三角形的中线例题

每日一题《三角形的中线》

10月1日

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

（2）求得AD的取值范围是．

A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．

10月2日

如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，求证：AD ＜2

1

（AB+AC ）．

10月3日

如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ，求证：AC=BF （请用两种方法证明）

10月4日

如图，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线．求证：（1）2AD＜AB+AC；

（2）∠BAD＜∠DAC；

（3）AE ＜AD ．

证明：延长AD 到F ，使DF=AD ，连接BF （如图）， 易证△ADC ≌△FDB ，所以AC=BF ， （1）在△ABF 中，AB+BF ＞AD+DF ， 所以2AD ＜AB+AC ；

（2）因为△ADC ≌△FDB ，所以∠CAD=∠F ， 因为AB ＞AC ，所以AB ＞BF ， 所以∠F ＞∠BAD ， 所以∠CAD ＞∠BAD ；

（3）由（2），∠BAD ＜∠DAC 及∠BAE=∠EAC=

2

1

∠BAC ， 所以∠BAD ＜∠EAC ，

因为AB ＞AC 所以∠C ＞∠B ， 所以∠BAD+∠B ＜∠EAC+∠C ，

所以∠ADE ＜∠AED ，所以AE ＜AD ．

如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ，求证：AC=BF

10月5日

如图，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF 求证：BE+CF ＞EF ．

10月6日

如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．

10月1日