第3讲 基本不等式

第3讲 基本不等式

一、知识梳理 1．基本不等式：ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

(3)其中a ＋b

2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．

[点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．

2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)

(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2

4．(简记：和定积最大)

[点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．

常用结论

几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．

(2)ab ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．

(3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 二、教材衍化

1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81

D ．82

解析：选C ．xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝

⎝⎛⎭

⎫1822

＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．

解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋y 22

＝25，当且仅

当x ＝y ＝5时取等号．

答案：25 m 2

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1

x 的最小值是2.( )

(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫

a ＋

b 22

成立的条件是ab >0.( )

(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y

x ≥2”的充要条件．( )

(4)若a >0，则a 3＋1

a 2的最小值是2a .( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏

常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1

x ( )

A ．有最小值，且最小值为2

B ．有最大值，且最大值为2

C ．有最小值，且最小值为－2

D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D ．因为x <0，所以－x >0，－x ＋1

－x

≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1

x

≤－2.

2．若x >1，则x ＋4

x －1的最小值为________．

解析：x ＋4x －1＝x －1＋4

x －1＋1≥4＋1＝5.

当且仅当x －1＝4

x －1

，即x ＝3时等号成立．

答案：5

3．设0

解析：y ＝2x (1－x )≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝1

2

.

当且仅当x ＝1－x ，即x ＝1

2时，等号成立．

答案：12

考点一 利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导

| 探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

核心素养：逻辑推理 角度一 通过配凑法求最值

(1)已知0

【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝4

3， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝2

3时，取等号．

(2)因为x <5

4，所以5－4x >0，

则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x

)＋3≤－2（5－4x ）1

5－4x

＋3≤－2＋3＝

1.

当且仅当5－4x ＝1

5－4x ，即x ＝1时，等号成立．

故f (x )＝4x －2＋

1

4x －5

的最大值为1. 【答案】 (1)2

3

(2)1

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值

已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1

b 的最小值为________． 【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭

⎫

2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12

时，取等号．

【答案】 9

【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1

b 的最小值为________．

解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2

b a ·a b ＝4，即1a ＋1

b

的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝1

2

时等号成立．

答案：4

【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为：已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．

解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b

4

＝1，

⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114

＋258＝114＋102

.当且仅当42a ＝5b 时取等号．