二次函数y=ax2+bx+c的配方法

一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 y=2(x+3)2+5
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x= - b
2a
y最小值=
4ac-b2 4a
x= - b
2a
y最大值=
4ac-b2 4a
例1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、 顶点坐标，最值，增减性：
y 3x2 4x 1
y 2x2 x 3
练习
指出抛物线: y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标，最值以及增减性。
4ac 4a
b2
y ax2 bx c
a(x2
b a
x
c a
)
∴开口方向：由a决定;
对称轴：x
b 2a
顶点坐
标
：（
b 2a
，4a
c 4a
b2
)
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
a(x
b )2 2a
4ac4 a2
b2
a
(
x
Байду номын сангаас
b )2 2a
4
a
c 4
a
b2
总结：二次函数y=ax2+bx+c的性质
例2.求下列二次函数图像的开口、顶点、
对称轴，并画出草图：
①y=2x2-5x+3
②y=－
1 2
x2+4x-9
请画出草图:
③y=(x-3)(x+2)
3
－9
－6
学以致用
1、当x取何值时，二次函 数 y 2x2 8x 1 有最大值或
最小值，最大值或最小值
是多少？
2、已知函数
y
1 2
x2
3x
1 2
y=ax2 +bx+c(a≠0)
a>0
a<0
开口方向 顶点坐标
对称轴 增 减 性
极值
向上
向下
(- b , 4ac-b2 )
2a 4a
x= - b
2a
(- b , 4ac-b2 )
2a 4a
x= - b
2a
在对称轴的左侧，
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，
在对称轴的右侧，
y= —1 (x―6)2 +3 2
你能把 y ax2 bx c 改写成 y a(x h)2 k 吗？
用配方法
你知道吗?
y ax2 bx c
a
( x2
b a
x
c a
)
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
a(x
b )2 2a
4ac4 a2
b2
a(
x
b )2 2a
与抛物线y=x2 形状相同,但开
口方向相反,且顶点坐标为
(-1,5)的函数解析式为
.
6.不画图象，说明抛 物线y=-x2+4x+5可由 抛物线y=-x2经过怎 样的平移得到？
当x为何值时，函数值y随自
变量的值的增大而减小。
3、已知抛物线y= ax2+bx+c
与抛物线 y=-2x2 形状相同,
且顶点坐标为(1,-5)的函数解
析式为
.
4、若抛物线y＝a(x-m )2+n的图
象与函数y＝2x2的图象的形状
相同,且顶点为(-3,2),则函数的
解析式为
.
5、已知抛物线y= ax2+bx+c
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 数 y 1 x2 6x 21也能化成这样的形式吗?
2
y 1 x2 6x 21 你知道是怎样配
2
方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方
（3）“化”：化成顶点式。
开口方 对称轴 向
顶点坐标
向上 直线x=–3 （－3，5）
y = -3x(x-1)2 -2 向下 直线x=1 （1，－2）
y = 4(x-3)2 +7 向上 直线x=3 （3，7 ）
y = -5(2-x)2 - 6 向下 直线x=2 （2，－6）
二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质
y
o
x
如何画出y 1 x2 6x 21的图象呢? 2