迭代法的基本理论
高斯—塞德尔迭代法
上式至少有一个不等号严格成立。
*定义 每行每列只有一个元素是1,其余 元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).
定理8(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优 或按行(或列)弱对角占优且不可约；则矩阵A非奇异。
定理9 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列) 对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都 收敛。
高斯—塞德尔迭代法又等价于：对k=0,1,…,
三、逐次超松驰(SOR)迭代法
SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…,
说明:1)ω=1,GS; 2)ω>1超松驰,ω<1低松驰;
3)控制迭代终止的条件: 例3 用上述迭代法解线性代数方程组
初值x(0)=0，写出计算格式。
四、三种迭代法的收敛性
定理7 对线性方程组Ax=b，A，D非奇异，则 Jacobi迭代法收敛的充要条件是 GS迭代法收敛的充要条件是 SOR迭代法收敛的充要条件是 定义6 （1）按行严格对角占优：
证明 若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可
则GS迭代收敛。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩阵BG的某一特征 值λ使得|λ|≥1，并且
类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不
可约，则Jacobi迭代收敛。假若不然，ρ(BJ)≥1，即迭代矩阵BJ 的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且
定理10 对线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则 1）GS迭代法收敛. 2）若2D-A也是对称正定矩阵，则Jacobi迭代法收敛。
例8 见书上
定理12 对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则
当0<ω<2时，SOR迭代收敛. 证明 只需证明λ<1（其中λ为Lω的任一特征值） .
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
不动点迭代法及其收敛定理
收敛速度取决于迭代函数在不动点附近的性质，如导数的大 小和符号等。
不动点迭代法的收敛定理
存在唯一不动点的定理
如果迭代函数在某个区间上单 调，那么该区间上存在唯一的
不动点。
收敛定理
对于任意初值$x_0$，迭代序 列$x_{n+1}=f(x_n)$会收敛到
不动点，当且仅当存在常数 $k$使得$|f'(x)| leq k < 1$在 包含不动点的某个区间上成立。
算法的改进和优化
改进现有不动点迭代法
研究现有方法的不足之处，并提出改进方案 ，以提高收敛速度和稳定性。
开发新的不动点迭代法
基于新的数学原理和方法，开发新的不动点迭代法 ，以解决现有方法无法解决的问题。
实现不动点迭代法的并行 化和分布式化
研究如何利用并行计算和分布式计算技术， 提高不动点迭代法的计算效率和可扩展性。
这种方法是将求解区域划分为粗细不 同的网格，并在每个网格上应用不动 点迭代法，以加速收敛。
改进迭代格式
修正不动点迭代法
通过引入修正项，改进不动点迭 代法的格式，以提高收敛速度和 稳定性。
广义极小残量法
这种方法是在不动点迭代法的基 础上，引入残量概念，并构造出 新的迭代格式，以提高求解非线 性方程组的精度和稳定性。
松弛法
粗细网格结合法
通过选择适当的迭代矩阵，可以加速 不动点迭代法的收敛速度。常用的加 速迭代法包括预条件迭代法和共轭梯 度法等。
松弛法是一种通过引入松弛因子来调整迭代矩 阵的方法，以加快收敛速度。常用的松弛法包 括SOR（Successive Over-Relaxation）方法 和SSOR（Symmetric Successive OverRelaxation）方法等。Part05不动点迭代法的未来研究方向
牛顿迭代法及其应用
牛顿迭代法及其应用牛顿迭代法是一种求解函数零点的迭代方法，具有快速收敛、精度高等优点，被广泛应用于计算机、数学、物理等领域。
本文将从理论和实际应用两方面介绍牛顿迭代法，并对其应用进行探讨。
一、理论基础牛顿迭代法是通过一点处的切线来逼近函数零点的方法。
设$f(x)$在$x_0$点有一个零点，且其导数$f'(x_0)$存在且不为零，那么该零点可以通过一点$(x_0,f(x_0))$处的切线与$x$轴的交点来逐步逼近。
假设切线的方程为$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$，则其中$x$轴上的交点为$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，这是零点的一个更好的近似值。
用$x_1$代替$x_0$，再利用同样的方法得到$x_2$，不断重复这个过程，即可逐步逼近零点。
这个过程可以用下面的公式表示：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$这就是牛顿迭代法的基本公式。
从初始值$x_0$开始迭代，不断利用公式进行逼近，直到找到满足$f(x_n)=0$的解。
二、实际应用牛顿迭代法在实际应用中广泛存在，比如在计算机图形学中，通过牛顿迭代法可以精确计算出圆的周长、面积等参数，也可以实现快速的路径追踪和光线追踪。
在金融领域中，牛顿迭代法可以用来计算隐含波动率，即在期权定价模型中，寻找满足期权定价公式的波动率。
由于这个过程中往往要用到反函数，所以牛顿迭代法可以快速找到隐含波动率。
另外，在机器学习、神经网络中，多次用到牛顿迭代法进行梯度下降，智能化运用牛顿迭代法可以提高计算效率，降低误差。
三、应用探讨牛顿迭代法的应用范围较广，但在实际应用中也存在一些问题。
如何避免迭代过程中出现抖动、越界、阻尼等现象，可以通过设置收敛条件、调整步长等方式进行优化。
此外，当函数的导数存在零点或迭代公式不存在时，牛顿迭代法也会失效。
因此，在选择牛顿迭代法时，需要了解函数特性，根据情况选择适合的迭代方法。
牛顿拉夫逊迭代法,fortran -回复
牛顿拉夫逊迭代法,fortran -回复牛顿拉夫逊迭代法，在数值计算中是一种用于求方程根的迭代算法。
它属于一种高度有效且理论上被广泛接受的数值方法，被广泛应用于科学与工程领域。
本文将以牛顿拉夫逊迭代法为主题，一步一步地解释该算法的原理与使用。
在开始介绍牛顿拉夫逊迭代法之前，我们首先来了解一下什么是迭代法。
迭代法是一种通过不断迭代逼近解的方法。
这种方法通常适用于无法通过解析方法求得解的问题，或者解析方法过于复杂的问题。
迭代法的基本思想是从一个初始解开始，通过不断逼近，使得每一步的解越来越接近真实解。
而牛顿拉夫逊迭代法就是其中一种常用的迭代算法。
牛顿拉夫逊迭代法是基于牛顿法和拉夫逊法的一个改进算法。
牛顿法是一种求解方程根的数值方法，通过利用函数的导数来逼近方程的解。
而拉夫逊法是一种解非线性方程的迭代算法，通过多项式插值来逼近方程的解。
牛顿拉夫逊迭代法综合了这两种方法的优点，在求解非线性方程时表现出了良好的效果。
牛顿拉夫逊迭代法的基本思想是通过不断迭代的方式，使用切线来逼近方程的根。
具体来说，从一个初始猜测值开始，计算函数在该点的导数，然后使用切线方程求出下一个近似解。
这个过程将一直持续，直到找到足够精确的解。
下面我们以一个简单的非线性方程进行示例，来演示牛顿拉夫逊迭代法的步骤。
假设我们要解方程f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0。
第一步，选择一个初始猜测值x0。
这个初值可以是任意的，但最好选择一个离方程根比较近的值，以便迭代过程更快收敛。
我们选取x0 = 2作为初始猜测值。
第二步，计算方程在x0处的导数f'(x0)。
在本例中，f'(x) = 3x^2 - 2。
将x0 = 2带入方程得到f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 10。
第三步，计算切线方程的解。
切线方程的表达式为y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)。
将x0 = 2和f'(2) = 10带入切线方程，得到y = 10(x - 2) + f(2)。
steffenson迭代法
Steffensen迭代法是一种重要的数值计算方法，它在数值分析领域有着广泛的应用。
该方法通过迭代逼近函数的根，是一种高效、稳定的求解非线性方程的工具。
Steffensen迭代法基于不动点理论，通过构造一个逐步逼近根的序列来求解方程。
它的基本思想是利用函数在某一点的局部线性逼近来逼近根的位置。
具体来说，我们从一个初始值开始，通过对函数进行局部线性逼近，计算出一个新的逼近值。
然后，我们再次对函数进行局部线性逼近，得到一个更接近根的新的逼近值。
通过不断迭代，我们可以逐步逼近方程的根。
Steffensen迭代法的迭代公式为：\[ x_{n+1} = x_n - \frac{{(f(x_n))^2}}{{f(x_n+f(x_n))-f(x_n)}} \]其中，\( x_n \) 是第n次迭代的逼近值，\( f(x) \) 是需要求根的函数。
与其他迭代方法相比，Steffensen迭代法具有较快的收敛速度和较高的精度。
它适用于求解各种非线性方程，包括多项式方程、三角函数方程、指数函数方程等。
在实际应用中，Steffensen迭代法常被用于求解方程的根，特别是当方程的根位于某一区间内时，该方法的效果更加显著。
然而，Steffensen迭代法也存在一些限制。
首先，该方法对初始值的选择较为敏感，不同的初始值可能导致迭代结果的差异。
其次，当方程的根位于奇点附近时，该方法可能出现发散现象。
因此，在应用Steffensen迭代法时，我们需要对问题进行合理的分析和判断，选择合适的初始值，以获得准确的迭代结果。
总之，Steffensen迭代法是一种重要的数值计算方法，它通过逐步逼近函数的根，高效、稳定地求解非线性方程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的需求选择合适的初始值和迭代次数，以获得较为精确的解。
迭代法
取 x(0)=(0,0,0)T 计算结果如下：
k
x1(k)
1 0.72
x2(k) 0.83
x3(k) 0.84
2 0.971 1.07
1.15
……
…
…
11 1.099993 1.199993 1.299991
12 1.099998 1.199998 1.299997
上页 下页
例2 用Gauss—Seidel 迭代法解上题.
x (0 ) (初 始 向 量)，
x
(
k
1
)
Bx (k)
f
(k 0,1, , ),
( 2 .7 )
其中B=I-(D-L)-1A= (D-L)-1U=G, f=(D-L)-1b. 称矩 阵G=(D-L)-1U为解Ax=b的高斯—塞德尔迭代法的迭 代矩阵.
上页 下页
由高斯—塞德尔迭代法(2.7)有
(k j
)
)
/
a
i
i
,
j1
ji1
x (k 1) i
(1
)
x
( i
k
)
x~
( i
k
1
)
x(k) i
( x~i(k 1)
x
( i
k
)
),
( i 1 ,2 , , n ).
即
i1
n
x ( k 1) i
x
(k i
)
(bi
a
i
j
x
( j
k
1
)
a
i
j
x
( j
k
)
)
/
a
i
i
迭代法的基本理论
证毕.
10
L1 定理1指出, 只要构造的迭代函数满足 | ( x)|
迭代法xk 1 ( xk )就收敛, L或| ( x)|在[a , b]上越小,
迭代法收敛就越快。
对于预先给定的误差限 即要求|xk x*|
由(3)式,只要
L xk xk 1 1 L 1 L xk xk 1 L
9
L xk x * xk xk 1 1 L
L2 xk 1 xk 2 1 L
Lk x1 x0 1 L
由于L 1,
lim( xk x *) 0
k
因此对任意初值 x0 , 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L Lk xk x * xk xk 1 x1 x0 1 L 1 L
本题迭代函数有两种构造形式
2 ex x 2 ( x) ln( 2 10x) x 1 ( x) 10 10 ex e0.2 5 ( x)| ( x)| 1 |2 由于 |1 2 10 x 10 10 2 ex x 1 ( x) 因此采用迭代函数 12 华长生制作 10
3
( x)在x * 附近较平缓
y ( x)
yx
yx
发散
y ( x)
O
x2
x1
x0 x *
O
x3 x1 x * x0 x2
( x)在x * 附近较陡峭
2 x3 x 1 0 例1. 用迭代法求解方程
解:
(1) 将原方程化为等价方程
x 2 x3 1
如果取初值x0 0,由迭代法(2), 得
任取一个初值x0 , 代入(1)式的右端, 得 x1 ( x0 ) x2 ( x1 )
第二章解线性方程组迭代法
A=(D-L)-U
上海理工大学 理学院
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
• 收敛条件
迭代格式X=GX+g 对任意的初值X0和向量g，收敛的充要条
件是G的谱半径 (G)<1。
下面我们看一些充分条件：
0 a12
0
U
0
a1n
0 an1n
0
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易知，Jacobi迭代有
(D L U )x b Dx (L U )x b
x D1(L U )x D1b
定理：若线性方程组AX=b的系数矩阵A，
①若A为行或列强对角占优阵，则Jacobi和Gauss-Seidel迭代都收敛；
② 若A对称正定阵，则Gauss-Seidel迭代收敛；
③ 若A对称正定阵，且2D A也为对称正定阵，则Jacobi迭代收敛。
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将方程组变形，化为：
11x1 x2 2x1 12x2
6x3 x3
4 1
x1 3x2 15x3 2
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迭代法求解方程
迭代法求解方程1 什么是迭代法？迭代法是一种求解方程的方法，通常用于在数值计算中。
迭代法的基本思想是通过不断重复一个固定的计算过程来逼近目标解，直到精度满足要求为止。
迭代法在理论研究和实际应用中都有广泛应用，例如在数学、物理、工程学等领域。
2 迭代法的例子在数学中，迭代法最常用于求解方程。
例如，我们有一个方程f(x) = 0，我们希望找到它的一个解x。
迭代法的一般形式是从一个初始值x0开始，通过重复应用某个公式，得到序列{x0, x1, x2, …, xn}，使得xn逐步逼近解。
具体而言，每一次迭代都利用前一次的计算结果，求出新的解，即：xn+1 = g(xn)其中g(x)是某个函数，也被称为迭代函数。
当序列{x0, x1,x2, …, xn}满足一定条件时，我们称其为收敛序列，此时xn就是方程f(x) = 0的解。
3 迭代法的实现迭代法需要满足一定的收敛条件，才能有效地找到解。
在迭代函数的选择中，一般应满足以下要求：1. 迭代函数必须是连续的。
2. 选取的初值必须接近解。
3. 迭代函数的值域必须包含自变量的定义域。
4. 迭代函数的导数要通常利于计算。
基于以上原则，我们可以通过编写程序来实现迭代法求解方程。
代码示例如下：```python定义迭代函数def g(x):return (x**2 + 2) / 3定义初始值x0 = 1设置迭代次数n = 20进行迭代for i in range(n):x1 = g(x0)print("x{} = {}".format(i+1, x1))x0 = x1```这段代码中，我们定义了一个迭代函数g(x) = (x² + 2) / 3，初始值为x0 = 1，迭代次数为20次。
通过重复调用迭代函数g(x)，我们依次求得了序列{x1, x2, …, x20}，并输出每一次迭代的结果。
4 迭代法的优缺点迭代法的优点主要包括：1. 迭代法适用于求解各种类型的方程，具有较高的通用性。
解线性方程组的迭代法
解线性方程组的迭代法Haha送给需要的学弟学妹摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。
系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，是著名的病态问题。
因而决定求解Hx b =此线性方程组来验证上述问题。
详细过程是通过用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法求解Hx b =线性方程组。
关键词：病态方程组、Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法、SOR 迭代法目录：一、问题背景介绍二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理1、Gauss 消去法求解原理2、Jacobi 迭代法求解原理3、G-S 迭代法求解原理4、SOR 迭代法求解原理5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程（一）Hilbert 矩阵维数n=6时1、Gauss 消去法求解2、Jacobi 迭代法求解3、G-S 迭代法求解4、SOR 迭代法求解（二）Hilbert 矩阵维数n=20、50和100时1、G-S 迭代法求解图形2、SOR 迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果1、Gauss 消去法误差分析2、G-S 迭代法误差分析3、SOR 迭代法误差分析G-S 迭代法与SOR 迭代法的误差比较 七、心得体会正文：一、问题背景介绍。
理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？二、建立正确的数学模型。
考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(), , ,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。
牛顿迭代法收敛定理
⽜顿迭代法收敛定理关于⽜顿迭代法的课程设计实验指导⾮线性⽅程（或⽅程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。
在求解⾮线性⽅程的⽅法中，⽜顿迭代法是求⾮线性⽅程（⾮线性⽅程组）数值解的⼀种重要的⽅法。
⽜顿是微积分创⽴者之⼀，微积分理论本质上是⽴⾜于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。
近⼏百年来，这种局部线性化⽅法取得了辉煌成功，⼤到⾏星轨道计算，⼩到机械部件设计。
⽜顿迭代法正是将局部线性化的⽅法⽤于求解⽅程。
⼀、⽜顿迭代法及其收敛速度⽜顿迭代法⼜称为⽜顿-拉夫逊⽅法（Newton-Raphson method ），是⼀种在实数域和复数域上通过迭代计算求出⾮线性⽅程的数值解⽅法。
⽅法的基本思路是利⽤⼀个根的猜测值x 0做初始近似值，使⽤函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。
由于该表达式是⼀个线性函数，通过线性表达式替代⽅程中的求得近似解x 1。
即将⽅程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这⼀过程，将⽅程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。
详细叙述如下：假设⽅程的解x *在x 0附近（x 0是⽅程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得⼀次⽅程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所⽰，x 1⽐x 0更接近于x *。
该⽅法的⼏何意义是：⽤曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以⽜顿迭代法⼜称为切线法）。
设x n 是⽅程解x *的近似，迭代格式)()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的⽜顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近⽅程的解。
数学实验-迭代(方程求解)
实验六 迭代（方程求解）一.实验目的：认识迭代数列，考察迭代数列的收敛性.并学会用Mathematica 系统对线性和非线性的方程组进行迭代求解.二.实验环境：计算机，Mathematica 数学软件,Word 文档，课本。
三.实验的基本理论和方法：给定迭代函数f(x)以及一个初值0x 利用1(),0,1,n n x f x n +==⋅⋅⋅迭代得到数列n x ，0,1,n =⋅⋅⋅.如果数列n x 收敛与某个*x ，则有**()x f x =.即*x 是方程()x f x =的解.由此用如下的方法求方程()0g x =的近似解。
将方程()0g x =改写为等价的方程()x f x =，然后选取一初值利用1(),0,1,n n x f x n +==⋅⋅⋅做迭代.迭代数列n x 收敛的极限就是()0g x =的解.线性方程组以及非线性方程组的求解与单变量的方程求解方法类似.实验内容和步骤四.实验内容与结果 1.线性方程组⑴编写给定初值0x 及迭代函数()f x ，迭代n 次产生相应的序列.⑵给函数()(2/)f x x x =+初值为0进行迭代80次所产生的迭代序列并显示. 输入程序：Iterate f_,x0_,n_Integer :Module t ,i,temp x0,AppendTo t,temp ;For i1,in,i ,tempf temp ;AppendTo t,temp;tf x_:x 2x2;Iterate f,1.,80运行结果得：1.,1.5,1.41667,1.41422,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421输入程序：NTIterate g_,x0_,n_Integer :Modulei,var x0,t ,h,h x_Dt g x ,x;For i 1,i n,i ,AppendTo t,var ;If h var0,var N var g var h var ,20, Print"Divided by Zero after",i,"'s iterations.";Break ;tg x_:x^32;NTIterate g,1,40运行结果得：1,1.3333333333333333333,1.2638888888888888889,1.2599334934499769665,1.259921050017769774,1.259921049894873165,1.259921049894873165,1.259921049894873165,1.25992104989487316,1.25992104989487316,1.25992104989487316,1.2599210498948732,1.2599210498948732,1.2599210498948732,1.259921049894873,1.259921049894873,1.259921049894873,1.259921049894873,1.25992104989487,1.25992104989487,1.25992104989487,1.2599210498949,1.2599210498949,1.2599210498949,1.259921049895,1.259921049895,1.259921049895,1.259921049895,1.25992104989,1.25992104989,1.25992104989,1.2599210499,1.2599210499,1.2599210499,1.259921050,1.259921050,1.259921050,1.259921050,1.25992105, 1.259921052. 非线性方程组⑴对于给定的矩阵M ，数组f 和初始向量0x ，由迭代1n n x Mx f +=+编写迭代程序，并选择初值分别迭代20和50次所产生的序列. 迭代40次运行结果： 输入程序：LSIterate m_,f_List,f0_List,n_Integer :Modulei,var f0,t Table ,i,n,For i1,in,i,tivar;varm.varf ;t m1,0.4,0.5,1;f1,1;f00,0;LSIterate m,f,f0,40运行结果得：0,0, 1.,1., 2.4,2.5, 4.4,4.7,7.28,7.9,11.44,12.54,17.456,19.26,26.16,28.988,38.7552,43.068,56.9824,63.4456,83.3606,92.9368,121.535,135.617,176.782,197.385,256.736,286.776,372.446,416.144,539.904,603.367,782.251,874.319,1132.98,1266.44,1640.56,1833.93,2375.13,2655.21,3438.22,3843.78,4976.73,5563.88,7203.28,8053.25,10425.6,11655.9,15088.9,16869.7,21837.8,24415.1,31604.9,35335.,45739.9,51138.5,66196.3,74009.4,95801.,107109.,138645.,155010.,200650.,224334.,290385.,324660.,420250.,469854.,608192.,679980.,880185.,984077.,1.27382106,1.42417106, 1.84349106,2.06108106,2.66792106,2.98282106,3.86105106,4.31678106迭代60次运行结果输入程序：LSIterate m_,f_List,f0_List,n_Integer:Modulei,var f0,t Table,i,n,For i1,i n,i,t i var;var m.var f;tm1,0.4,0.5,1;f1,1;f00,0;LSIterate m,f,f0,60运行结果得：1,1.3333333333333333333,1.2638888888888888889,1.2599334934499769665,1.259921050017769774,1.259921049894873165,1.259921049894873165,1.259921049894873165,1.25992104989487316,1.25992104989487316,1.25992104989487316,1.2599210498948732,1.2599210498948732,1.2599210498948732,1.259921049894873,1.259921049894873,1.259921049894873,1.259921049894873,1.25992104989487,1.25992104989487,1.25992104989487,1.2599210498949,1.2599210498949,1.2599210498949,1.259921049895,1.259921049895,1.259921049895,1.259921049895,1.25992104989,1.25992104989,1.25992104989,1.2599210499,1.2599210499,1.2599210499,1.259921050,1.259921050,1.259921050,1.259921050,1.25992105,1.25992105⑵改写矩阵的等价形式，给定数组f 和初始向量0x ，运用迭代格式11()x I D A x D b --=-+编写迭代程序。
matlab牛顿迭代法求方程组的根
MATLAB（矩阵实验室）是一种用于数学计算、绘图等的高度工程化的软件评台。
利用MATLAB进行牛顿迭代法求解方程组的根是一种常见的数值分析方法。
本文将介绍如何使用MATLAB进行牛顿迭代法求解方程组的根，并给出具体的代码实现。
1. 理论基础牛顿迭代法是一种求解方程根的常用数值方法。
对于一般的方程组F(X)=0，牛顿迭代法的迭代公式如下：X(k+1)=X(k)−(∂F/∂X)^(-1)·F(X(k))其中，X(k)表示第k次迭代的解，∂F/∂X表示F对X的雅可比矩阵，^(-1)代表矩阵的逆运算。
2. MATLAB代码实现以下是使用MATLAB进行牛顿迭代法求解方程组的一般代码实现：```matlabfunction [x, numIter] = newtonMethod(F, J, x0, tol, maxIter)F为方程组F(X)=0的函数句柄J为方程组F(X)的雅可比矩阵的函数句柄x0为初始解向量tol为迭代精度maxIter为最大迭代次数x = x0;numIter = 0;while norm(F(x)) > tol numIter < maxIterx = x - J(x) \ F(x); 使用MATLAB的\表示矩阵的逆运算numIter = numIter + 1;endend```3. 示例下面以一个二元非线性方程组为例，演示如何使用上述MATLAB代码进行牛顿迭代法求解方程组的根。
考虑方程组：F1(x1, x2) = x1^2 + x2^2 - 25 = 0F2(x1, x2) = x1*x2 - 9 = 0对应的雅可比矩阵为：J(x)=[2x1, 2x2; x2, x1]下面是具体的MATLAB代码实现：```matlab定义方程组F和雅可比矩阵JF = (x) [x(1)^2 + x(2)^2 - 25; x(1)*x(2) - 9];J = (x) [2*x(1), 2*x(2); x(2), x(1)];设置初始解向量、迭代精度和最大迭代次数x0 = [1; 1];tol = 1e-6;maxIter = 100;调用newtonMethod函数进行求解[x, numIter] = newtonMethod(F, J, x0, tol, maxIter);显示结果disp(['解向量为：', num2str(x')]);disp(['迭代次数为：', num2str(numIter)]);```4. 结论本文介绍了使用MATLAB进行牛顿迭代法求解方程组的方法，并给出了具体的代码实现和示例。
迭代法求解方程原理
迭代法求解方程：原理与步骤详解迭代法，又称为辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
迭代法求解方程的原理是基于数学中的逼近理论，通过构造一个序列，使得该序列的极限值就是方程的解。
这种方法通常用于求解非线性方程或者方程组，因为这些方程可能难以通过直接求解的方式得到解析解。
迭代法求解方程的基本步骤：1.选择迭代函数：根据待求解的方程，选择一个合适的迭代函数。
这个迭代函数通常是通过对方程进行某种变换得到的。
2.确定迭代初值：为迭代过程选择一个初始值，这个初始值可以是任意的，但不同的初始值可能会影响到迭代的收敛速度和稳定性。
3.进行迭代计算：使用迭代函数和初始值，计算得到序列的第一个值。
然后，用这个值作为下一次迭代的输入，继续计算得到序列的下一个值。
如此反复进行，直到满足某个停止条件（如达到预设的迭代次数，或者相邻两次迭代结果的差值小于某个很小的阈值）。
4.判断解的有效性：如果迭代过程收敛，即序列的极限值存在且唯一，那么这个极限值就是方程的解。
否则，如果迭代过程发散，或者收敛到非唯一解，那么这种方法就失败了。
迭代法的收敛性：迭代法的关键问题是判断迭代过程是否收敛，即序列的极限值是否存在且唯一。
这通常取决于迭代函数的选择和初始值的设定。
对于某些迭代函数，无论初始值如何，迭代过程都会收敛到同一个值；而对于其他迭代函数，迭代过程可能会发散，或者收敛到多个不同的值。
迭代法的优缺点：优点：◆迭代法适用于求解难以直接求解的方程或方程组。
◆迭代法通常比直接法更容易编程实现。
◆在某些情况下，迭代法可能比直接法更快。
缺点：◆迭代法可能不收敛，或者收敛速度很慢。
◆迭代法的收敛性通常需要额外的数学分析或实验验证。
◆对于某些方程，可能需要尝试不同的迭代函数和初始值，才能找到有效的解决方案。
常见的迭代法：◆雅可比迭代法：用于求解线性方程组的一种方法，通过不断更新方程组的近似解来逼近真实解。
第二章解线性方程组的迭代法
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解线性方程组的迭代法
直接法得到的解是理论上准确的，但是它们的计算量都是
n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适 （n<400），但是在很多实际问题中，我们要求解的方程组n很
是否是原来的方程的解？
A=(D-L)-U
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• 收敛条件
迭代格式X=GX+g 对任意的初值X0和向量g，收敛的充要条
件是G的谱半径 (G)<1。
下面我们看一些充分条件：
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迭代法的收敛性
定理：迭代法X(m+1)=GX(m)+g 收敛的充分必要条 件是迭代矩阵G为收敛矩阵，即G的谱半径
(G)<1。
定理： 迭代法X(m+1)=GX(m)+g 的迭代矩阵G的某种范数 ||G||＝q<1,那么： 1）对任意初值X(0)及g右端向量，迭代格式收敛于X*; 2) ||X(m) X*||qm ||X(1) –X(0)||/(1-q); 3) ||X(m) X*||q ||X(m) – X(m-1)||/( 1-q).
(
k
1)
1 a11
(a12
x2
(k
)
1 a22
(a21x1(k )
a1n xn(k ) a23x3(k )
b1) a1n xn(k )
迭代法实验报告
迭代法实验报告迭代法实验报告引言：迭代法是一种常见的数值计算方法，通过反复迭代逼近解的过程，来解决一些复杂的数学问题。
本实验旨在通过实际操作，深入理解迭代法的原理和应用，并通过实验数据验证其有效性。
一、实验目的本实验的主要目的有以下几点：1. 掌握迭代法的基本原理和步骤；2. 熟悉迭代法在数值计算中的应用；3. 理解迭代法的收敛性和稳定性；4. 验证迭代法在实际问题中的有效性。
二、实验原理迭代法是一种通过不断逼近解的方法，其基本原理可概括为以下几步：1. 选择一个初始值作为迭代的起点；2. 根据问题的特点和要求，构造一个递推公式；3. 通过不断迭代计算，逐步逼近解；4. 判断迭代过程是否收敛，并确定最终的解。
三、实验步骤1. 选择合适的初始值。
初始值的选择对迭代的结果有重要影响，通常需要根据问题的特点进行合理选取。
2. 构造递推公式。
根据问题的数学模型，建立递推公式，将问题转化为迭代求解的形式。
3. 进行迭代计算。
根据递推公式，进行迭代计算，直到满足收敛条件或达到预定的迭代次数。
4. 判断迭代结果。
根据实际问题的要求，判断迭代结果是否满足精度要求，并进行相应的调整和优化。
四、实验结果与分析通过实验操作，我们得到了一组迭代计算的结果。
根据实验数据，我们可以进行以下分析：1. 收敛性分析。
通过观察迭代过程中的数值变化，我们可以判断迭代法的收敛性。
如果数值逐渐趋于稳定，且与理论解的误差在可接受范围内，说明迭代法收敛。
2. 稳定性分析。
迭代法的稳定性是指在初始值变化时，迭代结果是否保持稳定。
通过改变初始值，我们可以观察迭代结果的变化情况，从而评估迭代法的稳定性。
3. 精度分析。
迭代法的精度取决于迭代过程中的误差累积情况。
通过与理论解的比较，我们可以评估迭代法的精度，并对迭代过程进行优化。
五、实验结论通过本次实验，我们深入了解了迭代法的原理和应用，通过实际操作验证了迭代法在数值计算中的有效性。
实验结果表明，迭代法在解决复杂数学问题中具有较高的准确性和稳定性，能够满足实际应用的需求。
matlab中分块jacobi迭代
分块Jacobi迭代是一种用于求解线性方程组的迭代法，常用于大型稀疏矩阵的求解。
在Matlab中，我们可以通过编写相应的代码来实现分块Jacobi迭代，下面将介绍该方法的理论基础、Matlab代码实现以及实际应用。
一、分块Jacobi迭代的理论基础1. 线性方程组的求解线性方程组是数学中常见的一类问题，形式通常为Ax=b，其中A是一个已知的系数矩阵，b是一个已知的向量，x是一个未知的向量。
求解线性方程组就是要找到向量x的取值，使得等式成立。
2. 分块Jacobi迭代的原理分块Jacobi迭代是一种求解线性方程组的迭代方法，其基本原理是将系数矩阵A分解为主对角线矩阵D和剩余部分R，然后通过迭代的方式求解线性方程组。
具体来说，分块Jacobi迭代的迭代公式为：x(k+1) = D^(-1)(b-Rx(k))，其中D^(-1)表示D的逆矩阵，k表示迭代次数，x(k)表示第k次迭代得到的解向量。
3. 分块Jacobi迭代的收敛性分块Jacobi迭代的收敛性取决于系数矩阵A的性质，通常情况下，系数矩阵A必须是严格对角占优矩阵，或者是对称正定矩阵，才能保证迭代方法收敛。
否则，迭代可能会发散，无法得到满足精度要求的解。
二、Matlab代码实现分块Jacobi迭代在Matlab中，我们可以通过编写相应的代码来实现分块Jacobi迭代，以下是一段简单的Matlab代码示例：```matlabfunction x = block_jacobi(A, b, tol, max_iter)A: 系数矩阵b: 右端向量tol: 迭代精度max_iter: 最大迭代次数n = length(b);x = zeros(n, 1);D = diag(diag(A)); 提取A的主对角线R = A - D; 计算A的剩余部分for k = 1:max_iterx_new = D \ (b - R*x); 计算新的解向量if norm(x_new - x) < tol 判断是否满足精度要求x = x_new;break;endx = x_new; 更新解向量end```以上的Matlab代码实现了分块Jacobi迭代的基本步骤，包括提取系数矩阵A的主对角线、计算剩余部分R、设置迭代终止条件等。
nastran sol 103 迭代法 -回复
nastran sol 103 迭代法-回复「Nastran Sol 103 迭代法」详解：从理论到应用导言：Nastran是一种广泛应用于有限元分析的通用求解器，而Sol 103 则是其迭代法解析的一种方法。
本文将带您深入了解Nastran Sol 103 迭代法的原理和应用，以及该方法的步骤和优缺点。
第一部分：Nastran Sol 103 迭代法原理在了解Nastran Sol 103之前，我们需要先理解Nastran的基本工作原理。
Nastran使用了有限元分析方法，将结构划分成无数小的有限元单元，并对每个小单元进行力学计算。
通过整合所有单元的结果，Nastran能够确定整个结构的响应。
Sol 103通过迭代法来求解问题。
它使用了增量形式的修正方程来逼近解，然后通过不断迭代求解这些修正方程。
核心思想是通过逐步减小修正量，将问题的解逐步靠近真解。
第二部分：Nastran Sol 103 迭代法的步骤1.建立初始模型在应用Nastran Sol 103之前，需要建立一个初始的有限元模型。
这个模型应包含结构的几何形状、材料特性和边界条件等信息。
2.划分单元网格将结构划分成无数个小单元，每个单元都有自己的材料特性和几何形状。
这些单元可以是三角形、四边形、六边形或其他形状，具体形状的选择取决于结构的复杂程度和要求的精度。
3.确定边界条件在模型中设置结构的边界条件，包括支撑、载荷、约束等。
这些条件对结构的响应和稳定性起着重要作用，因此需要根据实际情况进行合理的设定。
4.求解修正方程使用Nastran Sol 103的迭代法来求解修正方程。
这些修正方程是通过对初始模型进行线性化近似得到的。
修正方程的求解过程要利用到初始模型的刚度矩阵、质量矩阵和载荷向量等信息。
5.迭代求解通过求解修正方程求得修正量，然后将修正量叠加到初始模型上，得到一个新的近似解。
然后再通过迭代求解修正方程，不断更新近似解，直到满足收敛准则为止。
steffensen迭代法
steffensen迭代法
steffensen迭代法是一种收敛速度较快的迭代法，它是以变尺度和Aitken理论为基础而提出的。
谢尔夫森迭代法是用来求解非线性方程的迭代法。
最开始，它在
schaefer(1961)中被引入，他为迭代方程推导了一种更新算法，后来又被Hansen(1970)介绍，他把谢尔夫森迭代法应用到求解复杂的非线性方程的计算中。
谢尔夫森迭代法的基本思想是提出一种简单而鲁棒的迭代更新公式，使得初始值近似求解的过程快速收敛。
Steffensen迭代法在找到迭代更新公式时，引入了Aitken理论。
因此它与Netwon-Raphson和弦向量迭代法相似，是一个双插值法。
Aitken最原始的形式是用均值平方差求极限，谢尔夫森迭代法就是将Aitken理论用在求根上，引入变尺度概念，来进行收敛迭代。
谢尔夫森迭代法主要有以下四个关键步骤：
（1）将给定的非线性方程化为变量的方程：$$f(x)=0$$
（2）变换坐标轴，引入变量u：$$F(x+u⋅h,x)=0$$
（3）采用Aitken或平均拉格朗日插值求下列函数的极值：$$u_{n+1} = arg
minA_n(0)$$
（4）最后，获得的结果就是每次迭代的新值：$$x_{n+1}=x_n + u_{n+1}h$$
然后重复以上四个步骤，直到收敛为止。
优点是计算量少，速度快，而且具有非常好的收敛性，使得初始值使得迭代近似值较快地收敛。
缺点是，对于高次非线性方程，需要多项式拟合，这就要求实验数据要足够多。
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取初值x0 0
2 e x0 x1 10
d1 = d2 = d3 = d4 = d5 = d6 = d7 =
0 .1
0.1000000 -0.0105171 0.1156e-002 -0.1265e-003 0.1390e-004 -0.1500e-005 0.1000e-006
x1 = 0.1000000 x2 = 0.0894829 x3 = 0.0906391 x4 = 0.0905126 x5 = 0.0905265 x6 = 0.0905250 x7 = 0.0905251
i 2 ,3 , , n
7.2 迭代法的基本理论
Ax b
不动点迭代法
将非线性方程f(x)=0化为一个同解方程
x ( x)
--------(1)
设 ( x)为连续函数,若x满足f (x ) 0, 则x 也满足x x , 反之亦然,称x 是函数 x 的一个不动点，于是求f(x )的零点 问题等价转化为求不动点的问题。
华长生制作
( p ) ( x*)
p!
( x x*) p
18
xk 1 ( xk ) ( x*)
( p ) ( x*)
p!
( xk x*) p
( p) ( p 1) ( x *) ( x*) p xk 1 x * ( xk x*) ( xk x*) p 1 p! ( p 1)!
p 1时称为超线性收敛, p 2时称为平方收敛
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16
上式表明，当k 时，ek 1是ek的p阶无穷小量
阶数p越大，收敛越快
如果在[a,b]或x的邻域有 '( x* ) 0, 则
* 对 x0 x ，必有 xk x*,k=1,2,…，而且
ek 1 xk 1 x ( xk ) ( x ) (k )ek
x*的一个闭邻域 [ x* , x* ], 在其上 ' ( x) L 1, 并且有 ( x) x* ( x) ( x ) L x x* ,
即对一切x [ x* , x* ]，有 x [ x* , x* ]。 从而对任意x0 [ x* , x* ], 迭代法收敛。
11
因此,当
迭代就可以终止, xk可以作为方程的近似解
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例2. 用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位
e x 10x 2 0
解:
由于e x 0,
则2 10x 0
x 0 .2
x 0时, 0 e x 1, 2 10 x 2
因此[0,0.2]为有根区间
p阶导数连续,则迭代法p阶收敛的充要条件是
( x*) x, ( x*)
( p 1) ( x*) 0,
( p ) ( x*) 0
19
且有
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lim
ek 1 1 p x 0 k e p p! k
9
L xk x * xk xk 1 1 L
L2 xk 1 xk 2 1 L
Lk x1 x0 1 L
由于L 1,
lim( xk x *) 0
k
因此对任意初值 x0 , 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L Lk xk x * xk何确定 p, 从而确定收敛阶呢？ 不可能直接确定
如果迭代函数 ( x)在精确解x * 处充分光滑,即处处可导 将( x)在x * 作Taylor 展开, 有
( x ) ( x *) ( x *)( x x *)
( x *)
2!
( x x *)2
不动点迭代法的一般理论
定理1. 设迭代函数 ( x)在[a, b]上连续, 且满足
(1) 当x [a , b]时, a ( x) b; (2) 存在一正数 L, 满足0 L 1, 且x [a, b],有
| ( x )| L
则 1o. x ( x)在[a, b] 内有唯一解x*,即有唯一不动点
由于|d7| =0.1000e-006<1e-6
因此原方程的解为
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x * x7 = 0.090525
13
局部收敛性和收敛阶
一般讨论[a,b]上的全局收敛性比较困难，可转向讨 论在 x 附近的收敛性。
x 定义 若存在 的不动点 的一个闭邻 域 N (x ) [x , x ] 0 ，对任意的 x N x ，由x
由于| ( x)| L
xk 1 xk L xk xk 1
xk 1 x * L xk x * L xk 1 x * ( xk 1 xk )
L xk 1 x * L ( xk 1 xk )
xk 1
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L x* xk 1 xk 1 L
华长生制作
证毕.
10
L1 定理1指出, 只要构造的迭代函数满足 | ( x)|
迭代法xk 1 ( xk )就收敛, L或| ( x)|在[a , b]上越小,
迭代法收敛就越快。
对于预先给定的误差限 即要求|xk x*|
由(3)式,只要
L xk xk 1 1 L 1 L xk xk 1 L
2o.对于任意初值 x0 [a, b],迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L 3 . xk x * xk xk 1 1 L k L 4 o. xk x * x1 x0 1 L
o
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(局部收敛性)
--------(3)
7
证:
设f ( x) x ( x), 则f ( x)在[a , b]上连续可导
华长生制作 4
x0 0
3 x1 2 x0 1 1
3 x2 2 x1 1 3
3 x3 2 x2 1 55
显然迭代法发散
(2) 如果将原方程化为等价方程
x3
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x1 2
5
仍取初值
x0 0
x1
3
x2 3
x0 1 1 3 0.7937 2 2 x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
本题迭代函数有两种构造形式
2 ex x 2 ( x) ln( 2 10x) x 1 ( x) 10 10 ex e0.2 5 ( x)| ( x)| 1 |2 由于 |1 2 10 x 10 10 2 ex x 1 ( x) 因此采用迭代函数 12 华长生制作 10
任取一个初值x0 , 代入(1)式的右端, 得 x1 ( x0 ) x2 ( x1 )
继续
xk 1 ( xk )
( k 0 ,1,2 ,) --------(2)
2
称(2)式为求解非线性方程(1)的不动点迭代法
华长生制作
称( x)为迭代函数 , 称xk为第k步迭代值
依此类推,得 x2 = 0.9644
x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000
同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果 迭代函数的构造有关
什么形式的迭代法 能够收敛呢?
6
已经收敛,故原方程的解为
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x 1.0000
( p 1) ( x*)
( p 1)!
( x x*) p 1
( p ) ( x*)
p!
( x x*) p
如果 ( x*) ( x*) ( p 1) ( x*) 0
而 ( p ) ( x*) 0
( x) ( x*)
上述定理称为局部收敛定理，它给出了局部收敛的一个
充分条件。
华长生制作 15
下面讨论迭代法的阶，它是度量一种迭代法收 敛快慢的标志。
设ek xk x
定义1.
若存在实数 p 1和c 0满足 ek 1 lim p c k ek 则称迭代法(或序列 xk ) p阶收敛,当p 1时称为线性收敛,
所以 1o. 方程x ( x)在[a, b] 内有唯一解 x*
华长生制作 8
2o. 对于迭代法 xk 1 ( xk ),
由微分中值定理
xk 1 x * ( xk ) ( x*) ( )(xk x*) xk 1 xk ( xk ) ( xk 1 ) ( )(xk xk 1 )
如果存在一点 x*, 使得迭代序列 { xk } 0 满足
lim xk x *
k
则称迭代法收敛,否则称为发散 如果将(1)式表示为
yx
yx y ( x)
yx
y ( x) y ( x)
收敛
O x * x2
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x1
x0
O
x1
x3 x * x2
x0
f (a) a (a) 0 f (b) b (b) 0
由条件(1)
由根的存在定理, 方程f ( x) 0在[a, b]上至少有一个根
由
| ( x)| L1 f ( x) 1 ( x) 0
则f ( x)在[a, b]上单调递增 , f ( x) 0在[a, b]上仅有一个根
* * '
其中在 k与 x*之间。于是
ek 1 lim lim ' ( k ) ' ( x* ) 0。 k e k k