ 所以11T T k <+.这就是说，当n =k +1时，不等式也成立.由（i ）（ii ）得，对于一切2≥n 且*N ∈n ，总有1T T n <成立. 所以n T 存在最大值211=T . 评注本题（Ⅱ）的解答给出了求T n 最大值的多种方法，灵活多变，也是求数列最值问题的常规方法.二、尝试探究，选定方案，培养学生思维的深刻性例2 在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立．解（Ⅰ）由nn n n a a 2)2(11λλλ-++=++（∈n N *），0>λ，可得1)2()2(111+-=-+++n n n n n n a a λλλλ，所以})2({nnn a λλ-为等差数列，其公差为1，首项为0，故1)2(-=-n a n nnλλ，所以数列}{n a 的通项公式为n n n n a 2)1(+-=λ.（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由nn n n a 2)1(+-=λ，0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．评注本题（Ⅲ）设计非常精彩. 为证明“存在k ∈N *，使得kk n n a a a a 11++≤对任意 n ∈N *均成立”，可以转化为思考 “存在k ∈N *，使得kk a a 1+是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1的最大项”问题. 本小题若用差值比较法转化为探究nn n n a a a a 112+++-差值与0的大小、用商值比较法转化为探究n n n n a a a a 112+++÷商值与1的大小、用单调性法把通项公式为nn n n n n n n n a a b 2)1(2111+-+==+++λλ的数列}{n b 的单调性问题转化为探究函数xx x x x x x f 2)1(2)(11+-+=++λλ的导数问题以及放缩法解决问题，都颇有难度. 虽然说上述方法都是解决数列最值问题的通性通法，碰壁后若不能及时调整解题策略，就会泥牛入海，不能自拨. 而使用策略五，先敏锐、大胆、果断猜出)2(242121≥+=<+n a a a a n n λ，再用分析法以及重要不等式证出这个结论，方法非常奏效. 命题高明之处就在于不是直接抛出了)2(242121≥+=<+n a a a a n n λ这个结论，让考生去证明；而是让考生先自己探究出结论再论证，富有挑战性. 这也是现在高考命题的一大亮点，要求学生学会先猜后证，能够很好地考查学生思维的深刻性.三、辨析模式，分类讨论，培养学生思维严谨性例3 在数列}{n a 中，nn k a •a k•a n n +-+=+=+2111,1（n *∈N ），其中k 是常数，且3625≤≤k .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n a 的最小项. 解（Ⅰ）因为nn k a a n n +-+=+211（n *∈N ），所以)1(11+-=-+n n k a a n n ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+11111n n k a a n n .当2≥n 时，••••k a •a •k a a ,,31211,)211(12312 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---=- ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--n n k a a n n 11111.以上n -1个式子相加得)11(11n k n a a n ---=-，即)11(11n k n a a n ---+=.又k a +=11，所以)11(11n k n k a n ---++=，即),3,2( ••••n nkn a n =+=.当n =1时，上式也成立.所以数列}{n a 的通项公式为),3,2,1( ••••••n nkn a n ++=. （Ⅱ）为考查数列}{n a 的单调性，注意到),3,2,1( ••••••n nkn a n =+=，可设函数)1)()(≥+=x x k x x f ，则21)(x kx f -='，即22)(x k x x f -='. 可知[)k ••x ,1∈时，0)(<'x f ；k x =时，0)(='x f ；),(∞+∈••k x 时，0)(>'x f .所以函数xkx x f +=)(在[1，k ]上是减函数；在[)∞+••k ,上是增函数.因为3625≤≤k ，所以65≤≤k .（1）当5=k ，即k =25时，<<<>>>>76554321,a a •a •a a a a a .所以数列}{n a 的最小项为1052555=+=a .（2）当6=k ，即k =36时，<<>>>>>76654321,a •a •a a a a a a . 所以数列}{n a 的最小项为1263666=+=a . （3）当a 5=a 6，即6655kk +=+，即k =30时， <<=>>>>76554321,a a •a •a a a a a . 所以数列}{n a 的最小项为11630665=+==a a . （4）当65a a <且5>k 时，6655kk +<+且25>k ，则3025<<k ， <<>>>>>76554321,a a •a •a a a a a . 所以数列}{n a 的最小项为555ka +=. （5）当665<>k a a 且时，6655kk +>+且k <36，则3630<<k ， <<>>>>>76654321,a •a •a a a a a a .所以数列}{n a 的最小项为666k a +=. 综上所述：当k =25时，数列}{n a 的最小项为a 5=10；当3025<<k 时，数列}{n a 的最小项为555ka +=；当k =30时，数列}{n a 的最小项为a 5=a 6=11；当30<k <36时，数列}{n a 的最小项为666ka +=；当k =36时，数列}{n a 的最小项为a 6=12.评注由（Ⅰ）可知，)3,2,1(••••n n kn a n =+=，则（Ⅱ）中求数列}{n a 的最小项问题，易由均值不等式，得k nkn n k n a n 22=•≥+=，从而误认为k 2就是最小的项. 实际上这个符号是在nkn =，即k n =时才能取得. 但根据问题的实际背景，还应要求此时 k n =∈N *，而由条件3625≤≤k 是不能推出一定有k ∈N *的. 解决此问题可以转化为“对勾”函数)3625()(≤≤+=k x kx x f 在[)∞+••,1上的单调性问题. 易求得当k x =时，函数x k x x f +=)(能取得最小值. 但当k n =时，),3,2,1( ••••••n nkn a n =+=未必能取得最小值. 应根据k 是否为自然数，并结合单调性进行分类讨论. 这也是本题难点所在.四、变换命题，意在化归，培养学生思维灵活性例4 在数列}{n a 中，)111(,111+-==+n •a •a n a n (n ∈N *)，（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对于一切n >1的自然数，不等式32)1log(121221+->+++++a a a a n n n 恒成立，试求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）因为•n a n )111(1+-=+，a n (n ∈N *)，a =1，所以a n >0. 所以11+=+n n a a n n . 所以11112211121121a n a n n n n a a a a a a a a n n n n n =•--•-=••=--- . 而a 1=1，所以na n 1=. （Ⅱ）设n n n n a a ab 221+++=++ (n ∈N *)，m 由（Ⅰ）知n a n 1=，所以n n n b n 212111+++++= ，所以 2211212131211+++++++++=+n n n n n b n ，所以 0)22)(12(1111211211>++=+-+++=-+n n n n n b b n n . 所以数列}{n b 是单调递增数列.所以当2≥n 时，b n 的最小值为1272211212=+++=b . 所以要使对于一切n >1的自然数，不等式32)1(log 121221+->+++++a a a a a n n n 恒成立，则需且只需)1(log 121127->a a 32+，则1)1(log -<-a a . 所以a a 110<-<，解之得2511+<<a . 故所求实数a 的取值范围为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<2511a a . 评注本题（Ⅱ）中的恒成立问题的解决关键，是灵活化归为求数列}{n b 自第2项起的各项中最小项问题.体会求数列中的最大项或最小项，有些题目有多种途径能够解决（如例1），一题多解可以开阔思路；有些题目，不是几种方案都能奏效，要有一个尝试判断的思维过程，要能够迅速调整策略（如例2）；有些题目，借助辅助函数的单调性加以解决，但要注意数列的自变量只有取正整数时才有意义（如例3）；有些与恒成立有关的参数取值范围问题，可以转化为求数列中的最大项或最小项问题加以处理（如例4）. 因为数列本身就是一种特殊函数，所以求数列中的最大项或最小项问题，与函数求最大值或最小值的方法有许多相通之外；但也要注意作为特殊函数数列，它的定义域具有鲜明的个性，是正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}），这就使得数列的图象是一群孤立的点，求数列中的最大项或最小项问题时，不要忽视这一点.。

等差数列解题技巧

等差数列解题技巧
等差数列是数学中常见且重要的数列类型。

解决等差数列问题
可以使用一些简单的技巧和策略，使求解过程更加容易和快捷。

下
面是一些解题技巧的总结：
1. 确定公式：对于给定的等差数列，首先要确定其通项公式。

通项公式可以帮助我们找到数列中任意一项的值，从而解决相关问题。

2. 确定已知条件：在解题过程中，我们需要明确已知条件。

已
知条件可能是数列的首项和公差，也可能是数列的某几项的值。

根
据已知条件，我们可以进行适当的推导和计算。

3. 计算项数：有时候，题目给出的条件中并没有显示给出数列
的项数。

在这种情况下，我们需要根据已知条件计算出数列的项数，通常使用算术平均数和最后一项与首项之差除以公差的方法来计算。

4. 求和公式：在一些问题中，我们需要求等差数列的和。

对于等差数列，有一个通用的求和公式：和 = (首项 + 末项) * 项数 / 2。

通过使用求和公式，我们可以快速计算出等差数列的和。

5. 利用性质：等差数列具有一些特定的性质，例如相邻两项之间的公差相等，任意三项之间的差也是等差数列。

在解题过程中，可以利用这些性质进行推导和简化。

以上是解决等差数列问题的一些基本技巧和策略。

通过熟练掌握这些技巧，我们可以更有效地解决等差数列相关的问题。

希望这份文档对你解决等差数列问题有所帮助！。

高考中常见的递推数列问题及解题策略

高考中常见的递推数列问题及解题策略数列是高考数学中考查的重点,在高考解答题中,求数列的通项公式,是考查的一个热点。

然而,已知条件中,往往是以递推数列的形式给出,通过递推数列形式,考查学生方程思想、化归思想,观察能力、整理能力及待定系数法等思想方法。

那么,高考中的常见递推数列的模型有哪些呢?相应的模型又有怎样的解决策略呢?现归纳总结如下:一、形如αn+1=αn+f(n)(n∈n*)型这类问题实质上是将等差数列的递推模型(即αn+1=αn+d(n∈n*)一般化。

解决这类问题的一般策略是:累加法,即αn=α1+(α2-α1)+(α3-α2)+…+(αn-αn-1)=α1+[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1) ](其中,α1已知,f(n)可求和)例1、(2009年全国卷ⅰ理)在数列 {αn｝中α1=1,。

设,求数列{bn｝的通项公式。

分析:由已知有利用累加法即可求出数列{bn｝的通项公式: (n∈n*)。

二、形如αn+1=f(n)·αn(n∈n*)型这类问题实质上是将等比数列的递推模型(即αn+1=q·αn(n∈n*)一般化。

解决问题的一般策略是:累乘法,即(其中α1已知)例2、(2004年全国卷ⅰ理)已知数列{αn｝满足α1=1,αn=α1+2α2+3α3+…+(n-1)αn-1(n≥2),则{αn｝的通项。

解析:∵αn=α1+2α2+3α3+…+(n-1)αn-1(n≥2)①∴αn+1=α1+2α2+3α3+…+nαn(n≥2)②②-①得:αn+1-αn=nαn,即三、形如αn+1=p·αn+q(p,q为常数,且p≠0,1,q≠0,n∈n*)型这类问题实质上是等差、等比数列递推公式的综合与一般化。

解决问题的策略是:待定系数法,即αn+1=pαn+q一定可化为:αn+1-t=p(αn-t)(t为参数,可用待定系数法求得),从而数列{αn-t｝是首项为α1-t,公比为p的等比数列,然后利用等比数列的通项公式求出数列{αn｝的通项公式。