工程声学基础

整个波形向前移动了一段距离，其值为
Δx
=
ω
k
Δt
=
c0Δt
此式表征了沿x方向行进的波，为正向波。
2. 平面声波的波阵面是平面。
在某一瞬时 t0 ，位向 ϕ0 相同的各媒质质点的 轨迹为波阵面。
p ( x, t ) = Ae j (ωt −kx )
ω t − kx = ϕ 0
解得
x = (ωt −ϕ0 ) k = 常数
声源在每秒内振动的次数称为声音的频 率，通常用“f”表示，其单位为赫兹(Hz)， 完成一次振动的时间称为周期，用“T”表 示。
声源质点振动的速度不同，所产生的声音 的频率也不一样。振动速度越快，声音的 频率越高，反之，就低。
根据声音频率的不同，可以将声音分为三 个区域：次声，可听声和超声。
压力、密度分别为
V0
,
P0
,
ρ
。
0

由于声扰动使该体积元得到的动能为 ΔEk
=
1 2
(ρ0V0
)v2
此外，由于声扰动，该体积元压力，体积分别变
为 P0 + p,V ，使其具有的位能为
p
∫ ΔEp = − 0 pdV
式中负号表示压力和体积元的变化相反。
通过推导可得
∫ ΔE p
=
V0
ρ0c02
p 0
pdp
=
V0
2ρ0c02
p2
体积元里总的声能量为动能与位能的和，即
ΔE p
= ΔEk
+ ΔEp
= V0 2
ρ0 (v2
+
1
ρ02c02
p2)
单位体积的声能量称为声能密度，即
ε
=
ΔE V0
=
1 2
ρ0
(v
2
+
1
ρ02c02
p2)
上式是适用于各种类型声波的普通表达式.
2.声功率
声波的传播过程实际上是声能量的传播过程，声源 在单位时间内辐射出的总声能量称为声功率。
数值相同，且为一实数。说明在平面声场中各位
置上均无能量的贮存，前一位置的能量可以完全
传播到后一位置上去。
ρ0c0称为媒质的特性阻抗，其单位为瑞利(Ns )m3
媒质的特性阻抗相匹配。
1.5 声波的能量、声强和声功率
1.声波的能量
在声场中取一足够小的体积元，其原始的体积、
+
∂2 p ∂z 2
=
1 c02
∂2 p ∂t 2
如各方向辐射相等，一维球坐标的声学波动方程为
∂2 p + 2 ∂p = 1 ∂2 p ∂r 2 r ∂r c02 ∂t 2
以上波动方程都是在忽略了二阶以上微量得到 的，故为线性波动方程。当声压级很高时，声压和 质点速度的幅值相对于大气压力和声速来说，已不 能忽略不计，在这种情况下，线性化条件不能成立。 但是，在工程领域中，线性化条件时满足的。
听阈声压： 2×10−5 Pa 痛阈声压： 20Pa
1.3 声学波动方程
声压随空间和时间变化的函数关系，称为声学 波动方程。
声波动作是一种宏观的物理现象，必然要满足 以下三个基本物理定律：
牛顿第二定律 质量守恒定律 热力学定律 运用以上定律，可以分别推导出媒质的运动方
次声是指低于人们听觉范围的声波，即频 率低于20Hz。
对于次声，过去认为人耳听不到就不考虑其影响，但近来发现 次声在传播过程中衰减很小，即使远离声源也深受其害。当次声的强 度足够大，如在120分贝以上时，能使入平衡失调，目眩作呕，并产
生恐慌等。人体还能直接吸收次声而形成振动的感觉。
可听声是人耳可以听到的声音，频率为 20Hz到20000Hz。
时声压 pt。
人耳听到的声音不是瞬时声压值作用的结果，而 是一个有效声压值。
有效声压值是一段时间内瞬时声压值的均方根值
∫ p =
1 T
T 0
pt2dt
式中 T为周期的整数倍或长到不影响计算结果的
程度。
对于正余弦声波，有效声压 p = pm 2
式中 pm 为声压幅值。
声压单位： 1N m 2 = 10 μbar = 1 pa
将声压方程和速度方程代入声阻抗率方程
p( x, t ) = Ae j (ωt −kx )
v( x, t ) = v Ae j(ωt −kx)
得平面前进声波的声阻抗率为
Zs
=
p v
Zs
=
p v
=
ρ0c0
类似得平面反射声波的声阻抗率为
Zs
=
p v
=
− ρ 0 c0
由此可见，在平面声场中，各位置声阻抗率的
程、连续性方程和物态方程
运动方程 连续性方程 物态方程
ρ0
∂v ∂t
=
−
∂p ∂x
∂ρ '
∂t
=
−ρ0
∂v ∂x
p = c02ρ '
由上述三个方程可得一维线性声学波动方程为
∂2 p ∂x 2
=
1 c02
∂2 p ∂t 2
同理可得三维线性声学波动方程为
∂2 p ∂x 2
+
∂2 p ∂y 2
1.4 平面声波的基本性质
波动方程的解
设一维平面声波波动方程 p = p ( x)e jωt
∂2 p = 1 ∂2 p ∂x 2 c02 ∂t 2
的解为
其中，ω 为声源简谐振动的圆频率
带回波动方程得
式中 k = ω c0
d
2 p(x) dx 2
+
k
2
p(
x)
=
0
称为波数。
解上述常微分方程，可得复数解为
超声是频率超过人耳听觉频率的上限的声 音。一般频率高于20000Hz
人耳并不是对所有额率的振动都能感受到的。一般说来，人耳只 能听到频率为20—20000Hz的声音，通常把这一频率范围的声音叫 音频声。低于20Hz的声音叫次声，高于20000Hz的声音叫超声。次 声和超声入耳都不能听到，但有一些动物却能听到，例如老鼠能听到 次声，蝙蝠能感受到超声。
同时，平面声波传播时波阵面不会扩大，因 而能量不会随距离的增加而分散。
5. 声阻抗率和媒质的特性阻抗
声阻抗率：媒质某一点的声压与质点速度的比值
Zs
=
p v
声阻抗率一般时复数，实部称为声阻率，虚部称
为声抗率。
实数部分反映了能量的损耗，但是，它代表的不 是能量转化为热，而是代表着能量从一处向另一 处的转移，即“传递耗能”。
上述变化过程可以用微元体内压力、密度、温度 及质点速度等的增量来描述。
无声扰动时，媒质中的压强 P0 为静压强；受声扰 动后媒质的压强为P ，有声扰动时，媒介中的压 强与静压强的差值称为声压：
p = P − P0 声传播过程中： 同一时刻，不同微元体积内压力都不同； 对于同一微元，微元体内压力又随时间而变化；
这种声波在传播过程中，等相位面是平面，称为平 面波。平面声场任何位置处，声压和质点速度均是 同相位的。
3. 声波以速度c0向外传播，质点在平衡位置附近
来回振动。
声波以速度c0向外传播，但是并不意味着媒质质
点也以该速度传至远方。
由 v ( x, t ) = v A e j (ωt − kx ) 可得，质点位移为
声波传到
x
=
x0
+
Δx
=
x0
+
c0t
=
x0
+
ω
k
Δt
处，代入声
压方程可得
p(x0 , t0 )
=
p e j(ωt0 −kx0 ) A
p(x0 + Δx,t0 + Δt)
= p e = p e j[ω
(t0
+
Δt
)−
k
(
x0
+
ω k
Δt
)]
A
j ( ω t 0 − kx 0 ) A
由此可知，当 t = t0 + Δt 时，位于 x = x0 + Δx 处的声 压等于当 t = t0 时位于x = x0时的声压，这表明，
p(x, t) = Ae j(ωt−kx)
当 t＝0 ，x＝0 时，在媒质中产生的声压为 pA = A
于是声压场中的声压为
p( x, t )
=
p e j(ωt−kx) A
代入运动方程
ρ0
∂v ∂t
=
−
∂p ∂x
中，可得
v(x, t) = vAe j(ωt−kx) 式中
vA
=
pA
ρ0c0
平面声场的特性
p(x) = Ae− jkx + Be jkx
式中，A，B 为常数，由边界条件确定。
由上式及 p = p(x)e jωt 可得
p ( x , t ) = Ae j (ωt − kx ) + Be j (ωt + kx )
式中第一项表示沿正x方向行进的波，第二项 表示沿负x方向行进的波。
当声波传播途径上没有反射体时，没有反 射波的出现，于是 B＝0 ，上式简化为
所以声压是空间和时间的函数：
p = p(x, y, z,t)
同样用声扰动引起的密度增量也是空间和时间的 函数：
ρ ' = ρ − ρ0 = ρ '(x, y, z,t)
由于声压的测量比较容易实现，并且通过声压可 以求得质点速度等物理量，所以采用声压来描述 声波的性质。