初中数学平面几何压轴题选讲含解析

22. 如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，OA ＝8，OC ＝4，点P

为对角线AC 上一动点，过点P 作PQ ⊥PB ，PQ 交x 轴于点Q ．

（1）tan ∠ACB ＝ ； （2）在点P 从点C 运动到点A 的过程中，PQ

PB 的值是否发生变化？如果变化，请求

出其变化范围；如果不变，请求出其值； （3）若将△QAB 沿直线BQ 折叠后，点A 与点P 重合，则PC 的长为 ．

解：（1）∵四边形OABC 是矩形，

∴∠ABC ＝90°，BC ＝OA ＝8，AB ＝OC ＝4，

在Rt △ABC 中，tan ∠ACB =

AB BC =12

， 故答案为：12；

（2）PQ

PB 的值不发生变化，其值为1

2， 理由：如图，

过点P 作PF ⊥OA 于F ，FP 的延长线交BC 于E ，

∴PE ⊥BC ，四边形OFEC 是矩形，

∴EF ＝OC ＝4，

设PE ＝a ，则PF ＝EF ﹣PE ＝4﹣a ，

在Rt △CEP 中，tan ∠ACB =PE CE =1

2，

∴CE ＝2PE ＝2a ，

∴BE ＝BC ﹣CE ＝8﹣2a ＝2（4﹣a ），

∵PQ ⊥PB ，

∴∠BPE +∠FPQ ＝90°，

∵∠BPE +∠PBE ＝90°，

∴∠FPQ ＝∠EBP ， ∵∠BEP ＝∠PFQ ＝90°， ∴△BEP ∽△PFQ ， ∴PE FQ =BE PF =BP PQ ， ∴a

FQ =2(4−a)

4−a ，

∴FQ =12a ，

∴

PQ PB =FQ PE =12a a =12；

（3）如备用图，

∵将△QAB 沿直线BQ 折叠后，点A 与点P 重合，

∴BQ ⊥AC ，AD ＝PD =12AP ，

在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝8，根据勾股定理得，AC =√BC 2+AB 2=4√5，

∵∠BAC ＝∠DAB ，∠ADB ＝∠ABC ＝90°，

∴△ABC ∽△ADB ，

∴

AB AD =AC AB ， ∴4

AD =4√5

4， ∴AD =4√55，

∴PC ＝AC ﹣AP ＝AC ﹣2AD ＝4√5−2×4√55=

12√55， 故答案为：

12√55．

23.如图1，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，B 点坐标是（8，4），将△AOC 沿对角线AC 翻折得

△ADC ，AD 与BC 相交于点E ．

（1）求证：△CDE ≌△ABE ；

（2）求E 点坐标；

（3）如图2，若将△ADC 沿直线AC 平移得△A ′D ′C ′（边A ′C ′始终在直线AC 上），是否存在四边形DD ′C ′C 为菱形的情况？若存在，请直接写出点C ′的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）证明：∵四边形OABC 为矩形，

∴AB ＝OC ，∠B ＝∠AOC ＝90°，

∴CD ＝OC ＝AB ，∠D ＝∠AOC ＝∠B ，

又∠CED ＝∠ABE ，∴△CDE ≌△ABE （AAS ），

∴CE ＝AE ；

（2）∵B （8，4），即AB ＝4，BC ＝8．

∴设CE ＝AE ＝n ，则BE ＝8﹣n ，

可得（8﹣n ）2+42＝n 2，

解得：n ＝5，

∴E （5，4）；

（3）设点C 在水平方向上向左移动m 个单位，则在垂直方向上向上移动了m 2

个单位，

则点C ′坐标为（﹣m ，4+12m ）， 则∵四边形DD ′C ′C 为菱形， ∴CC ′2＝（﹣m ）2+（12m ）2=54m 2＝CD 2＝16， 解得：m ＝±8√5

5，

故点C ′的坐标为（−

8√55，4+4√55）或（8√55，4−4√55）．

22. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点E 是边BC 的中点．动点P 从点A 出发，沿着AB 运动到点B 停

止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交射线AD 与点Q ，交CD 于点F ，连接PQ ，设点P 的运动时间为t 秒． （1）当t ＝1时，QF

QD ＝ ； （2）是否存在这样的t 值，使△APQ 为等腰直角三角形？若存在，求出相应的t 值，若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，△PEQ 的面积等于10？

解：（1）根据题意知，当t ＝1时，AP ＝1，

则PB ＝3，

∵BC ＝2，点E 是边BC 的中点，

∴BE ＝CE ＝1，

则PE =√PB 2+BE 2=√32+12=√10，

∴在Rt △PBE 中，sin ∠PEB =PB PE =

3√10

=3√1010， 故答案为：3√1010；

（2）存在，t =17

5．

如图，记QE 与CD 的交点为F ，

由题意知AP＝t，BP＝4﹣t，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，

∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，DC＝4，AD＝2，∴∠PEB+∠BPE＝90°，

∵∠PEQ＝90°，

∴∠PEB+∠CEF＝90°，

∴∠BPE＝∠CEF，

∴△BPE∽△CEF，

∴BP

CE

=

BE

CF

，即

4−t

1

=

1

CF

，

∴CF=

1

4−t，

∴DF＝CD﹣CF＝4−

1

4−t

=15−4t

4−t，

∵∠C＝∠FDQ＝90°，∠CFE＝∠DFQ，∴△ECF∽△QDF，

∴EC

DQ

=

CF

DF

，即

1

DQ

=

1

4−t

15−4t

4−t

，

∴DQ＝15﹣4t，

则AQ＝AD+DQ＝2+15﹣4t＝17﹣4t，∵△APQ为等腰直角三角形，

∴AP＝AQ，即t＝17﹣4t，

解得t=17 5，

故当t=17

5时，△APQ为等腰直角三角形．

（3）S△PEQ＝S直角梯形ABEQ﹣S△APQ﹣S△BPE