理论力学-12-达朗贝尔原理及其应用

12.2 质点系的达朗贝尔原理
i F i 0
e i F F F R i i FIi 0 e i M M F M F O i M O FIi 0 O O i



i M ( F O i )=0
第12章 达朗贝尔原理
12.2 质点系的达朗贝尔原理
12.2 质点系的达朗贝尔原理 空间一般力系
F1
FI1 FN1 FNi mi FIi Fi ai m1 a1 FN2 FI2 F2 m2 质点系的主动力系
F1 , F2 , , Fi , , Fn
质点系的约束力系
FN1 , FN 2 , , FNi , , FNn
Fi e Fi i FIi 0
i 1,2,, n
i 1,2,, n
将真实力分为内力和外力（各自包含主动力和约束力）
力系平衡FR=0，MO=0（ O为任意点）
e i F F F R i i FIi 0 e i M M F M F O i M O FIi 0 O O i
n Ii
M I O M O (F ) M O (F )
n M ( F O Ii ) 0
τ Ii
F
n i
F
n IR
MIz
a Ct
O
y
M I O M O (F )
t ai
ri mi ri

O
a
n i
mi
C
Fi
t
x
a Cn C
t FIR
( mi ri 2 ) J O
Nanjing University of Technology
理论力学 第三篇 动力学
第三篇 动力学
第12章 达朗贝尔原理
第12章 达朗贝尔原理
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理 12.2 质点系的达朗贝尔原理 12.3 刚体惯性力系的简化
第12章 达朗贝尔原理
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
惯性力必须施加在每个质点上！
F1
m1 a1 FN2 FI2 m2 FIi FI1 FN1 FNi mi Fi ai
FIi mi ai
F2
a2
第12章 达朗贝尔原理
12.3 刚体惯性力系的简化
12.3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点
FIi mi ai
FI1
1
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。 m 向质心简化： FIR
空间汇交力系
提供了一种新方法，尤其适用于受约束质点系统求解 动约束力和动应力等问题。
思 考
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
用手握住绳子的一端O，在绳子的另一端系以质量为m 的小球M ，令小球在光滑水平支承面上作匀速圆周运动。 小球所受的惯性力？
m FI
an L O
FI man
v
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
FBx，FBy，M B
mg
思 考
12.3 刚体惯性力系的简化 研究对象还可以怎么选？
FBy
例题4
M
C FBx MIC l m1g mg

B MB
FIA A
mg
aA
12.3 刚体惯性力系的简化
例题5
例题5
均质圆柱体重为W，半径
为R，沿倾斜平板从静止状态
开始，自固定O处向下作纯滚 动。平板相对水平线的倾角为
a1
FIR FIi mi ai mi aC aC mi maC
● 主矩
MIC MIC FIi ri mi aC
mi ri aC mrC aC 0
M IC＝0
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。
z
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
m A
F
FR
FI m a
达朗贝尔惯性力(dˊAlembert inertial force)，简称惯性力。
FI
a FN
y
O
x
s
F FN FI 0
达朗贝尔原理（18世纪法国物 理学家与数学家达朗贝尔发 现），亦即动静法。
Fx FNx FIx 0 Fy FNy FIy 0 Fz FNz FIz 0
x y
aA R
aA FCx FCy
FIA
A
aA
mg
12.3 刚体惯性力系的简化
（2）B处的约束力。 对象：BC杆 受力：如图 方程： FBy 'y FC
B
例题4
M MIC
FCy
C

FCx
B l
M C
mg FIA
A
FBx
C
'x FC
MB
aA
A
Fx 0
m1g
Fy 0 M B (F ) 0
F
b
0,
FT cos q mg 0,
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
达朗贝尔原理反映的平衡……？
F m FN
FI
作用于质点上的主动力F，约束力 FN，虚加惯性力FI在形式上组成平 衡力系。其余解题过程同静力学。
F FN FI 0
注意：达朗贝尔原理从形式上将动力学问题转化为静力学问题， 它并不改变动力学问题的实质，质点实际上也并不平衡。
MIO
具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的固 定轴转动时，惯性力系向固定轴简化的结果，得到一个合 力和一个合力偶。
12.3 刚体惯性力系的简化 3.刚体作平面运动
前提：
刚体具有质量对称面
质量对称面平行于运动平面 当作用于刚体上的力系可以 简化为质量对称面内的平面 力系。
12.3 刚体惯性力系的简化
惯性力系向质心C简化
n Fi
● 主矢
FR
MIC
t ai
FIR maC
a
n i
mi
Ft i
● 主矩
M IC J C
C

aC 平面运动刚体惯性力系向质心简 化的结果得到一个合力和一个合力偶， 二者都位于质量对称平面内。
12.3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关！
质点系的惯性力系
F1 , F 2 ,, Fi ,, Fn
a2
Fi FNi FIi 0
i 1,2,, n
质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上的主动力、约束 力与它的惯性力，形式上组成平衡力系。
12.2 质点系的达朗贝尔原理
Fi FNi FIi 0
FI2 m2 FI1 FIR FIn mn 2、定轴转动 3、平面运动 m1 m aC
t ai
n Fi
1、平移
M IC＝0
a in
mi
M IO＝－J O
t F i C
M IC＝－J C
MIC
C


O
MIO
aC
12.3 刚体惯性力系的简化
例题4
例题4
M B l C 已知：A物体与轮 C的质量均 为m，BC 杆的质量为m1，长 为l，在轮 C上作用一主动力 偶M。 求：（1）A 物体上升的加速度； （2）B处的约束力。
FI2 1、平移 m2 FI1 FIR FIn mn m1 m aC
t aC
FIR ＝－m aC
a
n C
C
n FR
t n 2、定轴转动 FIR ＝－m aC ＝－m( aC aC )
FR
3、平面运动 FIR ＝－m aC
Hale Waihona Puke Baidu
C


O
FR
Ft R
aC
12.3 刚体惯性力系的简化
惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关！
A
12.3 刚体惯性力系的简化
（1）A 物体上升的加速度； 解： 对象：轮C和物块A 受力：如图 F? Cy 运动：略 M 方程： 惯性力 F ma
A A
例题4
M
?
B l
C
C
M C J C
应用动静法
C
MIC mg
? FC x ?
A
M 0, F 0, F 0,
τ C
n IR n C
n C
a
n C
C
n FR
z
F ma
τ IR
τ C
F ma
τ C n C

O
t
FRF n
FR
x
IR
a Ct
O
y
F ma F ma
τ IR n IR
a Cn C
t FIR
12.3 刚体惯性力系的简化
z
● 对转轴的主矩
τ Ii
M IO J O
12.3 刚体惯性力系的简化 2.刚体做定轴转动
前提：
刚体具有质量对称面
转轴垂直于质量对称面 当作用于刚体上的力系可以 简化为质量对称面内的平面 力系。
12.3 刚体惯性力系的简化
惯性力系向转动轴O简化 ● 主矢
FIR maC
τ IR n IR
t aC
FIR F F
a a
2
M
A
0 M m2 ge cos t FI h cos t 0


12.2 质点系的达朗贝尔原理
例题3
r
B A
如图所示，滑轮的半径为r， 质量为 m 均匀分布在轮缘上，可 绕水平轴转动。轮缘上跨过的软 绳的两端分别挂质量为 m1 和 m2 的 重物 A 和 B, 且 m1 >m2 。绳的重量 不计，绳与滑轮之间无相对滑动， 轴承摩擦忽略不计。求重物的加 速度。 求：重物的加速度。
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
z m A
m a F FN
F
FR
FI O x
F FN m a 0
a FN
y
FI m a
——质点的惯性力
s
F —— 主动力； FN —— 约束力；
F + FN ＋ FI ＝0
——质点的达朗贝尔原理
作用在质点上的主动力、约束力与假想施加在质 点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
FI2 a1
m C FIi m2 a2
mi
FR FIi mi ai maC
主矢
ai
FIR maC
主矢与刚体的运动形式无关。
主矩
12.3 刚体惯性力系的简化
刚体平移时，惯性力系向质心简化 ● 主矢
1.刚体作平移
m1
FIR maC
FI2
m2 FI1
a2 maC FIR an m FIn n
12.2 质点系的达朗贝尔原理
例题2
FI
aO2 m1g m2g
解： 对象：包括外壳、定子、 转子的电动机 受力：如图所示 运动：定子和电动机外壳静止，转 子做定轴转动 方程：
M
Fx Fy
FI m2 e 2
应用动静法，由平衡方程
M m2e cos t g h Fx 0, Fx FI cos t 0, Fx n F 0 , F m g m g F sin t 0 , F y y 1 2 I y
应用动静法，由平衡方程
M
O
0
m1g
a r
m1 g r FI 1 r FI 2 r m2 g r ? 0
m1 m2 a g ＃ m1 m2 m

2
0
m rd r r 2r
12.2 质点系的达朗贝尔原理
例题1
例题1
q l
一悬挂小球在平面 内以速度v作匀速圆 周运动。 求：v？和FT？
12.1 质点惯性力与达朗贝尔原理
例题1
q l
解： 对象：小球 受力：如图 运动：圆周运动 方程： n
？
mv2 FI man l sin q
n
mg FT FI 0
FT FIn Fn 0, F sin q F n 0, T I ？ v
q ，忽略板的重量。
试求： 固定端O处的约束力。
12.3 刚体惯性力系的简化
解： 1. 首先确定圆柱体的质心加速度和角加速度。
对象：圆柱体 受力：如图 运动：平面运动 惯性力 方程： W FI aC , M IC J C g 应用动静法
e F i FIi 0
e M O (Fi ) M O (FIi ) 0
质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的外力系、与惯性力 系，形式上组成平衡力系。
12.2 质点系的达朗贝尔原理
例题2
电动机的外壳和定子的总 质量为 m1 ,质心C1与转子转 轴 O1 重合；转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴不重合 ， 偏心距 O1O2 = e 。若转子以 等角速度旋转。 求：电动机机座的约束 力和约束力偶。
12.2 质点系的达朗贝尔原理
例题3
FnIi FtIi F at an
Ny
r
a
FI1
A
mg
解： 对象：系统 受力：如图 运动：略 方程： FNx 惯性力 F I1 n FI 2 a F dm a
B m2g
m1a FI 2 m2 a 2 Ii n dm r FIiτ dm aτ dm r