高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用
2015年高考数学复习学案：圆锥曲线的统一定义
一教材分析1．教学内容高级中学课本《数学》必修第八章－－圆锥曲线方程。
本章主要研究圆锥曲线的定义方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。
2．教材的地位与作用前一章中学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。
本章是在这个基础上学习求圆锥曲线方程，研究它们的几何性质，进一步熟悉和掌握坐标法。
由于高考试卷中区分度较大的题目都涉及本章内容，所以难度不易把握。
考虑到本校学生的实际情况，设计例题时难度应适中。
本节课是学习完圆锥曲线几何性质之后的第二节复习课，上节课总结椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的几个共同特征，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。
这节课继续利用圆锥曲线的第二定义及方程形式上的共同点，进行多题一解的训练。
3．教学重点和难点圆锥曲线统一定义及其应用。
突破方法：（1）引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。
（2）引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。
4．教学目标知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标（1）分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
（2）利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
（3）解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标（1）在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
（2）讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
二教法分析高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。
所以设计问题时应考虑灵活性。
采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主题能动性，教师的主导作用。
在教学过程中采用讨论法，向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨论。
通过讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力。
圆锥曲线的定义与性质及其应用
圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。
- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。
3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。
双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。
- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。
- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。
4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。
抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。
抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。
- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。
- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。
5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。
高考数学圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）X围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）X围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）X围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
高三数学教案： 圆锥曲线定义应用
圆锥曲线定义的应用一、基本知识概要1、 知识精讲：涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理； 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。
椭圆的定义：点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；双曲线的定义：点集M={P|︱|PF 1|-|PF 2|︱=2a ， |)|2(21F F a < }的点的轨迹。
抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．统一定义：M={P|e dPF=，}0＜e ＜1为椭圆，e>1为双曲线，e ＝1为抛物线 重点、难点：培养运用定义解题的意识 2、 思维方式：等价转换思想，数形结合 特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系 二、例题选讲例1 、 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别为1和2，且|O 1O 2|=4，动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。
解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为轴建立平面直角坐标系。
由|O 1O 2|=4有O 1（-2，0），O 2（2，0）。
设动圆的半径为r 。
由动圆M 与圆O 1内切有|MO 1|=|r-1|. 由动圆M 与圆O 2内切有|MO 2|=r+2。
∴|MO 1|+|MO 2|=3或|MO 1|-|MO 2|=-3,∵|O 1O 2|=4∴|MO 1|-|MO 2|= -3∴M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，长轴为3的双曲线的左支。
所以M 的轨迹方程为1749422=-y x （x<0） [思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法变式练习：F １、F ２是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点，P 是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A等腰三角形APF 1中，a PF PF PF AP AF AP PF 221221=+=+==∴从而a AF OQ ==∴221选A 例２：已知双曲线12222=-by a x （a ＞０，b ＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F 1PF 2=θ, 求ΔF 1PF 2的面积．解：在ΔF 1PF 2中，由三角形面积公式和余弦定理得ＳΔF1PF2＝21｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜sin θ ①(2c)2＝｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜cos θ ②由双曲线的定义可得｜ＰＦ１｜-｜ＰＦ２｜=2a, 即｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=4a 2③ 由②③得｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=θcos 122-b ④ 将④①代入得ＳΔF1PF2＝b 2θθcos 1sin -=b 2cot 2θ,所以双曲线的焦点三角形的面积为b 2cot 2θ．[思维点拔]焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理例３：已知Ａ（211，３）为一定点，Ｆ为双曲线127922=-y x 的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当｜ＡＭ｜＋21｜ＭＦ｜最小时，求Ｍ点的坐标． 解：∵过Ｍ作ＭＰ准线于点Ｐ，则21｜ＭＦ｜＝｜ＭＰ｜，∴｜ＡＭ｜＋21｜ＭＦ｜＝｜ＡＭ｜＋｜ＭＰ｜≤｜ＡＰ｜．当且公当Ａ、Ｍ、Ｐ三点共线时，｜ＡＭ｜＋21｜ＭＦ｜最小。
第50课圆锥曲线的定义在解题中的应用
变式：B(2,3)改为B(3,2)呢？
基础知识回顾与梳理
3、已知双曲线 3x 2 y 2 9 ，则双曲线左支上的点 P 到右 焦点的距离与 P 到右准线的距离之比为____________
2
变式：P到左焦点的距离与P到左准线的距离 之比呢？
基础知识回顾与梳理
x2 y 2 4、椭圆 25 16 1 上一点 P 到左焦点的距离为 4，则 P 点到椭圆右准线 15
的距离为___________
2
问题1：由已知条件你能得出什么？这些与所求的有无 联系？ 问题2：要求P点到右准线距离，只需要知道什么，这 些由条件能否得到？
诊断练习
x2 y 2 题 1.点 P 在椭圆 25 9 1 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的
25 两倍，则点 P 到左准线的距离为__________ 3
第50课 圆锥曲线的定义在解题中的应用
圆锥曲线统一定义：平面内到一个定 点F和到一条定直线l(F不在l上）的距 离的比等于常数e的点的轨迹。 当0<e<1时，它表示椭圆； 当e>1时，它表示双曲线； 当e=1时，它表示抛物线。
其中e是双曲线的离心率，定点F是圆锥曲 线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线。
诊断练习
x2 y 2 题 2. F1、F2 是双曲线 16 20 1 的焦点，点 P 在双曲线上，若
PF1 9 ,则点 F1 到右准线的距离为
联想到什么？
诊断练习
3.( x 3) 2 ( y 1) 2 是动点( x, y)到（3，-1）的距离 _________
3x 4 y 7 3 4
在椭圆上求一点P，使得PA 2PF 最小.
变式：求 PA+PF 最大
圆锥曲线定义的应用
案例：圆锥曲线定义浙江省洞头县第二中学/陈展(325701)教学背景《圆锥曲线》一章是高考的重要内容。
基于普通中学学生数学基底薄弱的典型特征与新课程课时安排的结构要求，《圆锥曲线定义的应用》被安排在高考第一轮复习中，可以体现承前启后的目的。
高中学生已经非常适应多媒体辅助教学，因此，本节课也体现了这一特点。
课前仅要求学生复习圆锥曲线的定义及性质。
教学目标1.探索应用圆锥曲线定义解决问题的思维形成过程，体会代数与图形之间的联系，熟练掌握数形结合的数学思想方法。
2.体会数学的应用价值，注重探索,逐步获得建构数学模型，并创造性解决问题的知识经验，提高、深化学生对定义的理解与感悟， 激发学生对定义概念的学习兴趣，进一步培养学生的创新精神及学以致用的实践能力。
设计依据完形趋向律认为良好的连续结构易被知觉成一个整体，有利于保证数学知识的系统性，有利于知识的迁移。
教学流程一、创设情境 感受定义应用T :已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点。
今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c 。
当静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线击出，经椭圆壁反弹后再回到点A 时，求小球经过的路程。
S :小球经过的路程为4a 。
T :为什么？S :根据椭圆的第一定义得出。
T :很好，如果增加一个条件：小球必须经过椭圆内部的定点P ，则满足条件的路线可能有几条？学生思考了一会儿。
S :定点可以是焦点吗？ T :是的。
S :答案分两类：定点如是焦点则有无数条；定点不是焦点则仅有一条(如下图)。
T :那么，第2类中的定点P 又有什么特点呢？请看例1。
这个情境设计使学生不知不觉中体验到定义应用解题的乐趣。
二、逐步深入 浮现数学模型 例1已知P 为椭圆x 225 +y 216 =1上任一点，F 为椭圆的左焦点，A(2，1)为椭圆内一点，求|PF|+|PA|的最大值（多媒体显示）。
圆锥曲线定义在解题中的应用
圆锥曲线定义在解题中的应用湖南省望城县第一中学 严文鸳 yan0112@圆锥曲线是高中阶段非常重要的一部分，是解析几何的核心内容，是高考重点考察的内容之一，也是学生感到比较难掌握的知识点之一。
确实，圆锥曲线问题的计算量相对偏大，技巧方法也比较多，但是做为最基础的圆锥曲线的定义，却往往被学生所忽视，而事实上，圆锥曲线的几何性质都是由定义得到的，许多问题特别是一些选择题和填空题借助于圆锥曲线的定义都能得以顺利解决。
下面就几种常见的问题加以说明： 一．焦三角形的问题例1．椭圆221169x y +=的焦点为1F ，2F ，椭圆的弦DE 过焦点1F ，DE 的倾斜角为α，0α≠，则△2DEF 的周长为（ ）A ．16B ．20C ．8D ．随α焦点的三角形的问题，直接利用椭圆的定义，122PF PF a +=，122EF EF a +=，而2l DE DF =++12214DF EF EF DF a =+++=，又由221169x y +=可知，4a =，从而得416l a == 练习：若双曲线方程22221(0,0)x y a b a b-=> >，过焦点1F 的弦AB 的长为m ，另一个焦点为2F ，则△2ABF 的周长为（ ）A ．4aB ．4a m -C ．42a m +D ．4a m -例2． 设1F ，2F 是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=，则△12F PF 的面积 分析：∵1212S PF PF =⋅，若能求出1PF ，2PF 或12PF PF ⋅的值，则△12FPF 的面积便能求出，12PF PF ⊥，以及点P 满足2214x y -=，可以求出P 的坐标，从而求出1PF ，2PF ，但是此方法计算量较大，特别是对于填空题，其实由122222121224PF PF aPF PF F F c⎧+=⎪⎨+==⎪⎩⇒ 222121224PF PF PF PF a ++=⇒2124PF PF b =⇒23S b ==二．圆锥曲线类型问题例3．已知点(,)P x y1y =-+，求P 的轨迹图形是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段分析：这是个判断曲线类型的问题，如果直接化简很难，学生也难依据方程判断曲线的类型，表示(,)P x y 到(1,1)A 的距离，表示(,)P x y 到直线10x y -+=的距离，则原等式可变形为21=>，由圆锥曲线的统一定义可得(,)P x y 的轨迹是双曲线1k x y =-+，则方程表示的曲线又分别是什么？ 例4．过已知圆M 内的一个定点（不同于圆心M ）做圆C 与已知圆相切，则圆心C 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．圆或椭圆D ．线段 分析：设已知圆M 的半径为R ，动圆圆心的半径为r ，r CP = 由题意可得，MC R r =-＝R CP -，即MC CP R +=∵R MP >，（∵P 在圆内），由椭圆的定义可得，圆心C 的轨迹是椭圆 练习：若题中没有“不同于圆心M ”这个条件，圆心C 的轨迹是 二．最值问题例5．（2004年全国Ⅲ 理16）设P 是曲线24(1)y x =-上的一个动点，则点P 到点(0, 1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值是 。
教案：圆锥曲线的参数方程及其应用
教案：圆锥曲线的参数方程及其应用。
一、圆锥曲线的定义及分类圆锥曲线是由固定点（焦点）和固定直线（准线）所构成的几何图形。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
（一）椭圆椭圆是焦点到准线距离之和等于定值的所有点的集合，又称为倍长轴圆。
（二）双曲线双曲线是焦点到准线距离之差等于定值的所有点的集合，又称为哈密顿曲线。
（三）抛物线抛物线是焦点到准线距离等于点到准线距离的平方的两倍的所有点的集合。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程是指用参数表示出曲线上一点与焦点和准线间的关系。
比较常见的有极坐标参数法和直角坐标参数法。
下面我们主要介绍直角坐标参数法。
（一）椭圆的参数方程以$x$轴和$y$轴为直角坐标系。
设椭圆的长轴方程为$x=2a\cos\theta$，短轴方程为$y=b\sin\theta$（其中$a,b$分别为椭圆长轴和短轴的长度）。
则椭圆的参数方程为：$$\begin{cases}x=2a\cos\theta \\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中$\theta$为参数，描述曲线上的一个点与原点间的位置关系。
（二）双曲线的参数方程以$x$轴和$y$轴为直角坐标系。
设双曲线的$x$轴方程为$x=2a\sec\theta$，$y$轴方程为$y=2b\tan\theta$（其中$a,b$分别为双曲线距离准线最远点到准线距离的一半和准线到双曲线的距离）。
则双曲线的参数方程为：$$\begin{cases}x=2a\sec\theta \\y=2b\tan\theta\end{cases}$$其中$\theta$为参数，描述曲线上的一个点与原点间的位置关系。
（三）抛物线的参数方程以$x$轴和$y$轴为直角坐标系。
设抛物线的方程为$y=kx^2$（其中$k$为常数）。
则抛物线的参数方程为：$$\begin{cases}x=t \\y=kt^2\end{cases}$$其中$t$为参数，描述曲线上的一个点与原点间的位置关系。
圆锥曲线定义的应用教案
圆锥曲线定义的应用一、高考考情分析：1、圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考内容。
选择题、填空题和解答题均有涉及，所占分数在18～23分。
主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容。
从近几年高考题来看，以向量为载体的解析几何问题已成为高考的重中之重，联系方程、不等式以及圆锥曲线的转化，题型灵活多样。
2、圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现。
对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查。
二、教学过程： （一）、课前热身： 1.若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程（ ）A ．221259x y += B ．221259x y +=()0≠y C ．()2210169x y y +=≠ D ．191622=+y x2.（2013∙高考新课标全国卷Ⅰ节选）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C 。
（Ⅰ）求C 的方程； 3.已知双曲线C:12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1（-2,0），F 2（2,0）, 点P ()73，在双曲线C 上，则双曲线C 的方程为4. 若点P 到直线x=-1的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点P 的轨迹是（ ）A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线 (二)、考点突破：考点1 椭圆定义:平面内与两个定点F F ，21的距离的和等于常数()F F 21大于的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
（选修2-1P 38） 因此，a PFPF221=+＞FF 21=2c 。
圆锥曲线定义在解题中的应用
焦 A和B是以 为 心, 以I } 点, 圆 鱿
为半径的圆与该双曲线左支的两个 交点 , 且 ! 凡妞 是等边三角形, 则 双曲线的离心率为 (
A C
锥 曲线的定义转化后才能较好解决 , 因此, 巧用定义将问题进行转 化是解决这类最值问题的关键
例3: 已 知A (4 , o )
关键词 : 圆锥 曲线; 离心率; 最值 ; 轨迹 中图分类号 : 0 187 .1 文献标识码 : A
最
文章编号 : 10 8 一 75 7 0 6
20 10 ) 0 1一 9 3一 0 02
现行高中教材中的圆锥曲线包括椭圆 双曲线和抛物线 , 三种 圆锥曲线 的定义既是教材的重要的基本 内容 , 也是解决许多问题的
(a > b > 0 ) 的左焦点F 的直线 交椭 圆于P Q 两点 , 在椭圆
入 浑
的 左准 线上 存在 一点 R , 使 !P Q R 为正三角形 , 求椭圆离
心率的取值范围
& 析 l: 如 图所 示 , 取 P Q 解
的中点M , 作P P I M M . Q Q : 垂直于左 准线 , 垂 足分别 为
.} ∀ A引一 引一 即( l 一 } 注 2 a 万一 2 )
答案 : D
#! AI} BJ M + M 的最大值为12 点评 : 此题的解法很多, 以上解法最为简捷
可见, 熟悉 圆锥
点评 : 求离心率的值关键是得出a与c的关系, 这里只需用双曲 线 的第一定义便可得出a与c 的关系, 进而求出双曲线的离J 曲线的离心率
C H E N G S e n 一w a n g
( W uyuan T i anyou H i Sohool, W uyuan Ji gh an罗i 33320 , China ) , 0
圆锥曲线定义简单的应用
圆锥曲线定义简单的应用圆锥曲线方程是高二上册第八章的内容，里面介绍了椭圆、双曲线、抛物线三种曲线。
从定义的角度看，可以分为“第一定义”和“第二定义”。
我们可以从不同的角度去运用定义解决一些重要问题。
一． 定义的运用（一） 直接运用定义例1：21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，以1F 为圆心且过椭圆中心12F M F 与圆相切，求该椭圆的离心率。
分析：|1MF |=c ，由椭圆定义知|2MF |=c a -2又2MF 为切线，所以2224)2(c c a c =-+ 即13-==ace . 例2：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点坐标1F )0,()0,(2c F c 和-，),(00y x P 是椭圆上的任一点，求证：0201||,||ex a PF ex a PF -=+=，其中e 是椭圆的离心率。
分析：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点1F )0,()0,(2c F c 和- ，相应的准线方程是c a x c a x 22=-=和 ，又椭圆的第二定义得，e x c aPF e c a x PF =-=+022201||||， 化简得： 0201||,||ex a PF ex a PF -=+=上面两个例题分别从圆锥曲线的第一定义或第二定义着手解决了问题，可见两种定义在圆锥曲线中的重要性。
（二） 交错运用定义例3：P 为椭圆1162522=+y x 上的一点，它到右焦点的距离为522，求P 到左准线距离。
分析：如图：,4.4||2=PF 由第一定义知6.5||1=PFx再由椭圆的第二定义P 到左焦点的距离1|PF |与P到左准线的距离之比为离心率e ，即536.5=d ， 得328=d 。
例3则通过结合圆锥曲线第一定义和第二定义来解决问题，从上面三个例题可以看出，我们在解决圆锥曲线的问题时，从定义的角度考虑出发是一种很好的解题思路。
高二数学圆锥曲线定义在解题中的应用教案
椭圆第一定义在解题中的应用椭圆第一定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将椭圆的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.一、利用椭圆第一定义求轨迹方程例1 已知ABC ∆中，C （-1，0），B （1，0），sin sin 3sin B C A +=，求顶点A 的轨迹方程.分析:用正弦定理将sin sin 3sin B C A +=化为||||3||||AC AB BC BC +=>，由椭圆的第一定义知顶点A 的轨迹是以C 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆.解析：由正弦定理及sin sin 3sin B C A +=得，∴||||3||||AC AB BC BC +=> 由椭圆的第一定义知顶点A 的轨迹是以C 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆∴1c =，3a =，∴222b ac =-=8 ∴顶点A 的轨迹方程为22198x y +=（3x ≠±）. 点评：本题考查了椭圆的第一定义、正弦定理及椭圆的标准方程，利用定义求轨迹是求轨迹问题的一种重要方法.二、利用椭圆第一定义解决焦点三角形问题例2 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△2ABF 是正三角形，求椭圆的离心率.分析：本题关键在于寻找a 、c 间关系，结合图形，容易找到此关系.解析：由△2ABF 是正三角形，得12AF F ∆是21AF F ∠为6π的直角三角形，设1||AF =m ，则2||2AF m =，则12||F F ，由椭圆第一定义知，12||||2AF AF a +==3m ，又e =c a =22c a =3m =3. 点评:本题考查了椭圆的第一定义与椭圆性质，对焦点三角形问题，常用到第一定义.例 3 已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12F PF ∠=α，（1）求α的最大值；（2）求12F PF ∆的面积.分析：涉及到焦点三角形问题时，根据题意，配凑出12||||PF PF +形式，再利用椭圆的第一定义，解决有关问题.解析：（1）∵P 在椭圆上，∴12||||PF PF +=2a在12F PF ∆中，12||F F =2c ，cos α=222122112||||||2||||PF PF F F PF PF +-=2212211212(||||)||2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF +-- =21221||||b PF PF -≥221221||||()2b PF PF -+=2221b a -（当且仅当12||||PF PF =时取等号）， 又∵余弦函数cos y x =在[0,]π上是减函数，(0,)απ∈∴当cos α=2221b a-时，max α=2222arccos b a a -； （2）在12F PF ∆中，由余弦定理知，221||F F =221212||||2||||cos PF PF PF PF α+-=21212(||||)2||||(1cos )PF PF PF PF α+-+，∴12||||PF PF =221221(||||)||2(1cos )PF PF F F α+-+=221cos b α+ ∴12F PF S ∆=121||||sin 2PF PF α=2sin 1cos b αα+=2tan 2b α. 点评：解决椭圆上一点与两焦点构成的三角形问题时，要充分利用正弦定理、余弦定理、椭圆的第一定义，关键是配凑出12||||PF PF +的形式.三、利用第一定义计算椭圆上一点到两焦点的距离问题例4已知1F ，2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于A ，B ，弦AB=4，求2ABF ∆的周长.分析：本题涉及椭圆上一点到两焦点的距离问题，利用椭圆第一定义求解.解析:因为A ，B 在椭圆上，所以12||||AF AF +=10，12||||BF BF +=10，∴12||||AF AF ++12||||BF BF +=10，而11||||||AF BF AB +=，∴22||||||20AB AF BF ++=，即2ABF ∆的周长为20.点评：凡涉及椭圆上一点到两焦点的距离问题，注意利用椭圆第一定义求解.在解决椭圆问题要有应用椭圆第一定义的意识，见到动点到两定点距离之和等于常数（常数大于两定点的距离）应想到其轨迹是椭圆，见到椭圆上一点应想到该点到两焦点的距离之和为2a ,只有这样才能熟练运用椭圆第一定义解题.抛物线的定义在解题中的应用抛物线的定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将抛物线的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.一、利用抛物线定义求轨迹方程例1求与圆C ：22(2)1x y ++=外切，且与直线1x =相切的动圆圆心M 的轨迹方程. 分析：由题知动圆圆心M 到到圆C 的圆心（-2，0）的距离与到直线2x =距离相等，根据抛物线的定义知，动圆圆心M 的轨迹是以（-2，0）为焦点、以直线2x =为准线的抛物线，焦点到准线的距离为4.解析：设动圆半径为r ，点M 到直线1x =的距离为d ，由动圆M 与圆C 外切知，|MC|=1r + ，由动圆M 与直线1x =相切知，d =r ，∴点M 到直线x =2的距离为1r +，∴动圆圆心M 到点C （-2，0）的距离与到直线x =2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆圆心M 的轨迹是以（-2，0）为焦点、以直线2x =为准线的抛物线，焦点到准线的距离为4∴. 动圆圆心M 的轨迹方程为28y x =-点评：本题考查了直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、抛物线的定义与标准方程，定义法是求轨迹问题的重要方法之一.二、利用抛物线定义求最值例2已知F 是抛物线24y x =的焦点，点Q(2,2),在抛物线上找一点P 使|PQ|+|PF|最小，求点P 的坐标.分析：涉及到抛物线上一点到焦点的距离问题，可用抛物线的定义去处理.解析：抛物线的准线l 方程为1x =-，P 是抛物线上一点，过P 作P H ⊥l ，垂足为H ，根据抛物线定义知，|PH|=|PF|，∴|PQ|+|PF|=|PQ|+|PH|，当H 、P 、Q 共线时,此时P (1,2),|PQ|+|PH|值最小，最小值为3.点评：抛物线的定义是圆锥曲线的重要概念，是将抛物线上一点到焦点的距离（即焦半径）转化为它到准线距离的重要工具，利用它，可以在本题中构造出“点到直线的垂线段最短”，应熟练掌握这种转化思路.例3定长为4的线段AB 的端点A 、B 在抛物线22y x =上移动，求线段AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 的中点M 坐标.解析：设F 是抛物线22y x =的焦点，过A 、B 、M 分别作准线l 的垂线AC 、BD 、MN ，垂足分别为C 、D 、N ，则|MN|=12(|AC|+|BD|), 由抛物线的定义知，|AC|=|AF|，|BD|=|BF|,∴|MN|=12(|AF|+|BF|)≥1||2AB =2, 设M 的横坐标为x ，则|MN|=12x +，则12x +≥2，∴32x ≥， 当AB 过F 点时等号成立，此时点M 到y 轴的距离最短为32. 点评：解本题的关键在于利用抛物线的定义将焦半径转化为到准线的距离.三、解与焦半径有关的问题例4已知抛物线2y x =上一点M 到焦点F 的距离为2，求点M 的坐标.分析:本题是抛物线上一点到焦点的距离问题可利用抛物线的定义转化为到准线的距离问题处理.解析：设M (,)x y ,由2y x =得，2x y =，∴准线方程为14y =-， ∴点M 到准线的距离为14y +，由抛物线的定义知14y +=2，解得74y =，代入2x y =解得x =，∴点M 的坐标为7()4. 点评：本题也可以设出M 点坐标，求出焦点坐标，利用两点距离公式构造方程组求解，但过程复杂，抛物线定义是解决抛物线上一点到焦点距离的有效工具.例5已知抛物线24y x =，过抛物线的焦点斜率为2的直线交抛物线于A 、B 两点，求线段|AB|的长.分析：过焦点的弦长问题可以利用抛物线的定义结合根与系数关系解决,也可利用弦长公式处理.解析：设点A 、B 的横坐标分别为1x ，2x ，抛物线24y x =的焦点为F （1，0），准线为1x =-，∴点A 、B 到准线的距离分别为11x +，21x +，根据抛物线的定义知，|AF|=11x +，|BF|=21x +，∴|AB|=|AF|+|BF|=11x ++21x +=122x x ++直线AB 的方程为：22y x =-，代入24y x =化简整理得，2310x x -+=，∴12x x +=3，∴|AB|=3+2=5.点评：圆锥曲线的弦长问题通常将曲线方程与直线方程联立转化为关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系与弦长公式||AB =12||x x -或||AB =12||y y -（其中k 是直线AB 的斜率，11(,)A x y ，22(,)B x y ）.抛物线22(0)y px p =>过焦点弦AB 长公式为||AB =12x x p ++（其中1x ，2x 分别为点A 、B 的横坐标）.双曲线第一定义在解题中的应用双曲线的第一定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将双曲线的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.一、利用双曲线第一定义求轨迹方程例1已知ABC ∆中，C （-2，0），B （2，0），1sin sin sin 2B C A -=，求顶点A 的轨迹方程.分析:用正弦定理将1sin sin sin 2B C A -=化为1||||||||2AC AB BC BC -=<，由双曲线的第一定义知顶点A 的轨迹是以C 、B 为焦点，长轴长为2的双曲线的右支. 解析：由正弦定理及1sin sin sin 2B C A -=得，∴1||||||||2AC AB BC BC -=< 由双曲线的第一定义知顶点A 的轨迹是以C 、B 为焦点，长轴长为2的双曲线的右支 ∴2c =，1a =，∴222b c a =-=3 ∴顶点A 的轨迹方程为2213y x -=（1x >）. 点评：本题考查了双曲线的第一定义、正弦定理及双曲线的标准方程，利用定义求轨迹是求轨迹问题的一种重要方法.二、利用双曲线第一定义解决焦点三角形问题例2 已知1F ，2F 是双曲线的两个焦点，过1F 与椭圆实轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△2ABF 是正三角形，求双曲线的离心率.分析：本题关键在于寻找a 、c 间关系，结合图形，容易找到此关系.解析：由△2ABF 是正三角形，得12AF F ∆是21AF F ∠为6π的直角三角形，设1||AF =m ，则2||2AF m =，则12||F F ，由双曲线第一定义知，21||||2AF AF a -==m ，又e =c a =22c a =点评:本题考查了双曲线的第一定义与椭圆性质，对焦点三角形问题，常用到第一定义.例3 已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线上异于顶点的任意一点，12F PF ∠=α(0απ<<)，求12F PF ∆的面积.分析：已知12F PF S ∆=121||||sin 2PF PF α⋅，关键是求12||||PF PF ⋅的值，联系12F PF ∠=α，使我们想到余弦定理，配方后用双曲线第一定义即可求得.解析：设双曲线的焦距为2c ，有双曲线的第一定义知，12||||||PF PF -=2a ，在12F PF ∆中，由余弦定理得，221||F F =221212||||2||||cos PF PF PF PF α+-=21212(||||)2||||(1cos )PF PF PF PF α-+-，∴12||||PF PF =222112||(||||)2(1cos )F F PF PF α---=221cos b α- ∴12F PF S ∆=121||||sin 2PF PF α=2sin 1cos b αα-=2cot 2b α. 点评：解决双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题时，要充分利用正弦定理、余弦定理、双曲的第一定义，关键是配凑出12||||||PF PF -的形式，注意点P 在双曲线的哪一支上.三、利用第一定义计算双曲线上一点到两焦点的距离问题例4已知1F ，2F 分别是双曲线221169x y -=的左右焦点，过1F 的直线与双曲线左支交于A ，B ，弦AB=4，求2ABF ∆的周长.分析：本题涉及双曲线上一点到两焦点的距离问题，利用双曲线的第一定义求解. 解析:因为A ，B 在双曲线上，所以21||||AF AF -=8，21||||BF BF -=8，∴2211||||(||||)AF BF AF BF +-+=16，而11||||||AF BF AB +=，∴22||||20AF BF +=，∴22||||||24AB AF BF ++=，即2ABF ∆的周长为24. 点评：凡涉及双曲线上一点到两焦点的距离问题，注意利用双曲线第一定义求解，注意判断点在双曲线的哪一支上.在解决双曲线问题要有应用椭圆第一定义的意识，见到动点到两定点距离之差的绝对值等于常数（常数小于两定点的距离）应想到其轨迹是椭圆，见到双曲线上一点应想到该点到两焦点的距离之差的绝对值为2a ,只有这样才能熟练运用双曲线的第一定义解题.。
圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用
圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用作者：江秋煜来源：《读与写·中旬刊》2018年第01期摘要：圆锥曲线是高中数学中的重难点，高中生在解答这类问题时通常感觉无从着手，主要是因为他们脑海里对这部分内容感觉非常抽象，还有就是对基础知识掌握的不够牢固。
如果高中生能够熟练的掌握圆锥曲线的定义并结合定义思路来解答问题的话，就可以化难为易，还可以激发他们对于几何图形与轨迹之间的转化思维。
本文将从运用圆锥曲线定义求轨迹方程、求焦点三角形及解答证明题等方面，对于圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用展开相应的研究探讨。
关键词：圆锥曲线；高中数学；解题中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）01-0249-02圆锥曲线的来自于平面切割圆锥，因角度的不同就出现了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线，从定义上他就是反映曲线上的点到两焦点的距离的关系，两者之间的关系就决定了是哪种曲线。
高中生如果想在解题时比较容易的找到答案，就要对此定义深入的理解到位，进而对题目进行一步步的分析。
很多时候可以参考圆锥曲线第一定义，解决关系到焦点或者准线时的题目。
除此之外，高中生还要善于总结，这样就能够更好的解答相关于圆锥曲线的题目了。
1.运用圆锥曲线定义求轨迹方程高中数学中求轨迹方程的方法有很多种，比如说参数法、直译法、相关点法等，但是解题思路最容易的就属定义法。
定义法无非就是通过观察轨迹的运动曲线来判断其运动特点，进而判定该曲线是椭圆、双曲线或抛物线的哪一种，然后来确定是哪种方程。
方程一旦确定题目就变得十分容易，只需代入相关参数即可。
比如：有两个定圆B1和B2，他们的半径分别为a和b，两个圆心的距离为c，有一个动圆B3分别和这两个定圆内切，求解B3圆心的轨迹曲线的方程。
这一类题目我们可以结合圆锥曲线的定义思考。
首先建立一个坐标系，原点为两个定圆B1和B2圆心的中心点，x轴则为两个定圆B1和B2直径所在的直线，假设动圆B3的半径为e，那么由动圆B3和定圆B1内切得半径差值为|a-e|，同理动圆B3和定圆B2内切得半径差值为|b-e|，可以观察出两者的差为定值，说明B3的运动轨迹为以B1、B2为焦点的双曲线。
圆锥曲线定义在数学解题中的运用
圆锥曲线定义在数学解题中的运用————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：圆锥曲线定义在数学解题中的运用-中学数学论文圆锥曲线定义在数学解题中的运用山东省邹平县第一中学牛传勇一、圆锥曲线定义基本认识圆锥曲线定义主要包括的是椭圆定义以及双曲线定义。
在其解题过程中，重点是圆锥曲线上的点和焦点间的关系。
这一关系对某点的运动轨迹到底是椭圆、双曲线，还是抛物线起到了决定性作用，因此在解题过程中首先要深入了解其定义。
圆锥曲线知识是高中数学教学中的重点内容，圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程和性质的基础，而且也是数字解题中重要的理论基础。
比如说如果圆锥曲线上的一个点和两个焦点能够构成一个三角形的话，那么其解题一般采用的是第一定义和正余弦定理，在关系到焦点或者是准线的时候，则通常采用的是统一定义。
对定义巧妙应用，是解题过程中的重点以及难点。
二、圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用（一）求轨迹在解题中圆锥曲线定义是一个常用技巧，同时也是求轨迹的一个主要方法。
例如已经得知两个定圆o1和o2，两个圆的半径则分别是a和b，了解到其关系则为|o1o2|=c，动圆M分别和圆o2外切，和圆o1内切，本题需要求出圆心M 的轨迹方程，并探讨其曲线类型。
我们可以明显的看出可以采用圆锥曲线定义进行解题，将o1o2的中点设为点o，并将其作为原点，同时将o1o2所在直线作为周，作出其平面直角坐标系，这样也就能够清楚的到达点o1与o2坐标。
之后将动圆M的半径设为r，通过动圆M和圆o2、o1的关系也就可以得到|MO1|和|MO2|值，通过他们之间的关系也就能够将M点的轨迹求出，其中点o1、o2则分别为其焦点，则其曲线类型为双曲线（x＜0）。
依照其半径之间的关系，也就能够轻松的求出其轨迹方程。
例如有一个典型例题，在椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）中，点F１、F２是其上面的任意两点，那么从其任意一个焦点引出∠F１PF2的外角平分线垂线，那么其垂足Q的运行轨迹是什么？解：将垂线F１Q进行延长，并和F2P延长线相交，其焦点设为点A，那么在等腰三角形APF１中：∴|PF１|=|AP|从而|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF１|+|PF2|=2a∴|OQ|=1/2|AF2|=a，也就可以得出垂足Q的轨迹为一个圆。
高中数学圆锥曲线满分教案
高中数学圆锥曲线满分教案
主题：圆锥曲线
目标：学生能够掌握圆锥曲线的基本概念和性质，并能够运用所学知识解决实际问题。
教学步骤：
第一步：引入（5分钟）
教师引入圆锥曲线的概念，告诉学生圆锥曲线是由平面与圆锥相交而产生的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
第二步：椭圆（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义和性质，包括离心率、焦点、直径等概念。
2. 讲解椭圆的标准方程和图像。
3. 给学生几道椭圆的练习题，让他们熟练掌握椭圆的性质和解题方法。
第三步：双曲线（15分钟）
1. 讲解双曲线的定义和性质，包括离心率、焦点、渐近线等概念。
2. 讲解双曲线的标准方程和图像。
3. 给学生几道双曲线的练习题，让他们熟练掌握双曲线的性质和解题方法。
第四步：抛物线（15分钟）
1. 讲解抛物线的定义和性质，包括焦点、准线、焦距等概念。
2. 讲解抛物线的标准方程和图像。
3. 给学生几道抛物线的练习题，让他们熟练掌握抛物线的性质和解题方法。
第五步：综合练习（15分钟）
给学生几道综合性的圆锥曲线练习题，让他们巩固所学知识，并运用所学知识解决实际问题。
第六步：总结与展望（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，并展望下节课的内容，鼓励学生继续努力学习。
扩展活动：可以组织学生进行小组讨论，让他们自己设计一个圆锥曲线的应用问题，并进
行解答和讨论。
备注：教案内容仅供参考，具体教学过程可以根据学生的实陵情况进行灵活调整。
圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用
高考题中圆锥曲线的定义的解题应用
圆锥曲线是高中数学学习的重要内容，同时也是高考考查的重点内容，而圆锥曲线的定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础，而且也是解题的重要工具。
一、椭圆问题
二、双曲线问题
三、抛物线问题
例5若点P到直线x=-1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为( )。
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析：点P(x，y)到直线x=-1的距离比它到点F(2，0)的距离小1，则点P(x，y)到直线x=-2的距离与它到点F(2，0)的距离相等，所以动点P的轨迹是以F(2，0)为焦点的抛物线，得=2，即p=4。
于是P的轨迹方程为y2=8x，选D。
练习已知是动点M满足的坐标方程，则M的轨迹方程为( )。
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析：因为动点M满足的坐标方程，此方程表示的是动点M(x，y)到定点(0，0)与定直线3x+4y-12的距离相等，且定点不在定直线上，根据抛物线的定义知动点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线。
选D。
例6在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A(3，2)的距离之和最小。
图1
解析：如图1，设抛物线上的点P到准线的距离为|PQ|。
由抛物线定义可知：
|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|＞|QA|。
显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小。
因为A(3，2)，将y=2代入y2=2x，得x=2，所以P点坐标为(2，2)。
圆锥曲线定义在解题中的应用
圆锥曲线定义在解题中的应用
《用圆锥曲线的定义解题》是解析几何中比较重要的一个内容，它直接和圆锥曲线的.定义相联系。
而我们在教学中，由于各个知识点往往会有很多的判定定理、性质等，所以反而忽略了定义的应用。
在整个课程的教学中，我紧扣定义这一个曲线的最基本的东西，对椭圆、双曲线以及抛物线的定义的相同的地方、不同的地方以及各自的应用进行了详尽的阐释。
为了能够动态的显示一些轨迹问题的结果，我选择了使用多媒体这一个现代化的教学工具，通过计算机的演示和不同数学软件的应用，培养了学生观察、猜想、严密证明等几个学习数学所必备的步骤。
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高中数学学案：圆锥曲线的定义在解题中的应用
1. 了解圆锥曲线的统一定义,能够运用定义求圆锥曲线的标准方程.
2. 理解圆锥曲线准线的意义,会利用准线进行相关的转化和计算.
1. 阅读：选修11第52～53页(理科阅读选修21相应内容)；阅读之前先独立书写出圆锥曲线的统一定义,并尝试根据圆锥曲线的统一定义推导出椭圆方程.
2. 解悟：①写出圆锥曲线的统一定义,写出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)和双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0,b>0)的准线方程；②椭圆、双曲线、抛物线各有几条准线？有什么特征？
3. 在教材上的空白处完成选修11第54页练习第2题(理科完成选修21相应任务).
基础诊断
1. 点P 在椭圆x 225＋y 2
9＝1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 到左准线
的距离为 25
3 .
解析：设椭圆的左,右焦点分别为F 1,F 2,由题意知PF 1＋PF 2＝2a ＝10,PF 1＝2PF 2,所以PF 1＝203,PF 2＝103.因为椭圆x 225＋y 29＝1的离心率为e ＝45,所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e ＝20
345＝253.
2. 已知椭圆x 225＋y 29＝1上一点的横坐标为2,则该点到左焦点的距离是 33
5 .
解析：椭圆x 225＋y 29＝1,则a ＝5,b ＝3,c ＝4,所以离心率e ＝c a ＝4
5.由焦半径公式可得该点到左
焦点的距离为a ＋ex ＝5＋45×2＝33
5.
3. 焦点在x 轴上,且一个焦点到渐近线的距离为3,到相应准线的距离为9
5的双曲线的标准
方程为 x 216－y 2
9＝1 .
解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1,焦点为(－c,0),(c,0),渐近线方程为y ＝±b
a x,准线方程为x ＝±a 2c ,由题意得焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋
b 2＝bc
c
＝
b ＝3,所以b ＝3.因为焦点到相应准线的
距离为95,所以有⎩⎪⎨⎪⎧c －a 2c ＝95，c 2＝a 2＋9，
解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝5，所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.
4. 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A 、B,左、右焦点分别是F 1,F 2,若
AF 1,F 1F 2,F 1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为 5 .
解析：设椭圆的半焦距为c,则AF 1＝a －c,F 1F 2＝2c,F 1B ＝a ＋c.又因为AF 1,F 1F 2,F 1B 为等比数列,所以(a －c)(a ＋c)＝4c 2,即a 2＝5c 2,所以椭圆的离心率e ＝c a ＝5
5.
范例导航
考向❶ 用圆锥曲线统一定义求解问题
例1 已知点A(2,1)在椭圆x 216＋y 2
12＝1内,F 为椭圆的右焦点,在椭圆上求一点P,使得PA ＋2PF 最小.
解析：如图,直线l 是椭圆的右准线,椭圆的离心率e ＝12,由圆锥曲线统一定义可知PF
PH ＝e ＝12,
所以PH ＝2PF, 所以PA ＋2PF ＝PA ＋PH.
过点A 作AH′⊥l,垂足为H′,交椭圆于点P′, 由图可知,当点P 在P′处时,PA ＋PH 的值最小, 点P′的纵坐标为1,代入椭圆方程得其横坐标为233
3,
故所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2333，1.
已知点A(3,0),F(2,0),在双曲线x 2
－y 23＝1上求一点P,使得PA ＋1
2PF 最小.
解析：因为a ＝1,b ＝3,所以c ＝2,离心率e ＝2.
设点P 到与焦点F(2,0)相应的准线的距离为d,则PF d ＝2,所以12PF ＝d,所以PA ＋1
2PF ＝PA ＋d.
问题转化为在双曲线上求点P,使点P 到定点A 的距离与到相应准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,
此时,点P 的坐标为(1,0).
考向❷ 用圆锥曲线的统一定义求解简单的综合问题
例2 B 1,B 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的短轴端点,椭圆的右焦点为F,△B 1B 2F 为等边三角形,点F 到椭圆右准线l 的距离为1,求椭圆的方程.
解析：因为△B 1B 2F 为正三角形,OF ＝c,OB 2＝b,B 2F ＝a, 所以e ＝c a ＝OF FB 2＝cos 30°＝3
2,
所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2c －c ＝1，
解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝3，所以b ＝ 3.
故所求椭圆方程为x 212＋y 2
3＝1.
如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b),且△BF 1F 2是边长为2的等边三角形.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A,C 两点,记△ABF 2,△BCF 2的面积分别为S 1,S 2.若S 1＝2S 2,求直线l 的斜率.
解析：(1) 由题意得a ＝2c ＝2,b 2＝a 2－c 2＝3,
所求椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2) 设点B 到直线AC 的距离为h,由于S 1＝2S 2, 所以12AF 2·h ＝2×1
2F 2C·h,即AF 2＝2F 2C, 所以AF 2→＝2F 2C →.
方法一：设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2). 又F 2(1,0),则(1－x 1,－y 1)＝2(x 2－1,y 2), 即⎩⎨⎧x 1＝3－2x 2，y 1＝－2y 2.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 224＋y 2
23＝1，
（3－2x 2）24＋（－2y 2）2
3＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝7
4，y 2＝±358，
所以直线l 的斜率k ＝±35
8
74－1＝±5
2.
方法二：由方法一知x 1＝3－2x 2,
设点A(x 1,y 1)到椭圆x 24＋y 23＝1右准线x ＝4的距离为d,则AF 2d ＝1
2,
所以AF 2＝2－12x 1,同理CF 2＝2－1
2x 2.
由AF 2＝2F 2C,得2－12x 1＝2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2－12x 2,
即x 2＝2＋1
2x 1.
所以x 2＝7
4(以下同方法一). 方法三：椭圆的右准线为直线x ＝4, 分别过A, C 作准线的垂线,垂足分别为A′,C′, 过C 作CH ⊥AA′,垂足为H,如图所示.
由于CF 2CC′＝AF 2AA′＝12,
又AF 2＝2F 2C,在Rt △CAH 中,
AC ＝3F 2C,AH ＝2F 2C,所以CH ＝5F 2C, 所以tan ∠CAH ＝5
2.
根据椭圆的对称性知,所求直线的斜率为±5
2.
自测反馈
1. F 1、F 2分别是双曲线－y 220＋x 2
16＝1的左、右焦点,设P 是双曲线上的一点,且PF 1＝16,则
点P 到双曲线右准线的距离为 16或16
3 .
解析：在双曲线x 216－y 2
20＝1中,因为a 2＝16,b 2＝20,所以c ＝6,因为P 是双曲线上一点,且PF 1
＝16,所以点P 到双曲线左准线的距离为d ＝PF 1e ＝1632
＝323.又因为左、右准线之间距离为2a 2c ＝16
3,
所以点P 到双曲线右准线的距离为⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
d±2a 2
c ＝16或163.
2. 如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0),F 2(3,0),一条渐近线方程为y ＝2x,那么它的两条准线间的距离是 2 .
解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0,b>0),则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2
＝9，b a
＝2，解得⎩⎨⎧a 2＝3，b 2＝6，所以两条准线
间的距离是2a 2
c ＝2.
3. 已知点A(x 0,y 0)在双曲线x 24－y 2
32＝1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0＝ 2 Ｗ.
解析：双曲线x 24－y 232＝1,则a ＝2,b ＝42,c ＝6,所以右焦点F(6,0),离心率c
a ＝3,将点A(x 0,y 0)
代入双曲线方程,得y20＝8x20－32,所以AF＝（x0－6）2＋y20＝（x0－6）2＋8x20－32＝2x0,解得x0＝2.
4. 若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是9Ｗ.
解析：由题意得抛物线的准线为x＝－1.因为点M到焦点的距离为10,所以点M到准线x ＝－1的距离为10,所以M到y轴的距离为9.
1. 在解题中遇到焦点时应主动考虑两种定义.
2. 要注意左焦点对应左准线,右焦点对应右准线.
3. 你还有哪些体悟,写下来：。