抽象函数奇偶性的判定
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型(原卷版)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
抽象函数的奇偶性证明
抽象函数的奇偶性证明
抽象函数的奇偶性证明：
一、定义
1. 抽象函数：是指一类函数（如函数y=f(x)），它可以抽象的表达某种数学规律或特性。
2. 奇偶性：表示函数奇偶性的定义是，如果一个函数在某点处对称，
则该函数具有奇偶性。
即如果f(x) = f(-x)，就将函数f定义为奇函数。
二、证明
1. 同号x值得情况：如果x和-x同号，则x和-x的值永远是不同的，
因此函数f(x)与f(-x)一定是不同的，证明函数f(x)不具有奇偶性；
2. 异号x值得情况：假设f(x)为函数，f(-x)是函数f(x)关于原点的对称，则有f(x)=f(-x)，证明函数f(x)具有奇偶性；
3. 自变量x取正值情况：由于f(x)和f(-x)可以认为是相同的，即f(x) =
f(-x)，那么f(x)具有奇偶性，证明完毕。
三、小结
本文从理论上证明了抽象函数的奇偶性，归纳出当自变量x取正值时，只要f(x) = f(-x)，就可以证明函数f(x)具有奇偶性。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
分段函数的周期：设 y f (x) 是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C: y f (x),
x a,b,T b a 。把 y f (x)沿x轴平移KT K(b a) 个单位即按向量
a (kT,0)平移，即得y f (x) 在其他周期的图像：
y f (x kT), x kT a, kT b。
y＝f(*＋a)为奇函数，则 f(－*＋a)＝－f(a＋*)
〔3〕y＝f(*＋a)为偶〔或奇〕函数，等价于单层函数 y＝f(*)关于直线*＝
a 轴对称〔或关于点〔a，0〕中心对称〕
.
>
.
3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝f(b－*)关于直线*＝〔b－a〕/2 轴对称 性质 4、复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝－f(b－*)关于点〔〔b－a〕/2，0〕中 心对称 推论 1、 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝f(a－*)关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 y＝f(a＋*)与 y＝－f(a－*)关于原点中心对称 4、函数的周期性 假设 a 是非零常数，假设对于函数 y＝f(*)定义域内的任一变量*点有以下 条件之一成立，则函数 y＝f(*)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。 ①f(*＋a)＝f(*－a) ②f(*＋a)＝－f(*) ③f(*＋a)＝1/f(*) ④f(*＋a)＝－1/f(*) 5、函数的对称性与周期性 性质 5 假设函数 y＝f(*)同时关于直线*＝a 与*＝b 轴对称，则函数 f(*)必 为周期函数，且 T＝2|a－b| 性质 6、假设函数 y＝f(*)同时关于点〔a，0〕与点〔b，0〕中心对称，则 函数 f(*)必为周期函数，且 T＝2|a－b| 性质 7、假设函数 y＝f(*)既关于点〔a，0〕中心对称，又关于直线*＝b 轴 对称，则函数 f(*)必为周期函数，且 T＝4|a－b|
6 抽象函数奇偶性 高中数学 高考
六、奇偶性问题例1 . （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。
解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。
（2）已知y=f (2x +1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是（ D ） A.x =1B.x =2C.x =－21D.x =21 解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。
F （x ）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。
例2：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足())()(1)()()(1x f y f y f x f y x f -+=-，（2）存在正常数a ，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。
证明：设t=x-y,则)()()(1)()()()(1)()()()(t f x f y f x f y f y f x f x f y f x y f t f -=-+-=-+=-=-，所以f(x)为奇函数。
例3：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f 。
求实数a 的取值范围。
解析：又偶函数的性质知道：)(x f 在),0(+∞上减，而0122>++a a ，01232>+-a a ，所以由)123()12(22+-<++a a f a a f 得1231222+->++a a a a ，解得30<<a 。
高一数学必修一,函数的奇偶性题型归纳
函数的奇偶性 题型归纳题型一、函数奇偶性的概念➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。
➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。
③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。
④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。
1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型二、判断函数的奇偶性➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。
➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。
➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。
1、定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.2、奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()xx x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。
19抽象函数奇偶性
专题19、抽象函数奇偶性的判定与证明【例1】定义在实数集R 上的函数()f x ，对任意,x y R ∈都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，且(0)0f ≠，试判断()f x 的奇偶性. ，(0)0f ≠，所以()f x =【评注】对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令的奇偶性.【分析】此题有两种解法，一是根据定义，严格证明函数的奇偶性，即可判定；二是可以找到此抽象函数的原型函数，也可以判定其奇偶性。
【解析】法一：令0x y ==，得(0)2(0),(0)0f f f ==，令y x =-，得0=()+()0,()()f f x f x f x f x -=-=-（），所以函数()y f x =是奇函数.法二：函数()f x 定义在R 上，且对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，可以推测其原型函数为(),0f x kx k =≠，易判定其为奇函数。
【例3】已知()f x 的定义域为R ，且对任意实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+，求证：()f x 是偶函数。
【解析】在()()()f xy f x f y =+中，令1x y ==，得(1)(1)(1)(1)0f f f f =+⇒= 令1x y ==-，得(1)(1)(1)(1)0f f f f =-+-⇒-=，于是()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，故()f x 是偶函数。
【例4】若定义在R 上的函数()f x 满足对任意12,x x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法正确的是（ ）.A ()f x 是奇函数 .B ()f x 是偶函数 .C ()1f x +为奇函数 .D ()1f x +为偶函数【解析】法一：由12,x x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++，设12,x x x x ==-，则(0)()()11f f x f x =+-+=-，所以()1()1[()1]f x f x f x +=---=--+，令()()1F x f x =+，故()()1[()1]()F x f x f x F x -=-+=-+=-，所以()()1F x f x =+是奇函数，故选C .法二：因为1212()()()1f x x f x f x +=++，两边同时加1，得1212()1[()1][()1]f x x f x f x ++=+++，令()()1g x f x =+，则1212()()1g x x f x x +=++，1122()()1,()()1g x f x g x f x =+=+，则1212()()()g x x g x g x +=+，由上题结论可知()g x 为奇函数，所以()1f x +是奇函数，故选C .【例5】已知函数()f x 在(1,1)-上有定义，且对任意,(1,1)x y ∈-都有()()()1x y f x f y f xy++=+，试判断函数()f x 的奇偶性.且(1)0f ≠.(1)求证：()f x 为奇函数；(2)若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值. 【解析】法一：令0x y ==，则(0)(0)(0)(0)(0)0f f g g f =-=，令0,1x y ==，则(1)(1)(0)(1)(0)(1)(0)f f g g f f g =-=，又(1)0f ≠，(0)0,f =所以(0)1g =， 令0x =，则()(0)()(0)()()f y f g y g f y f y -=-=-，所以()f x 为奇函数..法二：令,x m n =-，则x n m -=-，()()()()()()f x f m n f m g n g m f n ∴=-=-，()()()()()()()f x f n m f n g m g n f m f x -=-=-=-，所以()f x 为奇函数.⑵令1,1x y ==-,则(2)(1)(1)(1)(1)f f g g f =-+，所以(2)(1)[(1)(1)]f f g g =-+，又因为(1)20f f =≠（），所以(1)(1)1g g -+=，故(1)(1)g g -+的值为1。
高考抽象函数技巧全总结
抽象函数高考讲解1.判断函数的奇偶性：例 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
3.解不定式的有关题目例9：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
例2、已知函数f （x ）对任意，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式的解。
2、指数函数型抽象函数例3、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x 和y ，成立。
求：（1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。
例4、是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）＞0，x ∈N ；②；③f （2）＝4。
同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，如不存在，说明理由。
3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f （1）；（2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围。
例6、设函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝g （x ）。
如果f （ab ）＝f （a ）＋f （b ），那么g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由。
《函数的奇偶性、周期性、对称性》 学历案
《函数的奇偶性、周期性、对称性》学历案一、学习目标1、理解函数奇偶性、周期性和对称性的概念。
2、掌握判断函数奇偶性、周期性和对称性的方法。
3、能够运用函数的奇偶性、周期性和对称性解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）函数奇偶性、周期性和对称性的定义和性质。
（2）利用定义和性质判断函数的奇偶性、周期性和对称性。
2、难点（1）函数奇偶性、周期性和对称性的综合应用。
（2）抽象函数中奇偶性、周期性和对称性的判断与应用。
三、知识梳理1、函数的奇偶性（1）奇函数：对于函数\（f(x)＼）的定义域内任意一个\（x\），都有\（f(x)＝ f(x)＼），则称函数\（f(x)＼）为奇函数。
（2）偶函数：对于函数\（f(x)＼）的定义域内任意一个\（x\），都有\（f(x)＝ f(x)＼），则称函数\（f(x)＼）为偶函数。
（3）奇偶性的判定方法①定义法：首先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数是非奇非偶函数；如果对称，再判断\（f(x)＼）与\（f(x)＼）或\（f(x)＼）的关系。
②图象法：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于\（y\）轴对称。
2、函数的周期性（1）周期函数：对于函数\（y ＝ f(x)＼），如果存在一个不为零的常数\（T\），使得当\（x\）取定义域内的每一个值时，＼（f(x ＋ T)＝ f(x)＼）都成立，那么就把函数\（y ＝ f(x)＼）叫做周期函数，周期为\（T\）。
（2）常见函数的周期①函数\（y ＝ A\sin(＼omega x ＋＼varphi)＼），＼（y ＝A\cos(＼omega x ＋＼varphi)＼）的周期\（T ＝＼frac{2\pi}｛＼omega}＼）。
②函数\（y ＝ A\tan(＼omega x ＋＼varphi)＼）的周期\（T ＝＼frac{＼pi}｛＼omega}＼）。
3、函数的对称性（1）轴对称①函数\（f(x)＼）关于直线\（x ＝ a\）对称，则\（f(a ＋ x) ＝ f(a x)＼），或\（f(x) ＝ f(2a x)＼）。
专题三 抽象函数的单调性与奇偶性
专题三抽象函数的单调性与奇偶性抽象函数是一种没有具体函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
这类函数问题能够全面考查学生对函数概念的理解及性质的应用、推理和论证能力，同时也能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力。
因此，抽象函数问题倍受命题者的青睐，体现了函数与方程、数形结合、一般与特殊等重要的数学思想。
然而，由于抽象函数问题比较抽象，学生难以理解和接受，教材也没有很好地讲解处理，因此这类问题时常困惑着不少师生。
但是，这类问题对于发展学生的思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养学生的创新思想，提高学生的数学素质，有着重要作用。
因此，本文将从解题思路及方法方面谈点看法。
首先，我们可以在中学函数部分教材中找到一些抽象型函数的特殊模型，如正比例函数、幂函数、指数函数等。
若充分利用这些模型解题，既可使学生掌握解决数学问题的规律，培养了解题能力，又使学生体会到人们对事物的认识，总是在感性认识的基础上，通过抽象概括上升为理性认识，最终揭示事物的本质，这样一种认识规律。
对于抽象函数解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意；同时，对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题，要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型，从而得到抽象函数问题的求解方法。
其次，对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。
比如，抽象函数奇偶性的判断一般通过合理赋值，抽象函数单调性的判断一般用定义，解关于抽象函数的不等式，一般利用用单调性脱去f。
综上所述，虽然抽象函数问题比较抽象，但是通过利用特殊模型和特殊方法，我们可以更好地解决这类问题，培养学生的数学思维能力和创新思维。
3.已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$恒有$f(x+y)=f(x)+f(y)$且当$x>0$时，$f(x)<0$。
已知$f(1)=-2$。
抽象函数奇偶性对称性周期性总结 知识点
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数的奇偶性_单调性问题
练习：函数f(x)对任意 a, b R， 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时，都有f(x)>1, 求证：f(x)是R上的增函数。
3.抽象函数奇偶性证明 例4：函数f(x)的定义域为全体实数，且f(Байду номын сангаас)不 恒等于0，若对任意实数a,b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数。
练习：函数f(x)的定义域为全体实数,且f(x)不恒 为0，若对任意实数a,b都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b). 求证：f(x)为偶函数。
（2）已知函数f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域。 一般地，若函数f(g(x))的定义域为[a,b], 则函数f(x)的定义域就是函数g(x)在区间[a,b] 上的取值范围（即函数g(x)的值域）。
例2：已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求 函数y=f(x)的定义域。
2. 抽象函数单调性的证明 例3：已知函数f(x)对任意 x, y R ,总有 f (x) f ( y) f (x y)，且当x>0时，都有f(x)<0. 求证：f(x)是R上的减函数。
1. 抽象函数的定义域求法
（1）已知函数f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域 一般地，若f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x)) 的定义域是指满足不等式 a g ( x) b 的x的取 值范围，即不等式 a g ( x) b 的解集。 例1： 已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数 y=f(2x+1)的定义域。
抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数的单调性和奇偶性抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：证明单调性和奇偶性1.证明单调性例．已知函数f(x)= 1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m) · g(n)= g(m+n)(m 、n ∈R)求证： f(x)是R 上的增函数例．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。
2.证明奇偶性例．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f x y f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。
求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。
例．已知f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
不等式1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。
例．已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
专题抽象函数的单调性与奇偶性的证明
特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.如果()f x =2ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)4. 已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型：正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$）幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数）指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$）对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$）正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数：f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。
证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。
2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。
解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。
f(x)$为函数，∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减，∴$-1<1-m<1$，$-1<m-1<1$，即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$，故$m<0$，所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R, x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .
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专题一抽象函数奇偶性的判定及应用探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题 抽象函数的具体模型)()()(y f x f y x f +=+ )()()(y f x f xy f += )()()(y f x f y x f =+ )()()(y f x f xy f =类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题① x R ∈，()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，如何证明()f x 为奇函数② x R ∈，()f x 满足()()()f xy f x f y =+，如何证明()f x 为偶函数类型二：抽象函数证明函数的单调性问题① 若,R x ∈且()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+证明其单调性② 若,R x ∈()()()f x y f x f y +=、()()()f xy f x f y =证明其单调性探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，） y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称， ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=() ∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性 1.证明单调性例4．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。
证明： 对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅。
且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=，现设x >0，则-<x 0，f x ()->1， 而f f x f x ()()()01=⋅-= ∴-=>f x f x ()()11 ∴<<01f x ()， 设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<-<f x x ()， f x f x x x ()[()]2211=-+=-⋅<f x x f x f x ()()()2111 ∴>f x f x ()()12， 即f x ()为减函数。
2.证明奇偶性例5．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。
分析：在f xy f x f y ()()()=+中，令x y ==1，得f f f f ()()()()11110=+⇒=令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-=于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是偶函数。
三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例6．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。
解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a 。
（1）当a =2时， f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立。
2）当32<<a 时，f a f a f a a a a a a ()()()-<-=-⇔-<-<-<-<->-⎧⎨⎪⎩⎪<<24412014024322222解之得，（3）当25<<a 时， f a f a ()()-<-242=-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪⎩⎪<<f a a a a a a ()22240210412425解之得，综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， 。
四、不等式1.解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。
例7．已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。
解：设x x R 12、∈且x x 12< 则x x 210-> ∴->f x x ()212， 即f x x ()2120-->，∴=-+=-+->∴>f x f x x x f x x f x f x f x f x ()[()]()()()()()22112111212 故f x ()为增函数，又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=31122)1(3)22(3)1(22<<-∴<--=<--∴=∴a a a f a a f f 即，因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13。
2. 讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。
例8，. 已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，若[]1,1,-∈b a ，且0≠+b a 时，恒有0)()(>++ba b f a f .（1）判断)(x f 在[]1,1-上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式)6()15(2x f x f <-五、比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。
例9，已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______。
分析： x x 1200<>，且||||x x 12<， ∴<-<⇒-<<001221x x x x 又x <0时，f x ()是增函数，∴-<f x f x ()()21 f x ()是偶函数 ∴-=f x f x ()()11故f x f x ()()->-12 1. 对于定义在R 上的函数)(x f ，给出三个命题：（1）若)2()2(-f f =，则)(x f 是偶函数；（2）若)2()2(-f f ≠，则)(x f 不是偶函数； （3）若)2()2(-f f =，则)(x f 一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________________ 2. 下列命题中，说法正确的是____________（1）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； （2）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 不是R 上的单调减函数； （3）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间[)+∞,0上也是单调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；（4）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间()+∞,0上也是单调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；变式：若定义在R 上的函数对任意的R x x ∈21,都有2)()()(2121++=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，.2)(->x f （1）求证：2)(+x f 是奇函数；（2）求证：)(x f 是R 上的增函数； 函数=y f(x)，满足R x x ∈∀21,都有f(x 1+x 2)= f(x 1)+ f(x 2)-3, （1）判断函数f(x)-3的奇偶性并予以证明 ⑵若f(x) 最大值为M ，最小值为m ，求M+m 分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m解析；令,021==x x 则f(0+0)= f(0)+ f(0)-3得()30=f ，令x x x x -==21,则f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3得f(x)+ f(-x)=6，令()()3-=x f x g 则()()()()x g x f x f x g -=-=--=-33所以f(x)-3为奇函数。
⑵()3max -=M x g ，()3min -=m x g ，()x g 为奇函数图像关于原点对称()03x g M =- ，()03x g m -=-所以6=+m M点评: 奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f(x)+ f(-x)=6是关键 2，函数=y f(x)，满足),()()(,,a bf b af ab f R b a +=∈（1）求)1(),0(f f 的值，⑵判断并证明f(x)的奇偶性解析；令,0==b a 则()00=f ，令1==b a 则()01=f ⑵()()()[]111-⨯-=f f =()()()()()121111--=-⨯-+-⨯-f f f 得()01=-f 再令()()()()()x f f x x f x f x b a -=-•+⨯-=-⇒=-=11,1，所以f(x) 为奇函数点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出()1-f ，而把1写成()()11-⨯-是关键3，定义在R 上的函数=y f(x)满足),2()2(x f x f +=-且在[]7,0上只有0)3()1(==f f ，判断f(x)的奇偶性并说明理由解析；f(x)在[]7,0上只有)3()1(==f f 令3=x 则()()()()0532321≠=+=-=-f f f f 所以()()11f f ≠-，()()11f f -≠-所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。