《经济数学—微积分(C)》教学大纲

《经济数学—微积分(C)》教学大纲

适用对象经济管理类专业境外生(学分：8 学时：124-144)

一、课程的性质和任务

经济数学(微积分)是经济管理各专业的一门重要基础课。通过本门课程的教学，使学生较系统地获得微积分(主要是一元函数微积分)的基本知识、必要的基本理论和常用的基本方法，为学习其它后继课程奠定必要的数学基础；同时使学生受到运用数学方法分析和研究经济管理中实际问题的初步训练。

二、课程的教学内容

(一) 函数与极限

实数系与数轴，区间与领域，常量与变量，函数的定义及确定函数关系的两个要素，函数表示法，函数的几种简单性质，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数。

数列与数列极限，函数的极限，无穷大量与无穷小量，极限的四则运算法则，两个重要极限，函数的连续性。

(二) 一元函数的导数与微分

导数的概念，导数的基本公式与运算法则，高阶导数，微分。

(三) 中值定理与导数应用

中值定理简介，罗彼塔法则，函数的增减性和极值，最大值和最小值，变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析。

(四) 不定积分

不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。

(五) 定积分

引出定积分概念的两个例子，定积分的定义，定积分的基本性质，定积分与不定积分的关系——微积分的基本定理，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，定积分的应用，广义积分与Γ函数。

(六) 微分方程

微分方程一般概念，可分离变量的一阶微分方程，一阶线性微分方程，可降阶的几种二阶微

分方程。

(七) 二元函数的微分学

多元函数的概念，二元函数的偏导数与全微分，复合函数和隐函数的微分法，二元函数的极值。

三、课程的教学要求

学生应按本大纲的要求了解或理解函数、极限和连续，一元函数微分学，一元函数积分法，二元函数微分学初步的基本概念与基本理论；学会掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力，逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地判断和准确地计算，能综合运用所学知识分析并解决较简单的实际问题。

(一) 函数、极限和连续

(1) 理解函数的概念，会求函数的定义域和函数值，会求分段函数的定义域和函数值；

(2) 理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性；

(3) 了解y=f(x)与其反函数y=f -1 (x)之间的关系，会求单调函数的反函数；

(4) 熟练掌握函数四则运算与复合运算；

(5) 掌握基本初等函数的性质，了解初等函数的概念；

(6) 了解极限的概念，掌握函数在一点处的左右极限，以及函数在一点处极限存在的充要条件；

(7) 了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则；

(8) 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较；

(9) 熟练掌握用两个重要极限求极限的方法；

(10) 理解函数连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处连续的方法；

(11) 会求函数的间断点；

(12) 掌握闭区间上连续函数的性质；

(13) 理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

(二) 一元函数微分学

(1) 理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求某些函数在一点处的导数，会求曲线上一点处的切线方程；

(2) 熟练掌握导数的基本公式，四则运算法则及复合函数的求导方法，会求分段函数的导数；

(3) 掌握隐函数的求导法及取对数求导法；

(4) 了解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数；

(5) 理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分；

(6) 会利用微分求近似值；

(7) 了解微分中值定理的条件和结论；

(8) 熟练掌握用罗彼塔法则求未定式的极限；

(9) 掌握利用导数求函数的单调增减区间和极值，掌握求函数最值的方法；

(10) 会解经济中一些简单的边际分析和弹性分析的问题；

(11) 了解常微分方程的概念，会求可分离变量的一阶方程和一阶线性方程的通解以及满足初始条件的特解；会求可降阶的y″=f(x)和不显含y以及不显含x的二阶微分方程的解。

(三) 一元函数积分学

(1) 理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质；

(2) 熟练掌握不定积分的基本公式；

(3) 熟练掌握第一换元积分法，掌握三角代换和简单根式代换的第二换元积分法；

(4) 熟练掌握不定积分的分部积分法；

(5) 理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件；

(6) 掌握定积分的基本性质；

(7) 理解变上限积分的概念，掌握对变上限积分求导数的方法；

(8) 熟练掌握牛顿—来布尼兹公式；

(9) 掌握定积分的换元积分法与分部积分法；

(10) 理解无穷区广义积分的概念，掌握其计算方法，掌握Γ函数的性质；

(11) 掌握利用定积分计算平面图形的面积，以及由已知边际函数求经济函数。

(四) 微分方程

(1) 了解常微分方程的概念，会求可分离变量的一阶方程和一阶线性方程的通解以及满足初始条件的特解；

(2) 会求可降阶的y″=f(x)和不显含y以及不显含x的二阶微分方程的解。

(五) 二元函数微分法初步

(1) 了解多元函数的概念，理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数一阶偏导数、全微分和二阶偏导数的求法；

(2) 掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法；

(3) 会求二元函数的无条件极值，会利用拉格朗日乘数法解一些条件极值的应用题。

四、课程的重点和难点

(一) 函数与极限

［重点］函数概念，极限概念，连续性概念，极限的四则运算法则，两个重要极限，初等函数连续性的结论。

［难点］函数定义域用区间表示，反函数的概念，复合函数的分解，极限四则运算法则的运用，分段函数连续性的判定。

(二) 一元函数的导数与微分

［重点］导数的概念，基本初等函数的导数公式，函数和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则，微分的概念。

［难点］对导数作为变化率的理解，复合函数求导法则的运用，隐函数的求导方法，一阶微分形式不变性的理解及应用。

(三) 中值定理和导数的应用