北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数应用小结与复习 课件
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北师大版高中数学选修22第三章导数应用导数在实际问题中的应用一课件41416
解： R q 收 p q 2 入 5 1 q 2q 5 1 q 2
8
8
利 润 LRC25q1q2(1004q)
8
1q2 8
21q10(00q20)0
L'
1 4
q
21
令 L' 0， 即 1q21 0 求得唯一的极值点
q 84
4
因为L只有一个极值点,所以它是最大值.
答:产量为84时,利润L最大.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
回顾总结：
1．利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学 模型
优化问题的答案
作答
用函数表示的数学问题 解决数学模型
用导数解决数学问题
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导 数应用》导数在实际问题中的应用 (一)课件41416
一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。2、过程与方法：通过 分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的 思想方法 二、教学重点：函数建模过程
V(40)为极大值，且为最。 大值
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
高中数学第三章导数应用模块复习课第3课时导数的应用及定积分的简单应用课件北师大版选修2_2
当m=3时,只有n=5符合要求;
当m≥4时,没有符合要求的n.
综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求.
专题归纳
高考体验
专题三 导数与不等式
【例3】 已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线
y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,
专题归纳
高考体验
易知 k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以 h(x0)>0.
16
即存在 x0= ,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.
综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.
4
(方法二)对任意给定的正数 c,取 x0= ,
的导数y'=aeax)
解:因为函数f(x)的导数为f'(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax.
(1)当a=0时,若x<0,则f'(x)<0,若x>0,则f'(x)>0.
所以,当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)上是减少的,在区间(0,+∞)上是
增加的.
2
(2)当 a>0 时,由 2x+ax2>0,解得 x<-或 x>0;
证明如下:
1
令 h(x)=3x3-ex,则 h'(x)=x2-ex.
由(2)知,当 x>0 时,x2<ex,
从而 h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)内是减少的,
当m≥4时,没有符合要求的n.
综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求.
专题归纳
高考体验
专题三 导数与不等式
【例3】 已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线
y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,
专题归纳
高考体验
易知 k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以 h(x0)>0.
16
即存在 x0= ,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.
综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.
4
(方法二)对任意给定的正数 c,取 x0= ,
的导数y'=aeax)
解:因为函数f(x)的导数为f'(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax.
(1)当a=0时,若x<0,则f'(x)<0,若x>0,则f'(x)>0.
所以,当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)上是减少的,在区间(0,+∞)上是
增加的.
2
(2)当 a>0 时,由 2x+ax2>0,解得 x<-或 x>0;
证明如下:
1
令 h(x)=3x3-ex,则 h'(x)=x2-ex.
由(2)知,当 x>0 时,x2<ex,
从而 h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)内是减少的,
(教师用书)高中数学 第三章 导数应用章末归纳提升课件 北师大版选修22
【规范解答】 f(x)，x∈R，
(1)由奇函数的定义，应有f(－x)＝－
即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，所以d＝0. 由条件f(1)＝－2为y＝f(x)的极值，必有f′(1)＝0，故
a＋c＝－2， 3a＋c＝0，
解得a＝1，c＝－3，因此f(x)＝x3－3x，
则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 所以有f′(－1)＝f′(1)＝0. 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，故y＝f(x)在区间(－ ∞，－1)上是增加的，
极值，列方程组求解． (2)转化为求f(x)在[－1,2]上的最值问题求解．
【规范解答】
(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 2 ∵在x＝－ 和x＝1处取得极值， 3 2 4 2 f′－ ＝3× ＋2a×－ ＋b＝0， 3 9 3 ∴ f′1＝3＋2a＋b＝0， 1 解得a＝－ ，b＝－2. 2
【解】 3a. 由f′(x)＝0可得x＝± a，列表讨论如下： x f′(x) f(x) (－∞，－ a) ＋ ↗ － a (－ a， a) 0 极大 值 － ↘ a 0 极小 值 ( a，＋∞) ＋ ↗ 函数的定义域为R，其导函数为f′(x)＝3x2－
3 由此可得，函数在x＝－ a 处取得极大值2＋2a ；在x＝ 2 3 a 处取得极小值2－2a .根据列表讨论，可作 2 出函数的草图如图所示． 3 因为极大值f(－ a)＝2＋2a >0， 2 3 故当极小值f( a)＝2－2a <0，即a>1时， 2 方程x3－3ax＋2＝0有三个不同实根； 3 当级小值f( a)＝2－2a ＝0，即a＝1时， 2
mx)＝ab[－mx2＋(m－1)x＋1]， 5 5 2 1 ∴当m＝ 时，y＝ab(－ x ＋ x＋1)， 4 4 4 5 1 ∴y′＝ab(－ x＋ )． 2 4 1 令y′＝0，∴x＝ ， 10 1 81 即x＝ 时，ymax＝ ab， 10 80 即降价1成时，营业额最大.
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-9-14
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
2013-9-14
当r 2时, f r 0.
' '
由于瓶子的半径为 , 所以每瓶饮料的利润是 r 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 0 r 6. 令f ' r 0.8π r 2 2r 0.
'
②
半径为 cm时,利润最大 . 2013-9-14 6
换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 , 直接 从函数的图象 图 ( 1.4 4)上观察, 你有什么发现? 从图象上容 易看出, 当 r 3 时,
f 3 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
y
r3 2 f r 0.8π r 3
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-9-14
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
2013-9-14
当r 2时, f r 0.
' '
由于瓶子的半径为 , 所以每瓶饮料的利润是 r 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 0 r 6. 令f ' r 0.8π r 2 2r 0.
'
②
半径为 cm时,利润最大 . 2013-9-14 6
换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 , 直接 从函数的图象 图 ( 1.4 4)上观察, 你有什么发现? 从图象上容 易看出, 当 r 3 时,
f 3 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
y
r3 2 f r 0.8π r 3
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的极值 课件
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北师大版高中数学选修2-2第三 章《导数应用》
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解 函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区 间上的极值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会对函数的极大值与极小值。 3、情感、态度与价值观：让学生感悟由 具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
a2 练习１:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值. 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞) f’(x) + 0 0 + f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗ 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有 极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点 不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
北师大版高中数学选修2-2第三 章《导数应用》
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解 函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区 间上的极值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会对函数的极大值与极小值。 3、情感、态度与价值观：让学生感悟由 具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
a2 练习１:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值. 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞) f’(x) + 0 0 + f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗ 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有 极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点 不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》实际问题中导数的意义 课件
(2) W’(t)= W ′(t ) = 3t − 12t + 16
2
W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2)分别表示 分别表示t=1s和t=2s时， 分别表示 和 时 这个人每秒做的功为7j和 这个人每秒做的功为 和4j 在物理学中，通常称力在单位时间内 在物理学中，通常称力在单位时间内 做的功叫做功率，它的单位是瓦特 做的功叫做功率，它的单位是瓦特
二．新课探析 1、功与功率 、 例1、如图所示，某人拉动一个物体前进， 、如图所示，某人拉动一个物体前进， 他所做的功W（单位： ）是时间t（单位： 他所做的功 （单位：J）是时间 （单位： s）的函数，设这个函数可以表示为 ）的函数， 3 2 W=W(t)= t − 6t + 16t (1) 求t从1s变到 时，功W关于时间 的 变到3s时 关于时间t的 从 变到 关于时间 平均变化率， 平均变化率，并解释它的实际意义 (2) 求W’(1),W’(2),并解释它们的实际意义 并解释它们的实际意义
2
′(10) = 6 − 0.8 × 10 + 0.06 × 10 2 = 4 (元/件)， C 元件，
万件时， 因此在生产水平为 10 万件时，每增加一个产品总成本 增加 4 元，远低于当前的单位成本．因此从降低成本 远低于当前的单位成本． 角度看应继续提高产量． 角度看应继续提高产量．
件某产品的总成本函数为： 例 4.5.4 设生产 q 件某产品的总成本函数为：
（3）边际利润 ） 表示总利润， 设总利润函数为 L = L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量， 销售量 ， 则 L ′(q) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 边际利润的经济意义是： 再增加一个单位的销量， 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L′(q)个 单位． 单位．
2021届北师大版高中数学选修2-2精品课件：第三章 导 数 应 用(4课时269张PPT)
导数
单调递_增__
f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何 子区间上都不恒为零
单调递_减__
f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何 子区间上都不恒为零
常函数
f′(x)=0
【类题·通】 原函数与导函数关系的判定方法
(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的， 则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内是减少的， 则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定 导函数图像.
(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减 快慢.
【习练·破】 已知函数y=f(x)的图像如图所示，则函数y=f′(x)的 图像可能是图中的 ( )
【解析】选C.由函数y=f(x)的图像的增减变化趋势判 断函数y=f′(x)的正、负情况如表：
x (-1，b) (b，a)
f(x) ↘
↗
2
如图所示，记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式
f′(x)≤0的解集是 ( )
A. [ 1，1] ∪[2，3)
3
B. [ 1，1 ] [ 4，8]
2 33
C. ( 3，1)∪[1，2]
22
D. ( 3，1) [1，4] [8，3]
2
23 3
【思维·引】要使f′(x)≤0，则f(x)单调递减，从 f(x)的图像上看是下降的.
A.增函数
B.减函数
C.有增有减
D.不能确定
【解析】选A.y′=1-sin x≥0，因此函数为增函数.
3.若函数y=x3+ax在R上是增函数，则a的取值范围是 ________. 【解析】因为y′=3x2+a，由题意得3x2+a≥0，a≥-3x2 在R上恒成立，因为-3x2≤0，则a≥0. 答案：[0，+∞)
高中数学选修2-2-第三章 导数应用 复习课件-北师大版
第三章 导数应用 复习课件
导数应用
函数单调性研究 函数的极值、最值 曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题
定理
一般地，函数y＝f(x)在某个区间(a,b)内：
（1）如果恒有f′(x)>0，那么y=f(x)在这个区间(a,b)内单 调递增；
（2）如果恒有f'(x)<0，那么y=f (x)<在这个区间(a,b)内 单调递减。
3
2
3
2
f 1 5 ，即 m 3 2m 5 ，得 m 6 .
32
所以 a 2, b 9, c 12 .
例：求曲线 f x x3 3x2 2x 过原点的切线方程。
解: f x 3x2 6x 2 .设切线斜率为 k ,
（1）当切点是原点时, k f 0 2 ,所以所求曲线的切线方程为
y 2x .
（ 2 ） 当 切 点 不 是 原 点 时 , 设 切 点 是 x0 , y0 , 则 有
y0 x03 3x02 2x0
,即
k
y0 x0
x0 2
3x0
2
,又
k
f x0 3x02
6x0 2 , 故 得
x0
3,k 2
y0 x0
1 4
,所求
曲线的切线方程为 y 1 x . 4
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有f ( x) 0 ,则 f (x)为常数。
函数的极值
（1）如果b是f'(x) =0的一个根，并且在b左侧附近f'(x)>0，在b右侧 附近f'(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值。
导数应用
函数单调性研究 函数的极值、最值 曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题
定理
一般地，函数y＝f(x)在某个区间(a,b)内：
（1）如果恒有f′(x)>0，那么y=f(x)在这个区间(a,b)内单 调递增；
（2）如果恒有f'(x)<0，那么y=f (x)<在这个区间(a,b)内 单调递减。
3
2
3
2
f 1 5 ，即 m 3 2m 5 ，得 m 6 .
32
所以 a 2, b 9, c 12 .
例：求曲线 f x x3 3x2 2x 过原点的切线方程。
解: f x 3x2 6x 2 .设切线斜率为 k ,
（1）当切点是原点时, k f 0 2 ,所以所求曲线的切线方程为
y 2x .
（ 2 ） 当 切 点 不 是 原 点 时 , 设 切 点 是 x0 , y0 , 则 有
y0 x03 3x02 2x0
,即
k
y0 x0
x0 2
3x0
2
,又
k
f x0 3x02
6x0 2 , 故 得
x0
3,k 2
y0 x0
1 4
,所求
曲线的切线方程为 y 1 x . 4
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有f ( x) 0 ,则 f (x)为常数。
函数的极值
（1）如果b是f'(x) =0的一个根，并且在b左侧附近f'(x)>0，在b右侧 附近f'(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值。
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解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x 2 400 x 2km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米 的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的 总运费为
y2013-4-1 CD 3t BD 5t 400 x 3t (100 x ) 5t
2013-4-1
类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2. 2h,得 h V ,则 由V=πr 2
r V 2V 2 S ( r ) 2r 2 2r 2r 2 . r r V V V 2V 3 令S ( r ) 2 4r 0,解得 r ,从而 h r 2 2 V 2 r 3 ( ) 4V V
2
令 y t (
5x 400 x
2
3) 0 0 x 100 的范围内有 ,在
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费 最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合. 练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h. 答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大. 2.与数学中其它分支的结合与应用. 2013-4-1
题型二 ：求函数的单调区间.
1 例2试确定函数 y ln x 1 的单调区间. x
分析：确定函数的单调区间,即在其定 义域区间内确定其导数为正值与负值的区
间.
2013-4-1
（二）、可导函数的极值
1. 极值的概念：设函数
x0 附近的所有的点 x 都有 f x f x0 （或 f x f x0
例7.2001—新课程卷—文史类(21): 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试 确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间. 注:此题为p.252课后强化训练第8题. 解:由已知得:
1 f (1) 1 3a 2b 1 a 3 . 1 f (1) 3 6a 2b 0 b 2
2013-4-1
1 1 l n x ( x 1) 2 x 2
例6:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2), 且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值； (2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值 范围. 2 解:(1) f ( x) 3ax 2bx, f (1) 2 ab 2 a 1 . 由题意得: f (1) 3 3a 2b 3 b 3
(4)与定义域求交集
(5)写出单调区间
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题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度
例1 求垂直于直线 2 x 6 y 1 0
，且与曲线
y x 3x 1 相切的直线方程.
3 2
解法提示：在某一点切线的斜率或在某一
时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.
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(2,3) ＋35源自５2013-4-1
题型四 ：利用求导解应用题
例1
如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开
始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同时， 乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时 间甲、乙相距最近？ B 乙
甲
如图
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A
C 例2:如图,铁路线上AB段长 100km,工厂C到铁路的 距离CA=20km.现在要 在AB上某一处D,向C修 B D A 一条公路.已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
，则
，
y f x
在该区间上是增函数；若
f x 0
y f x
为减函数。
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2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
(1)求 y = f(x ) 的定义域D
(2)求导数 f ( x ).
(x) 0 (x) 或解不等式 f ¢ < . (3)解不等式; f ¢ > 0
情感态度、价值观：
逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方 2013-4-1 程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
一、知识点
1．导数应用的知识网络结构图：
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二、重点导析：
（一）、曲线的切线及函数的单调性
1.设函数 则
y f x
在某个区间内可导，若
f x 0
则称
f x
在点
x0附近有定义，且对
f x0 为函数的一个极大（小）值，称
x0 为极大（小）
值点。
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2. 求可导函数 y f x 极值的步骤： ①
② ③
求导数 f x
求方程 f x ＝０ 的根； 检验 f x 在方程 f x ＝０的根的左、右的符号，
f ( x ) x 3 x 2 x,
f ( x) 3 x 2 2 x 1.
1 1 ( x ) 得 x 1. 0 由 f ( x ) 0得 x 或x 1 f ;由 3 3
故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1/3)和(1,+∞),单调 递减区间是(-1/3,1).
令 f ( x ) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) 0 ,所以x=1是f(x)的极 小值点. 所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1. 从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
2 3 1 (1 x ) 成立. 3
23 2
3
,即h=2r.
2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
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例4: 如图,在二次函数f(x)= y 2的图象与x轴所 4x-x 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
例3:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等 的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60). 3 2 令 V ( x ) 60x x 0,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 16000. 由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的 容积很小,因此,16000是最大值. 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
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教学目标：
知识与技能:
1. 利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以 及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；2．利用导数 求解一些实际问题的最大值和最小值。
过程与方法:
1. 通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函 数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思 维能力； 2. 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培 养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
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三、难点突破：
1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若 在（a，b）内， f x 0 （或 f x 0 ），（其中有有限个 x
如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y f x 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为 正，那么函数 y f x 在这个根处取得极大值.
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题型三 ：求函数的极值与最值
例3 设函数 f x ax3 bx 2 cx 在 x 1或
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练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小 值为2. (1)试确定常数a、b的值; (2)求函数的单调递增区间. 答案:(1)a=1,b=4. (2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
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练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都 取得极值. (1)求a、b的值; (2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取 值范围. 答案:(1)a=-1/2,b=-2. (2)利用f(x)max<c2,解得c<-1或c>2. 练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域. , 答:由已知得 f (0) f (2) 0可求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
x 1
处有极值且 f 1 1 . 求 a, b, c. 并求其极值.
分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步