理论力学-12-达朗贝尔原理及其应用
理论力学达朗贝尔原理
理论力学达朗贝尔原理达朗贝尔原理（d'Alembert's principle）是理论力学中的一个重要原理，它为研究物体在平衡或运动状态下受力情况提供了重要的理论基础。
达朗贝尔原理的提出，极大地推动了理论力学的发展，对于解决复杂的力学问题具有重要意义。
达朗贝尔原理的核心思想是，在运动坐标系中，对于一个质点系的平衡或运动状态，可以把系统的动力学问题转化为静力学问题来处理。
这就是说，对于一个质点系，可以找到一个虚拟的平衡系统，使得外力在这个虚拟系统中所做的功等于零。
通过这个虚拟系统的构建，我们可以简化动力学问题的求解过程，使得复杂的运动问题变得更加清晰和直观。
达朗贝尔原理的应用范围非常广泛，不仅可以用于刚体的运动问题，还可以用于弹性体、流体等物体的运动问题。
在工程实践中，达朗贝尔原理被广泛应用于各种机械系统的设计与分析中，例如汽车、飞机、船舶等。
通过运用达朗贝尔原理，工程师可以更加准确地分析系统的受力情况，从而设计出更加安全可靠的机械系统。
除此之外，达朗贝尔原理还在理论物理学中有着重要的应用。
在量子力学和相对论物理中，达朗贝尔原理也被广泛地运用于分析粒子的运动规律和相互作用。
通过引入虚拟位移和虚拟功的概念，达朗贝尔原理为理论物理学提供了一种全新的研究方法，为科学家们深入探索微观世界提供了重要的理论工具。
总的来说，达朗贝尔原理作为理论力学中的重要原理，为研究物体的运动和受力问题提供了重要的理论基础。
它的提出和应用，极大地推动了理论力学和工程实践的发展，为科学家们和工程师们提供了重要的研究方法和设计工具。
在今后的研究和实践中，我们应该深入理解达朗贝尔原理的原理和应用，不断拓展其在理论力学和工程领域的应用范围，为人类的科学技术进步做出新的贡献。
达朗贝尔原理 理论力学
J z mi ri m
2
2 z
－刚体对z轴的转动惯量。
ρ：回转半径
J z J ZC md
2
J z mi ri m
2
2 z
－平行移轴公式
例1 求简单物体的转动惯量。(平行移轴）
解：由转动惯量的定义：
Jc
1 dx x x 3
2
l 2
l 2 l 2
a A R A R O
A O
A O 2( M P sinR )
(Q 3P ) R
2
FIA
g
FN
例6 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O 均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其 质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求： 圆柱体A的角加速度。
(2)
FgC2 MgC2
A
FAX
C2 mg
B
4 均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状 态开始，自固定端O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾 角为 ，忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力。
解题分析
以整体为研究对象，画受力图。
？确定惯性力大小
求解惯性力就是求解运动； 求解FN就是求解未知的约束力（包括动反力）
在已知运动求约束力的问题中，动静法往往十分方便
3.质点系的达朗伯原理
一 原理描述
质点i:
质点系的主动力系，约束力系和惯性力系组成平衡力系：
作用于质点系上的主动力系，约束力系和惯性力 系在形式上组成平衡力系。－质点系的达朗伯原理。
2 i i z
结论
平面刚体做定轴转动
如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直； 向质量对称面进行简化，取转轴与该面交点为简化中心
理论力学第12章 达朗贝尔原理
基础部分——动力学第12 章达朗贝尔原理惯性力Jean le Rond d’Alembert （1717-1783)达朗贝尔达朗贝尔原理达朗贝尔原理具体内容：a F F m −=−='惯性力定义：质点惯性力aF m −=I 一、惯性力的概念aF m −='2222d d d d z ty m t[注意]不是真实力直角坐标自然坐标aF m −=I−a m 质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理合力：NF I FI N =++F F F 注意：◆◆优点：◆可以将动力学问题从形式上转化为静力学动静法◆给动力学问题提供了一种统一的解题格式。
如何测定车辆的加速度？虚加惯性力解：达朗贝尔原理[例12-1]IF 摆式加速计的原理⇒⇒构成形式上的平衡力系质点系的达朗贝尔原理内力外力表明：惯性力系外力平面任意力系实际应用时，同静力学问题一样，选取研究对象；刚体惯性力系的简化简化方法一、质点系惯性力系的主矢与主矩无关有关二、刚体惯性力系的简化◆质心C结论：1IF2IF3IF IRFCm aF−=IR⇒交点O简化tI iF nI iF αα特殊情形：●●αOz O J M −=I 作用在O 点C m a F −=IR t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αt I iFn I iFα[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O=（逆）①2IR ωme F =②αCz O J M −=I （与α反向）③0, 0I IR ==O M F （惯性力主矢、主矩均为零）IRF OM I α（作用于质心C ）C m a F −=IR αCz C J M −=I 质心C IRF CM I α特殊情形：●●⇒[思考]εmr F =t IRrR r mF −=22n IRωε2I 21mr M C=求：惯性力系向质心C 简化的主矢？主矩？达朗贝尔原理上节课内容回顾（质点惯性力）或：质心C Cm a F −=IRαOz O J M −=I Cm a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I ααOz O J M −=I C m a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αCm a F −=IR αCz C J M −=I质心C IRF CM I α质心C[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O =问：若向质心C 简化，则主矢？e =−∑Cx xma F 平面运动微分方程0)( e=−∑αCz C J MF 0e =−∑Cy yma F IRF CM I α⇒⇒[例12-2]解：惯性力系αt RI Fn IRFn AFt A FAM I αtRI Fn IR F nA F t AF AM I α惯性力系）解题步骤及要点：注意：F IR = ma C M I O = J Oz αα思考：AC CθASO[例12-3]先解：惯性力系m gF IR M I C F sF NαR a C =CθASOm gF IRF OxF OyM I C再惯性力系M O[例12-4]解：惯性力系 1I F OM I 2I F α)(=∑F OMα11r a =2211 α22r a =1I F OM I 2I F α[思考题] A BCD E )(118↓=g a A mgF 113T =111≥f主动力系惯性力系RFIRF OMIRF IRF OM I tI iFn I iF∑∑==ii iyzi i i zx z y m J x z m J RF IRF OM I tI iFn I iFRF IRF OM Ill F M l F M y x y x /)]()[( 2I I 2R ⋅−+⋅−ll F M l F M x y x y /)]()[(2I I 2R ⋅++⋅+−ll F M l F M y x y x /)]()[(1I I 1R ⋅++⋅+−ll F M l F M x y x y /)]()[( 1I I 1R ⋅−+⋅−xF R −约束力静动主动力惯性力动约束力I x 02=ωJ 质心过)04222≠+=−ωααωωα惯性主轴z 轴为中心惯性主轴静平衡过质心⇒动平衡中心惯性主轴⇒[例12-5]静平衡动平衡爆破时烟囱怎样倒塌θOAωα解：m g)cos 1(3θ−lg F OxF OyMI On RI F t IRF 受力分析[例12-6])]([)(sin ⋅−−+−+⋅x x l l x x l mg ααθ1()(sin mgl −θB注意：求内力(矩)时惯性力的处理！xθxAB()ml x lα−m l lαBM BxF x mg lByF12-5-1 关于惯性力系的简化OA ωαMI OnR I FtIRFOAωαMI CnRIFtRIFC 思考思考12-5-2 刚体平面运动时有关动力学量的计算mv+C12-5-3 本章知识结构框图达朗贝尔原理惯性力系的简化质点系达朗贝尔原理定轴转动的约束力一般质点系刚体静、动约束力静、动平衡课后学习建议：◆。
《达朗贝尔原理》课件
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
理论力学-达朗贝尔原理及其应用
t aC
FIR ＝－m a C
a
n C
C
n FR
t n 2、定轴转动 FIR ＝－m aC ＝－m( aC aC )
FR
3、平面运动 FIR ＝－m a C
C
O
FR
Ft R
aC
12.3 刚体惯性力系的简化
惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关！
理论力学 第三篇 动力学
第三篇 动力学
第12章 达朗贝尔原理
第12章 达朗贝尔原理
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理 12.2 质点系的达朗贝尔原理 12.3 刚体惯性力系的简化
第12章 达朗贝尔原理
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
z m A
FI2 a1
m C FIi m2 a2
mi
FR FIi mi ai maC
主矢
ai
FIR maC
主矢与刚体的运动形式无关。
主矩
12.3 刚体惯性力系的简化
刚体平移时，惯性力系向质心简化 ● 主矢
1.刚体作平移
m1
FIR maC
FI2
m2 FI1
a2 maC FIR an m FIn n
12.2 质点系的达朗贝尔原理
例题3
FnIi FtIi F at an
Ny
r
a
FI1
A
mg
解： 对象：系统 受力：如图 运动：略 方程： FNx 惯性力 F I1 n FI 2 a F dm a
B m2g
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理达朗贝尔原理，是法国物理学家与数学家达朗贝尔发现的。
由J.le R.达朗贝尔于1743年提出而得名，达朗贝尔原理阐明，在一个系统内，如果，所有约束力因为虚位移而做的虚功，总合是零，则这系统内的每一个粒子，所受到的外力与惯性力的矢量合，与虚位移的点积，总合起来是零。
达朗贝尔原理因其发现者法国物理学家与数学家J·达朗贝尔而命名。
达朗贝尔原理阐明，对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总和等于零。
或者说，作用于一个物体的外力与动力的反作用之和等于零。
受约束的非自由质点受有主动力F及约束力FN，如果再加上虚构的惯性力FI=-ma，则下式成立:F+FN+FI=0 (1)即在质点运动的任一时刻，主动力、约束力与惯性力构成平衡力系。
上式为质点的达朗贝尔原理。
对质点系，如果在每个质点上都加上虚构的惯性力FIi=-miai，则质系中每个质点均处于平衡，即:Fi+FNi+FIi=0(i=1,2,…,n) (2)达朗贝尔最初提出的原理与式(1)不同。
把主动力F分为两部分:F使质点产生加速度，F=ma，称为有效力;F=F-F克服约束力。
对改变质点的运动状态不起作用，称为损失力。
损失力与约束力平衡:F+FN=0这就是达朗贝尔原理，它与质点静止时的平衡方程F+FN=0形式上一致。
如果将前面F、F的表达式代入达朗贝尔原理，就得到:F+FN+(-ma)=0与式(1)相同，它们均与牛顿第二运动定律等价。
折叠编辑本段原理的意义达朗贝尔原理是研究有约束的质点系动力学问题的原理。
对于质点系内任一个质点，此原理的表达式为: F+FN+(-ma)=0从形式上看，上式与从牛顿运动方程F+FN=ma中把ma移项所得结果相同。
于是把-ma看作惯性力而把达朗贝尔原理表述为:在质点受力运动的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力和惯性力互相平衡。
从数学上看，达朗贝尔原理只是牛顿第二运动定律的移项，但原理中却含有深刻的意义。
第十二章 达朗贝尔原理汇总
d 0 gl
2l
P l2 sin
3
2g
假想地加上惯性力, 由质点系的达朗贝尔原理
FAx A
Rg
PB x
MA(F) 0:
Rgd
cos
p
l 2
sin
0
代入Rg 的数值, 有
Pl sin ( 2l 2 cos 1) 0
2
3g
故有＝0或
arc
c
os
( 3g
度 绕该轴转动, 如图。求角速度 与角 的关系。
解：以杆AB为研究对象, 受力如图。
杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dx
y C
的加速度的大小为
an (x sin )2
微 元 段 的 质 量 dm ＝ Pdx/gl 。 在 该 微 元 段
虚加惯性力dFg, 它的大小为
dFg
dm an
p 2
Fi(e) Fgi 0
MO(Fi(e) ) MO(Fgi ) 0
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。
称ΣFgi为惯性力系的主矢， ΣMO(Fgi)为惯性力 系的主矩。
例3 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并以匀角速
应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样 做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。 达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。
例题
达朗贝尔原理
O θ l
例1. 如图所示一圆锥摆。 质量m = 0.1 kg的小球系于 长l = 0.3 m 的绳上，绳的一 端系在固定点O，并与铅直 线成θ =60º 角。如小球在水 平面内作匀速圆周运动，求 小球的速度v与绳的张力F的 大小。
理论力学：第12章 达朗伯原理
ai ri ， ain ri2 ， Qi miri ， Qin miri2
向轴 O 点简化： （如图）
主矢——惯性力： Q
Qi
(miai )
MaC
MaC
MaCn
Q
Qn
主矩——惯性力偶： M gO mO (Qi ) mO (Qi ) (Qi ri ) (miri2 ) IO
l 2
cos 45
0
(2)
考虑(a)式，(1)(2)方程包含 4 个未知量：
aCx， aCy， ， TB 。
选 A 为基点，C 为动点，画加速度图如图
aCx aCy a A aCA
考虑刚才的处理方式，列上式投影方程时 避开 aA，即在 NA 方向投影。
在 NA 方向投影： aCx cos 45 aCy sin 45 0 aC A sin(45 30 ) (3) 式中 aC A l
)Q 2
2
M IO
b
(Q sin FIC )(r 2 sin )
(6)
Lb
b
Q cos ( 2 2 cos ) M IC G 3 0
将前面结果代入以上三式，解得
Q(Q sin P)
XH
cos
P 2Q
(Q sin P)2 YH P 2Q G
提问：可以么？
ΣmA (F ) 0
TBl cos 30
mg
l cos 30 2
FIx
l sin 30 2
FIy
l cos 30 2
理论力学--达朗贝尔原理及其应用 ppt课件
FIti miait mi ri
FIni miain mi 2 ri
ppt课件
21
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 再将平面惯性力系向点
O简化，得一力和一力偶。 因为所有质点的法向惯性力 都通过O点，所以所有质点 法向惯性力对O点之矩的和 等于零：
力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小
为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角
加速度的方向相反。
ppt课件
23
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
讨论：
FIR
ma C
ma
t C
ma
n C
MI O MO ( FIti ) ( miri2 ) JO
电机所受真实力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；惯性力如图所示。
惯性力的大小为 FI m2e 2
方向与质心加速度相反。因转子 匀速转动，只有法向加速度，故 惯性力方向沿O1O2向外。
应用动静法，由平衡方程
MA 0
M m2 g e cos t FI cos t(h e sin t) FI sin t(e cos t) 0
MIC MC (FIti ) ( miri2 ) JC
吉林大学理论力学课件-第12章
w O
M O IO I
t t a F IR F IR
n F IR ＝－ m a C ＝－ m ( τ + a C ) a τ n C C C C 主矢： IR
2 τ M IIO ＝ M O ( F τ) FI i ＝－ ( m i r 2 ) å i i i a＝－ J O a 主矩： O å O I i O
☆刚体作平面运动（平行于对称平面）
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与 质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯 性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性 力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。 力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。 以质心C为基点，将平面运动分解 C 为跟随基点的平移和绕基点的转动。 对于刚体上的任意质点， 对于刚体上的任意质点，
i i
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 1、分析质点所受的主动力和约束力； 1 、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 2 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。 3 4、应用达朗贝尔原理表达式求解 4 、应用达朗贝尔原理表达式求解
＝ － m i r a τ , m i r w 2 n ) ( － i i 2 i i i i
C n n F IR F IR
F IR IR
m i
a a
F IR ＝å I i ＝å ( m i a i ) F I i － i i ＝－m a C IR C
第12章 达朗贝尔原理 12 达朗贝尔原理
(D’Alembert Principle)
第12章 达朗贝尔原理 12
理论力学12达朗伯原理
也可以将质点系受力按内力、外力划分,
Fi(e)
(i)
F i
Qi 0
注意到 F i(i)0, m O(F i(i))0
则
Fi(e)Qi 0
mO(Fi(e))编 辑pmptO(Qi)0
10
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
Q i m ia i M a C d d( tm iv i) d d Kt
FNm a0
FNQ0
质点的达朗伯原理
编辑ppt
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
编辑ppt
7
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
我们在简化中心 D 上附加一个平动动系 DxD yDzD，如图 所示，可得
rc为平动参考系中看到的质心 C 的矢径。上式将惯性力主矩分解为两项， 第一项为平动参考系中看到的惯性力主矩，即相对运动惯性力主矩；
第二项为质点系的质量集中到简化中心 D 产生的惯性力矩，
为了简化计算，我们希望这一项不出现
编辑ppt
厢的加速度 a 。
编辑ppt
8
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Qm a (Qm)a
由动静法, 取X坐标如图：有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得加速度
agtg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。
达朗贝尔原理和动静法
F+FN+FI=0
目录
达朗贝尔原理\达朗贝尔原理和动静法 上式表明，如果在运动的质点上加上惯性力，则作用于质点上
的主动力、约束力与质点的惯性力组成一平衡力系。这就是质点的 达朗贝尔原理。
应该指出，由于惯性力实际上不是作用于运动的质点上，质点 实际上也并不平衡，所以达朗贝尔原理中的“平衡”并无实际的物 理意义。不过，根据达朗贝尔原理，就可将动力学问题从形式上转 化为静力学平衡问题，使我们能够用静力学的方法来研究动力学问 题。因此，这种方法称为动静法。动静法简化了对动力学问题的分 析处理，在工程中有着广泛的应用。
与质点的情况不同，作用于质点系的主动力、约束力与虚加的 惯性力通常组成一个平面一般力系或空间力系，这时应分清力系的 类型，列出相应的平衡方程求解。
由于质点系的内力总是成对出现的，所以在作用于质点系的主 动力和约束力中可以不考虑内力。
目录
理论力学
片看作是质量集中在质心(重心)C的质点，
它绕叶轮轴O作匀速圆周运动，其法向加
速度为an=R2，故惯性力FI的大小为
FI
mR 2
mR
nπ 2
30
41393N
41.4kN
惯性力的方向与法向加速度的方向相反，
即离心惯性力。
将惯性力FI加在叶片上，根据达朗贝 尔原理，它与叶片所受的拉力F组成一平
衡力系(叶片的重力远小于其惯性力，可
略去不计)，故有 F－FI=0
因此
F=FI=41.4kN
由本例可以看出，对于高速旋转的机械，由于惯性力与角速度
平方成正比，故其数值是相当大的，在设计时应给予充分重视。
目录
达朗贝尔原理\达朗贝尔原理和动静法 【例9.2】 为了测定作水平直线运动的车辆的加速度，采用摆
第十二章 达朗伯原理
O
N
A i
F Ii
N
FI i
FI i ＝
ac
C
O
J z
ma
c
(a)
(b)
通过上图可将整个刚体的惯性力系从空间力系转化为对称 平面内的平面力系。再将该平面力系向对称平面的转动中心O （即为转轴与对称平面的交点O）简化，可得到一个力 F IR 和 一个矩为的力偶 M I O 。
G
、 F
和 F I ，其中 F I m a
。
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第十二章 达朗贝尔原理
由静力平衡方程
F
则
xi
0, P sin FI cos 0
FI P ma mg a g
ta n
即
a g tan
二、质点系的达朗贝尔原理 对质点系中每一个质点应用质点的达朗贝尔原理，然后 加以综合，就得到质点系的达朗贝尔原理。
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第十二章 达朗贝尔原理
第三节
刚体惯性力系的简化
若研究整个刚体的运动，可以用静力学中所描述的方法 将刚体的惯性力系向一点简化，用简化结果等效地代替原来 的惯性力系。 设将刚体的惯性力系向任选一点O的简化，则惯性力系的 主矢为
FI R
FI i
( m i ai ) ( m i ai )
即
M
IO
J z
（12－9）
上式的负号表示惯性力主矩的转向与角加速度相反。
式（12－7）和式（12－8）表明：刚体定轴转动时，其 惯性力系向转动中心简化为一个力和一个力偶。其中这个力 的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加 速度方向相反，作用线通过转化中心。这个力偶的矩等于刚 体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，作用在垂直于转轴 的对称平面内，转向与角加速度的转向相反。 得出上述的结论有两个限制条件：
理论力学达朗贝尔原理ppt课件
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
一、 惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向
任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和F* ，M*O ，于是，
第五章 达朗贝尔原理
目录
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
第五章 达朗贝尔原理
引言
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯 性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
2. 刚体做定轴转动
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬
时的角速度为ω，角加速度为α。
第五章 达朗贝尔原理
舰载飞机降落过程中的动力学问题
拦阻装置为什么装在飞机的后部？
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-1 达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
《理论力学达朗贝尔原理》教案
《理论力学》教案教学课题：§13.1 惯性力的概念达朗贝尔原理选用教材：武清玺冯奇.《理论力学》高等教育出版社教学指标课题：§13.1 惯性力的概念达朗贝尔原理课型：新授课课时：1课时教学目标：1.了解什么是惯性力；2.知道惯性力的大小、方向及作用物体；3.熟练掌握质点达朗贝尔原理的使用；4.掌握质点系达朗贝尔原理表达式，能灵活应用。
教学内容：本节内容主要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法—达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。
它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。
教学重点：质点达朗贝尔原理应用，质点系达朗贝尔原理推导及应用。
教学难点：惯性力的作用物体，质点系质点系达朗贝尔原理的应用。
教学方法与手段：知识点的推进遵从循序渐进、由表及里、有点几面的原则。
以多媒体教学为主要手段，辅以板书推导、演算，利用精炼的语言讲解，让学生通过眼、耳、大脑共同的感知，达到传授理论的目的。
讲解过程结合适当练习达到具体、直观强化理论的目的。
教学过程：（一）导入新课上面几章我们是以牛顿定律为基础研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点和质点系动力学问题的普遍定理。
这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法—达朗贝尔原理。
（二）讲授新课§13.1 惯性力的概念 达朗贝尔原理1、惯性力1.1惯性力的大小与方向定义：惯性力的大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。
用记号F Ⅰ表示。
即1.2 惯性力的作用物体惯性力的作用物体是施力物体，即惯性力作用在施力物体上。
2、质点的达朗贝尔原理如下图，一质量为m 的质点 ，在主动力F 和约束力N F的作用下做曲线运动，其加速度为a ，由质点动力学基本方程，有N m =+a F F即 ()0N F F ma ++-=幻灯片1、2、3 本节标题及基本内容 幻灯片4 惯性力的提出 幻灯片5 惯性力的定义 幻灯片6绳拉一小球作圆周运动 板书1： 分析惯性力的作用物体=-m aF Ⅰ引入惯性力表达式后，上式可改写成 N I 0++=F F F上式表明，当非自由质点运动时，如假想地把惯性力加在运动的质点上，则：作用在质点上的主动力、约束力与质点的惯性力构成一平衡力系。
达朗贝尔原理—搜狗百科
达朗贝尔原理—搜狗百科达朗贝尔原理d'Alembert principle研究有约束的质点系动力学问题的一个原理。
由J.le R.达朗贝尔于1743年提出而得名。
对于质点系内任一个质点，此原理的表达式为F ＋N－ma＝0，式中F为作用于质量为m的某一质点上的主动力，N 为质点系作用于质点的约束力，a为该质点的加速度。
从形式上看，上式与从牛顿运动方程F＋N＝ma中把ma移项所得结果相同。
于是，后人把－ma 看作惯性力而把达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力和惯性力互相平衡。
利用达朗贝尔原理，可将质点系动力学问题化为静力学问题来解决，这种动静法的观点对力学的发展产生了积极的影响。
d'Alembert principle作用于一个物体的外力与动力的反作用之和等于零。
即F＋（-Ma）＋N=0 （1）其中M，a为物体质量和加速度，F为物体受到的直接外力，N为物体受到的约束反作用力（也是外力）。
在没有约束时，相应的N=0，（1）式成为F-Ma=0 （2）与牛顿的运动第二定律一致，只是进行了移项。
但这是概念上的变化，有下列重要意义：①用（2）式表达的是平衡关系，可以把动力学问题转化为静力学问题来处理。
②在有约束情况下，用（1）式非常有利；它与虚功原理结合后，可列出动力学的普遍方程。
③用于刚体的平面运动时，可利用平面静力学方法，使问题简化。
实际上，达朗贝尔原理还为不久后创立的分析力学打下了基础。
研究有约束的质点系动力学问题的一个原理。
由J.le R.达朗贝尔于1743年提出而得名。
对于质点系内任一个质点，此原理的表达式为F＋N－ma＝0，式中F为作用于质量为m的某一质点上的主动力，N 为质点系作用于质点的约束力，a为该质点的加速度。
从形式上看，上式与从牛顿运动方程F＋N＝ma中把ma移项所得结果相同。
于是，后人把－ma 看作惯性力而把达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力和惯性力互相平衡。
达朗贝尔原理
F
FAy
A
FAx
F
r
M IA
FIA
r
FIC
r 2
mgr
cos 300
0
C
FIC
3
1
3
F 2 mAaA 2 ma A 2 mg
(1)
mg 30° B
取AB杆: mA(F ) 0 :
3
1
3
FAy
F 2 mAaA 2 ma A 2 mg (1)
F
A
FAx
mA(F ) 0 : mgrcos 300 FIC r sin 300 0
FI 1
A
1
L
M I 1 C1
mg
FI 2
L
B MI2
. C2 mg
2
D
P
解: 双自由度, 初瞬时问题求加速度.
P力作用在D处时, BD杆平面运动, 圆盘定轴转动, 惯性力系简化如图示.
aC1
L FI 1 m aC1 m1 2
MI1
J A1
3 2
m(
L 2
)2 1
3 8
m L21
L
aC2
FI 2 m aC2 m( 1L 2 2 )
C FIC
mg 30° B
3
1
mg 2 maA 2 0
aA 3 g ( 2 )
α
M IA
(2) 代入(1)
F
3 2 mAaA
1 2
ma A
3 mg
2
F
A
FIA
aA
aC C
FIC
mAg mg 30° B
得:
F
33 2
mAg
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理静力学研究物体在力系的作用下的平衡条件，动力学则研究物体的机械运动与作用力之间的关系，两者研究对象的性质不同，似乎没有什么共同之处。
然而让·勒龙一达朗贝尔在1743年提出了一个研究动力学问题的新的普遍方法，即用静力学研究平衡的方法来研究动力学问题，这就是达朗贝尔原理，也称为动静法。
达朗贝尔原理像一座桥梁一样把静力学和动力学连接起来。
达朗贝尔(Jean le Rond d’Alembert，1717—1783)，诞生于1717年11月17日，是18世纪法国启蒙运动的领袖人物之一，法国数学家、力学家、哲学家。
他出生后即被遗弃在巴黎的一座教堂附近，后被一玻璃匠夫妻收养。
达朗贝尔于1738年获得法学学位，但并未从事法律职业，相反他潜心研究科学并很快在事业上取得了成功。
在力学方面，他于1743年发表了《论动力学》，提出了著名的“达朗贝尔原理”，作为牛顿第二定律的另一种表述形式，把动力学简化为静力学问题。
他运用这种方法研究了天体力学中的三体问题，并把它推广到流体动力学中。
在数学和天文学方面，他是偏微分方程论的创始人之一。
提出用极限的概念代替牛顿的“最初和最终比”。
他运用偏微分方程研究弦振动问题，解释了天文学上岁差和章动的原因。
并于1761 1780年间陆续出版了《数学论丛》共8卷。
在哲学方面，他是百科全书派的代表之一。
1746年，他与著名哲学家D．狄德罗一起编撰法国《百科全书》，负责撰写数学与自然科学及部分音乐方面的条目。
1754年，他被选为法兰西学院院士，1772年任学院终身秘书，对法兰西学院的发展有巨大影响。
13．1惯性力·质点的达朗贝尔原理设一质点的质量为m，加速度为a，作用在质点上的主动力为F，约束力为FN，如图13—1所示。
由牛顿第二定律，有具有力的量纲，称为质点的惯性力，它的方向与质点加速度的方向相反。
式(13—2)可以解释为：作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力组成平衡力系。
29.理论力学PPT课件之达朗贝尔原理的应用
10.4 达朗贝尔原理的应用
10.4 达朗贝尔原理的应用
10.4 达朗贝尔原理的应用
10.4 达朗贝尔原理的应用
技术提示 应用达朗贝尔原理求动力学问题的步骤及要点： （1）选取研究对象。原则与静力学相同。 （2）受力分析。画出全部主动力和约束反力。 （3）运动分析。尤其刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。 （4）虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确运动 分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。 （5）列平衡方程。选取适当的矩心和投影轴。 （6）建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 （7）求解未知量。
10.4 达朗贝尔原理的应用
达朗贝尔原理是研究动力学问题的一种新的、有效的方法，以静力学平 衡方程的形式来建立动力学方程，可以熟练地求解两类动力学问题。应用达 朗贝尔原理既可求运动，例如：加速度、角加速度等；也可以求力，并且多 用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力等。
应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如， 矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时， 应用动静法求解它们时就方便得多。此外，很多动力学问题都是一题多解，
10.4 达朗贝尔原理的应用
工程模拟训练 试分析轴上轮盘安装出现偏心距时ห้องสมุดไป่ตู้对轴承的动约束反力。 试分析货车装运超高时，容易翻到的原因。 试用达朗贝尔原理求解其他动力学定理能解决的问题。
10.4 达朗贝尔原理的应用 编辑人： XXX时 间 ： x x 月 x x 年
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aA R
aA FCx FCy
FIA
A
aA
mg
12.3 刚体惯性力系的简化
（2）B处的约束力。 对象：BC杆 受力：如图 方程： FBy 'y FC
B
例题4
M MIC
FCy
C
FCx
B l
M C
mg FIA
A
FBx
C
'x FC
MB
aA
A
Fx 0
m1g
Fy 0 M B (F ) 0
FI2 m2 FI1 FIR FIn mn 2、定轴转动 3、平面运动 m1 m aC
t ai
n Fi
1、平移
M IC＝0
a in
mi
M IO＝－J O
t F i C
M IC＝－J C
MIC
C
O
MIO
aC
12.3 刚体惯性力系的简化
例题4
例题4
M B l C 已知：A物体与轮 C的质量均 为m，BC 杆的质量为m1，长 为l，在轮 C上作用一主动力 偶M。 求：（1）A 物体上升的加速度； （2）B处的约束力。
a1
FIR FIi mi ai mi aC aC mi maC
● 主矩
MIC MIC FIi ri mi aC
mi ri aC mrC aC 0
M IC＝0
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。
12.2 质点系的达朗贝尔原理
i F i 0
e i F F F R i i FIi 0 e i M M F M F O i M O FIi 0 O O i
i M ( F O i )=0
MIO
具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的固 定轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到一个合 力和一个合力偶。
12.3 刚体惯性力系的简化 3.刚体作平面运动
前提：
刚体具有质量对称面
质量对称面平行于运动平面 当作用于刚体上的力系可以 简化为质量对称面内的平面 力系。
12.3 刚体惯性力系的简化
空间汇交力系
提供了一种新方法，尤其适用于受约束质点系统求解 动约束力和动应力等问题。
思 考
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
用手握住绳子的一端O，在绳子的另一端系以质量为m 的小球M ，令小球在光滑水平支承面上作匀速圆周运动。 小球所受的惯性力？
m FI
an L O
FI man
v
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
应用动静法，由平衡方程
M
O
0
m1g
a r
m1 g r FI 1 r FI 2 r m2 g r ? 0
m1 m2 a g ＃ m1 m2 m
2
0
m rd r r 2r
12.2 质点系的达朗贝尔原理
质点系的惯性力系
F1 , F 2 ,, Fi ,, Fn
a2
Fi FNi FIi 0
i 1,2,, n
质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上的主动力、约束 力与它的惯性力，形式上组成平衡力系。
12.2 质点系的达朗贝尔原理
Fi FNi FIi 0
n Ii
M I O M O (F ) M O (F )
n M ( F O Ii ) 0
τ Ii
F
n i
F
n IR
MIz
a Ct
O
y
M I O M O (F )
t ai
ri mi ri
O
a
n i
mi
C
Fi
t
x
a Cn C
t FIR
( mi ri 2 ) J O
2
M
A
0 M m2 ge cos t FI h cos t 0
12.2 质点系的达朗贝尔原理
例题3
r
B A
如图所示，滑轮的半径为r， 质量为 m 均匀分布在轮缘上，可 绕水平轴转动。轮缘上跨过的软 绳的两端分别挂质量为 m1 和 m2 的 重物 A 和 B, 且 m1 >m2 。绳的重量 不计，绳与滑轮之间无相对滑动， 轴承摩擦忽略不计。求重物的加 速度。 求：重物的加速度。
12.2 质点系的达朗贝尔原理
例题2
FI
aO2 m1g m2g
解： 对象：包括外壳、定子、 转子的电动机 受力：如图所示 运动：定子和电动机外壳静止，转 子做定轴转动 方程：
M
Fx Fy
FI m2 e 2
应用动静法，由平衡方程
M m2e cos t g h Fx 0, Fx FI cos t 0, Fx n F 0 , F m g m g F sin t 0 , F y y 1 2 I y
FBx，FBy，M B
mg
思 考
12.3 刚体惯性力系的简化 研究对象还可以怎么选？
FBy
例题4
M
C FBx MIC l m1g mg
B MB
FIA A
mg
aA
12.3 刚体惯性力系的简化
例题5
例题5
均质圆柱体重为W，半径
为R，沿倾斜平板从静止状态
开始，自固定O处向下作纯滚 动。平板相对水平线的倾角为
惯性力系向质心C简化
n Fi
● 主矢
FR
MIC
t ai
FIR maC
a
n i
mi
Ft i
● 主矩
M IC J C
C
aC 平面运动刚体惯性力系向质心简 化的结果得到一个合力和一个合力偶， 二者都位于质量对称平面内。
12.3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关！
Fi e Fi i FIi 0
i 1,2,, n
i 1,2,, n
将真实力分为内力和外力（各自包含主动力和约束力）
力系平衡FR=0，MO=0（ O为任意点）
e i F F F R i i FIi 0 e i M M F M F O i M O FIi 0 O O i
F
b
0,
FT cos q mg 0,
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
达朗贝尔原理反映的平衡……？
F m FN
FI
作用于质点上的主动力F，约束力 FN，虚加惯性力FI在形式上组成平 衡力系。其余解题过程同静力学。
F FN FI 0
注意：达朗贝尔原理从形式上将动力学问题转化为静力学问题， 它并不改变动力学问题的实质，质点实际上也并不平衡。
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
z m A
m a F FN
F
FR
FI O x
F FN m a 0
a FN
y
FI m a
——质点的惯性力
s
F —— 主动力； FN —— 约束力；
F + FN ＋ FI ＝0
——质点的达朗贝尔原理
作用在质点上的主动力、约束力与假想施加在质 点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
12.2 质点系的达朗贝尔原理
例题3
FnIi FtIi F at an
Ny
r
a
FI1
A
mg
解： 对象：系统 受力：如图 运动：略 方程： FNx 惯性力 F I1 n FI 2 a F dm a
B m2g
m1a FI 2 m2 a 2 Ii n dm r FIiτ dm aτ dm r
A
12.3 刚体惯性力系的简化
（1）A 物体上升的加速度； 解： 对象：轮C和物块A 受力：如图 F? Cy 运动：略 M 方程： 惯性力 F ma
A A
例题4
M
?
B l
C
C
M C J C
应用动静法
C
MIC mg
? FC x ?
A
M 0, F 0, F 0,
τ C
n IR n C
n C
a
n C
C
n FR
z
F ma
τ IR
τ C
F ma
τ C n C
O
t
FRF n
FR
x
IR
a Ct
O
y
F ma F ma
τ IR n IR
a Cn C
t FIR
12.3 刚体惯性力系的简化
z
● 对转轴的主矩
τ Ii
M IO J O
FI2 1、平移 m2 FI1 FIR FIn mn m1 m aC
t aC
FIR ＝－m aC
a
n C
C
n FR
t n 2、定轴转动 FIR ＝－m aC ＝－m( aC aC )
FR
3、平面运动 FIR ＝－m aC
C
O
FR
Ft R
aC
12.3 刚体惯性力系的简化
惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关！
惯性力必须施加在每个质点上！
F1
m1 a1 FN2 FI2 m2 FIi FI1 FN1 FNi mi Fi ai