2013年北京市海淀区高三一模数学理科含答案
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海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 (理科) 2013.4
本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.集合2
{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|,则A B =
A.{3,4,5}
B.{4,5,6}
C.{|36}x x <≤
D.{|36}x x ≤< 2.在极坐标系中, 曲线4cos ρθ=围成的图形面积为 A.π B.4 C.4π D.16
3.某程序的框图如图所示,执行该程序, 若输入的x 值为5,则输出的y 值为 A.2- B. 1- C.
1
2
D.2 4.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≤⎩
表示面积为1的直角三角形区域,则k 的值
为
A.2- B. 1- C. 0 D.1
5. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ,则⋅a b 的值为 A.12-
B.1
2
C.1-
D. 1 6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种
7. 抛物线2
4y x =的焦点为F ,点(,)P x y 为该抛物线上的动点,又点(1,0)A -,则
||
||
PF PA 的最 小值是
A.
12
8. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,5,6的直线.给出下列三个结论: ①i i A l ∃∈(1,2,3)i =,使得123A A A ∆是直角三角形; ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =,使得123A A A ∆是等边三角形;
③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =,使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.
其中,所有正确结论的序号是
A. ①
B.①②
C. ①③
D. ②③
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面上,若复数+ i a b (,a b ∈R )对应的点恰好在实轴上,则b =_______. 10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = 11.如图,AP 与O 切于点A ,交弦DB 的延长线于点P , 过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=︒,
3,4BC CP ==,
则弦DB 的长为_______.
12.在ABC ∆中,若4,2,a b ==1cos 4
A =-,则
_____,s i n
c C == 13.已知函数22, 0,
()3, 0
x
a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是_____.
14.已知函数π()sin 2
f x x =,任取t ∈R ,定义集合:
{|t A y =()y f x =,点(,())P t f t ,(,())Q x f x
满足||PQ .
设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值,记()t t h t M m =-. 则 (1)函数()h t 的最大值是_____;
(2)函数()h t 的单调递增区间为________.
D C
B P
A O
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数2()2cos )f x x x =--. (Ⅰ)求π()4
f 的值和()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]63
ππ
-上的最大值和最小值.
16.(本小题满分13分)
在某大学自主招生考试中,所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. (I )求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数; (II )若等级A ,B ,C ,D ,E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分. (i )求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;
(ii)若该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分. 从这10
人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.
17.(本小题满分14分)
在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,ABC ∆是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又
4PA AB ==,120CDA ∠= ,点N 在线段PB 上,
且PN =.
(Ⅰ)求证:BD PC ⊥; (Ⅱ)求证://MN 平面PDC ; (Ⅲ)求二面角A PC B --的余弦值.
18.(本小题满分13分)
已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值. (I) 当1a =时,求()f x 的单调区间;
(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1,求a 的值.
19.(本小题满分14分)
已知圆M
:2
2
2
(x y r +=(0r >).若椭圆C :22
221x y a b
+=(0a b >>)的右顶点为圆M
(I )求椭圆C 的方程;
(II )若存在直线l :y kx =,使得直线l 与椭圆C 分别交于A ,B 两点,与圆M 分别交于G ,H 两点,点G 在线段AB 上,且AG BH =,求圆M 半径r 的取值范围.