2017 大学物理2 统计物理学基础 作业+典型题

第21章 统计物理学基础
一、作业
教材：P193 - P194
21-1（能量均分定理）；
21-2（理想气体内能，理想气体状态方程）；
21-3（麦克斯韦速率分布）；
21-4（能量均分定理，三种速率）；
21-5（统计方法，速率分布函数）；
21-6（三种速率）；
21-7（玻尔兹曼分布律）；
21-9（理想气体状态方程，方均根速率）；
21-10（平均碰撞频率和平均自由程）；
二、 典型题
1. 一瓶氢气和一瓶氧气温度相同，若氢气分子的平均平动动能为 w = 6.21×10-21 J ．试求：
(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率；
(2) 氧气的温度。

(阿伏伽德罗常量N A ＝6.022×1023 mol -1，氧气分子摩尔质量m = 32 g ，玻尔兹曼常量k ＝1.38×10 -23 J·K -1)
涉及知识点：温度概念，平均平动动能
解：(1) ∵ T 相等, ∴氧气分子平均平动动能＝氢气分子平均平动动能w
＝6.21×10-21 J ．
且 ()()483/22/12/12==m w v m/s
(2) ()k w T 3/2=＝300 K ．
2. 水蒸气分解为同温度T 的氢气和氧气，即222O 2
1H O H +→，也就是1摩尔的水蒸气可分解成同温度的1摩尔氢气和
21摩尔氧气。

当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量。

涉及知识点：理想气体内能
解： 1 mol H 2O 的内能 32
i E RT RT =
= 分解成 1 mol H 2 522
i E RT RT == 0.5 mol O 2 50.524i E RT RT ==
5533244E RT RT RT RT ∆=+-= 3. 用绝热材料制成的一个容器，体积为 2V 0 ，被绝热板隔成 A , B 两部分，A 内储有 1 mol 单原子理想气体，B 内储有2 mol 双原子理想气体。

A ,B 两部分压强相等均为p 0 ,两部分体积均为V 0 ，求（1）两种气体各自的内能；（2）抽去绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度。

涉及知识点：理想气体内能，理想气体状态方程，能量均分定理
解答：理想气体内能22mol i M i E RT pV M =⋅=
A 气体自由度为3，
B 气体自由度为5；
（1）0032
A E PV = 0052
B E PV =
（2）设两种气体混合后处于平衡时的温度为T ，气体内能不变，有
初内能：1004A B E E E p V =+=
末内能：235222
E RT RT =
+⋅⋅ 12E E = 00
813p V T R ∴=
4. 有N 个粒子，其速率分布函数为o o o ()/(0)()(2)
()0(2)o
o f v av v v v f v a v v v f v v v =≤≤=≤≤=>
（1） 做速率分布曲线并求常数a ；
（2） 求速率大于v o 和小于v o 的粒子数；
（3） 求粒子的平均速率。

涉及知识点：统计方法，速率分布函数
解：(1) 速率分布曲线如图，由归一化条件 A B O o v o
2v
200()(/)1o o
o v v o v f v dv av v dv adv ∞
=+=⎰⎰⎰
00032()12
3f v dv av a v ∞
==∴=⎰ (2)速率大于v o 粒子数000212()3
v v v N Nf v dv Na dv N ∞==⋅=⎰⎰ 速率小于v o 的粒子数2113
N N N N =-= (3)平均速率为
0002o 00o 11()9v v v v av v vf v dv v
dv va dv v ∞==⋅+⋅=⎰⎰⎰ 5. 已知大气压强随高度变化的规律为：/0e Mgh RT p p -=.其中M 是分子质量.证明：分子数密度随高度按指数规律减小.设大气的温度不随高度改变.大气的主要成分是氮气和氧气.那么大气氮气分子数密度与氧气分子数密度的比值随高度如何变化？
涉及知识点：理想气体物态方程，玻尔兹曼分布律
解答: 将理想气体的状态方程写成这样的形式：
B p nk T =
其中n 是分子数密度。

代入压强随高度变化的表达式，
/0B B e Mgh RT p p k T k T
-= 有
/0e Mgh RT n n -=（1）
因此如果大气的温度不随高度改变，则分子数密度随高度按指数规律减小.质量越小的分子数密度随高度下降得越慢。

氮气分子的分子量比氧气分子的分子量小，所以氮气分子比氧气分子质量小，氮气分子数密度随高度下降比氧气分子慢，所以随着高度的增加，氮气分子数密度与氧气分子数密度的比值也增大. 下面用数学表达式来表示，由（1）式，写出氮气分子数密度n N 与氧气分子数密度n O 随高度的变化
N /N N0e M gh RT n n -=，O /O O0e M gh RT n n -=（2）
它们的比值
O N ()/N N0O O0
e M M gh RT n n n n -=（3） 由于氮气分子的分子量M N 比氧气分子的分子量M O 小，这一比值随高度的增加而上升。

6. 图示的两条曲线分别表示氦、氧两种气体在相同温度T 时分子按速率的分布，其中
(1)曲线I 表示________气分子的速率分布曲线；曲线II 表示________气分子的速率分布曲线。

(2)画有阴影的小长条面积表示____________。

(3)分布曲线下所包围的面积表示__________。

涉及知识点：速率分布函数
答案：氧，氦
速率在v→v +Δv 范围内的分子数占分子数的百分率。

速率在0→∞整个速率区间内的分子数的百分率的总和。

7. 用总分子数N 、气体分子速率v 和速度分布函数f (v )表示下列各量：
(1)速率大于v 0的分子数=_________；
(2)速率大于v 0的那些分子的平均速率=_________；
(3)多次观察某一分子的速率，发现其速率大于v 0的概率=__________。

涉及知识点：速率分布函数
答案：
0()d v Nf v v ∞
⎰
00()d ()d v v vf v v f v v ∞∞⎰
⎰
0()d v f v v ∞⎰
8. 氮气在标准状态下的分子平均碰撞频率为5.42×108 s-1，分子平均自由程为6×10-6 cm，若温度不变，气压降为0.1atm，则分子的平均碰撞频率变为_____________；平均自由程变为_________________。

涉及知识点：平均碰撞频率和平均自由程
答案：5.42×107s-1
6×10-5 cm。