最新数学建模--最优化方法 05

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例1.3.1
负梯度方向（下 降方向）指向等 值线圆心,所以等 值线与可行域D的 边界相切的点 x*=(1/2,3/2)T 是此 问题的最优解,目 标函数的最优值 为1/2.
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例1.3.2
解 首先画出可行域D的图形.D为凸多边形 ODEFGO.再以c为参数画出目标函数的等值 线2x1+3x2=c.
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§1.4 一维搜索
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问题描述
已知xk,并且求出了xk处的可行下降方向pk ,从 xk出发,沿方向pk求目标函数的最优解,即求解 问题:
设其最优解为ak,于是得到一个新点 xk +1= xk + ak pk
所以一维搜索是求解一元函数f (a) 的最优化问
题(也叫一维最优化问题).我们来求解
min f ( x)
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源自文库
黄金分割法
我们希望保留Fibonacci方法的优点(效率最高 是不可能保留的),改进其缺点. 若第一次选取的试点为x1<x2,则下一步保留的 区间为[a,x2]或[x1,b],两者的机会是均等的. 因此我们选取试点时希望x2-a=b-x1. 设ax1=a+p(b-a)x,则1 x2=a+(1x-2p)(b-a). b
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例1.3.2
目标函数c的值由 小到大逐渐增加,等 值线沿着目标函数 的梯度方向平行移 动.当移动到点E时, 再移动就与可行域 D不相交了,所以顶 点E就是最优点,最 优值为14.
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例1.3.3
解 如图所示,可行域只能是 圆弧ABE,其中点A和点E是 等值线–x1–x2+1=0和圆 x12+x22-9=0的交点.注意到等 值线是平行的抛物线,图中画 出了几条目标函数的等值线. 容易看出B点是最优点,所以 最优解是(0,-3)T,最优值为-3.
理论分析
求目标函数z=f(x1,x2) 在可行域D上的极小点, 是在与可行域D有交集的等值线中找出具有 最小值的等值线.也就是在可行域D上沿着 f(x1,x2)的负梯度方向或某种下降方向上找取 得最小值c的点.
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例1.3.1
解 首先画出可行域D,目标函数的等值线是以 点(1,2)为圆心的一族圆. f(x1,x2)的梯度为
a xb
令j(a)=0,求出a的值。
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1.4.1 黄金分割法
设f(x)在[a,b]上为下单峰函数,即有唯一的极小点 x*,在x*左边f(x) 严格下降,在x*右边 f(x)严格上升. 在[a,b]内任取x1<x2, 若f(x1) < f(x2),则x*∈[a,x2] 若f(x1)≥f(x2),则x*∈[x1,b].