20162017学年江苏省无锡市天一中学高一(上)期末数学试卷(强化班)
江苏省天一中学2016-2017学年高一上学期期末考试化学试题 Word版含答案
江苏省天一中学高一期末测试卷化学命题:仇国政审阅:顾纯洁本卷满分:120分考试用时:100分钟可能用到的相对原子质量:H:1 C:12 N:14 O:16 Na:23 Mg:24 Al:27 S:32 Cl:35.5Ca:40 Mn:55 Fe:56 Cu:64 Zn:65 Br:80 Ag:108Ⅰ卷选择题(共40分)单项选择题(本题包括10小题,每小题2分,共计20分。
每小题只有一个选项符合题意)。
1、化学与环境、材料、信息、能源关系密切,下列说法错误的是()A.半导体行业中有一句话:“从沙滩到用户”,计算机芯片的材料是二氧化硅B.硫酸铁易溶于水,可作净水剂C.我国首艘航母“辽宁舰”上用于舰载机降落的拦阻索是特种钢缆,属于金属材料D.减少烟花爆竹的燃放,有利于降低空气中的PM2.5含量2、下列各组物质中,将前者加入后者时,无论前者是否过量,都能用同一个化学方程式表示的是()A.稀盐酸,Na2CO3溶液B.稀H2SO4溶液,NaAlO2溶液C.Cl2,NaBr溶液D.CO2,澄清石灰水3、下列各组物质不能实现直接转化的是()A.S→SO2→H2SO4→M gSO4B.Cu→C uCl2→C u(NO3)2→C u(OH)2C.Al→A l2O3→A l(OH)3→N aAlO2D.Na→N a2O→N a2CO3→N aCl4、下列关于镁和钠的比较,结论正确的是( )A.铝镁合金的硬度较大,钠钾合金的硬度较小B.因为钠的金属性比镁要强,所以钠的熔点比镁要高C.镁能置换硫酸铜溶液中的铜,钠也能置换硫酸铜溶液中的铜D.在空气中都能被点燃,生成的产物都是氧化物,氧在产物中的化合价都是-25、下列各种应用中,利用了硅元素的还原性的是()A.用硅制造集成电路、晶体管等半导体器件B.在野外,用硅、石灰、烧碱的混合物制取氢气:Si + Ca(OH)2+2NaOH=Na2SiO3+CaO+2H2↑C.用HF酸刻蚀玻璃:SiO2+4HF=SiF4↑+2H2OD.单质硅的制备:SiO2+2C Si+2CO↑6、将赤铜矿(Cu2O)与辉铜矿(Cu2S)混合加热发生以下反应:Cu2S+2Cu2O6Cu+SO2↑,下列说法错误的是()A.在Cu2O、Cu2S中Cu元素化合价都是+1价B.反应中Cu元素被氧化,S元素被还原C.Cu2S在反应中既是氧化剂,又是还原剂D.每生成6.4g Cu,反应中转移0.1mol e-7、向MgSO4和Al2(SO4)3的混合溶液中,逐滴加入NaOH溶液.下列图象中,能正确表示上述反应的是(横坐标表示加入NaOH溶液的体积,纵坐标表示反应生成沉淀的质量)()A. B. C. D.8、用一张已除去表面氧化膜的铝箔紧紧包裹在试管外壁,如图所示,将试管浸入硝酸汞溶液中,片刻取出,然后置于空气中,不久铝箔表面生出“白毛”,红墨水柱右端上升。
江苏省无锡市第一中学2016-2017学年度高一第二学期数学期末试卷
无锡市第一中学2016~2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.6一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置)1.已知直线l 的斜率2k =,且过定点P (0,1),则直线l 的方程是 .2.某高级中学高一年级有900人,高二年级有800人,高三年级有700人,现采用分层抽样的方法从三个年级中共抽取240人做问卷调查,则要抽取高二年级的学生人数是 .3.右图是小王同学所做的六套数学附加题得分的茎叶图(满分40分),则 其平均得分为 分.4.在△ABC 中,若∠B =60°,∠C =75°,a =8,则边b 的长等于 . 5.右图框内是一个算法的伪代码,如果输出的y 的值是20,则输入 的x 的值是 .6.在区间[0,1]间随机取出2个数(可以相同),则它们的差的绝对值大于12的概率是 . 7.下图是一个算法的流程图,则输出S 的值是 .8.某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人,如果这4名应聘者被录用的机会均等,则A 、B 两人中至少有1人被录用的概率是 . 9.等比数列{n a }的前n 项和为n S ,公比1q ≠,若3232S S =,则q 的值为 . 10.已知数列{n a }的前n 项和为22n S n n =-,现从该数列的前21项中抽掉某一项k a ,余下20项的平均数为40,则k = . 11.已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为 .12.已知无穷等差数列{n a }的首项、公差都为整数,且18a ≥,110a >,其前11项的和1177S ≤,则数列{n a }的通项公式为 .13.已知等比数列{n a }的首项和公比都是q (q ≥2),若存在正整数k ,使212k k ka a a ++-+仍为数列{n a }中的项,则q 的所有可能的值是 .14.在△ABC 中,已知3sin C 2sin B =,点M 、N 分别是边AC ,AB 的中点,则BMCN的取值范围是 .二、解答题(本大题共6小题,共90分,请将解答书写在答题卡的相应位置,解答须有必要的证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况,从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼,称得每条鱼的质量(单位:kg),并将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示).(1)在下面表格中填写相应的频率;(2)估计数据落在[1.15,1.30)中的概率为多少;(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库.几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼,其中带有记号的鱼有6条.请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.16.(本小题满分14分)一个袋中装有五个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5.(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)从袋中随机抽取两个球,求取出的球中至少有一个编号是偶数的概率;(3)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求编号m,n满足n<m+2的概率.17.(本小题满分14分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且BA=5,BC=3,∠ABC =120°,延长CB至D,使得∠DAB=∠ACD.(1)求AC的值;(2)求BABD的值.18.(本小题满分16分)已知直线l过第一象限内定点P(4,2).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若直线l与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B.①求△AOB面积的最小值(O为坐标原点);②当PA PB取得最小值时,求直线l的方程.19.(本小题满分16分)定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩,已知函数{}()min (),()F x f x g x =.(1)设()22f x x =-,2()242()g x x ax a a R =-+-∈,若对任意(2,)x ∈+∞,有()()F x f x =恒成立,求实数a 的取值范围;(2)设()21f x x =-,2()242(3)g x x ax a a =-+-≥. ①求使得等式()()F x g x =成立的x 的取值范围; ②求函数()F x 的最小值()m a .20.(本小题满分16分)已知数列{n c }的前n 项和为n S ,且满足2(2)n n S n c =+(n N *∈). (1)求1c 的值;(2)证明数列{n c }是等差数列;(3)设1a >,{n c }的公差为正数,记n c n b a =,求证:1212n nb b b b b n ++++≤ .。
【江苏省无锡市】2017届高三上学期期末数学试卷-答案
∵ ABCD 为矩形,∴ O 点为中点,
∵ E 为 PC 中点,
∴ OE∥PA ,
∵ OE 平面 PAD , PA 平面 PAD ,
∴ OE∥平面 PAD ,…8 分
同理可得: OF∥平面 PAD ,…10 分
∵ OE OF O ,
∴平面 OEF / / 平面 PAD ,…12 分
∵ EF 平面 OEF ,
∴ EF∥ PAD …14 分
17.解:(1)∵ EM BM , B MEN ,
∴ △BMN≌△EMN ,
∴ BNM MNE ,
∵ AME 2 ,
∴ BNM MNE ,
设 MN x ,
在 △BMN 中, BM xsin ,∴ EM BM xsin ,
∵ r 1 4e 8 0 ,
∴ ex 5 x 4 x 1 ,
从而有
-
1 4
1
m
5 4
2m e1m
,
即当 x 1,1 m , G x1 H x2 恒成立.
21.解:(1)曲线 C 的极坐标方程为 8sin ,即 2 8 sin .
1,
n1
∴ n 2 时, Ti 1 3T2 2T1 4T3 3T2 n 1Tn nTn1 i 1
n 1Tn 2T1 n 1Tn 1.
n1
∴存在关于 n 的整式 g n n 1,使得 Tn 1 Tn g n 1 对一切 n 2 , nN* 都成立. i 1
n
1
2
2n
3n 4
22n 3n
2
0
江苏省无锡市2016-2017学年高一上学期期末考试 数学 Word版含答案
2016年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷高一数学 2017.01一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设全集{}0,1,2,3,U =集合{}{}1,2,2,3A B ==,则()U C A B = .2.函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为 . 3.若函数()22,0,1,0,x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩则()()2f f -= . 4.在平面直角坐标系xoy 中,300 角终边上一点P 的坐标为()1,m ,则实数m 的值为 .5.已知幂函数()y f x =的图象过点13⎫⎪⎭,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .6.已知向量,a b 满足2,3a b == ,且3a b ⋅=- ,则a 与b 的夹角为 .7.若()1sin 3πα+=,则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ . 8.函数()2log 3cos 1,,22y x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的值域为 . 9.在ABC ∆中,E 是边AC 的中点,4BC BD = 若DE xAB yAC =+ ,则x y +=为 .10.将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象先向左平移3π个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为 .11.若函数()224f x x ax a =-+-的一个零点在()2,0-区间内,另一个零点在()1,3区间内,则实数a 的取值范围为 .12.若()sin cos 11,tan 1cos 23αααβα=-=-,则tan β= . 13.已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数,当0x >时,()24f x x x =-若函数()f x 在区间[],4t 上的值域为[]4,4-,则实数t 的取值范围为 .14.若函数()()sin 13f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间5,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则实数ω的取值范围为 .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.已知向量()()()3,1,1,2,.a b m a kb k R =-=-=+∈ (1)若m 与向量2a b - 垂直,求实数k 的值; (2)若向量()1,1c =- ,且m 与向量kb c + 平行,求实数k 的值.16.设0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 2αα+= (1)求cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值;(2)求7cos 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17.某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查,得到每月利润y (单位:万元)与相应月份数x 的部分数据如下表:(1)根据上表数据,请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y 与x 的变化关系,并说明理由:22,,x y ax b y x ax b y a b =+=-++=⋅;(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.20.已知函数()12.2x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)若()154f x =,求x 的值; (2)若不等式()()()2cos 1cos 0f m m f f θθ-+--=对所有0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立,求实数m 的取值范围.21.已知t 为实数,函数()()()2log 22,log a a f x x t g x x =--=,其中0 1.a <<(1)若函数()()1x f x g a kx =+-是偶函数,求实数k 的值; (2)当[]1,4x ∈时,()f x 的图象始终在()g x 的图象的下方,求t 的取值范围;(3)设4t =,当[](),x m n m n ∈<时,函数()y f x =的值域为[]0,2,若n m -的最小值为16,求实数a 的值.22.已知向量33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x x x a b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,函数()1,,,.34f x a b m a b x m R ππ⎡⎤=⋅-++∈-∈⎢⎥⎣⎦(1)当0m =时,求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值; (2)若()f x 的最小值为1-,求实数m 的值;(3)是否存在实数m ,使函数()()224,,4934g x f x m x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.。
江苏省天一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题(原卷版)
( )过点 .
( )直线在 轴上的截距为 .
19.求经过M(-1,2),且满足下列条件的直线方程
(1)与直线2x+y+5=0平行;
(2)与直线2x+y+5=0垂直.
20.圆心在直线 ,且与直线 相切于点 的圆的标准方程为__________.
21.直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得的弦长为4 ,求l的方程.
A. B.
C. D.
6.直线2x-y+4=0同时过第象限
A.一,二,三B.二,三,四
C.一,二,四D.一,三,四
7.若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于
A.2B.3
C.9D. -9
8.以 为端点的线段的垂直平分线的方程是
A. B.
C. D.
9.两个球 半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为( )
C.(-2,0)
D. (0,-2)
3.已知 , ,则直线 与直线 的位置关系是()
A.平行B.相交或异面C.异面D.平行或异面
4.如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是( )
A. B.
C. D.
5.已知正方体ABCD-A B C D 中,E、F分别为BB 、CC 的中点,那么异面直线AE与D F所成角的余弦值为
2Hale Waihona Puke .如图,在正方体 中,(1)求证:直线BD与平面 平行;
(2)求证:面 面
2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试试卷必修2
卷I
一、选择题(本大题共2道小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
江苏无锡市2016-2017高一数学上学期期末试题含答案
江苏无锡市2016-2017高一数学上学期期末试题(含答案)2016年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷高一数学2017.01一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设全集集合,则.2.函数的最小正周期为.3.若函数则.4.在平面直角坐标系中,角终边上一点P的坐标为,则实数的值为.5.已知幂函数的图象过点,则.6.已知向量满足,且,则与的夹角为.7.若,则.8.函数的值域为.9.在中,E是边AC的中点,若,则为.10.将函数的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为.11.若函数的一个零点在区间内,另一个零点在区间内,则实数a的取值范围为.12.若,则.13.已知是定义在上的奇函数,当时,若函数在区间上的值域为,则实数t的取值范围为.14.若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.已知向量(1)若与向量垂直,求实数的值;(2)若向量,且与向量平行,求实数的值.16.设,满足(1)求的值;(2)求的值.17.某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查,得到每月利润y(单位:万元)与相应月份数x的部分数据如下表:14712229244241196(1)根据上表数据,请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系,并说明理由:;(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.20.已知函数(1)若,求的值;(2)若不等式对所有都成立,求实数m的取值范围.21.已知t为实数,函数,其中(1)若函数是偶函数,求实数的值;(2)当时,的图象始终在的图象的下方,求t的取值范围;(3)设,当时,函数的值域为,若的最小值为,求实数a的值.22.已知向量,函数(1)当时,求的值;(2)若的最小值为,求实数的值;(3)是否存在实数m,使函数有四个不同的零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.。
江苏省无锡市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分).1.设全集U={0,1,2,3},集合A={1,2},B={2,3},则(∁U A)∪B=.2.函数的最小正周期为.3.若函数f(x)=,则f(f(﹣2))=.4.在平面直角坐标系xOy中,300°角终边上一点P的坐标为(1,m),则实数m的值为.5.已知幂函数y=f(x)的图象过点(,),则f()=.6.已知向量与满足||=2,||=3,且•=﹣3,则与的夹角为.7.已知sin(α+π)=﹣,则sin(2α+)=.8.函数y=log2(3cosx+1),x∈[﹣,]的值域为.9.在△ABC中,E是边AC的中点,=4,若=x+y,则x+y=.10.将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y=.11.若函数f(x)=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间(﹣2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是.12.若=1,tan(α﹣β)=,则tanβ=.13.已知f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=4x﹣x2,若函数f(x)在区间[t,4]上的值域为[﹣4,4],则实数t的取值范围是.14.若函数f(x)=|sin(ωx+)|(ω>1)在区间[π,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.15.已知向量=(﹣3,1),=(1,﹣2),=+k(k∈R).(1)若与向量2﹣垂直,求实数k的值;(2)若向量=(1,﹣1),且与向量k+平行,求实数k的值.16.设α∈(0,),满足sinα+cosα=.(1)求cos(α+)的值;(2)求cos(2α+π)的值.17.某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查,得到每月利润y(单位:万元)与相应月份数x的部分数据如表:(1)根据如表数据,请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系,并说明理由,y=ax3+b,y=﹣x2+ax+b,y=a•b x.(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.18.已知函数f(x)=()x﹣2x.(1)若f(x)=,求x的值;(2)若不等式f(2m﹣mcosθ)+f(﹣1﹣cosθ)<f(0)对所有θ∈[0,]都成立,求实数m的取值范围.19.已知t为实数,函数f(x)=2log a(2x+t﹣2),g(x)=log a x,其中0<a<1.(1)若函数y=g(a x+1)﹣kx是偶函数,求实数k的值;(2)当x∈[1,4]时,f(x)的图象始终在g(x)的图象的下方,求t的取值范围;(3)设t=4,当x∈[m,n]时,函数y=|f(x)|的值域为[0,2],若n﹣m的最小值为,求实数a的值.20.已知向量=(cos,sin),=(cos,﹣sin),函数f(x)=•﹣m|+|+1,x∈[﹣,],m∈R.(1)当m=0时,求f()的值;(2)若f(x)的最小值为﹣1,求实数m的值;(3)是否存在实数m,使函数g(x)=f(x)+m2,x∈[﹣,]有四个不同的零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.2016-2017学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分).1.设全集U={0,1,2,3},集合A={1,2},B={2,3},则(∁U A)∪B={0,2,3} .【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据补集与并集的定义,写出运算结果即可.【解答】解:全集U={0,1,2,3},集合A={1,2},B={2,3},则∁U A={0,3},所以(∁U A)∪B={0,2,3}.故答案为:{0,2,3}.2.函数的最小正周期为π.【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】由函数解析式找出ω的值,代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期.【解答】解:函数,∵ω=2,∴T==π.故答案为:π3.若函数f(x)=,则f(f(﹣2))=5.【考点】函数的值.【分析】先求出f(﹣2)=(﹣2)2﹣1=3,从而f(f(﹣2))=f(3),由此能求出结果.【解答】解:∵函数f(x)=,∴f(﹣2)=(﹣2)2﹣1=3,f(f(﹣2))=f(3)=3+2=5.故答案为:5.4.在平面直角坐标系xOy中,300°角终边上一点P的坐标为(1,m),则实数m的值为﹣.【考点】任意角的三角函数的定义.【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式,可得tan300°=﹣=,从而求得m的值.【解答】解:在平面直角坐标系xOy中,∵300°角终边上一点P的坐标为(1,m),∴tan300°=tan=﹣tan60°=﹣=,∴m=﹣,故答案为:﹣.5.已知幂函数y=f(x)的图象过点(,),则f()=4.【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【分析】在解答时可以先设出幂函数的解析式,由于过定点,从而可解得函数的解析式,故而获得问题的解答.【解答】解:∵幂函数y=f(x)=xα的图象过点(,),∴=,解得:α=﹣2,故f(x)=x﹣2,f()==4,故答案为:4.6.已知向量与满足||=2,||=3,且•=﹣3,则与的夹角为.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ的值,可得与的夹角θ 的值.【解答】解:∵向量与满足||=2,||=3,且•=﹣3,设与的夹角为θ,则cosθ===﹣,∴θ=,故答案为:.7.已知sin(α+π)=﹣,则sin(2α+)=.【考点】两角和与差的正弦函数.【分析】根据诱导公式和二倍角公式计算即可.【解答】解:∵sin(α+π)=﹣,∴sinα=,∴sin(2α+)=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=,故答案为:.8.函数y=log2(3cosx+1),x∈[﹣,]的值域为[0,2] .【考点】对数函数的图象与性质.【分析】根据x∈[﹣,],得出1≤3cosx+1≤4,利用对数函数的性质,即可得出结论.【解答】解:∵x∈[﹣,],∴0≤cosx≤1,∴1≤3cosx+1≤4,∴0≤log2(3cosx+1)≤2,故答案为[0,2].9.在△ABC中,E是边AC的中点,=4,若=x+y,则x+y=﹣.【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】由E是边AC的中点,=4,可得=,所以x=﹣,y=,x+y=﹣.【解答】解:∵E是边AC的中点,=4,∴=,所以x=﹣,y=,x+y=﹣.故答案为:﹣.10.将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y=sin(4x+).【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】先求函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移,图象的函数表达式,再求图象上所有的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式.【解答】解:将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移,得到函数y=sin[2(x+)﹣]=sin(2x+)的图象,将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式为:y=sin(4x+)故答案为:sin(4x+).11.若函数f(x)=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间(﹣2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是(0,2).【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系.【分析】由条件利用二次函数的性质可得,由此求得a的范围.【解答】解:∵函数f(x)=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间(﹣2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,∴,求得0<a<2,故答案为:(0,2).12.若=1,tan(α﹣β)=,则tanβ=.【考点】两角和与差的正切函数.【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值,再利用两角差的正切公式求得tanβ=tan[α﹣(α﹣β)]的值.【解答】解:∵═==,∴tanα=,又tan(α﹣β)=,则tanβ=tan[α﹣(α﹣β)]===,故答案为:.13.已知f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=4x﹣x2,若函数f(x)在区间[t,4]上的值域为[﹣4,4],则实数t的取值范围是[﹣2﹣2,﹣2] .【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式,利用数形结合以及一元二次函数的性质进行求解即可.【解答】解:如x<0,则﹣x>0,∵当x>0时,f(x)=4x﹣x2,∴当﹣x>0时,f(﹣x)=﹣4x+x2,∵函数f(x)是奇函数,∴f(0)=0,且f(﹣x)=﹣4x+x2=﹣f(x),则f(x)=4x+x2,x<0,则函数f(x)=,则当x>0,f(x)=4x﹣x2=﹣(x﹣2)2+4≤4,当x<0,f(x)=4x+x2=(x+2)2﹣4≥﹣4,当x<0时,由4x+x2=4,即x2+4x﹣4=0得x==﹣2﹣2,(正值舍掉),若函数f(x)在区间[t,4]上的值域为[﹣4,4],则﹣2﹣2≤t≤﹣2,即实数t的取值范围是[﹣2﹣2,﹣2],故答案为:[﹣2﹣2,﹣2]14.若函数f(x)=|sin(ωx+)|(ω>1)在区间[π,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是[,] .【考点】正弦函数的图象.【分析】由题意求得ω≤2,区间[π,]内的x值满足kπ+≤ωx+≤kπ+π,k∈z,求得k+≤ω≤(k+),k∈z,再给k取值,进一步确定ω的范围.【解答】解:∵函数f(x)=|sin(ωx+)|(ω>0)在[π,π]上单调递减,∴T=≥,即ω≤2.∵ω>0,根据函数y=|sinx|的周期为π,减区间为[kπ+,kπ+π],k∈z,由题意可得区间[π,]内的x值满足kπ+≤ωx+≤kπ+π,k∈z,即ω•π+≥kπ+,且ω•+≤kπ+π,k∈z.解得k+≤ω≤(k+),k∈z.求得:当k=0时,≤ω≤,不符合题意;当k=1时,≤ω≤;当k=2时,≤ω≤,不符合题意.综上可得,≤ω≤,故答案为:[,].二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.15.已知向量=(﹣3,1),=(1,﹣2),=+k(k∈R).(1)若与向量2﹣垂直,求实数k的值;(2)若向量=(1,﹣1),且与向量k+平行,求实数k的值.【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量数量积的运算.【分析】(1)由与向量2﹣垂直,可得•(2﹣)=0,解得k.(2)利用向量共线定理即可得出.【解答】解:(1)=+k=(﹣3+k,1﹣2k),2﹣=(﹣7,4).∵与向量2﹣垂直,∴•(2﹣)=﹣7(﹣3+k)+4(1﹣2k)=0,解得k=.(2)k+=(k+1,﹣2k﹣1),∵与向量k+平行,∴(﹣2k﹣1)(﹣3+k)﹣(1﹣2k)(k+1)=0,解得k=.16.设α∈(0,),满足sinα+cosα=.(1)求cos(α+)的值;(2)求cos(2α+π)的值.【考点】三角函数的化简求值.【分析】(1)利用两角和的正弦公式求得sin(α+)的值,再利用同角三角函数的基本关系求得cos(α+)的值.(2)利用二倍角公式求得cos(2α+)的值,可得sin(2α+)的值,从而求得cos(2α+π)=cos[(2α+)+]的值.【解答】解:(1)∵α∈(0,),满足sinα+cosα==2sin(α+),∴sin(α+)=.∴cos(α+)==.(2)∵cos(2α+)=2﹣1=,sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2••=,∴cos(2α+π)=cos[(2α+)+]=cos(2α+)cos﹣sin(2α+)sin=﹣=.17.某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查,得到每月利润y(单位:万元)与相应月份数x的部分数据如表:(1)根据如表数据,请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系,并说明理由,y=ax3+b,y=﹣x2+ax+b,y=a•b x.(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)由题意知,描述每月利润y(单位:万元)与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数,排除另2个函数,选二次函数模型进行描述;(2)由二次函数的图象与性质,求出函数y=﹣x2+10x+220在x取何值时有最小值.【解答】解:(1)由题目中的数据知,描述每月利润y(单位:万元)与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数;所以,应选取二次函数y=﹣x2+ax+b进行描述;(2)将(1,229),(4,244)代入y=﹣x2+ax+b,解得a=10,b=220,∴y=﹣x2+10x+220,1≤x≤12,x∈N,+y=﹣(x﹣5)2+245,∴x=5,y max=245万元.18.已知函数f(x)=()x﹣2x.(1)若f(x)=,求x的值;(2)若不等式f(2m﹣mcosθ)+f(﹣1﹣cosθ)<f(0)对所有θ∈[0,]都成立,求实数m的取值范围.【考点】函数恒成立问题;函数的值.【分析】(1)由f(x)=()x﹣2x=可求得2x=,从而可求得x的值;(2)由f(x)=()x﹣2x可判断f(x)为奇函数,且为减函数,不等式f(2m﹣mcosθ)+f(﹣1﹣cosθ)<f(0)⇔2m﹣mcosθ>1+cosθ对所有θ∈[0,]都成立,分离参数m,利用函数的单调性可求实数m的取值范围.【解答】解:(1)令t=2x>0,则﹣t=,解得t=﹣4(舍)或t=,…3分,即2x=,所以x=﹣2…6分(2)因为f(﹣x)=﹣2﹣x=2x﹣=﹣f(x),所以f(x)是定义在R上的奇函数,…7故f(0)=0,由f(2m﹣mcosθ)+f(﹣1﹣cosθ)<f(0)=0得:f(2m﹣mcosθ)<f(1+cosθ) (8)分,又f(x)=()x﹣2x在R上单调递减,…9分,所以2m﹣mcosθ>1+cosθ对所有θ∈[0,]都成立,…10分,所以m>,θ∈[0,],…12分,令μ=cosθ,θ∈[0,],则μ∈[0,1],y==﹣1+,μ∈[0,1]的最大值为2,所以m的取值范围是m>2 (16)分19.已知t为实数,函数f(x)=2log a(2x+t﹣2),g(x)=log a x,其中0<a<1.(1)若函数y=g(a x+1)﹣kx是偶函数,求实数k的值;(2)当x∈[1,4]时,f(x)的图象始终在g(x)的图象的下方,求t的取值范围;(3)设t=4,当x∈[m,n]时,函数y=|f(x)|的值域为[0,2],若n﹣m的最小值为,求实数a的值.【考点】函数单调性的判断与证明;对数函数的图象与性质.【分析】(1)根据偶函数的定义可得k的值;(2)构造函数h(x)=f(x)﹣g(x),根据对数函数的图象和性质可得,只需要t>﹣2x++2恒成立,根据二次函数的性质求出t的取值范围即可;(3)先判断函数y=|f(x)|的单调性,令|2log a(2x+2)|=2,得到x=或,即可得到n﹣m的最小值为(﹣)﹣=,求出a即可.【解答】解:(1)∵函数y=g(a x+1)﹣kx是偶函数,∴log a(a﹣x+1)+kx=log a(a x+1)﹣kx,对任意x∈R恒成立,∴2kx=log a(a x+1)﹣log a(a﹣x+1)=log a()=x∴k=,(2)由题意设h (x )=f (x )﹣g (x )=2log a (2x +t ﹣2)﹣log a x <0在x ∈[1,4]恒成立,∴2log a (2x +t ﹣2)<log a x , ∵0<a <1,x ∈[1,4],∴只需要2x +t ﹣2>恒成立,即t >﹣2x ++2恒成立,∴t >(﹣2x ++2)max ,令y=﹣2x ++2=﹣2()2++2=﹣2(﹣)2+,x ∈[1,4],∴(﹣2x ++2)max =1,∴t 的取值范围是t >1, (3)∵t=4,0<a <1,∴函数y=|f (x )|=|2log a (2x +2)|在(﹣1,﹣)上单调递减,在(﹣,+∞)上单调递增,∵当x ∈[m ,n ]时,函数y=|f (x )|的值域为[0,2],且f (﹣)=0,∴﹣1<m ≤≤n (等号不同时取到),令|2log a (2x +2)|=2,得x=或,又[﹣(﹣)]﹣[(﹣)﹣]=>0,∴﹣(﹣)>(﹣)﹣,∴n ﹣m 的最小值为(﹣)﹣=,∴a=.20.已知向量=(cos ,sin),=(cos ,﹣sin ),函数f (x )=•﹣m |+|+1,x ∈[﹣,],m ∈R .(1)当m=0时,求f ()的值;(2)若f (x )的最小值为﹣1,求实数m 的值;(3)是否存在实数m,使函数g(x)=f(x)+m2,x∈[﹣,]有四个不同的零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.【考点】函数零点的判定定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【分析】(1)利用向量数量积的公式化简函数f(x)即可.(2)求出函数f(x)的表达式,利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可.(3)由g(x)=0得到方程的根,利用三角函数的性质进行求解即可.【解答】解:(1)•=(cos,sin)•(cos,﹣sin)=cos cos﹣sinsin=cos(+)=cos2x,当m=0时,f(x)=•+1=cos2x+1,则f()=cos(2×)+1=cos+1=;(2)∵x∈[﹣,],∴|+|===2cosx,则f(x)=•﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx,令t=cosx,则≤t≤1,则y=2t2﹣2mt,对称轴t=,①当<,即m<1时,当t=时,函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1,得m=(舍),②当≤≤1,即m<1时,当t=时,函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1,得m=,③当>1,即m>2时,当t=1时,函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1,得m=(舍),综上若f(x)的最小值为﹣1,则实数m=.(3)令g(x)=2cos2x﹣2mcosx+m2=0,得cosx=或,∴方程cosx=或在x∈[﹣,]上有四个不同的实根,则,得,则≤m<,即实数m的取值范围是≤m<.2017年1月25日。
易错汇总江苏省无锡市高一上学期期末数学试卷和答案
故答案为:﹣ .
10.( 5.00 分)将函数 y=sin(2x﹣ )的图象先向左平移 个单位,再将图象 上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为 y= sin ( 4x+ ) . 【分析】 先求函数 y=sin(2x﹣ )的图象先向左平移 ,图象的函数表达式, 再求图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象 对应的函数解析式. 【解答】 解:将函数 y=sin(2x﹣ )的图象先向左平移 , 得到函数 y=sin[ 2(x+ )﹣ ] =sin( 2x+ )的图象, 将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变), 则所得到的图象对应的函数解析式为: y=sin( 4x+ ) 故答案为: sin( 4x+ ).
的最小正周期为
.
3.(5.00 分)若函数 f(x)=
,则 f (f (﹣ 2))=
.
4.( 5.00 分)在平面直角坐标系 xOy 中,300°角终边上一点 P 的坐标为 (1,m),
则实数 m 的值为
.
5.(5.00 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , ),则 f( )=
.
6.( 5.00 分)已知向量 与 满足 | | =2, | | =3,且 ? =﹣3,则 与 的夹角
=4,
故答案为: 4.
6.(5.00 分)已知向量 与 满足 | | =2,| | =3,且 ? =﹣3,则 与 的夹角为 .
【分析】 由条件利用两个向量的数量积的定义求得 cosθ的值,可得 与 的夹角 θ 的值. 【解答】 解:∵向量 与 满足 | | =2,| | =3,且 ? =﹣ 3,设 与 的夹角为 θ,
江苏省天一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
所以过点(0,-3)
-3(t-2)+3-2t=0
5t=9
t=9/5
19.求经过M(-1,2),且满足下列条件的直线方程
(1)与直线2x+y+5=0平行;
(2)与直线2x+y+5=0垂直.
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】试题分析:(1)与直线2x + y + 5 = 0平行的直线方程可设为 ,再将点的坐标代入直线方程可解得t的值(2)与直线2x + y + 5 = 0垂直的直线方程可设为 ,再将点的坐标代入直线方程可解得t的值
【详解】分别设长、宽、高为am,bm,hm;水池的总造价为y元,则V=abh=16, h=2,b=2,
∴a=4m,∴S底=4×2=8m2,S侧=2×(2+4)×2=24m2,
∴y=120×8+80×24=2880元.
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的转化能力,属于基础题.
18.已知直线 ,分别根据下列条件,求 的值.
2.圆(x+2)2+y2=5的圆心为( )
A. (2,0)
B. (0,2)
C. (-2,0)
D.(0,-2)
【答案】C
【解析】
【详解】由圆标准方程得圆心为(-2,0),选C.
3.已知 , ,则直线 与直线 的位置关系是()
A.平行B.相交或异面C.异面D.平行或异面
【答案】D
【解析】
【分析】由直线 平面 ,直线 在平面 内,知 ,或 与 异面.
13.已知 与 ,若两直线平行,则 的值为_______
【答案】
【解析】
【详解】两直线平行则斜率相等,所以 ,解得
江苏省无锡市锡山区天一中学2016-2017学年高一上学期期中数学试卷(强化班) Word版含解析
2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(上)期中数学试卷(强化班)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.已知全集A={70,1946,1997,2003},B={1,10,70,2016},则A∩B=.2.函数y=的定义域为.3.若函数f(x)是幂函数,且满足=,则f(2)的值为.4.集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,则a的最大值为.5.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是小时.x=.7.函数sgn(x)=,设a=+,b=2017,则的值为.8.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围是.9.设f(x)为定义在R上的奇函数,f(1)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=.10.已知函数f(x)=﹣x2+ax+b的值域为(﹣∞,0],若关x的不等式的解集为(m﹣4,m+1),则实数c的值为.11.函数在[2,+∞)上是增函数,实数a的范围是(m,n](m<n),则m+n的值为.12.若函数f(x)=(4﹣x2)(ax2+bx+5)的图象关于直线对称,则f(x)的最大值是.13.已知函数,若函数g(x)=|f(x)|﹣a有四个不同零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则的最小值为.14.函数在R上的最大值为.二、解答题:本大题共6题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(见答题纸)15.已知集合A={x|2≤x≤11},B={x|4≤x≤20},C={x|x≤a}.(1)求A∪B与(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠∅,求a的取值范围.16.设二次函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)+f(x)=2x2﹣2x﹣3(1)求f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)=a有两个实数根x1,x2,且满足:﹣1<x1<2<x2,求实数a的取值范围.17.(1)(2)(3)已知a,b,c为正实数,a x=b y=c z,,求abc的值.18.已知定义域为R的函数.(1)用定义证明:f(x)为R上的奇函数;(2)用定义证明:f(x)在R上为减函数;(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.19.设a为实数,函数f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;(2)求f(x)在R上的单调区间(无需使用定义严格证明,但必须有一定的推理过程);(3)当a>2时,求函数g(x)=f(x)+|x|在R上的零点个数.20.已知函数f(x)=x+﹣4,g(x)=kx+3.(1)当a=k=1时,求函数y=f(x)+g(x)的单调递增与单调递减区间;(2)当a∈[3,4]时,函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),试求实数m的取值范围;(3)当a∈[1,2]时,若不等式|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2)对任意x1,x2∈[2,4](x1<x2)恒成立,求实数k的取值范围.2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(上)期中数学试卷(强化班)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.已知全集A={70,1946,1997,2003},B={1,10,70,2016},则A∩B={70} .【考点】交集及其运算.【分析】由A与B,求出两集合的交集即可.【解答】解:∵A={70,1946,1997,2003},B={1,10,70,2016},∴A∩B={70}.故答案为:{70}2.函数y=的定义域为(﹣2,8] .【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据函数y的解析式,列出使解析式有意义的不等式,求出解集即可.【解答】解:∵函数y=,∴1﹣lg(x+2)≥0,即lg(x+2)≤1,∴0<x+2≤10,解得﹣2<x≤8,∴函数y的定义域为(﹣2,8].故答案为:(﹣2,8].3.若函数f(x)是幂函数,且满足=,则f(2)的值为2.【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【分析】设f(x)=xα,依题意可求得α,从而可求得f(2)的值.【解答】解:设f(x)=xα,依题意,=2﹣α=,∴α=1,∴f(x)=x,∴f(2)=2,故答案为:2.4.集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,则a的最大值为2.【考点】并集及其运算.【分析】当a>1时,代入解集中的不等式中,确定出A,求出满足两集合的并集为R时的a 的范围;当a=1时,易得A=R,符合题意;当a<1时,同样求出集合A,列出关于a的不等式,求出不等式的解集得到a的范围.综上,得到满足题意的a范围,即可求出a的最大值.【解答】解:当a>1时,A=(﹣∞,1]∪[a,+∞),B=[a﹣1,+∞),若A∪B=R,则a﹣1≤1,∴1<a≤2;当a=1时,易得A=R,此时A∪B=R;当a<1时,A=(﹣∞,a]∪[1,+∞),B=[a﹣1,+∞),若A∪B=R,则a﹣1≤a,显然成立,∴a<1;综上,a的取值范围是(﹣∞,2].则a的最大值为2,故答案为.2.5.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是24小时.【考点】函数与方程的综合运用.【分析】由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.代入函数y=e kx+b,解方程,可得k,b,再由x=33,代入即可得到结论.【解答】解:由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.代入函数y=e kx+b,可得e b=192,e22k+b=48,即有e11k=,e b=192,则当x=33时,y=e33k+b=×192=24.故答案为:24.x=3.【考点】函数的值.【分析】由函数性质得:f(3)=1,g(f(3))=g(1)=3.由此能求出关于x的方程g(f(x))=x的解.【解答】解:∵两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},∴由函数性质得:f(3)=1,g(f(3))=g(1)=3.∵关于x的方程g(f(x))=x,∴x=3.故答案为:3.7.函数sgn(x)=,设a=+,b=2017,则的值为2017.【考点】函数的值.【分析】求出a=,由此利用函数性质能求出的值.【解答】解:∵sgn(x)=,设,∴a=+=,∴==2017.故答案为:2017.8.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围是(﹣1,3).【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的性质.【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f(|x﹣1|)>f(2),即可得到结论.【解答】解:∵偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,∴不等式f(x﹣1)>0等价为f(x﹣1)>f(2),即f(|x﹣1|)>f(2),∴|x﹣1|<2,解得﹣1<x<3,故答案为:(﹣1,3)9.设f(x)为定义在R上的奇函数,f(1)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=5.【考点】抽象函数及其应用;函数奇偶性的性质.【分析】利用奇函数求出f(0),利用抽象函数求出f(2),转化求解f(5)即可.【解答】解:f(x)为定义在R上的奇函数,可得f(0)=0;f(1)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),当x=1时,f(3)=f(1)+f(2)=1+f(2),当x=﹣1时,f(1)=f(﹣1)+f(2),可得f(2)=2.f(5)=f(3)+f(2)=1+2f(2)=1+4=5.故答案为:5.10.已知函数f(x)=﹣x2+ax+b的值域为(﹣∞,0],若关x的不等式的解集为(m﹣4,m+1),则实数c的值为21.【考点】二次函数的性质.【分析】根据题意,△=a2+4b=0;m﹣4与m+1为方程x2﹣ax﹣b﹣﹣1=0的两根;函数y=x2﹣ax﹣b﹣﹣1的对称轴为x===;可求出a,m的值,再求c.【解答】解:由题意,函数f(x)=﹣x2+ax+b的值域为(﹣∞,0],∴△=a2+4b=0 ①;由不等式化简:x2﹣ax﹣b﹣﹣1<0m﹣4与m+1为方程x2﹣ax﹣b﹣﹣1=0的两根;m﹣4+m+1=a ②;(m﹣4)(m+1)=﹣b﹣﹣1 ③;函数y=x2﹣ax﹣b﹣﹣1的对称轴为x===;所以a=5;由①②知:m=4,b=﹣;由③知:c=21故答案为:2111.函数在[2,+∞)上是增函数,实数a的范围是(m,n](m<n),则m+n的值为0.【考点】复合函数的单调性.【分析】由题意可得,,求得a的范围,结合条件求得m,n的值,可得m+n 的值.【解答】解:∵函数在[2,+∞)上是增函数,∴,求得﹣4<a≤4,再结合实数a的范围是(m,n](m<n),可得m=﹣4,n=4,则m+n=0,故答案为:0.12.若函数f(x)=(4﹣x2)(ax2+bx+5)的图象关于直线对称,则f(x)的最大值是36.【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】由点(2,0),(﹣2,0)在函数f(x)的图象上,得点(﹣1,0),(﹣5,0)必在f (x)图象上,从而得a=1,b=6.f(x)=(4﹣x2)(x2+6x+5)=﹣(x2+3x+2)(x2+3x﹣10),令,能求出f(x)的最大值.【解答】解:∵函数f(x)=(4﹣x2)(ax2+bx+5)的图象关于直线对称,点(2,0),(﹣2,0)在函数f(x)的图象上,∴点(﹣1,0),(﹣5,0)必在f(x)图象上,则,解得a=1,b=6.∴f(x)=(4﹣x2)(x2+6x+5)=﹣(x+2)(x﹣2)(x+1)(x+5)=﹣(x2+3x+2)(x2+3x﹣10),令,则f(x)=﹣t(t﹣12)=﹣t2+12t=﹣(t﹣6)2+36,当t=6时,函数f(x)的最大值为36.故f(x)的最大值是36.13.已知函数,若函数g(x)=|f(x)|﹣a有四个不同零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则的最小值为2016.【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】画出函数y=|f(x)|的图象,由题意得出a的取值范围和x1x2,x3+x4的值,再利用二次函数配方法即可求出最小值.【解答】解:由题意,画出函数y=|f(x)|的图象,如图所示,又函数g(x)=a﹣|f(x)|有四个零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,所以0<a≤2,且log2(﹣x1)=﹣log2(﹣x2)=2﹣x3=x4﹣2,所以x1x2=1,x3+x4=4,则=a2﹣2a+2017=(a﹣1)2+2016,当a=1时,取得最小值2016.故答案为:2016.14.函数在R上的最大值为1.【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】当x≠0时,═令,t∈R,原函数化为g(t)=,可得原函数的最大值..【解答】解:1)当x=0时,f(x)=0;2)当x≠0时,═,令,t∈R,原函数化为g(t)=,又因为t+或为t+,原函数的最大值为1.故答案:1.二、解答题:本大题共6题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(见答题纸)15.已知集合A={x|2≤x≤11},B={x|4≤x≤20},C={x|x≤a}.(1)求A∪B与(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠∅,求a的取值范围.【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】(1)根据并集与补集、交集的定义进行计算即可;(2)化简交集和空集的定义,即可得出结论.【解答】解:(1)集合A={x|2≤x≤11},B={x|4≤x≤20},∴A∪B={x|2≤x≤20}=[2,20];…3分∁R A={x|x<2或x>11},∴(∁R A)∩B={x|11<x≤20}=(11,20];…7分(2)集合A={x|2≤x≤11},C={x|x≤a},当A∩C≠∅时,a≥2.…14分.16.设二次函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)+f(x)=2x2﹣2x﹣3(1)求f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)=a有两个实数根x1,x2,且满足:﹣1<x1<2<x2,求实数a的取值范围.【考点】二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法.【分析】(1)设出二次函数,利用函数的解析式,化简表达式,通过比较系数,求出函数的解析式.(2)利用二次函数根与系数的关系,列出不等式,求解a的范围即可.【解答】解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)+f(x)=2ax2+(2a+2b)x+a+b+2c=2x2﹣2x﹣3…3分所以,解得:a=1,b=﹣2,c=﹣1,从而f(x)=x2﹣2x﹣1…7分(2)令g(x)=f(x)﹣a=x2﹣2x﹣1﹣a=0由于﹣1<x1<2<x2,所以…10分解得﹣1<a<2…14分.17.(1)(2)(3)已知a,b,c为正实数,a x=b y=c z,,求abc的值.【考点】对数的运算性质.【分析】(1)利用指数幂的运算性质即可得出.(2)(3)利用对数的运算性质即可得出.【解答】解:(1)原式=﹣1+=﹣1+2=2.(2)原式===﹣2.(3)∵a,b,c为正实数,a x=b y=c z=k>0,k≠1.∴x=,y=,z=.∵,∴==0,∴abc=118.已知定义域为R的函数.(1)用定义证明:f(x)为R上的奇函数;(2)用定义证明:f(x)在R上为减函数;(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.【考点】函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合.【分析】(1)因为f(﹣x)===﹣=﹣f(x),利用奇函数的定义即可证明f(x)为R上的奇函数;(2)令x1<x2,则<,将f(x1)与f(x2)作差,利用函数单调性的定义可证明:f(x)在R上为减函数;(3)由(1)(2)可知奇函数f(x)在R上为减函数,故f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立⇔t2﹣2t>k﹣2t2恒成立,即k<(3t2﹣2t)min,利用二次函数的单调性质可求得(3t2﹣2t)min,从而可求k的取值范围.【解答】(1)证明:∵,∴f(﹣x)===﹣=﹣f(x),∴f(x)为R上的奇函数;…5分(2)解:∵=﹣1+,令x1<x2,则<,∴f(x1)﹣f(x2)=﹣=>0,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在R上为减函数;…11分(3)解:∵f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0,f(x)为R上的奇函数,∴f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),又f(x)在R上为减函数,∴t2﹣2t>k﹣2t2恒成立,∴k<(3t2﹣2t)min,由二次函数的单调性质知,当t=时,y=(3t2﹣2t)min,取得最小值,即(3t2﹣2t)min,=3×()2﹣2×=﹣.∴…16分.19.设a为实数,函数f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;(2)求f(x)在R上的单调区间(无需使用定义严格证明,但必须有一定的推理过程);(3)当a>2时,求函数g(x)=f(x)+|x|在R上的零点个数.【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)根据f(0)≤1列不等式,对a进行讨论解出a的范围;(2)根据二次函数的对称轴和开口方向判断单调区间;(3)写出g(x)的函数解析式,利用二次函数的性质判断g(x)的单调性,根据零点的存在性定理判断.【解答】解:(1)f(0)=a2+|a|﹣a2+a=|a|+a,因为f(0)≤1,所以|a|+a≤1,当a≤0时,0≤1,显然成立;当a>0,则有2a≤1,所以.所以.综上所述,a的取值范围是.(2),对于y=x2﹣(2a﹣1)x,其对称轴为,开口向上,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增;对于y=x2﹣(2a+1)x,其对称轴为,开口向上,所以f(x)在(﹣∞,a)上单调递减.综上所述,f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(﹣∞,a)上单调递减.(3)g(x)=.∵y1=x2+(2﹣2a)x的对称轴为x=a﹣1,y2=x2﹣2ax+2a的对称轴为x=a,y3=x2﹣(2a+2)x+2a 的对称轴为x=a+1,∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.∵g(0)=2a>0,g(a)=a2+(2﹣2a)a=2a﹣a2=﹣(a﹣1)2+1,∵a>2,∴g(a)=﹣(a﹣1)2+1在(2,+∞)上单调递减,∴g(a)<g(2)=0.∴f(x)在(0,a)和(a,+∞)上各有一个零点.综上所述,当a>2时,g(x)=f(x)+|x|有两个零点.20.已知函数f(x)=x+﹣4,g(x)=kx+3.(1)当a=k=1时,求函数y=f(x)+g(x)的单调递增与单调递减区间;(2)当a∈[3,4]时,函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),试求实数m的取值范围;(3)当a∈[1,2]时,若不等式|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2)对任意x1,x2∈[2,4](x1<x2)恒成立,求实数k的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)将a=k=1代入函数,求出函数y=f(x)+g(x)的导数,从而求出函数的单调区间即可;(2)解不等式f(m)≥f(1)即可;(3)不等式等价于F(x)=|f(x)|﹣g(x)在[2,4]上递增,显然F(x)为分段函数,结合单调性对每一段函数分析讨论即可.【解答】解:(1)a=k=1时,y=f(x)+g(x)=2x+﹣1,y′=2﹣=,令y′>0,解得:x>1或x<﹣1,令y′<0,解得:﹣1<x<1且x≠0,故函数在(﹣∞,﹣1)递增,在(﹣1,0),(0,1)递减,在(1,+∞)递增;(2)∵a∈[3,4],∴y=f(x)在(1,)上递减,在(,+∞)上递增,又∵f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),∴f(m)≥f(1),解得(m﹣1)(m﹣a)≥0,∴m≥a max,即m≥4;(3)∵|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2),∴|f(x1)|﹣g(x1)<|f(x2)|﹣g(x2)恒成立,令F(x)=|f(x)|﹣g(x),则F(x)在[2,4]上递增.对于F(x)=,(i)当x∈[2,2+]时,F(x)=(﹣1﹣k)x﹣+1,①当k=﹣1时,F(x)=﹣+1在[2,2+]上递增,所以k=﹣1符合;②当k<﹣1时,F(x)=(﹣1﹣k)x﹣+1在[2,2+]上递增,所以k<﹣1符合;③当k>﹣1时,只需≥2+,即≥(+)max=2+,所以﹣1<k≤6﹣4,从而k≤6﹣4;(ii)当x∈(2+,4]时,F(x)=(1﹣k)x+﹣7,①当k=1时,F(x)=﹣7在(2+,4]上递减,所以k=1不符合;②当k>1时,F(x)=(1﹣k)x+﹣7在(2+,4]上递减,所以k>1不符合;③当k<1时,只需≤2+,即≤(+)min=1+,所以k<2﹣2,综上可知:k≤6﹣4.2016年12月27日。
2016—2017学年第一学期高一级数学期末考试答案 精品
2016-2017学年度第一学期高一级数学科期末试题答案二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
)2y x =或 30x y +-= 16. 1118三、解答题:(本大题共6小题,共70分。
)17.(本题满分10分)【解答】解:(1)∵点O (0,0),点C (1,3),∴OC 所在直线的斜率为.(2)在平行四边形OABC 中,AB ∥OC , ∵CD ⊥AB ,∴CD ⊥OC .∴CD 所在直线的斜率为.∴CD 所在直线方程为,即x+3y ﹣10=0.18. (本题满分12分) 【解答】证明:(Ⅰ)∵AE ⊥平面CDE ,CD ⊂平面CDE , ∴AE ⊥CD ,又在正方形ABCD 中,CD ⊥AD ,AE∩AD =A , ∴CD ⊥平面ADE ,又在正方形ABCD 中,AB ∥CD , ∴AB ⊥平面ADE .…(6分) 解:(Ⅱ)连接BD ,设B 到平面CDE 的距离为h , ∵AB ∥CD ,CD ⊂平面CDE ,∴AB ∥平面CDE ,又AE ⊥平面CDE , ∴h=AE=1,又=,∴=,又==,∴凸多面体ABCDE 的体积V=V B ﹣CDE +V B ﹣ADE =.…(12分)19. (本题满分12分) 解:1)、(0)01x R f a ∈∴=∴=-……………….3分2)、22()1()13131x x f x f x =-∴+=++, 012314x x ≤≤∴≤+≤ ……………….5分1()112f x ∴≤+≤……………….7分 112t ∴≤≤……………….8分 (3)1132)(-+=xx f 在R 上单调递减,…………….9分 )22()(2m x f mx x f -≥-m x mx x 222-≤-…………….10分02)2(2≤++-m x m x0))(2(≤--m x x …………….11分(1)当2>m 时,不等式的解集是{}m x x ≤≤2| (2)当2=m 时,不等式的解集是{}2|=x x(3)当2<m 时,不等式的解集是{}2|≤≤x m x …………….14分20. 解:(1)由题意,112(),(),0;0)f x k x g x k k k x ==≠≥ 又由图知f (1.8)=0.45 ,g(4)=2.5;解得1215,44k k == ………….2分∴1()(0);()0)4f x x x g x x =≥=≥ ……….3分 (不写定义域扣1分)(2)设对股票等风险型产品B 投资x 万元,则对债券等稳键型产品A 投资(10-x )万元, 记家庭进行理财投资获取的收益为y 万元, ……….4分则1(10)0)4y x x =-+≥ ……….6分t =,则2x t =,(0t ≤ ……….8分∴21565()4216y t =--+ ……….10分 当52t =也即254x =时,y 取最大值6516……….11分答:对股票等风险型产品B 投资254万元,对债券等稳键型产品A 投资154万元时,可获最大收益6516万元. ……….12分 21. 解:(1)连接CN .因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱, 所以CC 1⊥平面ABC , 所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC , 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC =1,CN =CC 21+C 1N 2=5, 所以MN = 6.(2)证明:取AB 中点D ,连接DM ,DB 1.在△ABC 中,因为M 为AC 中点,所以DM ∥BC ,DM =12BC .在矩形B 1BCC 1中,因为N 为B 1C 1中点,所以B 1N ∥BC ,B 1N =12BC .所以DM ∥B 1N ,DM =B 1N .所以四边形MDB 1N 为平行四边形,所以MN ∥DB 1. 因为MN ⊄平面ABB 1A 1,DB 1⊂平面ABB 1A 1, 所以MN ∥平面ABB 1A 1.(3)线段CC 1上存在点Q ,且Q 为CC 1中点时,有A 1B ⊥平面MNQ . 证明如下:连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ,所以A 1C 1⊥QN ,从而NQ ⊥平面A 1BC 1. 所以A 1B ⊥QN .同理可得A 1B ⊥MQ ,所以A 1B ⊥平面MNQ . 故线段CC 1上存在点Q ,使得A 1B ⊥平面MNQ . 22. 解:(I )抛物线的对称轴为2b x a=-, ①当22ba-<时,即4b a >-时, 当2bx a =-时,222max 29()()24248b b b b f x f ac c a a a a -=-=⨯-+=+=, min ()(2)422f x f a b c ==++=-,∴2948422b c a a b ⎧-+=⎪⎨⎪+=-⎩, ∴2,3a b =-=.②当22ba-≥时,即4b a ≥-时, ()f x 在[0,2]上为增函数,min ()(0)0f x f ==与min ()2f x =-矛盾,无解,综合得:2,3a b =-=.(II )()||2f x x ≤对任意[1,2]x ∈恒成立,即1||2ax b x ++≤对任意[1,2]x ∈恒成立, 即122ax b x-≤++≤对任意[1,2]x ∈恒成立,令1()g x ax b x =++,则max min [()]2[()]2g x g x ≤⎧⎨≥-⎩, ∵01a <<1>,2≥,即104a <≤时,()g x 在[1,2]单调递减,此时max min [()](1)2[()](2)2g x g g x g =≤⎧⎨=≥-⎩,即121222a b a b ++≤⎧⎪⎨++≥-⎪⎩,得1522b ab a ≤-⎧⎪⎨≥--⎪⎩,此时57(2)(1)022a a a ----=--<, ∴5(2)(1)2a a --<- ∴5212a b a --≤≤-.(ⅱ)12<<,即114a <<时,()g x在单调递减,在单调递增,此时,min [()]222g x g b b =≥-⇒≥-⇒≥--只要(1)121(2)2222g a b g a b b ⎧=++≤⎪⎪=++≤⎨⎪⎪≥-⎩13222b a b a b ⎧≤-⎪⎪⇒≤-⎨⎪⎪≥-⎩,31(1)(2)22a a a ---=-当112a ≤<时,3122a a -≥-,3222b a -≤≤- 当1142a <<时,3122a a -<-,21b a -≤≤-. 综上得:①104a <≤时,5212a b a --≤≤-;②1142a <<时,21b a -≤≤-; ③112a ≤<时,3222b a -≤≤-.。
江苏省天一中学上册期末精选综合测试卷(word含答案)
江苏省天一中学上册期末精选综合测试卷(word含答案)一、第一章运动的描述易错题培优(难)1.甲、乙两辆赛车从同一地点沿同一平直公路行驶。
它们的速度图象如图所示,下列说法正确的是( )A.60 s时,甲车在乙车的前方B.20 s时,甲、乙两车相距最远C.甲、乙加速时,甲车的加速度大于乙车的加速度D.40 s时,甲、乙两车速度相等且相距900m【答案】AD【解析】【详解】A、图线与时间轴包围的面积表示对应时间内的位移大小,由图象可知60s时,甲的位移大于乙的位移,所以甲车在乙车前方,故A正确;B、40s之前甲的速度大于乙的速度,40s后甲的速度小于乙的速度,所以40s时,甲乙相距最远,在20s时,两车相距不是最远,故B错误;C、速度−时间图象斜率表示加速度,根据图象可知,甲加速时的加速度小于乙加速时的加速度,故C错误;D、根据图象可知,40s时,甲乙两车速度相等都为40m/s,甲的位移,乙的位移,所以甲乙相距,故D正确;故选AD。
【点睛】速度-时间图象切线的斜率表示该点对应时刻的加速度大小,图线与时间轴包围的面积表示对应时间内的位移大小,根据两车的速度关系知道速度相等时相距最远,由位移求相距的距离。
2.节能减排可体现在我们日常生活中.假设公交车通过城市十字路口时允许的最大速度为10m/s,一辆公交车在距离十字路口50m的车站停留,乘客上下完后,司机看到红灯显示还有10s,为了节能减排.减少停车,降低能耗,公交车司机启动公交车,要使公交车尽快通过十字路口且不违章,则公交车启动后的运动图象可能是()A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】【详解】因速度图像与坐标轴围成的面积等于物体的位移,由速度图像可知,A、B、D三个图像与坐标轴围成的面积均大于50m,且速度不超过10m/s;C图像中公交车的位移可能恰好等于50m,且速度小于10m/s,故公交车启动后的运动图像可能是ABD。
故选:ABD。
【名师点睛】此题是对速度时间图像的考查;关键是知道速度-时间图像与坐标轴围成的“面积”等于物体的位移,结合公交车的运动情况即可分析解答.3.某班同学去参加野外游戏.该班同学分成甲、乙、丙三个小组,同时从营地A出发,沿各自的路线搜寻目标,要求同时到达营地B,如图所示为其运动轨迹,则关于他们的平均速度和平均速率的说法正确的是( )A.甲、乙、丙三组的平均速度大小相同B.甲、乙、丙三组的平均速率大小相同C.乙组的平均速度最大,甲组的平均速度最小D.乙组的平均速率最小,甲组的平均速率最大【答案】AD【解析】【详解】AC、三个质点从A到B的过程中,位移大小相等,时间相同;平均速度是位移与时间段的比值,故平均速度相同,故A正确,C错误;BD、三个质点从A到B的过程中,路程不全相同,时间相同;平均速率是路程与时间的比值,由图象知乙组的平均速率最小,甲组的平均速率最大,故C错误;D正确;故选AD.【点睛】位移是指从初位置到末位置的有向线段,路程是轨迹的长度,故从M到N过程中,三个物体的位移相同,但路程不等;平均速率是路程与时间的比值,而平均速度是位移与时间段的比值.4.物体沿一条东西方向的水平线做直线运动,取向东为运动的正方向,其速度—时间图象如图所示,下列说法中正确的是A.在1 s末,物体速度为9 m/sB.0~2 s内,物体加速度为6 m/s2C.6~7 s内,物体做速度方向向西的加速运动D.10~12 s内,物体做速度方向向东的加速运动【答案】AC【解析】【分析】【详解】A.由所给图象知,物体1 s末的速度为9 m/s,选项A正确;B.0~2 s内,物体的加速度a=1262vt∆-=∆m/s2=3m/s2选项B错误;C.6~7 s内,物体的速度、加速度为负值,表明它向西做加速直线运动,选项C正确;D.10~12 s内,物体的速度为负值,加速度为正值,表明它向西做减速直线运动,选项D 错误.5.如图所示为某质点的速度-时间图象,则下列说法中正确的是( )A .在0~6s 内,质点做匀变速直线运动B .在t =12s 末,质点的加速度为-1m /s 2C .在6~10s 内,质点处于静止状态D .在4s 末,质点运动方向改变【答案】B 【解析】在0~4s 内,质点的加速度为64v a t ∆==∆ =1.5(m/s 2),在4-6s 内质点的加速度为:4-62v a t ∆==∆=-1(m/s 2),两段时间内的加速度不同,所以在0~6s 内,质点做非匀变速直线运动,故A 错误;在t=12s 末,质点的加速度为a=044v a t ∆-==∆=-1(m/s 2),故B 正确.在6s ~10s 内,质点以4m/s 的速度做匀速运动,故C 错误;在0-14s 内,质点的速度都为正,一直沿正方向运动,故在4s 末速度方向没有改变,故D 错误;故选B.点睛:本题考查学生对v-t 图象的认识,记住图象的斜率表示加速度,图象与时间轴围成的面积表示这段时间内物体通过的位移.6.如图所示是一做匀变速直线运动的质点的位移—时间图像,P (t 1,x 1)为图像上一点.PQ 为过P 点的切线,与x 轴交于点Q .则下列说法正确的是( )A .t 1时刻,质点的速率为211x tB .t 1时刻,质点的速率为121x x t - C .质点的加速度大小为1221x x t - D .0~t 1时间内,质点的平均速度大小为()1212x x t -【答案】B 【解析】【分析】【详解】AB.x-t图象的斜率表示速度,则1t时刻,质点的速率为1211x xvt-=故A错误,B正确;C.根据图象可知,t=0时刻,初速度不为零,根据v vat-=可得加速度12112211x xvt x xat t---=≠故C错误;D.10t-时间内,质点的平均速度大小为11xvt=故D错误.7.近年来,登山步行成为越来越多的人的健康习惯。
江苏省无锡市2017-2020学年高一(上)期末数学试卷
2017-2020学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共14小题,共70.0分)1. 已知集合{}{0}112A B ==,,,,则A B ⋃=______.2. 176cos π=______. 3. 若幂函数的图象过点42(,),则16f =()______.4. 若向量12a =(,),,且a b ,则|______. 5. 函数的单调增区间是______.6.计算:2ln33(0.125)e -++=______. 7. 已知圆心角是3π的扇形的面积是223cm π,则该圆心角所对的弧长为______cm . 8. 已知函数x ()是周期为2的奇函数,且1[]0x ∈-,时,f x x =(),则212f =()______. 9. 将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ(<<)个单位所得函数记为,当23x π=时f x ()取得最大值,则ϕ=______.10.若cos 23sin(a )4aπ=+,sin cos a a =______. 11. 若2(x 1)1,1(x)1,1x f x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩,且23f a f a -()<(),则实数a 的取值范围是______. 12. 在ABC 中,已知,|,点M 在边BC 上,,,则______.13. 函数221,04(x)1log ,4x x f x x +≤≤⎧=⎨+<⎩,若,且(m)f(n)f =,则mf(n)的取值范围是______.14. 函数在R 上有4个零点,则实数m 的取值范围是______.二、解答题(本大题共6小题,共80.0分)15.设集合2{|3}2A x y log x =-(),全集U R =.16. (1)若2a =,求U A C ⋂(B );17. (2)若A B A ⋃=,求实数a 的取值范围.在ABC 中,已知12AB =(,),40AC m m =(,)(>). 18.19. 在△ABC 中,已知AB⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AC ⃗⃗⃗⃗ =(4,m )(m >0) (1)若,求m 的值;(2)若,且2BD DC =,求cos ADC ∠的值.17.如图,在平面直角坐标系中,角αβ,的始边均为x 轴正半轴,终边分别与圆O 交于A ,B 两点,若712παπ∈(,),12πβ=,且点A 的坐标为1A m -(,).(1)若423tan α=-,求实数m 的值; (2)若34tan AOB ∠=-,若2sin α的值.20. 某公司对营销人员有如下规定:21. i ()年销售额x (万元)不大于8时,没有年终奖金; 22. (ⅱ)年销售额x (万元)大于8时,年销售额越大,年终奖金越多.此时,当年销售额x (万元)不大于64时,年终奖金y (万元)按关系式ay log x b =+,0a (>,且1a ≠)发放;当年销售额x(万元)不小于64时,年终奖金y (万元)为年销售额x (万元)的一次函数经测算,当年销售额分别为16万元,64万元,80万元时,年终奖金依次为1万元,3万元,5万元.23. (1)求y 关于x 的函数解析式;24. (2)某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元,求该营销人员年销售额x (万元)的取值范围.25. 已知奇函数23(x)22x b f x +=+,函数221g t sin t cost =+-(),]3[t m π∈,,m ,. 26. (1)求b 的值;(2)判断函数f x ()在上的单调性,并证明;(3)当]1[0x ∈,时,函数g t ()的最小值恰为f x ()的最大值,求m 的取值范围.已知向量24a sin x πω=+((),,4b sin x πω=+((),20cos x ωω())(>),函数•1x a b =-(),f x ()的最小正周期为π. (1)求f x ()的单调增区间; (2)方程;在上有且只有一个解,求实数n 的取值范围;(3)是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1,1],都存在x 2∈R ,使得4x 1+4−x 1+m (2x 1-2−x 1)+1>f (x 2)成立.若存在,求m 的取值范围;若不存在,说明理由.答案和解析1.【答案】{012},,【解析】解:集合{}{0}112A B ==,,,,则012{}A B ⋃=,,.故答案为:{012},,.根据交集的定义写出即可.本题考查了并集的定义与应用问题,是基础题.2.【答案】【解析】 解:1773)6cos 66cos cos ππππ-=-==(.故答案为:直接利用诱导公式化简求解即可.本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法,是基础题.3.【答案】4【解析】解:设幂函数,幂函数的图象过点42(,),42a ∴=, 解得:12a =, 12y f x x∴==()164f ∴=(), 故答案为:4根据已知求出函数的解析式,将16x =代入可得答案.本题考查的知识点是幂函数的解析式,函数求值,难度不大,属于基础题.4.【答案】解:||a b ,60m ∴-=,解得6m =.|48a b ∴+=(,). 则2|4|a b +=+=故答案为:利用向量共线定理即可得出.本题考查了向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5.【答案】【解析】解:根据题意,,即当2x ≥-时,,令3t x y lnt =+=,,在上,1t ≥,此时3t x =+为增函数,y lnt =也为增函数,则函数f x ()为增函数; 当时,,令3t x y lnt =+=-,,在32--(,)上,01t <<,此时3t x =+为增函数,y lnt =-为减函数,则函数f x ()为减函数;故函数的单调增区间是;故答案为:.根据题意,将函数的解析式写成分段函数的形式,结合函数的定义域分段讨论函数的单调性,综合即可得答案.本题考查分段函数的单调性的判断,注意分段函数要分段分析,属于基础题.6.【答案】11【解析】 解:原式233134[()]2-=++ 故答案为:11.利用对数的运算性质即可得出.本题考查了对数的运算性质,属于基础题.7.【答案】23π【解析】解:设扇形的弧长为l ,圆心角大小为rad α(),半径为r ,扇形的面积为S , 则:2322234S r ππα⨯===.解得2r =, 可得:扇形的弧长为2233l r ππα==⨯=cm . 故答案为:.利用扇形的面积求出扇形的半径,然后由弧长公式求出弧长的值.本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用,考查计算能力,属于基础题.8.【答案】12【解析】解:根据题意,函数x ()是周期为2的函数,则211110222f f f =+=()()(), 又由f x ()为奇函数,则, 则21122f =(); 故答案为:12根据题意,由函数的周期性可得211110222f f f =+=()()(),结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得,综合即可得答案.本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用,涉及函数的表示方法,属于基础题. 9.【答案】512π【解析】解:将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ(<<)个单位,所得函数记为, 当23x π=时f x ()取得最大值,则,5226k Z k πϕπ∈∴=-+.,令0k =,可得 512πϕ=, 故答案为:512π.利用函数的图象变换规律求得f x ()的解析式,再根据正弦函数的最大值,求得ϕ的值. 本题主要考查函数的图象变换规律,正弦函数的最大值,属于中档题.10.【答案】49【解析】解:cos 2sin )4aa π=+(, ,即,13cos sin αα∴-=,两边平方得:112sin cos 9a a -=, 49sin cos αα∴=. 故答案为:49. 由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得1cos sin 3αα-=,两边平方得答案. 本题考查三角函数的化简求值,考查倍角公式及两角和的正弦的应用,是基础题. 11.【答案】12-∞(,) 【解析】 解:2(x 1)1,11,1x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩(),可得1x >时,f x ()递减; 1x ≤时,f x ()递减, 且11f =(),可得f x ()在R 上递减, 23f a f a -()<(),可得23a a ->, 解得12a <, 故答案为:12-∞(,). 讨论f x ()在1x >和1x ≤的单调性,可得f x ()在R 上递减,进而可得a 的不等式,解不等式即可得到所求范围.本题考查分段函数的单调性的判断和运用:解不等式,考查运算求解能力,属于中档题.12.【答案】32【解析】解:4BM BC ==,11()44BM BC AC AB ∴==-, 1344AB BM AC AB +=+, ,,13•44AC AB AC AB =+-()(), ,13142442AB AC =-⨯+=-, 32AB AC ∴=⋅=, 故答案为:32.由向量加法及减法的三角形法则可得,,结合已知即可求解.本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算,属于基础试题.13.【答案】36]3(,【解析】解:作出函数的图象,可得,14m ≤<,则2122mf n m m m m =+=+()()在14](,递增,可得 的范围是36]3(,.故答案为:36]3(,.作出f x ()的图象,求得f n (),m 的范围及的解析式,运用二次函数的单调性,可得所求范围.本题考查分段函数的图象和运用,考查二次函数的单调性的运用,以及运算能力,属于中档题.14.【答案】【解析】解:根据题意,对于函数2||31|431|1x x f x m =---+(),设|1|3x t =-,则241y mt t =-+,|1|3x t =-的图象如图:若函数在R 上有4个零点,则方程2410mt t -+=在区间01(,)有2个根, 则有,解可得:34m <<,即m 的取值范围为;故答案为:根据题意,设|1|3x t =-,则241y mt t =-+,作出|1|3x t =-的草图,据此分析可得方程2410mt t -+=在区间01(,)有2个根,结合一元二次函数的性质可得,解可得m 的取值范围,即可得答案.本题考查函数的零点,注意利用换元法分析,属于综合题.15.【答案】解:(1)集合,2a =时,{|2x B y y ==,,又全集U R =,{4|UC B x x ∴=<或6}1x >, 2{|4U C A x x ∴⋂=≤(B )<,或1632}x <<;(2)A B A B A ⋃=∴⊆,, 又{}222|a a B y y +=≤≤,232{|}A x x =≤<, 222232a a +⎧≥⎪∴⎨<⎪⎩, 解得实数a 的取值范围是13a ≤<.【解析】(1)求定义域得集合A ,求出2a =时集合B ,再根据集合的定义计算即可;(2)由A B A ⋃=得出B A ⊆,由此列不等式求出实数a 的取值范围.本题考查了集合的定义与运算问题,也考查了求函数的定义域和值域问题,是中档题. 16.【答案】解:(1)若,则,32BC AC AB m =-=-(,), 3240m ∴+-=,12m ∴=. (2)||32BC =9(m +-= 0m >,5m ∴=,2BD DC =,1113DC BC ∴==(,),2223BD BC ==(,), 而,34DA ∴=--(,), .【解析】(1)由题意可知,结合向量的数量积的性质即可求解m(2)由,结合向量数量积的性质可求m ,然后结合2BD DC =,及向量夹角公式可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用,解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用.17.【答案】解:(1)由题意可得224213tan tan tan ααα==--,12tan α∴=-,或2tan α=.712παπ∈(,),12tan α∴=-,即112m =--,12m ∴=. (2)sin()312124cos()12tan AOB tan tan παπαβαπα-∠=-=-==--()(), 2211()()1,[,]121212212sin cos ππππαπαα--∈-+=,34125125sin cos ππαα∴-=-=-(),(), 24226121225sin sin cos πππααα∴-=--=-()()(),2722161225cos cos ππαα-=--=()(),22226666[6]6sin sin sin cos cos sin ππππππαααα∴=-+=-+-=()()().【解析】(1)由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值,再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值.(2)利用同角三角函数的基本关系,求得12sin πα-()和12cos πα-()的值,再利用两角和的正弦公式求得[6]226sin sin ππαα=-+()的值.本题主要考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦公式,用两角和的正弦公式的应用,属于中档题.18.【答案】解:(1)864x ≤<,年销售额越大,奖金越多,a y log xb ∴=+在84]6(,上是增函数. ,解得.864x ∴≤<时,;又64x ≥时,y 是x 的一次函数,设,由题意可得:,解得.64x ∴≥时,158y x =-. ∴y 关于x 的函数解析式为20,08log 3,86415,648x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩;(2)当时,不合题意;当时,2234log x -+<<,解得.3264x ∴≤<.当64x >时,1548x -<,解得72x <,6472x ∴<<.综上,.答:该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元,其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元.【解析】(1)由已知可得ay log x b =+在84]6(,上是增函数,再结合已知列关于a ,b 的方程组,求解可得函数解析式;又64x ≥时,y 是x 的一次函数,设,再由已知可得关于m ,k 的方程组求解可得64x ≥时,158y x =-,则函数解析式可求; (2)当时,不合题意;然后分类求解不等式得答案.本题考查函数解析式的求解及常用方法,考查简单的数学建模思想方法,训练了不等式的解法,是中档题.19.【答案】解:(1)奇函数23()22x b f x x +=+,可得00f =(), 即0b =;(2)23(x)22x f x =+在单调递增, 证明:设12x x ,是上任意两个值,且12x x <, 2121122122222121()(1)33(x )f(x )()2112(1)(1)x x x x x x f x x x x ---=-=⋅++++,由121]0[x x ∈,,,且12x x <,可得210x x ->,1210x x ->,2110x +>,2210x +>, 即有210f x f x -()()>,即21f x f x ()>(), 可得f x ()在递增; (3)由(2)可得f x ()在递增,可得314max f x f ==()(), 可得g t ()的最小值为34, 令s cost =,所以的最小值为34, 所以1322s ≤≤,即112cost ≤≤,]3[t m π∈,, 由y cost =的图象可得33m ππ-≤<. 【解析】(1)由奇函数的性质可得00f =(),解方程即可得到b ;(2)2322x f x x =+()在单调递增,运用单调性的定义证明,注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤;(3)由(2)可得f x ()的最大值,即可得到g t ()的最小值,运用换元法和余弦函数的图象和性质,可得所求范围.本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用,考查换元法和定义法的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.20.【答案】解:(1)函数2•b 12214f x a sin x x πωω=-=+-()()()22sin x x ωω=()() 223sin x πω=-()的最小正周期为π.0ω>22ππω∴=, 1ω∴=.那么f x ()的解析式223f x sin x π=-()() 令222232k x k πππππ-≤-≤+,k Z ∈ 得:51212k x k ππππ-≤≤+ 的单调增区间为[k k 5]1212ππππ-+,,k Z ∈. (2)方程;在上有且只有一个解,转化为函数与函数2y n =只有一个交点. x 在上,52336x πππ∴-≤-≤() 那么函数12213y f x sin x π=+=--()()的值域为,结合图象可知函数与函数2y n =只有一个交点.那么1122n ≤<或21n =, 可得1122n ≤<或12n =.(3)由(1)可知223f x sin x π=-()()22min f x ∴=-(). 实数m 满足对任意11[]1x ∈-,,都存在2x R ∈, 使得成立.即1111?44?2?2?(>12x x x x m --++-+-)成立 令1111?44221x x x x y m --=++-+(?)??设1122x x t --=??,那么111122442222x x x x t --+=-+=+??)??(11]1[x ∈-,,332[2]t ∴∈-,, 可得250t mt ++>在3322[]t ∈-,上成立. 令250g t t mt =++()>, 其对称轴m 2t =- 332[]2t ∈-,上, ①当322m -≤-时,即3m ≥时,32930242min m g t g ==>--()(),解得2936m ≤<; ②当,即33m -<<时,2(>(t))5024m m g min g =-=-,解得33m -<<; ③当322m ≤-,即3m ≤-时,329300242min m g t g ==>()()+>,解得2936m -≤-<;综上可得,存在m ,可知m 的取值范围是.【解析】(1)函数•1f x a b =-(),f x ()的最小正周期为π.可得ω,即可求解f x ()的单调增区间. (2)根据x 在上求解f x ()的值域,即可求解实数n 的取值范围; (3)由题意,求解2f x ()的最小值,利用换元法求解111144221x x x x y m --=++-+()的最小值,即可求解m 的范围.本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用.属于难题.。
[精校版]无锡市高一上册期末数学试卷含解析强化班
2016-2017学年江苏省无锡市中学高一(上)期末数学试卷(强化班)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.M)∩N= .1.(5分)已知M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},则(∁R2.(5分)设x,y∈R,向量,,且,,则x+y= .3.(5分)已知向量夹角为45°,且,则= .4.(5分)已知cosα=,且α∈(﹣,0),则sin(π﹣α)= .5.(5分)设2a=5b=m,且+=2,m= .6.(5分)将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y= .7.(5分)若函数的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是.8.(5分)设向量,满足,=(2,1),且与的方向相反,则的坐标为.9.(5分)若θ是△ABC的一个内角,且,则sinθ﹣cosθ的值为.10.(5分)已知角φ的终边经过点P(1,﹣2),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则= .11.(5分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是.12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,•=4,•=﹣1,则•的值是.13.(5分)对于实数a 和b ,定义运算“*”:,设f (x )=(2x ﹣1)*(x ﹣1),且关于x 的方程为f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则实数m 的取值范围是 ;x 1+x 2+x 3的取值范围是 . 14.(5分)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f (x )的零点,x=为y=f (x )图象的对称轴,且f (x )在(,)单调,则ω的最大值为 .二、解答题:本大题共6题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(14分)设函数,其中0<ω<2; (Ⅰ)若f (x )的最小正周期为π,求f (x )的单调增区间; (Ⅱ)若函数f (x )的图象的一条对称轴为,求ω的值.16.(14分)已知△ABC 中.(1)设•=•,求证:△ABC 是等腰三角形;(2)设向量=(2sinC ,﹣),=(sin2C ,2cos 2﹣1),且∥,若sinA=,求sin (﹣B )的值.17.(14分)如图,半径为1,圆心角为的圆弧上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点,点D 在线段OA 上运动,求|+|的最小值;(2)若D ,E 分别为线段OA ,OB 的中点,当C 在圆弧上运动时,求•的取值范围.18.(16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD 是个半圆,固定点E 为CD 的中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合).(1)当MN和AB之间的距离为1米时,求此时三角通风窗EMN的通风面积;(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);(3)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.19.(16分)如图,正方形ABCD中边长为1,P、Q分别为BC、CD上的点,△CPQ周长为2.(1)求PQ的最小值;(2)试探究求∠PAQ是否为定值,若是给出证明;不是说明理由.20.(16分)已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;(2)求所有的实数a,使得对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)=2x+1图象的下方;(3)若存在a∈[﹣4,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.高一(上)期末数学试卷(强化班)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.(5分)已知M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},则(∁M)∩N= {x|x<﹣2} .R【解答】解:∵M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},∴∁M={x|x<﹣2或x>2},RM)∩N={x|x<﹣2}.则(∁R故答案为:{x|x<﹣2}2.(5分)设x,y∈R,向量,,且,,则x+y= 0 .【解答】解:∵,,∴=2x﹣4=0,2y+4=0,则x=2,y=﹣2.∴x+y=0.故答案为:0.3.(5分)已知向量夹角为45°,且,则= 3.【解答】解:∵,=1∴=∴|2|====解得故答案为:34.(5分)已知cosα=,且α∈(﹣,0),则sin (π﹣α)= ﹣ . 【解答】解:∵cosα=,且α∈(﹣,0),∴sinα=﹣=﹣,则sin (π﹣α)=sinα=﹣.故答案为:﹣5.(5分)设2a =5b =m ,且+=2,m=.【解答】解:∵2a =5b =m ,∴a=log 2m ,b=log 5m ,由换底公式得,∴m 2=10,∵m >0,∴故应填6.(5分)将函数y=sin (2x ﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y= sin (4x+) .【解答】解:将函数y=sin (2x ﹣)的图象先向左平移,得到函数y=sin[2(x+)﹣]=sin (2x+)的图象,将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变), 则所得到的图象对应的函数解析式为:y=sin (4x+ )故答案为:sin (4x+ ).7.(5分)若函数的图象与x 轴有公共点,则m 的取值范围是 [﹣1,0) .【解答】解:作出函数的图象如图,由图象可知0<g(x)≤1,则m<g(x)+m≤1+m,即m<f(x)≤1+m,要使函数的图象与x轴有公共点,则,解得﹣1≤m<0.故答案为:[﹣1,0).8.(5分)设向量,满足,=(2,1),且与的方向相反,则的坐标为(﹣4,﹣2).【解答】解:设=(x,y),∵与的方向相反,∴=(2λ,λ),(λ<0).又∵,∴=2,解得λ=﹣2,∴=(﹣4,﹣2).故答案为:(﹣4,﹣2).9.(5分)若θ是△ABC的一个内角,且,则sinθ﹣cosθ的值为.【解答】解:∵θ是△ABC的一个内角,且,∴sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ﹣cosθ====,故答案为.10.(5分)已知角φ的终边经过点P(1,﹣2),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则= ﹣.【解答】解:函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,∴函数f(x)的周期T=,∵ω>0∴ω=3∵角φ的终边经过点P(1,﹣2),∴sinφ=,cosφ=∴=sin(3•+φ)=sin(+φ)=(sinφ+cosφ)=•()=﹣故答案为:﹣11.(5分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是.【解答】解:∵f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,∴,解得:,故答案为:12.(5分)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,•=4,•=﹣1,则•的值是.【解答】解:∵D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,∴=+,=﹣+,=+3,=﹣+3,∴•=2﹣2=﹣1,•=92﹣2=4,∴2=,2=,又∵=+2,=﹣+2,∴•=42﹣2=,故答案为:13.(5分)对于实数a 和b ,定义运算“*”:,设f (x )=(2x ﹣1)*(x ﹣1),且关于x 的方程为f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则实数m 的取值范围是;x 1+x 2+x 3的取值范围是.【解答】解:∵,∴f (x )=(2x ﹣1)*(x ﹣1)=,则当x=0时,函数取得极小值0,当x=时,函数取得极大值故关于x 的方程为f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3时, 实数m 的取值范围是令f (x )=,则x=,或x=不妨令x 1<x 2<x 3时则<x 1<0,x 2+x 3=1∴x 1+x 2+x 3的取值范围是故答案为:,14.(5分)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f (x )的零点,x=为y=f (x )图象的对称轴,且f (x )在(,)单调,则ω的最大值为 9 .【解答】解:∵函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f (x )的零点,x=为y=f (x )图象的对称轴,∴ω(﹣)+φ=nπ,n ∈,且ω•+φ=n′π+,n′∈,∴相减可得ω•=(n′﹣n )π+=kπ+,k ∈,即ω=2k +1,即ω为奇数.∵f (x )在(,)单调, (1)若f (x )在(,)单调递增,则ω•+φ≥2kπ﹣,且ω•+φ≤2kπ+,k∈,即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①,且ω•+φ≤2kπ+,k∈②,把①②可得ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.当ω=11时,﹣+φ=kπ,k∈,∵|φ|≤,∴φ=﹣.此时f(x)=sin(11x﹣)在(,)上不单调,不满足题意.当ω=9时,﹣+φ=kπ,k∈,∵|φ|≤,∴φ=,此时f(x)=sin(9x+)在(,)上单调递减,不满足题意;故此时ω无解.(2)若f(x)在(,)单调递减,则ω•+φ≥2kπ+,且ω•+φ≤2kπ+,k∈,即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ﹣③,且ω•+φ≤2kπ+,k∈④,把③④可得ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.当ω=11时,﹣+φ=kπ,k∈,∵|φ|≤,∴φ=﹣.此时f(x)=sin(11x﹣)在(,)上不单调,不满足题意.当ω=9时,﹣+φ=kπ,k∈,∵|φ|≤,∴φ=,此时f(x)=sin(9x+)在(,)上单调递减,满足题意;故ω的最大值为9.故答案为:9.二、解答题:本大题共6题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)设函数,其中0<ω<2;(Ⅰ)若f(x)的最小正周期为π,求f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若函数f(x)的图象的一条对称轴为,求ω的值.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=sin2ωx+…(2分)=sin(2ωx+)+.…(3分)∵T=π,ω>0,∴,∴ω=1.…(4分)令,…(5分)得,…(6分)所以f(x)的单调增区间为:.…(7分)(Ⅱ)∵的一条对称轴方程为,∴.…(9分)∴.…(11分)又0<ω<2,∴.∴k=0,∴.…(13分)16.(14分)已知△ABC中.(1)设•=•,求证:△ABC是等腰三角形;(2)设向量=(2sinC,﹣),=(sin2C,2cos2﹣1),且∥,若sinA=,求sin(﹣B)的值.【解答】(1)证明:∵•=•,∴,∴,即.∴△ABC是等腰三角形;(2)解:=(2sinC,﹣),=(sin2C,2cos2﹣1),且∥,则∴,则,得,∴sin2C=0,∵C∈(0,π),∴.∵,,∴,.∴.17.(14分)如图,半径为1,圆心角为的圆弧上有一点C.(1)若C为圆弧AB的中点,点D在线段OA上运动,求|+|的最小值;(2)若D,E分别为线段OA,OB的中点,当C在圆弧上运动时,求•的取值范围.【解答】解:(1)以O为原点,OA为x轴建立直角坐标系,则设D(t,0)(0≤t≤1),则,所以,当时,.(2)由题意,设C(co sθ,sinθ),所以=.因为,则,所以.18.(16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合).(1)当MN和AB之间的距离为1米时,求此时三角通风窗EMN的通风面积;(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);(3)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.【解答】解:(1)由题意,当MN和AB之间的距离为1米时,MN应位于DC上方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米,又因为EM=EN=1米,所以MN=米,所以,即三角通风窗EMN的通风面积为(2)当MN在矩形区域内滑动,即时,△EMN的面积;当MN在半圆形区域内滑动,即时,△EMN的面积综上可得;(3)当MN在矩形区域内滑动时,f(x)在区间上单调递减,则f(x)<f(0)=;当MN在半圆形区域内滑动,等号成立时,因此当(米)时,每个三角形得到最大通风面积为平方米.19.(16分)如图,正方形ABCD中边长为1,P、Q分别为BC、CD上的点,△CPQ周长为2.(1)求PQ的最小值;(2)试探究求∠PAQ是否为定值,若是给出证明;不是说明理由.【解答】解:设∠CPQ=θ,则CP=PQcosθ,CQ=PQsinθ(1)()∴∴(2)分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),设∠DAQ=α,∠PAB=β∴,即xy+(x+y)=1又tanα=x,tanβ=y∴,∴∴20.(16分)已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;(2)求所有的实数a,使得对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)=2x+1图象的下方;(3)若存在a∈[﹣4,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.【解答】解:(1)由f(x)在R上是增函数,则即﹣2≤a≤2,则a范围为﹣2≤a≤2;(4分)(2)由题意得对任意的实数x∈[1,2],f(x)<g(x)恒成立,即x|x﹣a|<1,当x∈[1,2]恒成立,即,,,故只要且在x∈[1,2]上恒成立即可,在x∈[1,2]时,只要的最大值小于a且的最小值大于a即可,(6分)而当x∈[1,2]时,,为增函数,;当x∈[1,2]时,,为增函数,,所以;(10分)(3)当﹣2≤a≤2时,f(x)在R上是增函数,则关于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三个不等的实数根;(11分)则当a∈(2,4]时,由得x≥a时,f(x)=x2+(2﹣a)x对称轴,则f(x)在x∈[a,+∞)为增函数,此时f(x)的值域为[f(a),+∞)=[2a,+∞),x<a 时,f(x)=﹣x2+(2+a)x对称轴,则f(x)在为增函数,此时f(x)的值域为,f(x)在为减函数,此时f(x)的值域为;由存在a∈(2,4],方程f(x)=tf(a)=2ta有三个不相等的实根,则,即存在a∈(2,4],使得即可,令,即可,而g(a)在a∈(2,4]上是增函数,,只要使t<(g(a))max故实数t的取值范围为;(15分)同理可求当a∈[﹣4,﹣2)时,t的取值范围为;综上所述,实数t的取值范围为.(16分)。
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2016-2017学年江苏省无锡市天一中学高一(上)期末数学试卷(强化班)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.(5分)已知M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},则(∁R M)∩N=.2.(5分)设x,y∈R,向量,,且,,则x+y=.3.(5分)已知向量夹角为45°,且,则=.4.(5分)已知cosα=,且α∈(﹣,0),则sin(π﹣α)=.5.(5分)设2a=5b=m,且+=2,m=.6.(5分)将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y=.7.(5分)若函数的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是.8.(5分)设向量,满足,=(2,1),且与的方向相反,则的坐标为.9.(5分)若θ是△ABC的一个内角,且,则sinθ﹣cosθ的值为.10.(5分)已知角φ的终边经过点P(1,﹣2),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则=.11.(5分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是.12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,•=4,•=﹣1,则•的值是.13.(5分)对于实数a和b,定义运算“*”:,设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则实数m的取值范围是;x1+x2+x3的取值范围是.14.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)单调,则ω的最大值为.二、解答题:本大题共6题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)设函数,其中0<ω<2;(Ⅰ)若f(x)的最小正周期为π,求f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若函数f(x)的图象的一条对称轴为,求ω的值.16.(14分)已知△ABC中.(1)设•=•,求证:△ABC是等腰三角形;(2)设向量=(2sinC,﹣),=(sin2C,2cos2﹣1),且∥,若sinA=,求sin(﹣B)的值.17.(14分)如图,半径为1,圆心角为的圆弧上有一点C.(1)若C为圆弧AB的中点,点D在线段OA上运动,求|+|的最小值;(2)若D,E分别为线段OA,OB的中点,当C在圆弧上运动时,求•的取值范围.18.(16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD 是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合).(1)当MN和AB之间的距离为1米时,求此时三角通风窗EMN的通风面积;(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);(3)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.19.(16分)如图,正方形ABCD中边长为1,P、Q分别为BC、CD上的点,△CPQ周长为2.(1)求PQ的最小值;(2)试探究求∠PAQ是否为定值,若是给出证明;不是说明理由.20.(16分)已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;(2)求所有的实数a,使得对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g (x)=2x+1图象的下方;(3)若存在a∈[﹣4,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.2016-2017学年江苏省无锡市天一中学高一(上)期末数学试卷(强化班)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.(5分)已知M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},则(∁R M)∩N={x|x<﹣2} .【解答】解:∵M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},∴∁R M={x|x<﹣2或x>2},则(∁R M)∩N={x|x<﹣2}.故答案为:{x|x<﹣2}2.(5分)设x,y∈R,向量,,且,,则x+y=0.【解答】解:∵,,∴=2x﹣4=0,2y+4=0,则x=2,y=﹣2.∴x+y=0.故答案为:0.3.(5分)已知向量夹角为45°,且,则=3.【解答】解:∵,=1∴=∴|2|====解得故答案为:34.(5分)已知cosα=,且α∈(﹣,0),则sin(π﹣α)=﹣.【解答】解:∵cosα=,且α∈(﹣,0),∴sinα=﹣=﹣,则sin(π﹣α)=sinα=﹣.故答案为:﹣5.(5分)设2a=5b=m,且+=2,m=.【解答】解:∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,由换底公式得,∴m2=10,∵m>0,∴故应填6.(5分)将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y=sin (4x+).【解答】解:将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移,得到函数y=sin[2(x+)﹣]=sin(2x+)的图象,将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式为:y=sin(4x+)故答案为:sin(4x+).7.(5分)若函数的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是[﹣1,0).【解答】解:作出函数的图象如图,由图象可知0<g(x)≤1,则m<g(x)+m≤1+m,即m<f(x)≤1+m,要使函数的图象与x轴有公共点,则,解得﹣1≤m<0.故答案为:[﹣1,0).8.(5分)设向量,满足,=(2,1),且与的方向相反,则的坐标为(﹣4,﹣2).【解答】解:设=(x,y),∵与的方向相反,∴=(2λ,λ),(λ<0).又∵,∴=2,解得λ=﹣2,∴=(﹣4,﹣2).故答案为:(﹣4,﹣2).9.(5分)若θ是△ABC的一个内角,且,则sinθ﹣cosθ的值为.【解答】解:∵θ是△ABC的一个内角,且,∴sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ﹣cosθ====,故答案为.10.(5分)已知角φ的终边经过点P(1,﹣2),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则=﹣.【解答】解:函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,∴函数f(x)的周期T=,∵ω>0∴ω=3∵角φ的终边经过点P(1,﹣2),∴sinφ=,cosφ=∴=sin(3•+φ)=sin(+φ)=(sinφ+cosφ)=•()=﹣故答案为:﹣11.(5分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是.【解答】解:∵f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,∴,解得:,故答案为:12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,•=4,•=﹣1,则•的值是.【解答】解:∵D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,∴=+,=﹣+,=+3,=﹣+3,∴•=2﹣2=﹣1,•=92﹣2=4,∴2=,2=,又∵=+2,=﹣+2,∴•=42﹣2=,故答案为:13.(5分)对于实数a和b,定义运算“*”:,设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则实数m的取值范围是;x1+x2+x3的取值范围是.【解答】解:∵,∴f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)=,则当x=0时,函数取得极小值0,当x=时,函数取得极大值故关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3时,实数m的取值范围是令f(x)=,则x=,或x=不妨令x1<x2<x3时则<x1<0,x2+x3=1∴x1+x2+x3的取值范围是故答案为:,14.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)单调,则ω的最大值为9.【解答】解:∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,∴ω(﹣)+φ=nπ,n∈Z,且ω•+φ=n′π+,n′∈Z,∴相减可得ω•=(n′﹣n)π+=kπ+,k∈Z,即ω=2k+1,即ω为奇数.∵f(x)在(,)单调,(1)若f(x)在(,)单调递增,则ω•+φ≥2kπ﹣,且ω•+φ≤2kπ+,k∈Z,即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①,且ω•+φ≤2kπ+,k∈Z ②,把①②可得ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.当ω=11时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=﹣.此时f(x)=sin(11x﹣)在(,)上不单调,不满足题意.当ω=9时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=,此时f(x)=sin(9x+)在(,)上单调递减,不满足题意;故此时ω无解.(2)若f(x)在(,)单调递减,则ω•+φ≥2kπ+,且ω•+φ≤2kπ+,k∈Z,即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ﹣③,且ω•+φ≤2kπ+,k∈Z ④,把③④可得ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.当ω=11时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=﹣.此时f(x)=sin(11x﹣)在(,)上不单调,不满足题意.当ω=9时,﹣+φ=kπ,k∈Z,∵|φ|≤,∴φ=,此时f(x)=sin(9x+)在(,)上单调递减,满足题意;故ω的最大值为9.故答案为:9.二、解答题:本大题共6题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)设函数,其中0<ω<2;(Ⅰ)若f(x)的最小正周期为π,求f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若函数f(x)的图象的一条对称轴为,求ω的值.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=sin2ωx+…(2分)=sin(2ωx+)+.…(3分)∵T=π,ω>0,∴,∴ω=1.…(4分)令,…(5分)得,…(6分)所以f(x)的单调增区间为:.…(7分)(Ⅱ)∵的一条对称轴方程为,∴.…(9分)∴.…(11分)又0<ω<2,∴.∴k=0,∴.…(13分)16.(14分)已知△ABC中.(1)设•=•,求证:△ABC是等腰三角形;(2)设向量=(2sinC,﹣),=(sin2C,2cos2﹣1),且∥,若sinA=,求sin(﹣B)的值.【解答】(1)证明:∵•=•,∴,∴,即.∴△ABC是等腰三角形;(2)解:=(2sinC,﹣),=(sin2C,2cos2﹣1),且∥,则∴,则,得,∴sin2C=0,∵C∈(0,π),∴.∵,,∴,.∴.17.(14分)如图,半径为1,圆心角为的圆弧上有一点C.(1)若C为圆弧AB的中点,点D在线段OA上运动,求|+|的最小值;(2)若D,E分别为线段OA,OB的中点,当C在圆弧上运动时,求•的取值范围.【解答】解:(1)以O为原点,OA为x轴建立直角坐标系,则设D(t,0)(0≤t≤1),则,所以,当时,.(2)由题意,设C(cosθ,sinθ),所以=.因为,则,所以.18.(16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD 是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合).(1)当MN和AB之间的距离为1米时,求此时三角通风窗EMN的通风面积;(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);(3)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.【解答】解:(1)由题意,当MN和AB之间的距离为1米时,MN应位于DC 上方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米,又因为EM=EN=1米,所以MN=米,所以,即三角通风窗EMN的通风面积为(2)当MN在矩形区域内滑动,即时,△EMN的面积;当MN在半圆形区域内滑动,即时,△EMN的面积综上可得;(3)当MN在矩形区域内滑动时,f(x)在区间上单调递减,则f(x)<f(0)=;当MN在半圆形区域内滑动,等号成立时,因此当(米)时,每个三角形得到最大通风面积为平方米.19.(16分)如图,正方形ABCD中边长为1,P、Q分别为BC、CD上的点,△CPQ周长为2.(1)求PQ的最小值;(2)试探究求∠PAQ是否为定值,若是给出证明;不是说明理由.【解答】解:设∠CPQ=θ,则CP=PQcosθ,CQ=PQsinθ(1)()∴∴(2)分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),设∠D AQ=α,∠PAB=β∴,即xy+(x+y)=1又tanα=x,tanβ=y∴,∴∴20.(16分)已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;(2)求所有的实数a,使得对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g (x)=2x+1图象的下方;(3)若存在a∈[﹣4,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.【解答】解:(1)由f(x)在R上是增函数,则即﹣2≤a≤2,则a范围为﹣2≤a≤2;(4分)(2)由题意得对任意的实数x∈[1,2],f(x)<g(x)恒成立,即x|x﹣a|<1,当x∈[1,2]恒成立,即,,,故只要且在x∈[1,2]上恒成立即可,在x∈[1,2]时,只要的最大值小于a且的最小值大于a即可,(6分)而当x∈[1,2]时,,为增函数,;当x∈[1,2]时,,为增函数,,所以;(10分)(3)当﹣2≤a≤2时,f(x)在R上是增函数,则关于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三个不等的实数根;(11分)则当a∈(2,4]时,由得x≥a时,f(x)=x2+(2﹣a)x对称轴,则f(x)在x∈[a,+∞)为增函数,此时f(x)的值域为[f(a),+∞)=[2a,+∞),x<a时,f(x)=﹣x2+(2+a)x对称轴,则f(x)在为增函数,此时f(x)的值域为,f (x)在为减函数,此时f(x)的值域为;由存在a∈(2,4],方程f(x)=tf(a)=2ta有三个不相等的实根,则,即存在a∈(2,4],使得即可,令,只要使t<(g(a))max即可,而g(a)在a∈(2,4]上是增函数,,故实数t的取值范围为;(15分)同理可求当a∈[﹣4,﹣2)时,t的取值范围为;综上所述,实数t的取值范围为.(16分)。