待定系数法分解因式(附答案)(可编辑修改word版)

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专题45 待定系数法(解析版)

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

（2）求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

（3）解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．（4）分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。

利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、方法技巧1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项式各关于x 的同类项的系数对应相等．2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），从而使问题得到解决.例如：“已知()2252x a x bx c -=-⋅++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．3. 格式与步骤:(1)确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：()22a x bx c -⋅++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：2105a b c -=⎧⎪=⎨⎪=-⎩(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.∴105a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩二、应用举例类型一利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除.（1）求a ，b（2）分解因式：432237x x ax x b -+++【答案】（1） 12 6a b =-=和（2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---【解析】试题分析：（1）由条件可知22x x +-是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，可解出m 、n ，最后代入即可求出a 、b 的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：（1）∵多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除∴设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，整理，得()()()43243223724222m x x ax x b x x m n x n m x n -+++=+++-+--+ ∴234272m m n a n m b n+=-⎧⎪+-=⎪⎨-=⎪⎪=-⎩ 解得53126m n a b =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ ∴a 、b 的值分别为126-和.（2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：22253352x xy y x y +--+- 【答案】222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）【解析】试题分析：方法一因为2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），因此,如果多项式能分解成两个关于x 、y 的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是23x y m x y n +（-+）（+）,其中m 、n 为待定系数. 然后展开，利用多项式的恒等，求出m 、n 的值.试题解析：解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=-+++（）（）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（）对比系数，得：23352m n m n mn +=- -= =- ⎧⎪⎨⎪⎩①②③由①、②解得：12m n =⎧⎨=-⎩代入③式也成立. ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）试题分析：方法二前面同思路1，因为()()()()222533522323x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+是恒等式，所以对任意,x y 的值，等式都成立，所以给,x y 取特殊值，即可求出,m n 的值.试题解析：解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=+（－＋）（＋）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） ∵该式是恒等式，∴它对所有使式子有意义的x ，y 都成立，那么令002x y mn ===-，得： ①令01330x y m n mn ==-+-=，得：② 解①、②组成的方程组，得12m n ==-⎧⎨⎩或-323m n ==⎧⎪⎨⎪⎩把它们分别代入恒等式检验，得12m n ==-⎧⎨⎩ ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.【难度】较难类型二利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】将分式21(1)(1)x x ++拆分成两个分式的和的形式. 【答案】22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 【解析】试题分析：设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a 、b 、c 的值即可. 试题解析：解：设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++ 而222()()11(1)(1)ax b c a c x a b x b c x x x x +++++++=++++ 即2221()()(1)(1)(1)(1)a c x ab x bc x x x x +++++=++++ 比较分子，得001a c a b b c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得12a =-， 12b c ==. ∴22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax B +形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难【例题4】计算：()()()()()()()1111...11223910a a a a a a a a +++++++++++【答案】()1010a a + 【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：解：我们设()111A B a a a a =+++ 而()()()11(1)1A a Ba A B a A A B a a a a a a +++++==+++ 比较分子得：01A B A +=⎧⎨=⎩，解得：11A B =⎧⎨=-⎩所以()11111a a a a =-++ 所以，原式=11111111 (11223910)a a a a a a a a -+-+-+-+++++++ 1110a a =-+ ()1010a a =+ 考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式()11111n n n n =-++拆分. 【难度】较难类型三利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】已知()()2332x mx x -+-的积中不含x 的二次项，则m 的值是（） A. 0 B.23 C. 23- D. 32- 【答案】C【解析】试题分析：将多项式()()2332x mx x -+-展开、合并，按x 的降幂排列，根据积中不含x 的二次项等价于2x 项的系数为零列方程即可求得m 的值.试题解析：解：∵ ()()2322332 339226x mx x x mx x x mx -+-=-+-+-()()32 332926x m x m x =-+++- ∵积中不含x 的二次项，∴320m +=，解得23m =-. 故选C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、实战演练1.若多项式223529x xy y x y n +-+++能被34x y -+整除，则_______n =.【答案】4-【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商×除式（余式为0），其除式为34x y -+即可试题解析：解：设原式()()342x y x y m =-+++()()22352+3484x xy y m x m y m =+-++-+ 比较系数，得：341894m m n m +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩①②③由①，②解得1m =-，代入③得4n =-考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式=商×除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2. 分解因式：4321x x x x ++++【答案】4321x x x x ++++=22(1)(1)x x x x +++ 【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法—待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1，尾项也是1，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设4321x x x x ++++=22(1)(1)x mx x nx ++++而22(1)(1)x mx x nx ++++ 4323221x nx x mx mnx mx x nx =++++++++432()(2)()1x m n x mn x m n x =+++++++∴121m n mn +=⎧⎨+=⎩解得1212m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或1212m n ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∴432221(1)(1)x x x x x x x ++++=++ 考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：2223914320a ab b a b +-+-+【答案】()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）【解析】试题分析：属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.先分解()()22239233a ab b a b a b +-=-+，再设原式()()233a b m a b n =-+++，展开后，利用多项式恒等列方程组即可求解.试题解析：方法一解：∵()()22239233a ab b a b a b +-=-+ ∴可设原式()()233a b m a b n =-+++∴原式=()()22239233a ab b m n a m n b mn +-+++-+ 即()()222223914320239233a ab b a b a ab b m n a m n b mn +-+-+=+-+++-+ *比较左右两个多项式的系数，得：21433320m n m n mn +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得45m n =⎧⎨=⎩∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）方法二对于方法一中的恒等式（*）因为对a 、b 取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m 、n 的值. 令0020a b mn ===，，得 ①令10214a b m n ==+=，，得 ②令011a b m n ==-=-，，得 ③解②、③组成的方程组，得45m n =⎧⎨=⎩当45m n =⎧⎨=⎩时，①成立 ∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】较难4. 已知()f x 表示关于x 的一个五次多项式，若()()()()()()210102243360f f f f f f -=-=====，，，求()4f 的值.【答案】1800【解析】试题分析：因为()()()()21010f f f f -=-===，所以这个多项式中必有因式()()()211x x x x ++-、、、，而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因式的乘积，故式的乘积，故这个多项式可以设为()()()()211x x x x ax b ++-+，利用待定系数法求出a 、b 的值最后代入原多项式，即可求出()4f 的值. 试题解析：解：∵()()()()21010f f f f -=-===，∴设()()()() 21()1f x x x x x ax b =++-+由()()2243360f f ==，，可得方程组432(2)245432(3)360a b a b ⨯⨯+= ⎧⎨⨯⨯⨯+=⎩2133a b a b +=⎧ ⎨+=⎩整理得：解得：2-3a b =⎧⎨=⎩∴()()()()2112()3f x x x x x x =++--∴()6543(83)18040f ⨯⨯⨯⨯-==考点：1.解二元一次方程组 2.多项式变形点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5.m n 、为何值时，多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除？【答案】11m =-，4n =【解析】试题分析：由于多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除，可设商为2x ax b ++，再利用逆运算，除式×商式=被除式，利用等式的对应相等，可求出,a b .试题解析：解：设原式=()()2221x x x ax b -+++=432322222x ax bx x ax bx x ax b ++---+++=()()()4322212x a x b a x a b x b +-+-++-+ 对比系数，得：2521112a b a m a bn b-=-⎧⎪-+=⎪⎨=-⎪⎪=⎩解得：34114a b m n =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩故11m =-，4n =.考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般6.若多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，那么________a b ==.该多项式因式分解为：_______.【答案】【解析】试题分析：因为多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，则说明()5x -和()6x -都是多项式32x ax bx ++的一个因式，故设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+，展开即可求解.试题解析：解：设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+ ()()21130x x x m =-++ ()32301130x mx m x m =++-+对比系数，得：113011300a m b m m =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得:01130m a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故,11,30a b =-=，多项式因式分解为：()()32113056x x x x x x -+=-- 考点：整式除法与因式分解点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A 被B 整除，另外一层意思就是B 是A 的因式7. 分解因式：432435x x x x -+++【答案】()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+【解析】试题分析：本题是关于x 的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.试题解析：解：设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =++++ ()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++由恒等性质有：16453a b ab a b +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩，代入64ab +=中，成立.∴()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+说明：若设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =+-+-由待定系数法解题知关于a 与b 的方程无解，故()()43222435125x x x x x x x x -+++==++-+考点：因式分解应用点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.【难度】较难8. 在关于x 的二次三项式中，当1x =，其值为0；当3x =-时，其值为0；当2x =时，其值为10，求这个二次三项式.【答案】2246x x +-【解析】试题分析：思路1 先设出关于x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

待定系数法求因式分解

待定系数法求因式分解：
待定系数法是一种常用的因式分解方法，它通过设出多项式的形式，然后根据多项式的性质和已知条件，求出待定系数的值，从而得到因式分解的结果。

下面是一个使用待定系数法进行因式分解的例子：
因式分解：x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 2x + 8
设原式= (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)
展开后比较系数，可以得到以下方程组：
1) a + c = 2
2) ac = -9
3) b + d = -2
4) bd = 8
解这个方程组，可以得到：
a = 1, c = 1,
b = -4, d = 2
所以，原式= (x^2 + 1x + -4)(x^2 + 1x + 2)
即，原式= x^4 + (1+1)x^3 + (1c+-4+2)x^2 + (12+-41)x + -42
通过比较系数，可以得到原式= x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 6x + 8 拓展资料
因式分解是把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

使用待定系数法来分解因式附典型有难度例题

使用待定系数法来分解因式?附典型有难度例题.
答：待定系数法:在求一个函数时，如果已知这个函数的一般式，可以先把所求函数设为一般式，其中系数待定，然后根据已知条件求出这些待定系数的方法叫待定系数法.
用待定系数法求一次函数的解析式的步骤：
①设出函数解析式；②根据条件确定解析式中未知的系数；③写出解析式．
求下图中直线的函数表达式：
例1: 已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
分析：求一次函数解析式，关键是求出k 、b 值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k 、b 的二元一次方程组，解之可得．
设这个一次函数解析式为y=kx+b ．
因为y=k+b 的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以3549
k b k b +=⎧⎨-+=-⎩
解之，得21k b =⎧⎨=-⎩
故这个一次函数解析式为y=2x-1。

例2、已知一个一次函数中当自变量x ＝－2时，函数值y ＝－1，当x ＝3时，y ＝－3。

请写出这个一次函数的解析式。

分析：根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为y ＝kx ＋b （k ≠0），问题就归结为如何求出k 与b 的值。

由已知条件可知x ＝－2时，y ＝－1，故有－1＝－2k ＋b 。

再由已知条件x ＝3时，y ＝－3，可得－3＝3k ＋b 。

由于两个条件都要满足，故可把k 与b 看作未知量，联立关于k 、b 的二元一次方程，
1233k b k b -=-+⎧⎨-=+⎩，解得2595k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，再把所求得的k 与b 的值代回y ＝kx ＋b （k≠0），所以，一次函数解析式为2955
y x =--。

(完整word版)较复杂的因式分解

1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-（5+7y)x-(22y2—35y+3),可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即—22y2+35y—3=(2y—3)(-11y+1）．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y—3)］［2x+(-11y+1)］=（x+2y—3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：（x+2y）（2x-11y）=2x2—7xy-22y2;（x—3)（2x+1)=2x2-5x—3;(2y-3)（-11y+1）=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）;（2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2—3xy—10y2+x+9y—2;（2）x2—y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x—y—2；（4）6x2—7xy—3y2—xz+7yz—2z2．解(1）原式=(x-5y+2)（x+2y-1)．（2）原式=（x+y+1）(x—y+4）．(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解．原式=（y+1)（x+y-2）．（4)原式=（2x-3y+z)（3x+y-2z）．说明（4)中有三个字母,解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0（n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g （x)，…等记号表示，如f（x）=x2—3x+2，g（x)=x5+x2+6，…，当x=a时,多项式f（x)的值用f（a)表示．如对上面的多项式f（x）f(1)=12—3×1+2=0；f（-2)=（-2）2—3×（—2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1（因式定理）若a是一元多项式f(x）的根，即f(a)=0成立，则多项式f（x)有一个因式x—a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f（x)的整数根均为a n 的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式:x3-4x2+6x—4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数:±1，±2,±4，只有f（2）=23-4×22+6×2—4=0，即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x—2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式（x-2)．原式=（x3—2x2)-（2x2—4x)+（2x-4)=x2(x—2)—2x(x—2)+2（x—2)=(x—2)（x2-2x+2）．解法2 用多项式除法，将原式除以（x-2），所以原式=（x—2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是—4的约数，反之不成立，即—4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对—4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4—3x3+7x2—3x-2．分析因为9的约数有±1,±3，±9；-2的约数有±1,±为：所以，原式有因式9x2—3x—2．解9x4-3x3+7x2—3x—2=9x4-3x3-2x2+9x2—3x-2=x2（9x3—3x-2）+9x2-3x-2=(9x2-3x—2）(x2+1)=（3x+1)(3x—2)（x2+1）说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x—2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式(x-a），那么f(x)就可以分解为（x-a)g（x)，而g(x)是比f（x)低一次的一元多项式,这样，我们就可以继续对g(x）进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程（或方程组),解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=（x+2y）（x+y），若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n)y+mn,比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=（x+2y+3）(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4—2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法,若原式有有理根，则只可能是±1,±7（7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)（x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b）(x2+cx+d）=x4+（a+c)x3+(b+d+ac)x2+（ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1,d=—7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式:(1）x2—8xy+15y2+2x-4y-3；（2）x2—xy+2x+y-3;(3)3x2—11xy+6y2-xz—4yz—2z2．2．用求根法分解因式：(1）x3+x2-10x—6；(2)x4+3x3-3x2-12x—4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：（1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x—9。

待定系数法分解因式附答案

待定系数法分解因式(附答案) 待定系数法是一种常用的分解因式的方法，适用于多项式的因式中有一个二次项和一个一次项的情况。

下面我将详细介绍待定系数法的步骤，并给出一个具体的例子。

假设我们要分解因式的多项式为：ax^2 + bx + c，其中a、b、c是待定系数。

步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)，其中m和n是待定系数。

步骤二：将待分解的多项式用分解因式展开：(x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn。

步骤三：将展开后的多项式与原多项式进行比较，得到以下关系式：
a = 1（因为x^2的系数为1）；
b = m + n；
c = mn。

步骤四：根据关系式解出m和n的值。

步骤五：将得到的m和n代入分解因式中，即可得到最终的分解因式。

下面以一个具体的例子来说明待定系数法的使用：
例子：分解因式x^2 + 5x + 6。

步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)。

步骤二：展开(x + m)(x + n)得到x^2 + (m + n)x + mn。

步骤三：根据关系式得到以下方程组：
1 = a；
5 = m + n；
6 = mn。

步骤四：解方程组，得到m = 2，n = 3。

步骤五：将m和n代入分解因式中，得到(x + 2)(x + 3)。

所以，x^2 + 5x + 6可以分解为(x + 2)(x + 3)。

以上就是待定系数法分解因式的详细步骤和一个具体例子。

通过使用待定系数法，我们可以将一个多项式分解为两个一次项的乘积，从而更好地理解和运用多项式的因式分解。

(完整版)待定系数法分解因式(附答案)

待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

待定系数法练习题及答案

待定系数法练习题及答案待定系数法是一种常用的解决代数方程的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的方程，尤其是含有未知系数的方程。

在本文中，我们将通过一些练习题来探讨待定系数法的应用，并给出相应的答案。

1. 求解方程：3x + 4 = 2x - 1首先，我们需要将方程转化为标准形式，即将所有项移到等号的一侧。

将方程重新排列得到：3x - 2x = -1 - 4，简化得到 x = -5。

2. 求解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0这是一个二次方程，我们需要找到它的根。

首先，我们可以尝试因式分解，但很明显这个方程不能被因式分解。

因此，我们可以使用待定系数法来解决。

假设方程的解为 x = a 和 x = b，那么我们可以将方程表示为 (x - a)(x - b) = 0。

将方程展开得到 x^2 - (a + b)x + ab = 0。

与原方程进行比较，我们可以得到以下等式：a + b = 5，ab = 2。

根据这两个等式，我们可以列出一个二元一次方程组：a + b = 5，ab = 2。

解这个方程组，我们可以得到 a = 2，b = 3。

因此，方程的解为 x = 2 和 x = 3。

3. 求解方程：x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0这是一个三次方程，我们同样可以使用待定系数法来解决。

假设方程的解为 x = a，那么我们可以将方程表示为 (x - a)(x^2 + (a + 3)x + (a^2 + 3a + 1)) = 0。

展开方程得到 x^3 + (3a + 1)x^2 + (3a^2 + 6a + 1)x + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) = 0。

与原方程进行比较，我们可以得到以下等式：3a + 1 = 3，3a^2 + 6a + 1 = 3，a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = 0。

解这个方程组，我们可以得到 a = 1。

因此，方程的解为 x = 1。

通过以上几个练习题，我们可以看到待定系数法在解决代数方程中的重要性。

因式分解待定系数法

用待定系数法分解因式就是按照已知条件，把原式设为几个因式的乘积，然后利用多项式恒等定理，求出各待定系数的值。

待定系数法的定义
待定系数法，一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

待定系数法求因式分解
待定系数法是初中数学的一个重要方法。

因式定理的简单运用其实就是一个窍门：
如果各项系数和为0，则必含有因式（x-1)；如果奇次项系数和与偶次项系数和相等，则必含有因式（x+1）可以用一个十字相乘法来引入，因为十字相乘法是特殊的待定系数法。

使用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式。

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

专题45 待定系数法(解析版)

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

高中数学因式分解的十二种方法(修改版)

高中数学因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)x2-2x2-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)解：a2+4ab+4b2=（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x2-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2+3x-40解x2+3x-40=x2+3x+94-1694=(x+32)2-(132)2=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)( a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

待定系数法分解因式(含答案)-

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(完整word版)因式分解的16种方法

因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法.而在竞赛上,又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法,待定系数法，双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法，求根公式法,换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如:()1332--=+-x x x x )分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“—"号，使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-"号时，多项式的各项都要变号.提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；(2）提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式;③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

待定系数法分解因式(附问题详解)

待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

换元法、待定系数法因式分解

板块一：换元法【例1】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【例2】分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-【例3】分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++【例4】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【例5】分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-【例6】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【例7】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.换元法、待定系数法因式分解【例8】在有理数范围内分解因式：()()()()166********x x x x --+-+=【例9】分解因式：()()()()26121311x x x x x ----+=【例10】分解因式：()()()()461413119x x x x x ----+=【例11】分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---【例12】分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++【例13】分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+【例14】分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-【例15】分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【例16】分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【例17】分解因式：()()()2113212xy xy xy x y x y ⎛⎫+++-++-+- ⎪⎝⎭【例18】分解因式：44(1)(3)272x x +-+-【例19】分解因式：4444(4)a a ++-【例20】分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---【例21】分解因式：43241x x x x +-++【例22】分解因式：()()4413272x x +++-板块二：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.有理根：有理根p c q=的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数.【例23】分解因式：32252x x x ---【例24】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例25】分解因式：43265332x x x x ++--【例26】分解因式：322392624x x y xy y -+-【例27】分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例28】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b--------+++++=+++++那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.【例29】用待定系数法分解因式：51x x ++【例30】要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________【例31】用待定系数法分解：541x x ++【例32】分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-【例33】关于x y ，的二次式22754324x xy my x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，则m 的值是【例34】 421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?【例35】 631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积?【例36】 k 为时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解为两个一次因式的乘积【例37】分解因式：43223x x x x ++-+板块四：轮换式与对称式对称式：x y 、的多项式x y +，xy ，22x y +，33x y +，22x y xy +，…在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x y 、的对称式．类似地，关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++， 222222x y x z y z y x z x z y +++++，xyz ，…在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、的对称式．轮换式：关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222x y y z z x ++，222xy yz zx ++，xyz …在将字母x y z 、、轮换(即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x )时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、、的轮换式．显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式．但是，关于x y 、，z 的轮换式不一定是对称式．例如，222x y y z z x ++就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．【例38】分解因式：222-+-+-x y z y z x z x y()()()【例39】分解因式：222222-+-+-()()()xy x y yz y z zx z x。

(完整版)因式分解的十二种方法(已整理)

因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

因式分解方法大全(K12教育文档)

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因式分解方法大全（一）因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中。

因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。

它与整式乘法是方向相反的变形，是有效解决许多数学问题的工具.因式分解方法灵活，技巧性强。

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

因式分解的主要方法：⑴提公因式法;⑵运用公式法；⑶分组分解法；⑷十字相乘法；⑸添项折项法;⑹配方法；⑺求根法;⑻特殊值法;⑼待定系数法;⑽主元法；⑾换元法；⑿综合短除法等.一、提公因式法: ()ma mb mc m a b c++=++二、运用公式法：⑴平方差公式：22()()-=+-a b a b a b⑵完全平方公式：222a ab b a b±+=±2()⑶立方和公式:3322+=+-+（新课标不做要求）()()a b a b a ab b⑷立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++（新课标不做要求)⑸三项完全平方公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++⑹ 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---三、分组分解法。

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待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

内容综述
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

要点解析
这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

例 1 分解因式
思路 1 因为
所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1 因为所以可设
比较系数，得
由①、②解得把代入③式也成立。

∴
思路2 前面同思路1，然后给x,y 取特殊值，求出m,n 的值。

解法2 因为所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的 x,y 都成立，那么无妨令得
令得
解①、②得或
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

例 2 分解因式
思路本题是关于 x 的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设
由恒等式性质有：
由①、③解得代入②中，②式成立。

∴
说明若设原式
由待定系数法解题知关于 a 与 b 的方程组无解，故设原式
例3在关于x 的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为 10，求这个二次三项式。

思路 1 先设出关于 x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x 的二次三项式为把已知条件分别代入，得
解得
故所求的二次三项为
思路2 根据已知时，其值0 这一条件可设二次三项式为然后再求出a 的值。

解法2 由已知条件知当时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为
把代入上式，得
解得
故所求的二次三项式为即
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。

例 4 已知多项式的系数都是整数。

若是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。

思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。

证明：设
（m,n,r 都是整数）。

比较系数，得
因为是奇数，则与d 都为奇数，那么mr 也是奇数，由奇数的性质得出m,r 也都是奇数。

在①式中令，得②
由是奇数，得是奇数。

而m 为奇数，故是偶数，所以是偶数。

这样②的左边是奇数，右边是偶数。

这是不可能的。

因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。

说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。

例 5 已知能被整除，求证：
思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。

证明：设展开，比较系数，得
由①、②，得，
代入③、④得：，
∴
例 6 若a 是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。

思路：因为质数只能分解为1 和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为 1，即可求 a 的值。

进而解决问题。

解：由待定系数法可解得
由于a 是自然数，且是一个质数，
∴
解得
当时，不是质数。

当时，是质数。

∴=11 .
培优训练
A 级
★★★1、分解因式 __________________________________ _.
★★★2、若多项式能被整除，则n= ______ _.
★★3、二次三项式当时其值为-3，当时其值为2，当时其值为
5 ，这个二次三项式是______ _.
★★4、m, n 是什么数时，多项式能被整除？
B 级
★★★5、多项式能分解为两个一次因式的积，则k= ___ _.
★★★6、若多项式能被整除，则 _____________ _. ★★7、若多项式当 2 时的值均为0，则当x= ____ 时，多项式的值也是 0。

★★★8、求证：不能分解为两个一次因式的积。

参考答案或提示：
1.
提示：设原式
比较两边系数，得
由①、②解得
将代入③式成立。

∴原式
2、-4。

提示：设原式
=
比较系数，得
由①、②解得
代入③得
3、
提示：设二次三项式为
把已知条件代入，得
解得
∴所求二次三项式为
4.
设
比较系数，得
解得
∴当m=-11，n=4 已知多项式能被整除。

5.-2
提示：设原式
. 比较系数，得
解得
6.-7
提示：设原式
比较系数，得
⎪
⎩
解得
∴ 7.3.
提示：设原式
比较系数，得
解得 c=3.
∴当 x=3 时，多项式的值也是 0.
8.设原式
且展开后比较系数，得
⎧2m + n = 1 ⎨3m - n = 14 ⎪mn = 15
由④、⑤得代入③，再由①、③得将上述
入②得
.
而这与③矛盾，即方程组无解。

故命题得证。