抽象函数奇偶性的判定
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专题一抽象函数奇偶性的判定及应用
探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题 抽象函数的具体模型
)()()(y f x f y x f +=+ )()()(y f x f xy f += )()()(y f x f y x f =+ )()()(y f x f xy f =
类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题
① x R ∈，()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，如何证明()f x 为奇函数
② x R ∈，()f x 满足()()()f xy f x f y =+，如何证明()f x 为偶函数
类型二：抽象函数证明函数的单调性问题
① 若,R x ∈且()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+证明其单调性
② 若,R x ∈()()()f x y f x f y +=、()()()f xy f x f y =证明其单调性
探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]
--73，上是
A. 增函数且最小值为-5
B. 增函数且最大值为-5
C. 减函数且最小值为-5
D. 减函数且最大值为-5
分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：
任取x x x x 121200<<⇒->->
因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数
y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，） y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称， ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，
∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()
又y f x 00=() ∴-=f x f x ()()00
即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。 二、证明单调性和奇偶性 1.证明单调性
例4．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：
（1）x >0时，01< 现设x >0，则- >f x f x ()() 1 1 ∴<<01f x ()， 设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<- 例5．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。 分析：在f xy f x f y ()()()=+中，令x y ==1， 得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-= 于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是偶函数。 三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例6．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。 解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数， 由-<-<-<-<⎧⎨⎩ 1211412 a a 得35< ，不等式不成立。 2）当32< f a f a f a a a a a a ()() ()-<-=-⇔-<-<-<-<->-⎧⎨⎪ ⎩⎪<<244120 1402432 2222解之得， （3）当25<< a 时， f a f a ()()-<-242 =-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪ ⎩⎪< 解之得，