二次函数y=ax2+bx+c的配方法

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解二次函数的方法

解二次函数的方法解二次函数的方法有以下几种：1. 因式分解法：对于形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a≠0时，可以尝试以因式分解的方式将其拆解成两个一次函数的乘积形式。

具体步骤如下：- 将二次项ax^2分解成两个一次函数的乘积形式，即找到两个数m和n，使得：m*n = a 且m + n = b；- 根据上述分解结果，将二次函数y = ax^2 + bx + c写成因式乘积形式，即y = (mx + p)(nx + q)；- 求解得到m、n、p、q的值，得到最终的因式分解结果。

2. 完全平方公式法：通过完全平方公式，可以将二次函数表示成一个平方项加上一个常数的形式。

具体步骤如下：- 将二次函数y = ax^2 + bx + c变形成y = a(x-h)^2 + k的形式；- 根据变形后的形式可得，h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)；- 根据上述求得的h和k的值，将二次函数写成完全平方的形式。

3. 配方法：对于一般形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a≠0时，可以通过配方法来解。

具体步骤如下：- 首先将二次函数的二次项系数a提取出来，并将方程变形为y = a(x^2 + (b/a)x) + c；- 进一步变形为y = a(x^2 + (b/a)x + b^2/(4a^2)) + c - b^2/(4a)；- 再次变形为y = a(x + b/(2a))^2 + (4ac - b^2)/(4a)；- 根据上述变形，可以将二次函数表示为(x + b/(2a))^2的形式，并求出平移向量及其他信息。

4. 求根公式法：对于一般形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，可以通过求根公式来解。

求根公式是利用一元二次方程的求根公式，得到二次函数的根的表达式。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a) ；根据上述公式，可以求得二次函数的根的值。

二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

◆本节课内容一、二次函数y=ax2+bx+c1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。

它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。

方法一：五点法先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。

方法二：平移法利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；（2）作出二次函数y=ax2的图像；（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数y=ax2+bx+c的图像。

3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。

三、二次函数解析式的求法求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。

由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。

◆课堂练习题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。

题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。

设t=a+b+1，则t 的取值范围是（）A、0＜t＜1B、0＜t＜2C、1＜t＜2D、－1＜t＜1题型三、二次函数图像平移规律的直接应用3、抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到抛物线y=－2x2，平移的方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移3个单位B、向左平移1个单位，再向上平移3个单位C、向右平移1个单位，再向下平移3个单位D、向右平移1个单位，再向上平移3个单位题型四、根据抛物线的平移求字母的值4、已知抛物线y=x2+4x+1向上平移m（m＞0）个单位得到的新抛物线过点（1,8），求m的值1题型五、利用二次函数y=ax2+bx+c的图像判断各项系数的符号5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么abc，2a+b，a+b+c这3个代数式中，值为正数的有（ c ）A、3个B、2个C、1个D、0个题型六、利用二次函数的性质比较函数值得大小6、若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－5的图像上的三点，则y1，y 2，y3的大小关系是（）题型七、利用二次函数的增减性求字母的取值范围7、已知二次函数y=x2-（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，求m的取值范围。

用几何画板探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

用几何画板探究二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质资料编号:202211051045在探究二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质时,我们可以利用配方法把一般式化为顶点式进行探究,配方过程如下:c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=222222244 a b ac a b x a 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,其图象的对称轴为直线a b x 2=,顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,22.当a b x 2=时,函数取得最值,最值为a b ac y 442-=:当0>a 时,a b ac y 442min -=;当0<a 时,ab ac y 442max -=.虽然我们可以用学习顶点式的成果来研究一般式,但我们还不能对一般式有一个全面的了解和掌握,如b a ,的符号与对称轴的位置关系、抛物线与y 轴的交点与c 的关系以及抛物线与x 轴的相交情况等.下面,我们通过制作几何画板课件,设置c b a ,,三个参数,来探究一下二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质.几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在x 轴上任意作出一点A ,选中点A 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出x 轴的垂线.单击“点工具”,在x 轴上方的垂线上任取一点B ,在x 轴下方的垂线上任取一点C .选中点B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段BC .选中垂线BC 并隐藏.单击“点工具”,在线段BC 上任取一点,标签设为a .选中点a ,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点a 的纵坐标.选中点a 纵坐标的度量值,右单击,选择“度量值的标签”,在“标签”中输入a .如图1所示.单击确定.2.用同样的方法制作参数c b ,.依次单击“绘图”、“隐藏网格”,如图2所示.3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“a的值”、“*”、“x”、“∧”、“2”、“+”、“b的值”、“*”、“x”、“+”、“c的值”,如图3所示.单击确定,作出函数()c+=2的图象.如图4所示.f+bxaxx4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数解析式,右单击,选中“函数的标签”,在“标签”中输入“y”,如图5所示.单击“确定”.5.单击“点工具”,在抛物线上任取一点P,选中点P和x轴,依次单击“构造”、“平行线”,交抛物线于另一点Q.双击点P,选中点Q,依次单击“变换”、“缩放”,设置“固定比”为“1/2”,如图6所示.单击“确定”,作出线段PQ的中点'Q.6.选中直线PQ、点P、点Q并隐藏,选中点'Q和x轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为红色.选中点'Q并隐藏.如图7所示.7.单击抛物线与y轴的交点处,得到点M.选中点M,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点M的纵坐标.如图8所示.8.选中点a,修改点的颜色为浅蓝色;选中点b,修改点的颜色为粉红色;选中点c,修改点的颜色为浅绿色.如图8所示.经此一步,完成作图.课件探索对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,课件设置了三个参数c b a ,,,通过拖动点c b a ,,,使这三个参数可以在一定范围内变化,以观察函数图象的变化与这三个参数之间的关系.探究参数a 对函数图象的影响（1）拖动点a 在线段AB 上移动,此时0>a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越小,函数图象的开口越_________;（2）拖动点a 在线段AC 上移动,此时0<a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越大,函数图象的开口越_________.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,函数图象开口_________,当0<a 时,函数图象开口_________,并且a 越小,函数图象的开口越_________,a 越大,函数图象的开口越_________.探究参数b a ,对函数图象的影响在由二次函数的一般式化为顶点式的过程中,我们得到函数图象的对称轴为直线ab x 2-=,这说明抛物线的对称轴与b a ,有着直接的关系,同时参数b a ,的改变也必将影响抛物线的变化.我们来实际操作一下.（3）把点a 移动到线段AB 上,此时0>a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现:当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧.（4）把点a 移动到线段AC 上,此时0<a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现: 当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0,0>>b a 或0,0<<b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧;当0,0<>b a 或0,0><b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧.特别地,当0=b 时,函数图象的对称轴是_________.由此,我们可以根据b a ,的符号确定抛物线对称轴与y 轴的相对位置关系,也可以根据抛物线的对称轴与y 轴的相对位置关系,确定b a ,的符号.实际上,当b a ,同号时,02<-=a b x ,抛物线的对称轴位于y 轴的左侧;当b a ,异号时,02>-=ab x 抛物线的对称轴位于y 轴的右侧.如此,我们探究参数b a ,对二次函数图象影响的过程,经历了由观察到推理,由感性认识到理性认识的过程.探究参数c 对函数图象的影响（5）拖动点c 在线段HI 上移动,观察函数图象的变化,不难发现,函数图象与y 轴的交点的纵坐标,等于_________的值.当0>c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交;当0=c 时,函数图象经过_________;当0<c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交.因此,参数c 的值,决定了函数图象与y 轴的相交情况.实际上,对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当函数图象与y 轴相交时,令0=x ,则=y _________,所以函数图象与y 轴的交点为_________.二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质的应用例1. 用配方法将二次函数6422++-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,则k h a ++的值为【】（A ）5 （B ）7 （C ）1- （D ）2-解析 ∵()()81261122642222+--=+-+--=++-=x x x x x y ∴8,1,2==-=k h a ∴7812=++-=++k h a ∴选择答案【 B 】.例2. 关于抛物线122+-=x x y ,下列说法错误的是【】（A ）开口向上（B ）顶点在x 轴上（C ）对称轴是直线1=x（D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小解析 ()22112-=+-=x x x y .对于（A ）,01>=a ,抛物线开口向上.故（A ）正确;对于（B ）,抛物线顶点坐标为()0,1,在x 轴上.故（B ）正确;对于（C ）,抛物线的对称轴为直线1=x .故（C ）正确;对于（D ）,当1>x 时,y 随x 的增大而增大.故（D ）错误.∴选择答案【 D 】.例3. 若二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a _________。

二次函数y=ax^2+bx+c的配方法最值(成都市东湖中学九上数学)

2
1 a 1 0 有最小值为 4
2
y 2x2 8x 3
2
2 配方得 y 2 x 8 x 3 2 x 2 5
a 2 0 有最大值为5
例.求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴，并画出草图：
①y=2x2-5x+3
请画出草图:
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3 时，y随x的增大而减小。
例7 已知二次函数 2 y m 1 x 2mx 3m 2 m 1 的最大值是0，求此函数的解析式．
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．
m 1 0， ① 2 4 m 1 3m 2 2m 0 4 m 1 ②
求函数解配方：
y
1 2 x 2x 1 2
的最大值
y
1 2 x 2x 1 2 1 x 2 4 x 22 22 1 2
1 1 2 x 2 4 1 2 2

1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7
向上
直线x=－3 直线x=1
（－3，5）（1，－2）（ 3， 7 ）
向下
向上
直线x=3 直线x=2
y = -5(2-x)2 - 6
向下
（2，－6）
在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）

二次函数的配方法

二次函数的配方法二次函数也被称为二次方程，是一个常见的函数类型，在数学中有重要的应用。

二次函数的通用形式可以表示为y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b和c是实数常数，a不等于零。

配方法是一种用于求解二次方程的工具，它可以将一个二次方程转化成一个可以因式分解的形式。

通过配方法，我们可以找到二次方程的根。

下面将详细介绍二次函数的配方法。

步骤一：确定二次项系数a和常数项c在配方法中，我们需要确定二次项系数a和常数项c的值。

在已知二次函数的形式y = ax^2 + bx + c时，a和c的值可以直接读取出来。

例如，对于二次函数y=2x^2+3x+1，其中a=2，c=1步骤二：计算配方项配方法的关键在于计算配方项，配方项用于将二次项系数a转化成一个完全平方的形式。

配方项可以通过以下公式计算得到：配方项=(一次项系数的一半)^2一次项系数是指二次项系数b的一半。

例如，如果b=3，则一次项系数为1.5例如，在二次函数y=2x^2+3x+1中，一次项系数为1.5，那么配方项为1.5^2=2.25步骤三：将配方项加入二次函数将计算得到的配方项加入二次函数中，形成一个新的表达式。

例如，在二次函数y=2x^2+3x+1中，配方项为2.25、将其加入二次函数得到新的表达式y=2x^2+3x+2.25步骤四：将新的二次函数转化成完全平方形式通过将新的二次函数转化成一个完全平方的形式，即(x+p)^2，其中p是一个实数常数。

为了将新的二次函数转化成完全平方形式，我们可以以配方项为线索。

将配方项开平方，得到一个实数。

例如，在新的二次函数y=2x^2+3x+2.25中，配方项为2.25、将它开平方得到1.5步骤五：完成配方法将新的二次函数转化成完全平方形式后，配方项的系数前面应该是1、所以我们需要将二次函数除以a的值，这将产生一个常数p。

例如，在新的二次函数y=2x^2+3x+2.25中，a的值为2、将二次函数除以2，得到y=(x+1.5)^2于是，我们成功地将二次函数转化成一个完全平方的形式。

二次函数的解的公式

二次函数的解的公式二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

解二次函数的关键就是求出它的根，即满足方程y=ax^2+bx+c=0的x 值。

解二次函数的公式又称为求根公式，它的一般形式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)这个公式被称为二次函数的解的公式，其中±表示两种可能的根。

配方法的基本思想是将二次函数写成一个完全平方的形式，即将x^2项与x项的系数配对，使它们相加或相减时得到一个平方。

如果可以将二次函数写成完全平方的形式，我们就可以很容易地求得它的根。

首先，将二次函数y=ax^2+bx+c=0进行配方，我们需要找到一个数k，使得：ax^2+bx+c=a(x^2+((b/a)x+c/a))=a((x+(b/2a))^2-(b^2/4a^2)+c/a)接下来，我们可以将这个完全平方形式化简为：a((x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a^2)现在，我们看到在这个完全平方中，有一个常数项(4ac-b^2)/4a2 ，它会影响到平方的结果。

如果这个常数项为0，则可以很容易地将这个二次函数写成完全平方的形式。

但是，在一般情况下，这个常数项不为0，所以我们需要进行后续的推导。

现在，我们希望要求出的根就是在完全平方形式中的平方项消失时的x值。

所以有：(x+(b/2a))^2=-(4ac-b^2)/4a^2现在我们对上式两侧开方，得到：x+(b/2a)=±√(-(4ac-b^2))/2a接下来，我们将b/2a移项，并整理得到最终的解的公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)这就是解二次函数的公式。

通过这个公式，我们可以很方便地计算二次函数的根。

在实际问题中，我们可以利用这个公式来解决一系列与二次函数相关的问题，比如求极值、求范围等。

同时，我们也可以通过解的公式来判断二次函数的根的情况，例如当b^2-4ac>0时，二次函数有两个不同的实根；当b^2-4ac=0时，二次函数有一个重根；当b^2-4ac<0时，二次函数没有实根。

二次函数复习总结归纳

y xO二次函数复习归纳（培优）1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0a ＜0图象开口对称轴顶点坐标最值当x ＝时，y 有最值当x ＝时，y 有最值增减性在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而在对称轴右侧y 随x 的增大而y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中h ＝， k＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系：； 4.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.求抛物线的顶点、对称轴的方法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（3）交点式：已知图像与x 轴交点的横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=（4）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、知识要点2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()aa acb a ca b x x x xx xx x AB ∆=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=4442221221221215.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小：a >0，开口向上；a <0，开口向下；α越大，开口越小（2）b 和a 决定抛物线对称轴（左同右异）①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 决定抛物线与y 轴交点的位置.c ＞0时，与y 轴正半轴相交；c ＜0时，与y 轴负半轴相交。

求二次函数解析式的方法

求二次函数解析式的方法
一、利用顶点坐标求解析式。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。

因此，我们可以通过已知的顶点坐标来求解析式。

例如，如果已知
顶点坐标为(2, 3)，则可以列出方程组：
a2^2+b2+c=3。

a2+b=0。

通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。

二、利用描点法求解析式。

描点法是通过已知的函数图像上的点来求解析式的一种方法。

如果已知二次函数上的两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，
则可以列出方程组：
ax1^2+bx1+c=y1。

ax2^2+bx2+c=y2。

通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。

三、利用配方法求解析式。

对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以利用配方法将其写成完全平方的形式。

例如，对于函数y=x^2+2x+1，我们可以将其写成(y+1)=(x+1)^2的形式，从而得到解析式y=(x+1)^2-1。

四、利用判别式求解析式。

二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次函数的解的情况。

当Δ>0时，函数有两个不相等的实数根；当Δ=0时，函数有两个相等的实数根；当Δ<0时，函数没有实数根。

因此，我们可以通过判别式来求解析式。

以上是几种常用的求二次函数解析式的方法，当然还有其他一些方法，如利用导数、利用函数的对称性等。

通过这些方法，我们可以灵活地求得二次函数的解析式，从而更好地理解和应用二次函数。

二次函数y=ax^2+bx+c的配方法最值(成都市东湖中学九上数学)

x2245
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
x22 1.
化简:去掉中括号
编辑课件
7
y=-x2-4x-5
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式。
y= －(x+2)2－1
你能把 yax2 bxc 改写成 ya(xh)2 k吗？
用配方法
编辑课件
一般地，抛物线y=a(x-h) 2 +k与 y=ax2的开口方向、形状相同，顶点、位置不同
上加下减常数项
y=ax2
y=a(x-h)2 +k
左加右减自变量
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上，当a﹤0时，开口向下，
2.对称轴是直线x=h ； 3.顶点坐标是 (h,k) 。
(3) 当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？
2、若二次函数y=ax2+4x+a-1 的最小值是2，则a的值是.
2、用公式法把
y 1 x2 x 5
2
2
化为
yaxh2 k的形式，求出对称轴和顶点
坐标．解：在 y
1 2
x2
x
5 2
中，a1 2,b1,c5 2
b 1 1 , 4 a c b 24 1 2 5 2 1 24 2
的最大值
1 x2 4x 22 22 1 2
1 x 22 1 4 1
2
2
1 x 22 1
2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
编辑课件
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用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式

《用配方法将二次函数y=ax 2+bx+c 化为y =a (x -h )2+k 的形式》片段教学设计一、内容分析
1.教材分析
本节课在讨论了二次函数2()y a x h k =-+的图象和性质的基础上对二次函数2y ax bx c =++的图象和性质进行研究.主要的研究方法是通过配方法将2y ax bx c =++向2()y a x h k =-+转化，体会知识之间的内在联系
2.学情分析
在本节课之前，学生已经探究过二次函数2()y a x h k =-+的图象和性质，面对形如2y ax bx c
=++的二次函数，想要将其转化为2()y a x h k =-+的形式，这种化归思想学生是缺乏经验的，学生容易将函数的配方与一元二次方程的配方混淆.因此本节课的难点是如何正确的通过配方法将2y ax bx c =++转化为2()y a x h k =-+的形式.
二、教学目标
(1)理解二次函数2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+之间的联系，体会转化思想； (2)会用配方法将二次函数2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的形式.
三、重点、难点
重点：通过配方法将2y ax bx c =++转化为2()y a x h k =-+的形式.
难点：如何正确的通过配方法将2y ax bx c =++转化为2()y a x h k =-+的形式.
问题二：教师提问：
你能用同样的方法讨论二次函数2
241y x x =-+的图象和性质吗？
通过对比和类比问题一，师生共同完成二次项系数不为的配方.。

二次函数配方法

二次函数配方法二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，它在许多实际问题的建模过程中起着关键的作用。

而解二次函数的配方法也是求解二次方程的一种常用方法之一。

在本文中，将介绍二次函数配方法的步骤和注意事项。

首先，我们来回顾一下二次函数的标准形式：y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c分别是二次函数的系数。

下面是二次函数配方法的步骤：1. 根据二次函数的系数a、b、c确定是否可以进行配方法。

配方法适用于a不等于零的情况，即二次函数必须是完全平方的形式。

2. 将二次函数的中间项bx拆开成两项，使得二次函数可以表示成一个完全平方的形式。

具体来说，找到一个常数k，使得bk/2a = k。

这样，可以将bx项拆成两个部分：bk/2a = k和bx- bk/2a = bx - k。

3. 将bx - k项进行配平方。

也就是说，要找到一个常数m，使得(m - k)^2 = m^2 - 2mk + k^2等于bx - k。

通过展开和比较系数，可以求出m的值。

4. 整理二次函数的表达式，得到完全平方的形式。

将完全平方的形式进行展开，可以得到(a(x - m)^2 + n)，其中n = c - m^2。

通过以上步骤，就可以将二次函数转化为完全平方的形式，从而更方便地进行求解。

然而，在使用二次函数配方法时，也需要注意一些问题：1. 需要仔细分析二次函数的系数a、b、c是否适合配方法。

当a等于零时，二次函数退化为一次函数，无需使用配方法。

2. 在进行配方法的过程中，常数k和m的选择需要谨慎，以确保能够得到简洁且准确的结果。

某些情况下，可能需要进行化简或调整的操作。

3. 配方法可用于将二次函数转化成完全平方的形式，但不能解决所有的二次方程。

对于无法使用配方法求解的问题，可以考虑其他的解法，如因式分解或使用求根公式等。

总之，二次函数配方法是解二次方程的一种有效手段，能够将二次函数转化为完全平方的形式，从而简化求解过程。

华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2

(完整版)新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳1.定义：一般地，如果y =ax +bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 的性质（1）抛物线y =ax 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax （a ≠0）.3.二次函数y =ax +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax +bx +c 用配方法可化成：y =a (x -h )22222222b 4ac -b 2+k 的形式，其中h =-，k =.2a 4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax ；②y =ax +k ；③y =a (x -h )；④y =a (x -h )+k ；2⑤y =ax +bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x =0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b 4ac -b 2b b ⎫4ac -b 2⎛2（-，）（1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，对称轴是直线x =-.⎪+2a 4a 2a 2a 4a ⎝⎭（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线22x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax +bx +c 中，a ,b ,c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线222x =-b b b ，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③<0（即a 、2a a a b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线y =ax +bx +c 与y 轴交点的位置.当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①c =0，抛物线经过原点;②c >0,与y 轴交于正半轴；③c <0,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a >0时开口向上对称轴顶点坐标（0,0）(0,k )(h ,0)(h ,k )22b <0.ay =ax 2y =ax +k y =a (x -h )2x =0（y 轴）x =0（y 轴）x =h x =hx =-b 2a 22y =a (x -h )+k 当a <0时开口向下y =ax +bx +c 2b 4ac -b 2，(-)2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y =ax +bx +c .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y =a (x -h )+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2).12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0,c ).2（2）与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax +bx +c 有且只有一个交点(h ,ah +bh +c ).22（3）抛物线与x 轴的交点2二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax +bx +c =0的两2个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔∆<0⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，由方程组22y =kx +ny =ax +bx +c 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，2方程ax +bx +c =0的两个根，故2b c x 1+x 2=-,x 1⋅x 2=a aAB =x 1-x 2=(x 1-x 2)2=(x 1-x 2)24c b 2-4ac ∆⎛b ⎫-4x 1x 2= -⎪-==a a a ⎝a ⎭2。

二次函数配方口诀.doc

二次函数配方口诀求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴方程、最大值或最小值等都需要运用配方法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，其中配方是学习中的难点，这里的配方虽然与一元二次方程的配方有点类似，但不尽相同，不少初学者茫然无措．现将配方过程归纳为如下口诀，方便大家的学习．二次系数先提取，常数暂且往后移；一次系数取一半，平方以后再加减；前三配方四相乘，最后再算常数项．口诀解析：二次系数先提取，常数暂且往后移的意思是：把y=ax2+bx+c的二次项系数a作为公因式提取，常数项c放到括号外的后面，化为：一次系数取一半，平方以后再加减的意思是：在括号内的x2+bx/a，取一次项的系数b/a的一半b/(2a)，加上和减去它的平方[b/(2a)]2，化为：前三配方四相乘的意思是：具体运用看如下例子：例1 把y=2x2-3x-5化为y=a(x-h)2+k的形式.解：二次系数先提取，常数暂且往后移，得：y=2(x2-3x/2)-5；一次系数取一半，平方以后再加减得：y=2(x2-3x/2+9/16-9/16)-5；前三配方后相乘，得y=2(x-3/2)2-9/16×2-5；再加后面常数项，得：y=2(x-3/2)2-49/8.例2 用配方法求二次函数y=-x2+4x+1的图象顶点坐标．解：根据配方口诀，得：y=-( x2-4x)+1=-( x2-4x+4-4)+1=-[ (x-2)2-4]+1=-(x-2)2-4×(-1)+1=-(x-2)2+5.所以顶点坐标为（2，5）．例3 求二次函数y=3x2/2+9x-7的最小值．解：根据配方口诀，得：y=3/2(x2+6x)-7=3/2(x2+6x+9-9)-7=3/2[(x+3)2-9]-7=3/2(x+3)2-9×3/2-7=3/2(x+3)2-41/2，因为a=3/20，所以当x=-3时，y最小值=-41/2.例4 求抛物线y=ax2-4ax+1的对称轴方程．解：y=a(x2-4x)+1=a(x2-4x+4-4)+1=a[(x-2)2-4]+1=a(x-2)2-4a+1，所以对称轴方程为x=2.。

知识卡片-二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象的画法

二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的画法
能量储备
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的画法，有以下两种：
(1)描点法，步骤如下：
①利用配方法把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式．
①确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
①在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图．
(2)平移法，步骤如下：
①利用配方法把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，确定其顶点(h ，k )． ①作出函数y ＝ax 2的图象．
①将函数y ＝ax 2的图象平移，使其顶点平移到点（h ，k ）.
通关宝典
★ 基础方法点
方法点1：五点法画函数图象
例：画出二次函数y ＝－12x 2－3x －52
的图象. 解：因为y ＝－12x 2－3x －52＝－12
(x ＋3)2＋2，所以顶点坐标为A (－3，2)，对称轴为直线x ＝－3.
令y ＝0，求出抛物线与x 轴的交点坐标是B (－5，0)，C (－1，0)．令x ＝0，求出抛物线与y 轴的交点坐标是D ），（520-，再求出点D 关于直线x ＝－3的对称点E ）
，（2
56--.将E ，B ，A ，C ，D 五点用光滑曲线连接起来，即得二次函数y ＝－12x 2－3x －52的图象，如图所示．
★★易混易误点
蓄势待发
考前攻略
考查二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的画法，以作图题形式考查，难度较小. 完胜关卡。