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八年数学公式法分解因式的解题方法与技巧
八年数学公式法分解因式的解题方法与技巧数学公式法分解因式是一种常用且重要的解题方法。
以下是八年级数学公式法分解因式的解题方法与技巧：1. 常见因式分解公式：① (a+b)^2=a^2+2ab+b^2② (a-b)^2=a^2-2ab+b^2③ a^2-b^2=(a+b)(a-b)④ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)⑤ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)⑥ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2⑦ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2其中，(1)、(2)、(6)、(7) 属于平方公式，(3)、(4)、(5) 是关于立方的公式。
我们在解题时可以根据题目中的条件，选择合适的公式进行因式分解。
2. 把公因式提出来：对于如下式子：2a^2+4ab，我们可以先把公因式 2a 提出来，得到：2a^2+4ab=2a(a+2b)这样就完成了把公因式提出来的操作，接下来我们再根据不同的情况进行因式分解。
3. 进一步分解：有时候，我们需要进一步分解式子，来达到题目的要求。
例如，对于如下式子：9x^6-16y^4，我们可以根据公式 (5) 进行因式分解，得到：9x^6-16y^4=(3x^2)^3-(2y^2)^3=(3x^2-2y^2)(9x^4+6x^2y^2+4y^4)这个策略在解题时非常有用：先用一些基本公式进行初步因式分解，然后进一步分解，最后化简为一般式。
4. 通过多次转化得到结果：有时候，解题过程需要经过多次中间步骤，才能得出最终的结果。
这时候，我们需要耐心思考，灵活变通。
例如，对于如下式子：a^3+b^3+c^3-3abc，我们可以进行一下转化：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)这两步转化虽然看上去有些麻烦，但是却是得到正确答案所必需的。
5. 注意符号：在进行因式分解时，特别要注意符号的处理。
初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典技巧初中数学因式分解的几种经典方法因式分解是初中数学的一个重点，涉及到分式方程和一元二次方程，因此学会一些基本的因式分解方法非常必要。
下面列举了九种方法，希望对大家的研究有所帮助。
1.提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
例如，对于方程2x-3x=0，可以进行如下因式分解：x(2x-3)=0，得到x=0或x=3/2.一个规律是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式，这对我们后面的研究有帮助。
2.公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。
常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。
建议在使用公式法前先提取公因式。
例如，对于x^2-4，可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。
3.十字相乘法是做竞赛题的基本方法，但掌握了这个方法后，做平时的题目也会很轻松。
关键是将二次项系数a分解成两个因数a1和a2的积a1.a2，将常数项c分解成两个因数c1和c2的积c1.c2，并使ac正好是一次项b，那么可以直接写成结果。
例如，对于2x^2-7x+3，可以使用十字相乘法得到(x-3)(2x-1)。
总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1.a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1.c2，那么可以使用十字相乘法进行因式分解。
文章中有一些格式错误，需要修正。
另外，第四段中的一些内容似乎有问题，建议删除。
改写后的文章如下：分解因式是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。
在中学数学中，我们通常研究到七种分解因式的方法。
1.公因数法这种方法是最基础的方法之一，它的核心思想是找到表达式中的公因数。
例如，对于表达式6x+9y，我们可以找到它们的公因数3，然后将表达式简化为3(2x+3y)。
2.公式法公式法是通过运用数学公式来分解因式。
例如，对于二次三项式ax2+bx+c，我们可以使用求根公式来求出它的两个根，然后将表达式分解为(a(x-根1)(x-根2))的形式。
人教版-数学-八年级上册-15.4因式分解 用“换元法”分解因式
用“换元法”分解因式我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的两种方法，比如提公因式法、运用公式法，这些方法都是最基础的因式分解方法．一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”．李老师欣然同意，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法———换元法．李老师把换元法分解因式分成了三种情况．一、换单项式例1分解因式x6+16x3y+64y2．析解：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3= m，则x6=m2，原式变形为m2+16my+64y2=（m+8y）2=（x3+8y）2．二、换多项式例2分解因式（x2+4x+6）（x2+6x+6）+x2．析解：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为（m+4x）（m+6x）+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=（m+5x）2=（x2+6+5x）2=2=（x+2）2（x+3）2．以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”．当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”．比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m（m+2x）+x2=m2+2mx+x2=（m+x）2=（x2+4x+6+x）2=（x2+5x+6）2=2=（x+2）2（x+3）2．三、换系数例3分解因式x3+x2-2004×2005x．析解：此题若按照一般思路解答，很难奏效．注意到2004、2005两个数字之间的关系，把其中一个常数换元．比如，设2004＝m，则2005=m+1．于是，原式变形为x3+x2-2004×2005x=x2（x+1）-m（m+1）x=x=x（x2+x-m2-m）=x=x=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2004）（x+2004+1）=x（x-2004）（x+2005）．以上介绍的是用换元法进行因式分解的初步知识，同学们在以后解题时要多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法．也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的．最后请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其它解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧．。
人教版八年级上册数学因式分解
人教版八年级上册数学因式分解人教版八年级上册数学因式分解大揭秘
亲爱的小伙伴们，今天咱们一起来聊聊人教版八年级上册数学里超级重要的因式分解！
一、因式分解到底是啥
因式分解呀，就像是给一个复杂的式子来个大变身，把它变成几个简单式子相乘的形式。
比如说，x^2 1 就可以变成 (x + 1)(x
1) ，是不是很神奇？
二、因式分解的方法
1. 提公因式法
这可是最基础的方法啦。
就像从一堆水果里挑出大家都有的那个品种。
比如，6x + 9 ，这里面都有 3 ，那就可以提出 3 ，变成
3(2x + 3) 。
2. 公式法
咱们有两个超级厉害的公式哦，平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b) ，还有完全平方公式：a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2 。
遇到符合公式的式子，直接套用，简直不要太爽！
3. 十字相乘法
这个稍微有点难度，但是掌握了就会觉得超有趣。
比如说 x^2 + 5x + 6 ，咱们可以把 6 分解成 2 和 3 ，然后交叉相乘再相加正好等于 5 ，就可以分解成 (x + 2)(x + 3) 。
三、因式分解的应用
因式分解可不是光摆在那里好看的，它可有大用处呢！
在解方程的时候，通过因式分解可以把复杂的方程变得简单，一下子就能求出解啦。
还有在计算的时候，因式分解能让计算变得更轻松，节省好多时间呢。
因式分解是咱们数学学习中的一个重要武器，掌握好了它，数学的世界会变得更加精彩有趣！小伙伴们，加油哦！。
数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用
3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2
2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2
2 2
归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征： （1）有三项； （2）其中有两个平方项且符号相同 （3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征： 有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1
八年级数学上册：《因式分解》的4种基本方法,例解+练习高清图片,可保存
八年级数学上册：《因式分解》的4种基本方法，例解+练习高清图片，可保存因式分解是初中数学中一个非常重要的概念，了解和掌握因式分解的方法非常有必要。
因此，本文将详细介绍八年级数学上册中因式分解的4种基本方法和例解和练习的高清图片。
首先，介绍因式分解的定义：因式分解的意思就是将一个多项式拆分成多个因子，使其值等于原来的多项式的值，并且多项式中的次数不会发生变化，从而达到简单化或剖析多项式的表达式的目的。
其次，介绍八年级数学上册中因式分解的4种基本方法：1. 查表法。
查表法是把因式表中的每一项拿出来，然后用多项式中的每一项去比较，如果多项式的某一项是因式列表中某一项的整数倍，就将该因式提取出来，然后分解。
2. 平方差分解法。
找出一个最大的可以合成该多项式中所有次数和为偶数，最高次为偶数的平方差，然后把该多项式拆分成两个多项式，一个多项式中各项次和为x2，另一个多项式中各项次和为x，然后将两个多项式分别用此法求解得出各自因式。
3. 系数法。
如果可以找出多项式中最高次的系数，并将它简化为若干个合数的乘积的形式，然后再将各个因式拆分成单项式，最后将它们一一相乘，即可得到最终的结果。
4. 因式分解辗转相除法。
该方法是把多项式中的每一项的系数提取出来，然后拿系数中的每一项去比较，查找出最大的可以相除的因子，将其因子提取出来，放入前一项，然后再用辗转相减、相除法求出结果。
最后，例解+练习高清图片可直观地帮助学生理解因式分解的方法，加深印象，让学生在掌握并灵活运用这一方法时不会出现停滞，而是可以轻松应对考试中的试题。
综上所述，八年级数学上册中因式分解的4种基本方法都是可有效分解多项式的有效方法，通过举例教学+练习，可以有效帮助学生理解这一概念，加深对因式分解这一技能的掌握。
人教版八年级数学因式分解方法技巧
因式分解方法技巧专题一分解因式的常用方法：一提二套三分 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
常见错误：1、漏项，特别是漏掉2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化［例题］把下列各式因式分解：1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y)22.a 5-a3.3(x 2-4x)2-48[点拨]看出其中所含的公式是关键练习1、 2、3123x x -2222)1(2ax x a -+3、 4、56x 3yz+14x 2y 2z －21xy 2z 2a a 632-5、－4a 3＋16a 2b －26ab 2 6、4416n m -公式法。
先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。
平方差公式运用时注意点：根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：A 、多项式为二项式或可以转化成二项式；B 、两项的符号相反；C 、每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；D 、首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；E 、对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式[例题]分解因式：3(x+y)2-27[点拨]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解练习1)x 5－x 3 2) 3)25－16x 24416n m 4)9a 2－b 2. 5）25－16x 2; 6）9a 2－b 2.4141专题三三项式的分解因式:如果一个能分解因式，一般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方公式法。
先观察三项式中是否含有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，即a 2+2ab+b 2或者a 2-2ab+b 2的形式完全平方公式运用时注意点：A.多项式为三项多项式式；B.其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方；C.第三项为B 中这两个数（或代数式）的积的2倍，或积的2倍的相反数。
八年级数学因式分解方法总结
八年级数学因式分解方法总结嘿，同学们！咱今天就来好好聊聊八年级数学里的因式分解呀！这可真是个有趣又重要的玩意儿呢！因式分解，就好像是把一个大拼图拆成一个个小拼图，然后再看看能组合出啥花样来。
咱先说说提公因式法吧，这就好比是从一堆糖果里把相同口味的挑出来，简单直接！你看，一个式子里面要是有相同的部分，咱就直接把它提出来，一下子就把式子变简单啦。
然后呢，公式法也不能小瞧呀！平方差公式，就像是一把神奇的钥匙，能打开那些看似复杂的式子的大门。
a²-b²，嘿，这不就是两个数的平方差嘛，一下子就能分解成(a+b)(a-b)，多神奇呀！还有完全平方公式，就像是给式子穿上了一套合适的衣服，让它变得整整齐齐的。
(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²，记住这些公式，就像是记住了自己家的钥匙在哪里一样重要。
分组分解法呢，就有点像分组做游戏啦。
把式子分成几个小组，然后在每个小组里找线索，最后把它们组合起来，哇，因式分解就完成啦！十字相乘法，这可是个厉害的角色！就像是玩连连看一样，找到合适的数字组合，一下子就能把式子分解出来。
哎呀呀，你们想想，要是不会因式分解，那数学题可不得难倒我们呀！就好比走路没有了方向，那得多迷茫呀！所以呀，一定要好好掌握这些方法哦。
在做因式分解的时候，可不能马虎呀！要像侦探一样细心，不能放过任何一个小细节。
有时候可能就因为一个小数字没注意到，整个式子就解不出来啦。
而且哦，多做练习也是很重要的呢！就像跑步一样，跑得多了，自然就跑得快啦。
多做几道因式分解的题，那以后再遇到，不就轻松搞定啦！同学们呀，八年级的数学可不简单呢，但只要我们把因式分解这些方法掌握好，那数学的大门就会为我们敞开啦！加油吧，让我们在数学的海洋里畅游，把因式分解这个小怪兽给征服咯！相信自己，我们一定行！。
初二数学因式分解技巧
初二数学因式分解技巧因式分解技巧方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。
一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法。
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2———a^2-b^2=(a+b)(a-b)2)。
(a±b)^2= a^2±2ab+b^2———a^2±2ab+b^2=(a±b)^23) (a+b)(a-ab+b) =a^2+b^2———a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)4)。
(a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2———a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)下面再补充两个常用的公式：5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^26) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)例如，已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解：a+b+c=ab+bc+ca⇒2a+2b+2c=2ab+2bc+2caa-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0a=b=c因此，三角形ABC为等边三角形。
三、分组分解法。
一）分组后能直接提公因式例如，分解因式：am+an+bm+bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
新人教版八年级数学(上)因式分解(公式法11
( )
成为一个完全平方式，这个单项 式可以是 ________。
提高训练(二)
思 考 3、已知 a、b、c是△ABC的三边，
判断△ ABC的形状并说明理由。 、
且满足 a 2 2b 2 c 2 2ba c 0，
小结
本节课你有什么收获？有何 疑惑？你对老师又有何建议 呢？
2
①(a-9)2 ②(x+ )2 3 ③ (s-t)2 ④a(x+a)2 ⑤(a+b+c)2
1
④ax2+2a2x+a3 ⑤a2+2a(b+c)+(b+c)2
因式分解：
提 高 训 练 一
①2a b 8ab
2
②x y 4x y 1
2
③
2 2 2 2 2 x 4y 加上一个单项式，使它 4 x y 4 x y 给 x +1
作业：习题14.3. 第3、4、9题
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
用完全平方公式
做一做
2
进行因式分解。
①a 18a 81 2 1 ②x x 3 9 2 2 ③ s t 2st
2 2
2
这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去） 这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： (a+3)2 ① a2+6a+9 = _________________ (n–5)2 ② n2–10n+25 = _______________ 4(t–1)2 ③ 4t2–8t+4 = _________________ (2x–3y)2 ④ 4x2–12xy+9y2 = _____________
初中八年级数学因式分解教案人教版
初中八年级数学因式分解教案人教版因式分解，在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程，广泛应用在初中数学里，下面店铺为你整理了初中八年级数学因式分解教案人教版，希望对你有帮助。
八年级数学因式分解教案人教版【教材分析】“因式分解(提取公因式法)”是“华东师大版八年级数学(上)”第十三章第五节内容。
本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链接开拓作用。
提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。
八年级数学因式分解教案人教版【学情分析】因为我们班的学生大多数来自农村移民的学生，学生基础薄弱，学习兴趣不浓，所以我通过具有现实意义的情境引入新课，调动学生学习热情。
八年级数学因式分解教案人教版【三维目标】根据大纲要求,结合本教材特点和学生认知能力，将教学目标确定为：知识与技能：1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、熟练运用提取公因式法分解因式。
过程与方法：在教学过程中，体会类比的数学思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。
情感态度与价值观：通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。
八年级数学因式分解教案人教版【教学重难点】教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式八年级数学因式分解教案人教版【教学方法与教学手段】教法：类比、探究式教学方法教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系;设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。
学法：自主、合作、探索的学习方式在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，体现素质教育的要求。
八年级数学因式分解教案人教版【教学过程】教学环节教学流程教学内容学生活动设计意图创设情境4′实例导入列式替代近年来，我国土地沙漠化问题严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动。
八年级数学(上册)-因式分解的方法汇总
（3）原式=
x4 2x2 1 2x(x2 1) x2 (x2 1)2 2x(x2 1) x2 (x2 x 1)2
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题 的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已 知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种 方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
解法三：将三次项 x3 拆成 9x3 8x3
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
分解因式：
（1）x9 x6 x 3 3
（2）(m2 1)(n2 1) 4mn
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全 平方式或几个完全平方式的和的形式， 这种方法叫配方法。配方法的关键是通 过拆项或添项，将原多项式配上某些需 要的项，以便得到完全平方式 ，然后在 此基础上分解因式。
(1999x 1)(x 1999)
（5）原式= (x y)2 2(x y) 2xy(x y) 4xy (xy)2 2xy 1
(x y xy)2 2(x y xy) 1 (x y xy 1)2 (x 1)2 ( y 1)2
因式分解的方法
一、提公因式法； 二、公式法； 三、十字相乘法； 四、换元法； 五、分组分解法； 六、拆项、添项法； 七、配方法； 八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本 的方法。在分解因式时一定要首先认真 观察等分解的代数式，尽可能地找出它 们的分因数（式）
方法二：公式法
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)
因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
部编数学八年级上册专题07因式分解的六种方法大全(解析版)(人教版)含答案
专题07 因式分解的六种方法大全题型一、提取公因式法与公式法综合例．分解因式：32214a ab ab -+＝______．【答案】21()2a ab -【详解】解：32214a a b ab -+＝221()4a a ab b -+＝21()2a ab -．故答案是：21()2a ab -．【变式训练1】因式分解：322882x x y xy -+=________________．【答案】22(2)x x y -【详解】解：原式=2x (4x 2−4xy +y 2)=2x (2x −y )2故答案为：2x (2x −y )2．【变式训练2】因式分解：21222a b ab b -+=_________．【答案】21(2)2b a -【详解】22211122(44)(2)222a b ab b b a a b a -+=-+=-故答案为：21(2)2b a -．【变式训练3】分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____．【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2），故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【变式训练4】小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．现将()()2222ac x y bc x y ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．抗疫胜利B ．抗疫必胜C ．我必胜利D ．我必抗疫【答案】B【详解】解：原式＝()()22x y ac bc --()()()c a b x y x y =-+-Q x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．x y \-对应抗，x y +对应疫，c 对应必，-a b 对应胜故结果呈现的密码信息可能是为：抗疫必胜故选：B题型二、十字相乘法例．将多项式()211a a --+因式分解，结果正确的是（ ）A ．1a -B ．()()12a a --C ．()21a -D ．()()11a a +-【答案】B【详解】解：()211a a --+=2211a a a -+-+=232a a -+=()()12a a --．故选B ．【变式训练1】多项式239514x x +-可因式分解成(3)()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，求2a c +之值为何？（ ）A ．12-B ．3-C ．3D ．12【答案】A【详解】解：利用十字相乘法，把239514x x +-多项式因式分解，可得，239514(32)(137)x x x x +-=+-∵多项式239514x x +-可因式分解成（3x +a ）（bx +c ）∴ 2a =，13b =，7c =-∴222(7)12a c +=+´-=-故选：A ．【变式训练2】分解因式：321024a a a +-=____．【答案】()()122a a a +-【详解】解：()()()32210241024122a a a a a a a a a +-=+-=+-．故答案为：()()122a a a +-【变式训练3】因为()()22331x x x x +-=+-，这说明多项式223x x +-有一个因式为1x -，我们把1x =代入此多项式发现1x =能使多项式223x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若()3x +是多项式212x kx ++的一个因式，求k 的值；(2)若()3x -和()4x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，试求m ，n 的值．(3)在（2）的条件下，把多项式3212x mx x n +++因式分解．【答案】(1)7k =；(2)7m =-，0n =；(3)(3)(4)x x x --【解析】(1)解：Q 3x +是多项式212x kx ++的一个因式，\当3x =-时，21293120x kx k ++=-+=，解得7k =；(2)Q (3)x -和(4)x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，\3232331230441240m n m n ì+´+´+=í+´+´+=î，解得70m n =-ìí=î．\7m =-，0n =．(3)解：由（2）得3212x mx x n +++即为32712x x x -+，\32712x x x-+2(712)x x x =-+(3)(4)x x x =--．题型四、分组法例．分解因式：4322221x x x x ++++【答案】22(1)(1)x x ++【详解】解：4322221x x x x ++++423(21)(22)x x x x =++++，222(1)2(1)x x x ++=+，22(1)(1)2x x x +=++22(1)(1)x x =++【变式训练1】已知221m a b =+-，4614n a b =--，则m 与n 的大小关系是（）A ．m n ³B ．m >nC ．m n £D ．m <n【答案】A【详解】解：∵221m a b =+-，4614n a b =--，∴()()2214614b a m b n a -=---+-2246114b b a a =+--++()()224469a a b b =-++++()()2223a b =-++0³m n \³，故选A【变式训练2】分解因式：224b 12c 9c -++．【答案】()()23c b 23c b +++-【详解】解：224b 12c 9c -++=()22412c 9c b ++-=()2223c b +-=()()23c b 23c b +++-【变式训练3】分解因式：2244x y y -+-=__________．【答案】(2)(2)x y x y +--+【详解】解：2244x y y -+-22(44)x y y =--+22(2)x y =--(2)(2)x y x y =+--+故答案为：(2)(2)x y x y +--+．【变式训练4】阅读理解：把多项式am an bm bn +++分解因式．解法：()()am an bm bn am an bm bn +++=+++()()a m nb m n =+++()()m n a b =++观察上述因式分解的过程，回答下列问题：(1)分解因式：222mb mc b bc -+-．(2)ABC V 三边a 、b 、c 满足2440a bc ac ab -+-=，判断ABC V 的形状．【答案】(1)(2)()b c m b -+；(2)等腰三角形【解析】(1)解：222mb mc b bc-+-()2(2)2mb mc b bc =-+-(2)(2)m b c b b c =-+- (2)()b c m b =-+(2)解：∵2440a bc ac ab -+-=，∴2440a ab ac bc -+-=，∴()()40a a b c a b -+-=，∴()()40a b a c -+=，∵40a c +>，∴0a b -=，∴a b =，∴ABC V C 的形状是等腰三角形．题型四、添项、拆项法例．分解因式；．x 3﹣3x 2﹣6x +8=_______．【答案】（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）【详解】解：x 3﹣3x 2﹣6x +8=3232268x x x x x -+--+=()()323288x x x x -+--=()()()1281x x x x ----=()()128x x x ---éùëû=()()2128x x x ---=（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2），故答案为：（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）．【变式训练1】把多项式分解因式：x 3﹣2x 2+1＝_________________．【答案】(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【详解】解：原式＝x 3﹣x 2﹣x 2+1＝x 2(x ﹣1)﹣(x +1)(x ﹣1)＝(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)故答案为：(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【变式训练2】因式分解：a a a 32+3+3+2【答案】()()a a a 2=+2++1【详解】原式()a a a 32=+3+3+1+1()a 33=+1+1()()()a a a 2éù=+1+1+1-+1+1ëû()()a a a 2=+2++1．故答案为：()()a a a 2=+2++1【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式21a -可以用如下方法分解因式：①()()()()22111111a a a a a a a a a -=-+-=-+-=-+；又比如多项式31a -可以这样分解：②()()()()()3322221111111a a a a a a a a a a a a a a -=-+-+-=-+-+-=-++；仿照以上方法，分解多项式51a -的结果是______．【答案】()()43211a a a a a -++++【详解】解：51a -54433221a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()()()43211111a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()43211a a a a a =-++++，故答案为：()()43211a a a a a -++++题型五、换元法（整体思想）例．因式分解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++【答案】()()229411x x x +++【解析】解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++()()2222212216122x x x x x x =++++++++()()2294121x x x x =++++()()229411x x x =+++【变式训练1】分解因式：()()()222241211y x y x y +--+-【答案】()2221x y x y -++【详解】()()()222241211y x y x y +--+-=()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y éù+--ëû=()2221x y x y -++【变式训练2】因式分解：（x 2+4x ）2﹣（x 2+4x ）﹣20．【答案】2(5)(1)(2)x x x +-+【详解】解：原式＝（x 2+4x ﹣5）（x 2+4x +4）＝（x +5）（x ﹣1）（x +2）2．【变式训练3】因式分解：（1）2223238x x x x +-+-()() （2）421x x x --+【答案】（1）()()()()1241x x x x +++-；（2）()()3211x x x -+-.【详解】解：（1）原式=()()223234x x x x +++-=()()()()1241x x x x +++-；（2）原式=()()2211xx x ---=()()()2111x x x x +---=()()2111x x x éù-+-ëû=()()3211x x x -+-.题型六、主元法例．分解因式：2222372x y z xy yz xz --+++.【答案】(2)(3)x y z x y z =+--+【详解】解：2222372x y z xy yz xz--+++222(2)(273)x y z x y yz z =++--+=2(2)(2)(3)x y z x y z y z ++---∴原式(2)(3)x y z x y z =+--+．【变式训练1】因式分解：（1）a b c ab ac bc abc1+++++++（2）()()a a b b b 6+11+4+3-1-2（3）()()()y y x x y y 22+1+1+2+2+1【答案】（1）()()()a b c =+1+1+1；（2）()()b b 3+2-1；（3）()()yx y yx x y =++1++【详解】（1）把a 视为未知数，其它视为参数．原式a ab ac abc b c bc =++++1+++()()a b c bc b c bc =1++++1+++()()a b c bc =+11+++()()()a b c =+1+1+1；（2）原式=()a b a b b 226+11+4+3--2，b b 23--2=()()b b 3+2-1，再次运用十字相乘法可知原式()()a b a b =2+3+23+-1；（3）选x 为主元，原式()()yx y yx x y =++1++．【变式训练2】因式分解：（1）a b ab bc ac222--++2（2）()x a b x a ab b 222+2+-3+10-3【答案】（1）()()a b b c 2+-+；（2）()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3【详解】（1）首先将原式按a 的降幂排列，写成关于a 的二次三项式()a c b a bc b 222+2-+-，此时的“常数bc b 2-”提取公因式b 即可分解成()b c b -，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成()()a b a b c 2+-+；（2）这是x 的二次式，“常数项”可分解为()()a ab b a b a b 22-3+10-3=-3--3再对整个式子运用十字相乘()()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3．【变式训练3】因式分解：a b ab a c ac abc b c bc 222222-+--3++【答案】()()a b c ab ac bc =--+-【详解】原式()()()b c a b c bc a b c bc 22222=+-++3++()()()b c a b c bc a bc b c 222=+-++3++[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-．课后作业1．如果2240m m +-=，那么20182019202032m m m --的值为（ ）A ．2018m B ．2018m -C ．1D ．－1【答案】B【详解】解：∵2m 2+m -4=0，∴-2m 2-m =-4，∴3m 2018-m 2019-2m 2020=m 2018×（3-m -2m 2）=m 2018×（3-4）=m 2018×（-1）=-m 2018，故选：B ．2．如图，有一张边长为b 的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a 的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M 表示其底面积与侧面积的差，则M 可因式分解为（ ）A ．()()62b a b a --B ．()()32b a b a --C ．()()5b a b a --D ．()22b a -【详解】解：底面积为（b ﹣2a ）2，侧面积为a •（b ﹣2a ）•4＝4a •（b ﹣2a ），∴M ＝（b ﹣2a ）2﹣4a •（b ﹣2a ），提取公式（b ﹣2a ），M ＝（b ﹣2a ）•（b ﹣2a ﹣4a ），＝（b ﹣6a ）（b ﹣2a ）故选：A ．3．已知250x y -+=，则224201x y y -+-=______．【答案】24【详解】解：250x y -+=Q ，25x y \-=-，224201x y y \-+-()()22201x y x y y =+-+-()52201x y y =-++-5101x y =-+-()521x y =--- 251=-24=，故答案为：24．4．分解因式：2232x y xy y -+=____________．【答案】2()y x y -【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -5．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．22216x xy y -+-()216x y =--()()44x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+；(3)△ABC 三边a 、b 、c 满足2222220a c b ab bc ++--=，判断△ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()3535a b a b ---+；(2)()()222x y x y -+-；(3)△ABC 是等边三角形，理由见解析【解析】(1)解：226925a ab b -+-()2325a b =--()()3535a b a b =---+；(2)解：22424x y x y--+()()()2222x y x y x y =-+--()()222x y x y =-+-；(3)解：△ABC 是等边三角形，理由如下：∵2222220a c b ab bc ++--=，∴()()2222220a ab b c bc b -+-++=，∴()()220a b b c -+-=，∵()20a b -³，()20b c -³，∴a －b ＝0，且b －c ＝0，∴a ＝b ，且b ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．6．把下列各式因式分解：(1)2416x -；(2)23216164a b a ab --．【答案】(1)4(2)(2)x x +-(2)24(2)a a b --【解析】(1)解：2224164(2)4(2)(2)x x x x -=-=+-．(2)23216164a b a ab --224(44)a ab a b =--224(2)4a a ab b éù=--+ëû24(2)a a b =--．7．（1）把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解．（2）已知ABC V 的三边长为a ，b ，c ，且满足220a b ac bc --+=，请判断ABC V 的形状．【答案】（1）答案见解析（2）ABC V 是等腰三角形【详解】（1）拼接如图：拼接成的长方形的面积还可以表示为一个正方形和三个长方形的面积之和：22212132x x x x x +++´=++g g ；拼接成的长方形的面积：长´宽()()21x x =++；∴据此可得到因式分解的式子为：()()23221++=++x x x x ．故答案为：()()23221++=++x x x x ．（2）∵220a b ac bc --+=，∴()()()0a b a b c a b +---=，∴()()0a b a b c -+-=．∵ABC V 的三边长为a ，b ，c ，∴a b c +>，∴0a b c +->，∴0a b -=，∴a b =，V是等腰三角形．∴ABCV是等腰三角形．故答案为：ABC。
初二因式分解的方法与技巧
以下是一些初二因式分解的方法与技巧：
1.提取公因数：将一个多项式中的每一项因式分解后，如果有公共因子，可以提取出来，从
而得到更简单的表达式·
2.利用乘法公式：常见的乘法公式包括两个一次多项式相乘的公式和一个平方差公式，这些
公式可以帮助我们更快速地进行因式分解。
3.利用配方法：当多项式中出现两个一次项相加或相减时，可以使用配方法将其转化为一个
二次项，从而更方便进行因式分解。
4.利用特殊因式：有些多项式具有特殊的形式，例如平方差公式、完全平方公式、立方差公
式等，可以直接利用这些公式进行因式分解。
5.利用综合除法：当一个多项式除以一个一次多项式得到余数为0时，可以利用综合除法进
行因式分解，找到除式和余式的因式，从而得到原多项式的因式。
需要注意的是，因式分解需要不断练习和巩固，掌握一定的基础数学知识和技能，才能更加
熟练地进行因式分解。
同时，我们还需要注意化简过程中的细节问题，例如符号的运算、常
数项的处理等，避免出现错误。
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因式分解方法技巧
专题一
分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
常见错误：
1、漏项，特别是漏掉
2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化
3、分解不彻底
［例题］把下列各式因式分解：
1 2
x(y-x)+y(y-x)-(x-y)
5
2. a -a
2 2
3. 3(x -4x) -48
［点拨］看出其中所含的公式是关键练习
3 1、3x -12x
2 2 2 2、2a(x 1) -2ax
2
3、3a 6a
5、一4a3+ 16a2b—26ab2 4 4
6、m -16 n
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专题二
二项式的因式分解：二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法2平方差公 式法。
先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中
a,b 所代表的整式，将 一个数或者一个整式化 成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。
平方差公式运用时注意点：
根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式；
B 、 两项的符号相反；
C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；
D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；
E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式
［例题］分解因式：3(x+y)2-27
［点拨］先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 练习
2 1 2 2
4)9a — b . 5) 25 — 16x ; 4 专题三
三项式的分解因式：如果一个能分解因式, 公
式法。
先观察三项式中是否含有公因式,
或者a 2-2ab+b 2的形式
完全平方公式运用时注意点： A.
多项式为三项多项式式； B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数(或代数式)的平方;
C. 第三项为B 中这两个数(或代数式)的积的 2倍，或积的2倍的相反数。
1)x 5— x 3
2)m 4 -16 n 4 2 3)25 — 16x 6) 9a 2— - b 2. 4
「般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方 然后再看三项式是否是完全平方式， 即a 2+2ab+b 2
【例题】 将下列各式因式分
解： 、 2 2 4
2
1) ax -2axy+ay 2)x -6x +9 练习
2 2 1)25x + 20xy + 4y
3 2 4) -3x 12x -9x 专题四
多项式因式分解的一般步骤：
① 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
② 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③ 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④ 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它前两项分成一组， 并提出公因式a ,把它后 两项分成一组，并提出公因式 b ,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n ，从而得 至卩(a+b)(m+n)
2
［例题］分解因式m +5n-mn-5m
1.按公因式分组：
分解因式:m 2 -nin + mp-np
3.按字母次数特点分组：
4. 按公式特点分组：| — J '''
3 2
3 2
4
2) x + 4x + 4x 3) 8a 3b-12ab 4 4ab 5)x 3n1y n 」'2x 2n1y 2nJ - x n1y 3nJ
2.按系数特点分组:
十字相乘法
（一）二次项系数为1的二次三项式
例1、分解因式：X 5x 6
例2、分解因式：y _2y -15
（二）二次项系数不为1的二次三项式—— ax2bx c
例3、分解因式：3x2-11x 10
例4、分解因式：5x27^-6
（三）二次项系数为1的齐次多项式例5、分解因式：a2-8ab -128b2
2 2
例6、分解因式x -3xy 2y
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
2 2
例7、2x -7xy 6y
常用方法因式分解练习：
（1）4x（a —b） + （b2—a2）; (2) (a2+ b2) 2—4a2b2;
(3) x4+ 2x2—3;
22 6)4a 2－b 2＋ 6a －3b ；
4、56x 3yz+14x 2y 2z — 21xy 2z 2 (4) (x + y ) 2— 3 (x + y ) + 2; 7)a 2－c 2+2ab+b 2－d 2－2cd 8) a 2－ 4b 2－ 4c 2－ 8bc 32
5) x 3－ 2x 2－3x ；。