小波分析与实例
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小波分析
小波分析讲解
傅里叶变换与小波分析
小波分析的基本知识 多尺度分析与Mallat算法
小波分析的应用
1、傅里叶变换与小波分析
小波分析是近年来迅速发展起来的一个数学分支。除了 在数学学科本身中的价值外，小波分析在许多非数学的 领域也有着广泛的应用。
1、傅里叶变换与小波分析
一、傅里叶变换
小波运算的步骤
• （4）将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复 步骤（1）、（2）、（3）； • （5）对所有的伸缩尺度重复步骤（1）、（2）、（3）、 （4）。
2、小波分析的基本知识 小波基础术语:
①紧支撑:对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到 值；而在此之外，f(x)取值为0。
1、傅里叶变换与小波分析
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信 号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因 此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。然而平稳信号大多是人 为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物 医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样简单的 方法。
21
一维连续小波的例子：
1. Haar小波：
1, 0 t 1/2 (t) - 1, 1/2 t 1 0, others
Haar小波是一组相互正交的函数集，是一个最简单的时域不连续的二进 小波，Haar的应用十分广泛，常用与图像处理。
22
一维连续小波的例子
2 1 / 4 2 -t 2 / 2 2. Mexico草帽小波 ： (t) (1 - t ) e 3
2、小波分析的基本知识—连续小波变换
例： 已知一信号f(t)＝3sin(100t)＋2sin(68t)＋ 5cos(72t)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续 小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、 1.6、…、3。其MATLAB程序如下： t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋ 5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，db3，plot)； title(对不同的尺度小波变换系数值)； Ylabel(尺度)； Xlabel(时间)；
一个信号离散信号x(n)经过这一系列带通滤波器滤波后， 将得到一组系数Vi(n)。如下图所示：
这样，我们就把一个信号分解成了不同频率的分量。只要 这些带通滤波器的频率能够覆盖整个原信号x(n)的频谱范 围，反变换时，把这些不同频率信号，按其分量大小组合 起来，就可得到原信号x(n)。这样一组带通滤波器就称为 滤波器族。
1、傅里叶变换与小波分析
1、傅里叶变换与小波分析
小波运算的步骤
（1）选择小波函数，并与分析信号起点对齐； （2）计算在这一时刻要分析信号与小波函数的逼近程 度，即小波变换系数C。C越大，就意味着此刻信号与 所选择的小波函数波形越相近； （3）将小波函数沿时间轴右移一个单位时间，然后重 复（1）、（2）步骤，求出变换系数C，直到覆盖整个 信号长度；
对于平稳信号，做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到 清晰的四条线，信号包含四个频率成分。
1、傅里叶变换与小波分析
频率随着时间变化的非平稳信号，进行FFT后：
如左图，最上边的是频 率始终不变的平稳信号。 而下边两个则是频率随 着时间改变的非平稳信 号，它们同样包含和最 上信号相同频率的四个 成分。做FFT后，我们 发现这三个时域上有巨 大差异的信号，频谱 （幅值谱）却非常一致。 尤其是下边两个非平稳 信号，我们从频谱上无 法区分它们，因为它们 包含的四个频率的信号 的成分确实是一样的， 只是出现的先后顺序不 同。
2、小波分析的基本知识
小波正变换：
小波逆变换：
W f (a, b) f (t ) ( a,b ) (t )dt
f (t ) L2 ( R)
1 f (t ) C
dadb Wf (a, b) (a,b) (t ) a2
Wf (a, b) 是f（t）在函数 ( a,b) (t ) 上的投影。
3、多尺度分析与Mallat算法
3、多尺度分析与Mallat算法
参考： M. Vetterli, ”Wavelets and Subband Coding “, Prentice Hall PTR, 1995 p.11
3、多尺度分析与Mallat算法
滤波器族：下图是一系列带通滤波器的频域图
3、多尺度分析与Mallat算法
那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做 紧支撑集。
比如：在(-1,1)之间的高斯函数。 ②L² （R）:满足 f的全体。
f (t ) dt 成立的自变量为实数的实值或复值函数
2 0
2
L² （0,2π）：f（x+2π）=f（x），
f (t ) dt
小波的3 个特点
Leabharlann Baidu
小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示 发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。 （傅里叶变换只具有频率分析的性质） 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声 过滤等） 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量 级。信号长度为M时， Fourier变换（左）和 小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
Daubechies(dbN)小波系 （多贝西）
多贝西小波是以英格丽· 多贝西的名字命名的一种小波 函数，多贝西小波主要应用在离散型的小波转换，是最常 使用到的小波变换。多贝西小波是一种正交小波，所以它 很容易进行正交变换。 对于有限长度的小波，应用于快速小波变换时，会有 两个实数组成的数列：一是作为高通滤波器的系数，称作 小波滤波器；二是低通滤波器的系数，称为调整滤波器 （尺度滤波器）。 我们通常以滤波器长度N来形容滤波器为dbN，例如 N=2的多贝西小波写作db2；N=4的多贝西小波写作db4。
事件相关电位
股市折线图
1、傅里叶变换与小波分析
加窗傅里叶变换（短时傅里叶变换STFT）
1、傅里叶变换与小波分析
窗划分太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。
窗划分太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
1、傅里叶变换与小波分析
小波定义： ①小 ②波动性： ( x)dx 0
Daubechies(dbN)小波系（多贝西）
图1.4
小波函数表
小波函数表
2、小波分析的基本知识—连续小波变换
这就是信号f(t)的连续小波变换公式，其中参 数a和b都是连续变化的参数，a为尺度参数（在某 种意义上就是频率的概念），b是时间参数或平移 参数。不严谨地讲，Wf(a,b)指的是对信号f(t)进 行小波变换后当频率为a时间为b时的变换值。可以 看出，一维信号f(t)经过小波变换后将变成二维信 号。
3、多尺度分析与Mallat算法
多分辨率分析：
如果子带编码时将信号带宽先对分为高通（实际为带通）和低通 两个部分，对应于两个滤波器。然后对低通部分继续等分。下图为子 带编码示意图。
3、多尺度分析与Mallat算法
从图中看出，每次分割保留高通部分的滤波结果， 因为这里已经是信号的细节了，而且通常我们分析的信 号，其绝大部分能量都在低频部分。所以高频部分的分 割可以到此为止，但是低通部分仍然有更多的细节可以 划分划分出来，所以将低通部分继续等分。分割迭代进 行。 这样做的优点是，我们只需要设计两个滤波器，然 后每次迭代将其对分。缺点是，频域的分割方式确定。 对于某些信号来说，这样的划分并不是最优的。
C
Ψ ( )
0
d
2、小波分析的基本知识—二进小波变换
2、小波分析的基本知识—二进小波变 换
2 ，且满足 定义：设yj，k(t)∈L2(R)
( )
jZ
1
(1.64)
由此得到的小波j，k(t)称为二进正交小波。
1 W2 j f (k ) f (t ), 2 j (k ) j 2
3、多尺度分析与Mallat算法
这里仍然有个问题。每次都将频谱分为剩下的一半， 那实际上，我们永远也取不到整个频段。就好比一杯 水，每次都只许喝一半，那将永远无法把它完全喝完 。所以，这样分割后的函数仍然是无限多的。为解决 这个问题，终于引出了我们最初想讨论的尺度函数的 概念。 在上图中，我们对频域进行分割，当分割到某个频 率j时，不再继续分割了，剩下的所有低频部分由一个 低通滤波器来表示，这就可以实现对信号频谱的完整 分割。这个剩余低通滤波器就是尺度函数。事实上， 很容易看出，尺度函数无非就是某级多分辨率分析中 的低通滤波器。也就是图中最下面一级的LP。
2、小波分析的基本知识—连续小波变换
小波变换的系数如图所示的灰度值图表征，横坐标表示变换系数的系号，纵 坐标表示尺度，灰度颜色越深，表示系数的值越大。
2、小波分析的基本知识—离散小波变换
离散小波变换： 在实际运用中，尤其是在计算机上实现，连续小波 必须加以离散化。因此，有必要讨论一下连续小波a， b(t)和连续小波变换Wf(a，b)的离散化。需要强调指出 的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平 移参数b的，而不是针对时间变量t的。 t b 1 / 2 在连续小波中，考虑函数 a ,b (t ) a ( ) 这里，b∈R，a∈R＋，且a≠0，是容许的，为方便起a 见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件 就变为
草帽函数又称为Marr小波。其在时域、频域都有很好的局部特性，但它的 正交性尺度函数不存在，主要用于信号处理和边缘检测。
23
一维连续小波的例子：
3. Morlet小波：
(t) e e
jt -t 2 / 2
式中，i表示虚数，w表示常数。Morlet小波不具有正交性的同时也不 具有紧支集。其特点是能够获取信号中的幅值和相应的信息，广泛应用于 地球物理信号处理中。
2
2、小波分析的基本知识
小波定义： 设ψ∈L² （R）∩L（R），在R上不几乎处处为0，且满 足 2
ˆ ( ) | | C d | |
^
则称ψ为小波。其中 ( )
换。
1 2
(t )e it dt 为ψ的傅里叶变
2、小波分析的基本知识
3、多尺度分析与Mallat算法
滤波器族能实现将信号分为不同频率分量，从而实现分 解信号并分析信号的目的。但是在滤波器族的计算中， 我们需要指定频域分割方式。研究者们给出了一种分割 方式，即均分法，从而引出了子带编码的概念。 子带编码通过使用均分频域的滤波器，将信号分解为若 干个子带。这样是可以实现无冗余且无误差地对数据分 解及重建目的。但是Mallat在1989年的研究表明，如果 只分为2个子带，可以实现更高效的分解效率。从而引 入了多分辨率分析（MRA）。
jZ jZ
R
f (t ) * (2 j t k )dt
f (t ) W2 j f (k ) 2 j (t ) W2 j f ( x) 2 j (2 j t k )dk
3、多尺度分析与Mallat算法
多分辨分析
为了改变信号的分辨率使得人们可以根据特定的目标处 理相关的细节，1983年，P.J.Burt与E.A.Adelson在计算机 视觉的应用中引进了一个能够处理低分辨率图像，同时根 据需要进一步提高图像分辨率的多分辨率Laplace塔式算 法。1986年Mallat和Meyer构造了多分辨分析公式。随着 多分辨分析的出现，构造小波的困难得到了较圆满的解决。 为了对信号进行较高分辨率的处理，需要一种所谓的“增量 信息”。为此，Mallat选用正交小波基作为对“增量信息”进 行数学描述，并最终发展成为了多分辨分析。
t b a ,b t a a
1 2
b R, a R 0
称为依赖参数a，b的连续小波，叫基本小波或 小波。若是窗函数，就叫为窗口小波函数，一般我 们恒假定为窗口小波函数。
2、小波分析的基本知识
a为尺度参数
2、小波分析的基本知识
b为位移参数
小波分析讲解
傅里叶变换与小波分析
小波分析的基本知识 多尺度分析与Mallat算法
小波分析的应用
1、傅里叶变换与小波分析
小波分析是近年来迅速发展起来的一个数学分支。除了 在数学学科本身中的价值外，小波分析在许多非数学的 领域也有着广泛的应用。
1、傅里叶变换与小波分析
一、傅里叶变换
小波运算的步骤
• （4）将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复 步骤（1）、（2）、（3）； • （5）对所有的伸缩尺度重复步骤（1）、（2）、（3）、 （4）。
2、小波分析的基本知识 小波基础术语:
①紧支撑:对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到 值；而在此之外，f(x)取值为0。
1、傅里叶变换与小波分析
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信 号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因 此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。然而平稳信号大多是人 为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物 医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样简单的 方法。
21
一维连续小波的例子：
1. Haar小波：
1, 0 t 1/2 (t) - 1, 1/2 t 1 0, others
Haar小波是一组相互正交的函数集，是一个最简单的时域不连续的二进 小波，Haar的应用十分广泛，常用与图像处理。
22
一维连续小波的例子
2 1 / 4 2 -t 2 / 2 2. Mexico草帽小波 ： (t) (1 - t ) e 3
2、小波分析的基本知识—连续小波变换
例： 已知一信号f(t)＝3sin(100t)＋2sin(68t)＋ 5cos(72t)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续 小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、 1.6、…、3。其MATLAB程序如下： t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋ 5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，db3，plot)； title(对不同的尺度小波变换系数值)； Ylabel(尺度)； Xlabel(时间)；
一个信号离散信号x(n)经过这一系列带通滤波器滤波后， 将得到一组系数Vi(n)。如下图所示：
这样，我们就把一个信号分解成了不同频率的分量。只要 这些带通滤波器的频率能够覆盖整个原信号x(n)的频谱范 围，反变换时，把这些不同频率信号，按其分量大小组合 起来，就可得到原信号x(n)。这样一组带通滤波器就称为 滤波器族。
1、傅里叶变换与小波分析
1、傅里叶变换与小波分析
小波运算的步骤
（1）选择小波函数，并与分析信号起点对齐； （2）计算在这一时刻要分析信号与小波函数的逼近程 度，即小波变换系数C。C越大，就意味着此刻信号与 所选择的小波函数波形越相近； （3）将小波函数沿时间轴右移一个单位时间，然后重 复（1）、（2）步骤，求出变换系数C，直到覆盖整个 信号长度；
对于平稳信号，做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到 清晰的四条线，信号包含四个频率成分。
1、傅里叶变换与小波分析
频率随着时间变化的非平稳信号，进行FFT后：
如左图，最上边的是频 率始终不变的平稳信号。 而下边两个则是频率随 着时间改变的非平稳信 号，它们同样包含和最 上信号相同频率的四个 成分。做FFT后，我们 发现这三个时域上有巨 大差异的信号，频谱 （幅值谱）却非常一致。 尤其是下边两个非平稳 信号，我们从频谱上无 法区分它们，因为它们 包含的四个频率的信号 的成分确实是一样的， 只是出现的先后顺序不 同。
2、小波分析的基本知识
小波正变换：
小波逆变换：
W f (a, b) f (t ) ( a,b ) (t )dt
f (t ) L2 ( R)
1 f (t ) C
dadb Wf (a, b) (a,b) (t ) a2
Wf (a, b) 是f（t）在函数 ( a,b) (t ) 上的投影。
3、多尺度分析与Mallat算法
3、多尺度分析与Mallat算法
参考： M. Vetterli, ”Wavelets and Subband Coding “, Prentice Hall PTR, 1995 p.11
3、多尺度分析与Mallat算法
滤波器族：下图是一系列带通滤波器的频域图
3、多尺度分析与Mallat算法
那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做 紧支撑集。
比如：在(-1,1)之间的高斯函数。 ②L² （R）:满足 f的全体。
f (t ) dt 成立的自变量为实数的实值或复值函数
2 0
2
L² （0,2π）：f（x+2π）=f（x），
f (t ) dt
小波的3 个特点
Leabharlann Baidu
小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示 发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。 （傅里叶变换只具有频率分析的性质） 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声 过滤等） 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量 级。信号长度为M时， Fourier变换（左）和 小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
Daubechies(dbN)小波系 （多贝西）
多贝西小波是以英格丽· 多贝西的名字命名的一种小波 函数，多贝西小波主要应用在离散型的小波转换，是最常 使用到的小波变换。多贝西小波是一种正交小波，所以它 很容易进行正交变换。 对于有限长度的小波，应用于快速小波变换时，会有 两个实数组成的数列：一是作为高通滤波器的系数，称作 小波滤波器；二是低通滤波器的系数，称为调整滤波器 （尺度滤波器）。 我们通常以滤波器长度N来形容滤波器为dbN，例如 N=2的多贝西小波写作db2；N=4的多贝西小波写作db4。
事件相关电位
股市折线图
1、傅里叶变换与小波分析
加窗傅里叶变换（短时傅里叶变换STFT）
1、傅里叶变换与小波分析
窗划分太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。
窗划分太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
1、傅里叶变换与小波分析
小波定义： ①小 ②波动性： ( x)dx 0
Daubechies(dbN)小波系（多贝西）
图1.4
小波函数表
小波函数表
2、小波分析的基本知识—连续小波变换
这就是信号f(t)的连续小波变换公式，其中参 数a和b都是连续变化的参数，a为尺度参数（在某 种意义上就是频率的概念），b是时间参数或平移 参数。不严谨地讲，Wf(a,b)指的是对信号f(t)进 行小波变换后当频率为a时间为b时的变换值。可以 看出，一维信号f(t)经过小波变换后将变成二维信 号。
3、多尺度分析与Mallat算法
多分辨率分析：
如果子带编码时将信号带宽先对分为高通（实际为带通）和低通 两个部分，对应于两个滤波器。然后对低通部分继续等分。下图为子 带编码示意图。
3、多尺度分析与Mallat算法
从图中看出，每次分割保留高通部分的滤波结果， 因为这里已经是信号的细节了，而且通常我们分析的信 号，其绝大部分能量都在低频部分。所以高频部分的分 割可以到此为止，但是低通部分仍然有更多的细节可以 划分划分出来，所以将低通部分继续等分。分割迭代进 行。 这样做的优点是，我们只需要设计两个滤波器，然 后每次迭代将其对分。缺点是，频域的分割方式确定。 对于某些信号来说，这样的划分并不是最优的。
C
Ψ ( )
0
d
2、小波分析的基本知识—二进小波变换
2、小波分析的基本知识—二进小波变 换
2 ，且满足 定义：设yj，k(t)∈L2(R)
( )
jZ
1
(1.64)
由此得到的小波j，k(t)称为二进正交小波。
1 W2 j f (k ) f (t ), 2 j (k ) j 2
3、多尺度分析与Mallat算法
这里仍然有个问题。每次都将频谱分为剩下的一半， 那实际上，我们永远也取不到整个频段。就好比一杯 水，每次都只许喝一半，那将永远无法把它完全喝完 。所以，这样分割后的函数仍然是无限多的。为解决 这个问题，终于引出了我们最初想讨论的尺度函数的 概念。 在上图中，我们对频域进行分割，当分割到某个频 率j时，不再继续分割了，剩下的所有低频部分由一个 低通滤波器来表示，这就可以实现对信号频谱的完整 分割。这个剩余低通滤波器就是尺度函数。事实上， 很容易看出，尺度函数无非就是某级多分辨率分析中 的低通滤波器。也就是图中最下面一级的LP。
2、小波分析的基本知识—连续小波变换
小波变换的系数如图所示的灰度值图表征，横坐标表示变换系数的系号，纵 坐标表示尺度，灰度颜色越深，表示系数的值越大。
2、小波分析的基本知识—离散小波变换
离散小波变换： 在实际运用中，尤其是在计算机上实现，连续小波 必须加以离散化。因此，有必要讨论一下连续小波a， b(t)和连续小波变换Wf(a，b)的离散化。需要强调指出 的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平 移参数b的，而不是针对时间变量t的。 t b 1 / 2 在连续小波中，考虑函数 a ,b (t ) a ( ) 这里，b∈R，a∈R＋，且a≠0，是容许的，为方便起a 见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件 就变为
草帽函数又称为Marr小波。其在时域、频域都有很好的局部特性，但它的 正交性尺度函数不存在，主要用于信号处理和边缘检测。
23
一维连续小波的例子：
3. Morlet小波：
(t) e e
jt -t 2 / 2
式中，i表示虚数，w表示常数。Morlet小波不具有正交性的同时也不 具有紧支集。其特点是能够获取信号中的幅值和相应的信息，广泛应用于 地球物理信号处理中。
2
2、小波分析的基本知识
小波定义： 设ψ∈L² （R）∩L（R），在R上不几乎处处为0，且满 足 2
ˆ ( ) | | C d | |
^
则称ψ为小波。其中 ( )
换。
1 2
(t )e it dt 为ψ的傅里叶变
2、小波分析的基本知识
3、多尺度分析与Mallat算法
滤波器族能实现将信号分为不同频率分量，从而实现分 解信号并分析信号的目的。但是在滤波器族的计算中， 我们需要指定频域分割方式。研究者们给出了一种分割 方式，即均分法，从而引出了子带编码的概念。 子带编码通过使用均分频域的滤波器，将信号分解为若 干个子带。这样是可以实现无冗余且无误差地对数据分 解及重建目的。但是Mallat在1989年的研究表明，如果 只分为2个子带，可以实现更高效的分解效率。从而引 入了多分辨率分析（MRA）。
jZ jZ
R
f (t ) * (2 j t k )dt
f (t ) W2 j f (k ) 2 j (t ) W2 j f ( x) 2 j (2 j t k )dk
3、多尺度分析与Mallat算法
多分辨分析
为了改变信号的分辨率使得人们可以根据特定的目标处 理相关的细节，1983年，P.J.Burt与E.A.Adelson在计算机 视觉的应用中引进了一个能够处理低分辨率图像，同时根 据需要进一步提高图像分辨率的多分辨率Laplace塔式算 法。1986年Mallat和Meyer构造了多分辨分析公式。随着 多分辨分析的出现，构造小波的困难得到了较圆满的解决。 为了对信号进行较高分辨率的处理，需要一种所谓的“增量 信息”。为此，Mallat选用正交小波基作为对“增量信息”进 行数学描述，并最终发展成为了多分辨分析。
t b a ,b t a a
1 2
b R, a R 0
称为依赖参数a，b的连续小波，叫基本小波或 小波。若是窗函数，就叫为窗口小波函数，一般我 们恒假定为窗口小波函数。
2、小波分析的基本知识
a为尺度参数
2、小波分析的基本知识
b为位移参数