最新数学建模--最优化方法 05
数学建模的最优化方法
充要条件 : 若f (x*) 0,2 f (x*)正定,则x*是极小点
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f (x1 x2) 2x12 2x1x2 x22 3x1 x2
多局部极小
f 0.298
求解方法:搜索算法(数值迭代)
在迭代的每一步,确定一个搜索方向和一个步长,使沿此方向和 此步长走一步到达下一点时,函数f(X)的值下降.
3．拟牛顿法
为克服牛顿法的缺点，同时保持较快收敛速度的优点，利用第 k 步 和第 k+1 步得到的X k ，X k1 ，f ( X k ) ，f ( X k1 ) ，构造一个正定
矩阵 G k1 近似代替 2 f ( X k ) ,或用H k1 近似代替( 2 f ( X k )) 1 ，将
牛顿方向改为：
产销量的最佳安排 某厂生产一种产品有
甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何 确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡 指工厂的产量等于市场上的销量.
总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2
符号说明
z(x1,x2)表示总利润；
p1，q1，x1 分别表示甲的价格、成本、销量； p2，q2，x2 分别表示乙的价格、成本、销量； aij，bi，λi,ci（i，j =1，2）是待定系数.
0.9997 0.9998 1E-8
最优点 (1 1) 初始点 (-1 1)
1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：
无 约
⑴ 给定初始点 X 0 E n ，允许误差 0 ,令 k=0；
束
⑵ 计算f X k ；
优
⑶ 检验是否满足收敛性的判别准则：
化
f X k ，
数学模型最优化方法实现
数学模型最优化方法实现数学建模最优化方法是将数学建模问题转化为数学模型，并通过数学方法求解最优解的过程。
最优化方法在数学建模中起着非常重要的作用，可以帮助我们解决各种复杂的实际问题。
本文将介绍最优化方法的实现过程，并详细讨论最优化方法的几种常见算法。
最优化方法的实现过程主要分为以下几个步骤：建立数学模型、寻找最优解算法、编写程序实现、求解并分析结果。
首先，我们需要根据实际问题建立数学模型。
数学模型是问题的抽象表示，通常包括目标函数、约束条件和变量等要素。
通过合理地选择目标函数和约束条件，可以将问题转化为数学形式，便于后续的分析和求解。
其次，我们需要根据模型选择适当的最优解算法。
最优化方法有很多种，根据具体问题的特点和求解要求，我们可以选择不同的算法来求解最优解。
然后，我们需要编写程序将数学模型和求解算法实现。
编写程序是最优化方法实现的核心步骤，通过编写程序，我们可以自动化地求解最优化问题，并得到最优解。
最后，我们需要进行求解和结果分析。
通过求解模型并分析结果，可以验证模型的合理性，并根据结果调整模型或改进算法，以得到更好的最优解。
在实际应用中，根据问题的特点和求解需求，我们可以选择不同的最优化方法。
常见的最优化方法有：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、遗传算法等。
下面将分别介绍这几种方法的原理和实现过程。
线性规划是最常用的最优化方法之一，适用于目标函数和约束条件都是线性的情况。
线性规划的基本思想是将问题转化为求解一个线性函数在约束条件下的最大值或最小值。
线性规划的求解算法有很多，例如单纯形法、内点法和对偶法等。
这些算法都是基于线性规划的特点和数学性质，通过迭代求解来逼近最优解。
实现线性规划方法的主要步骤包括：建立数学模型、选择适当的算法、编写相应的程序、求解并分析结果。
非线性规划是另一种常见的最优化方法，适用于目标函数或约束条件中包含非线性项的情况。
非线性规划的求解相对复杂，通常需要使用迭代算法来逼近最优解。
最优化问题的建模与解法
最优化问题的建模与解法最优化问题（optimization problem）是指在一组可能的解中寻找最优解的问题。
最优化问题在实际生活中有广泛的应用，例如在工程、经济学、物流等领域中，我们经常需要通过数学模型来描述问题，并利用优化算法来求解最优解。
本文将介绍最优化问题的建模和解法，并通过几个实例来说明具体的应用。
一、最优化问题的数学建模最优化问题的数学建模包括目标函数的定义、约束条件的确定以及变量范围的设定。
1. 目标函数的定义目标函数是一个表达式，用来衡量问题的解的优劣。
例如，对于一个最大化问题，我们可以定义目标函数为：max f(x)其中，f(x)是一个关于变量x的函数，表示问题的解与x的关系。
类似地，对于最小化问题，我们可以定义目标函数为：min f(x)2. 约束条件的确定约束条件是对变量x的一组限制条件，用来定义问题的可行解集合。
约束条件可以是等式或不等式，通常表示为：g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。
最优化问题的解必须满足所有的约束条件，即：g(x) ≤ 0, h(x) = 03. 变量范围的设定对于某些变量，可能需要限定其取值的范围。
例如，对于一个实数变量x，可能需要设定其上下界限。
变量范围的设定可以通过添加额外的不等式约束来实现。
二、最优化问题的解法最优化问题的解法包括数学方法和计算方法两种，常见的数学方法有最优性条件、拉格朗日乘子法等，而计算方法主要是通过计算机来求解。
1. 数学方法数学方法是通过数学分析来求解最优化问题。
其中，常见的数学方法包括：（1）最优性条件：例如，对于一些特殊的最优化问题，可以通过最优性条件来判断最优解的存在性和性质。
最优性条件包括可导条件、凸性条件等。
（2）拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将原问题转化为无约束最优化问题，从而求解最优解。
2. 计算方法计算方法是通过计算机来求解最优化问题。
最优化方法
最优化方法1. 简介最优化方法是一种通过调整变量值以最小化或最大化某个目标函数来优化系统性能的数学方法。
最优化方法广泛应用于各个领域，包括经济学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍最优化方法的基本概念、常用算法以及其在实际问题中的应用。
2. 最优化问题最优化问题可以分为无约束最优化和约束最优化问题。
无约束最优化问题是在没有任何限制条件的情况下，寻找使目标函数值最小或最大的变量值。
约束最优化问题则在一定的约束条件下寻找最优解。
在最优化问题中，目标函数通常是一个多元函数，而变量则是目标函数的输入参数。
最优化的目标可以是最小化或最大化目标函数的值。
常见的优化问题包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
3. 常用最优化算法3.1 梯度下降法梯度下降法是最常用的最优化算法之一。
它通过计算目标函数相对于变量的梯度（即偏导数），以负梯度方向更新变量值，逐步接近最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，但可能收敛速度较慢，且容易陷入局部最优解。
3.2 牛顿法牛顿法是一种基于目标函数的二阶导数（即海森矩阵）信息进行更新的最优化算法。
相较于梯度下降法，牛顿法的收敛速度更快，并且对于某些非凸优化问题更具优势。
然而，牛顿法的计算复杂度较高，且可能遇到数值不稳定的问题。
3.3 共轭梯度法共轭梯度法是一种用于解决线性方程组的最优化算法。
它利用共轭方向上的信息以减少最优化问题的迭代次数。
共轭梯度法适用于大规模线性方程组的求解，并且在非线性优化问题中也得到了广泛应用。
3.4 遗传算法遗传算法是一种通过模拟生物进化过程寻找最优解的优化算法。
它通过交叉、变异等操作生成新的解，并通过适应度评估筛选出优秀的解。
遗传算法适用于搜索空间较大、复杂度较高的优化问题。
4. 最优化方法的应用最优化方法在各个领域都有广泛的应用。
在经济学领域，最优化方法可以用于优化生产资源的配置、最小化成本或最大化利润等问题。
它可以帮助决策者制定最优的决策方案，提高效益。
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
05 第五节数学建模——最优化
第五节 数学建模——最优化在实际应用中，常常会遇到最大值和最小值的问题．如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等．此类问题在数学上往往可归纳为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题．分布图示★ 最大值最小值的求法★例1 ★例2 ★ 例3 ★例4 ★例5 ★ 例6★例7★ 对抛射体运动建模 ★例8 ★例9★ 在经济学中的应用 ★例10 ★例11★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★例16★ 内容小结★课堂练习★ 习题3-5 ★ 返回内容要点一、求函数的最大值与最小值在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在],[b a 上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数)(x f 在一切可能极值点的函数值，并将它们与),(a f )(b f 相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2） 对于闭区间],[b a 上的连续函数)(x f ，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点. 二、对抛射体运动建模三、光的折射原理 四、在经济学中的应用例题选讲例1 (E01) 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值. 解 ),1)(2(6)(-+='x x x f 解方程,0)(='x f 得.1,221=-=x x 计算;23)3(=-f ;34)2(=-f ;7)1(=f ;142)4(=f 比较得最大值,142)4(=f 最小值.7)1(=f例2 求函数x x y -=2sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值及最小值.解 函数x x y -=2sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,,12cos 2)(-='='x y x f令,0='y 得.6π±=x,22ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,6236ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .6236ππ+-=⎪⎭⎫⎝⎛-f故y 在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上最大值为,2π最小值为.2π-例3 (E02) 设工厂A 到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B . 铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C , 如图3-5-4. 现在要在铁路BC 中间某处D 修建一个原料中转车站, 再由车站D 向工厂修一条公路. 如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D 应选在何处, 才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省?解 x BD =(km), x CD -=100(km), .2022x AD +=铁路每公里运费,3k 公路每公里,5k 记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式:CD k AD k y ⋅+⋅=35即 ).1000()100(340052≤≤-++⋅=x x k x k y问题归结为：x 取何值时目标函数y 最小.求导得,340052⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='x x k y 令0='y 得15=x (km). 由于.26100)100(,380)15(,400)0(k y k y k y ===从而当15=BD (km)时，总运费最省.例4(E03) 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?解 设房租为每月x 元，租出去的房子有⎪⎭⎫⎝⎛--1018050x 套，每月总收入为,1068)20(1018050)20()(⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=x x x x x R,570101)20(1068)(x x x x R -=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='解,0)(='x R 得350=x (唯一驻点).故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为 10890)350(=R (元).求函数的最大值最小值例5 求内接于椭圆12222=+by a x 而面积最大的矩形的各边之长.解 设),(y x M 为椭圆上第一象限内任意一点，则 以点M 为一顶点的内接矩形的面积为,0,422)(22a x x a x aby x x S ≤≤-=⋅=且.0)()0(==a S S22222222244)(x a x a a b x a x xx a a b x S --=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=' 由,0)(='x S 求得驻点20a x =为唯一的极值可疑点. 依题意, )(x S 存在最大值,故20a x =是)(x S 的最大值,最大值ab a a aa b S 222422max=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅= 对应的y 值为,2b 即当矩形的边长分别为,2a b 2时面积最大.例6 由直线8,0==x y 及抛物线2x y =围成一个曲边三角形, 在曲边2x y =上求一点, 使曲线在该点处的切线与直线0=y 及8=x 所围成三角形面积最大.解 根据几何分析, 所求三角形面积为),80)(16(2182102000≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x S由,0)1616643(41020=⨯+-='x x S解得,3160=x 160=x (舍去). ,08316<-=⎪⎭⎫⎝⎛n S274096316=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴S 为极大值.故274096316=⎪⎭⎫ ⎝⎛S 三角形为所有中面积的最大者.例7 求数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=n n e n n a 122}{2的最大项(已知3723>e ). 解 令,1),122()(22+∞≤≤--=-x x x e x f x则)86(21)(22---='-x x e x f x由,0)(='x f 得唯一驻点.173+=x当)173,1(+∈x 时, ;0)(>'x f 当),173(+∞+∈x 时, ;0)(<'x f 所以当时, 173+=x 时,函数)(x f 取得极大值 ,由于,81737<+<又,23)7(7e f =,36)8(4e f =,136373623)8()7(>>=e f f 因此当7=n 时, 得数列的最大项,7a.23)7(77ef a ==例8 (E04) 在地面上以400m/s 的初速度和3π的抛射角发射一个抛射体. 求发射10秒后抛射体的位置.解 由400=v m/s ，3πα=，10=t ，则()2000103cos 40010=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=πx()2974108.921103sin 400102≈⨯⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=πy即发射10秒后抛射体离开发射点的水平距离为2000米，在空中的高度为2974米.虽然由参数方程确定的运动轨迹能够解决理想抛射体的大部分问题. 但是有时我们还需要知道关于它的飞行时间、射程（即从发射点到水平地面的碰撞点的距离）和最大高度.由抛射体在时刻0≥t 的竖直位置解出t .021sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-gt v t α⇒0=t ，g v t αsin 2=． 因为抛射体在时刻0=t 发射，故gv t αsin 2=必然是抛射体碰到地面的时刻. 此时抛射体的水平距离，即射程为 ()()αααα2sin cos 2sin 2sin 2gv tv t x gv t gv t ====. 当12sin =α时即4πα=时射程最大.抛射体在它的竖直速度为零时，即()0sin =-='gt v x y α从而 gv t αs i n =，故最大高度()()()g v g v g g v v x y gv t 2sin sin 21sin sin 22sin ααααα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==. 根据以上分析，不难求得例８中的抛射体的飞行时间、射程和最大高度： 飞行时间70.703sin 8.94002sin 2≈⨯==παg v t （秒） 射程1413932sin 8.94002sin 22max≈==παg v x （米） 最大高度 ()()61228.923sin 4002sin 22max≈⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==παgv x y （米）例9(E05) 在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥·雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约70米处的位置射出火箭,若火箭恰好在达到其最大飞行高度1秒后落入火炬圆盘中,试确定火箭的发射角α和初速度0v .(假定火箭射出后在空中的运动过程中受到的阻力为零,且，2/10s m g =， 5.469.2022arctan ≈≈ 5.46sin 0.725) 解 建立如图所示坐标系, 设火箭被射向空中的初速度为0v 米/秒,即）（ααsin ,cos 000v v v =,则火箭在空中运动t 秒后的位移方程为()()()()t y t x t s ,==），（2005sin 2cos t t v t v -+αα.火箭在其速度的竖直分量为零时达到最高点,故有()()010sin 5sin 2020=-='-+=t v t t v dt t dy αααsin 100v t =⇒ ,于是可得出当火箭达到最高点1秒后的时刻其水平位移和竖直位移分别为22000110sin 2170cos 2.31sin 10cos )(0-==+=+=ααααv vv t x v t ）（21320sin )(220110sin 0=-=+=ααv t y v t解得：22sin 0≈αv ,9.20cos 0≈αv , 从而9.2022tan =α⇒ 5.46≈α 又 5.4622sin 0≈≈αα，v⇒3.300≈v (米/秒)所以,火箭的发射角α和初速度0v 分别约为5.46和3.30米/秒.例10(E06) 设每月产量为x 吨时, 总成本函数为4900841)(2++=x x x C (元)， 求最低平均成本和相应产量的边际成本.解 又.09800)140(3>=''x C 故140=x 是)(x C 的极小值点，也是最低平均成本为7814049008)140(41)140(=++⨯=C (元).边际成本函数为.821)(+='x x C故当产量为140吨时，边际成本为78)140(='C (元).例11(E07) 某人利用原材料每天要制作5个贮藏橱. 假设外来木材的运送成本为6000元，而贮存每个单位材料的成本为8元. 为使他在两次运送期间的制作周期内平均每天的成本最小，每次他应该订多少原材料以及多长时间订一次货？解 设每x 天订一次货，那么在运送周期内必须订x 5单位材料. 而平均贮存量大约为运送数量的一半，即25x. 因此每个周期的成本=运送成本+贮存成本=8256000⋅⋅+x x平均成本()x xx x C 206000+==每个周期的成本，0>x由()2060002+-='x x C 解方程()0='x C ，得驻点 32.173101≈=x ，32.173102-≈-=x （舍去）.因 ()312000xx C =''，则 ()01>''x C ，所以在32.173101≈=x 天处取得最小值. 贮藏橱制作者应该安排每隔17天运送外来木材85175=⨯单位材料.例12（E08） 某计算器零售商店每年销售360台计算器. 库存一台计算器一年的费用是8元. 为再订购，需付10元的固定成本，以及每台计算器另加8元. 为最小化存贷成本，商店每年应订购计算器几次？每次批量是多少？解 设x 表示批量.存货成本表示为=)(x C (年度持产成本) + (年度再订购成本).我们分别讨论年度持产成本和年度再订购成本.现有平均存货量是2/x ,并且每台库存花费10元. 因而.428)()(x x=⋅=⋅=平均台数每台年度成本年度持产成本 已知x 表示批量.又假定每年再订购n 次.于是⇒=360nx ./360x n = 因而 年度再订购成本 = (每次订购成本) ∙(再订购次数).28803600360)810(+=+=xx x因此.288036004)(++=xx x C 令,036004)(2=-='x x C 解得驻点.30±=x 又.0100000)(3>=''xx C 因为在区间[1,360]内只有一个驻点,即,30=x 所以在30=x 处有最小值. 因此,为了最小化存货成本,商店应每年订货1230360=（次）.例13（E09） 再讨论例12, 除了把存货成本8元改为9元, 采用例3给出的所有数据.为使存货成本最小化, 商店应按多大的批量再订购计算器且每年应订购几次?解 把这个例子与例6作比较,求其存货成本,它变成 .3240360029360)910(29)(++=++⋅=xx x x x x C 然后求),(x C '令它等于0来求解:x 0360029)(2=-='xx C .2.28800≈=⇒x 因为每次再订购28.2台没有意义,考虑与28.2最接近的两个整数,它们是28和29.现在有57.3494)28(≈C 元和 64.3494)29(≈C 元.由此可得,最小化存货成本的批量是28, 尽管相差0.07元并不重要.(注意:这一步骤不是对所有类型的函数都能行得通,但是对于这里正在讨论的函数是可行的.)应再订购的次数是,1328/360≈所以仍然涉及某个近似值.例14（E10）某服装有限公司确定，为卖出x 套服装, 其单价应为x p 5.0150-=. 同时还确定，生产x 套服装的总成本可表示成225.04000)(x x C +=.(1) 求总收入).(x R (2) 求总利润).(x L(3) 为使利润最大化,公司必须生产并销售多少套服装? (4) 最大利润是多少?(5) 为实现这一最大利润, 其服装的单价应定为多少?解 （1）总收入 p x x R ⋅=⋅=单价服装套数)()(.5.0150)5.0150(2x x x x -=-= （2）总利润.400015075.0)25.04000()5.0150()()()(222-+-=+--=-=x x x x x x C x R x L（3）为求)(x L 的最大值, 先求.1505.1)(+-='x x L 解方程0)(='x L ，得.100=x注意到05.1)(<-=''x P , 因为只有一个驻点,所以)100(L 是最大值.（4） 最大利润是3500400010015010075.0)100(2=-⨯+⨯-=L （元） 由此公司必须生产并销售100套服装来实现3500元的最大利润. （5） 实现最大利润所需单价是 1001005.0150=⨯-=p （元）.例15（E11）某大学正试图为足球票定价. 如果每张票价为6元，则平均每场比赛有70000名观众. 每提高1元，就要从平均人数中失去10000名观众. 每名观众在让价上平均花费1.5元. 为使收入最大化，每张票应定价多少？按该票定价，将有多少名观众观看比赛？解 设每张票应提价的金额x (如果x 是负值, 则票价下跌) . 首先把总收入R 表示成x 的函数.)(5.1)()()()()(人数票价人数让价收益票价收益+⋅=+=x R)1000070000(5.1)6)(1000070000(x x x -++-= 5250005000100002+--=x x .为求使)(x R 最大的,x 先求:)(x R '.500020000)(--='x x R 解方程0)(='x R ，得25.0-=x 元.注意到020000)(<-=''x R ，因为这是唯一的驻点,所以)25.0(-R 是最大值.因此,为使收入最大化, 足球票定价为75.525.06=-元.也就是说，下调后的票价将吸引更多的观众去看球赛，其人数是72500)25.0(1000070000=-⨯-这将带来最大的收入.例16（E12） 录像带商店设计出一个关于其录像带租金的需求函数，并把它表示为 P Q 20120-=其中Q 是当每盒租金是P 元时每天出租录像带的数量. 求解下列各题： （1） 求当2=P 元和4=P 元时的弹性，并说明其经济意义. （2） 求()1=P η时P 的值，并说明其经济意义. （3） 求总收益最大时的价格P . 解 （1）首先求出需求弹性 ()PP P P Q Q P P --=--⋅='⋅=62012020η 当2=P 元，有()212622-=--=η. ()1212<=η，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率小于1. 价格的小幅度增加所引起出租数量百分比的减少小于价格改变量的百分比. 当4=P 元，有()24644-=--=η. ()122>=η，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率大于1. 价格的小幅度增加所引起出租数量百分比的减少大于价格改变量的百分比. （2）令()1=P η，即316=⇒=--P PP因此，当每盒租金是3元时，出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率是1.（3）总收益是()220120P P PQ P R -==()P P R 40120-='，()40-=''P R令()0='P R ，解得3=P . 又()040<-=''P R ，所以3=P 为()2P R 的极大值点，也是最大值点. 即当每盒租金是3元时，总收益最大.在上例中得到，使()1=P η的P 值与使总收益最大的P 值是相同的. 这一事实总是成立的.课堂练习1. 下列命题正确吗?若0x 为)(x f 的极小值点, 则必存在0x 的某领域, 在此领域内, )(x f 在0x 的左侧下降, 而在0x 的右侧上升.2 .若)(a f 是)(x f 在[a , b ]上的最大值或最小值, 且)(a f '存在, 是否一定有0)(='a f ?。
数学建模最优化模型
数学建模最优化模型随着科学与技术的不断发展，数学建模已经成为解决复杂实际问题的一种重要方法。
在众多的数学建模方法中，最优化模型是一种常用的方法。
最优化模型的目标是找到最佳解决方案，使得一些目标函数取得最大或最小值。
最优化模型的基本思想是将实际问题抽象为一个数学模型，该模型包含了决策变量、约束条件和目标函数。
决策变量是需要优化的变量，约束条件是对决策变量的限制条件，目标函数是优化的目标。
最优化模型的求解方法可以分为线性规划、非线性规划和整数规划等。
线性规划是最优化模型中最基本的一种方法，其数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t.Ax<=bx>=0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右边向量。
线性规划的目标是找到最优的决策变量向量x，使得目标函数的值最大或最小。
非线性规划是最优化模型中更为复杂的一种方法，其数学模型可以表示为：max/min f(x)s.t.g_i(x)<=0,i=1,2,...,mh_i(x)=0,i=1,2,...,p其中，f(x)是目标函数，g_i(x)是不等式约束条件，h_i(x)是等式约束条件。
非线性规划的求解过程通常需要使用迭代的方法，如牛顿法、拟牛顿法等。
整数规划是最优化模型中另一种重要的方法，其数学模型在线性规划的基础上增加了决策变量的整数限制。
max/min c^T xs.t.Ax<=bx>=0x是整数整数规划的求解通常更为困难，需要使用特殊的算法，如分支定界法、割平面法等。
最优化模型在实际问题中有着广泛的应用，如资源调度、生产计划、路线选择、金融投资等。
通过建立数学模型并求解，可以得到最优的决策方案，提高效益和效率。
总结起来，最优化模型是数学建模的重要方法之一、通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，再通过求解方法找到最佳解决方案。
最优化模型包括线性规划、非线性规划和整数规划等方法，应用广泛且效果显著。
数学建模最优化模型
➢
许多生产计划与管理分配问题都可以归纳为 最优化问题,最优化模型是数学建模中应用 最广泛的模型之一,其内容包括线性规划、 非线性规划、整数线性规划、动态规划、 多目标规划、决策规划等.
一般在实际生活中，我们总是利用最优化方
法解决两方面的问题：成本最小化和利润
最大化
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t1
vxha,所以b(t2)12h1t12vhx2a
，而火灾的损失费 w1c1b(t2)与救火费用w 2 之和为：
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w1 2c1h1t2(vc1hx 2a)c3xvc2x xah
6
• 所以森林救火费用最小问题的数学模型为：
m.w in 1 2c1h1 t2(v c1h x 2a)c3xvc2 x xah
设失火时刻t 0，开始救火的时刻为 ，
火被t1 扑灭的时刻为 。 时t刻2 森t 林烧毁的面
积为 ， 为b (t烧) 毁c 1 单位面积森林的损失费，
则火灾造成的损失费为
。
w1c1*b(t2)
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•
易见
db dt
表示单位时间内烧毁的森林面积
当t
0,t2时，
db dt
0 ；设当
t
t1
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把影响化为表达式
即模型的建立，即文字数字化。
改进结果，找最优解
不断根据事实，改进模型，
从而实现真正意义上的优化。
常用模型：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规 划、多目标规划等。
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谢 谢！！！
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上述问题是一个无约束的非线性规划问题，
数学建模的最优化方法
x1
4
x2
16 12
x1, x2 0
问题二： 某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检 验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1
output= iterations: 108 funcCount: 202
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
有约束最优化
最优化方法分类
（一）线性最优化：目标函数和约束条件都是线 性的则称为线性最优化。
⑤对结果进行分析，讨论诸如：结果的合理性、正确性， 算法的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与 误差等。
线性规划
某豆腐店用黄豆制作两种不同口感的豆腐出售。 制作口感较鲜嫩的豆腐每千克需要0.3千克一级 黄豆及0.5千克二级黄豆，售价10元；制作口感 较厚实的豆腐每千克需要0.4千克一级黄豆及0.2 千克二级黄豆，售价5元。现小店购入9千克一级 黄豆和8千克二级黄豆。
计算机技术的出现，使得数学家研究出了许 多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问 题。
几个概念
• 最优化是从所有可能方案中选择最合理的一种 以达到最优目标的学科。
• 最优方案是达到最优目标的方案。 • 最优化方法是搜寻最优方案的方法。 • 最优化理论就是最优化方法的理论。
经典极值问题
数学建模中的最优化算法探讨
数学建模中的最优化算法探讨在数学建模中，最优化算法是一种重要的手段，它帮助我们在给定的限制条件下，寻找出一个最好的解决方案。
最优化算法的应用非常广泛，在各个领域都起着至关重要的作用，如经济学、物理学、工程学等。
接下来，我们将讨论几种常见的最优化算法以及它们在数学建模中的应用。
1. 梯度下降法梯度下降法是一种基于一阶导数信息的最优化算法。
它的基本思想是通过不断迭代的方式，逐渐接近目标函数的最小值。
在数学建模中，梯度下降法常常用于解决如拟合问题、参数估计等。
例如，在机器学习中，梯度下降法可以用来训练神经网络模型，通过不断调整模型参数来最小化预测误差。
2. 动态规划法动态规划法是一种基于最优子结构性质的最优化算法。
它的基本思想是将复杂的问题分解为一系列子问题，并逐步求解这些子问题的最优解。
在数学建模中，动态规划法常常用于解决如路径规划、资源分配等问题。
例如，在物流规划中，动态规划法可以用来确定最短路径或最优路径，以提高运输效率。
3. 遗传算法遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的最优化算法。
它的基本思想是通过模拟优胜劣汰的过程，逐步找到最优解。
在数学建模中，遗传算法常常用于解决如优化调度、参数优化等问题。
例如，在车辆路径规划中，遗传算法可以用来确定最优的派送路线，以降低派送成本。
4. 线性规划法线性规划法是一种求解线性优化问题的最优化算法。
它的基本思想是将问题转化为线性约束条件下的目标函数最大化（或最小化）问题，然后通过线性规划算法求解。
在数学建模中，线性规划法常常用于解决如资源分配、生产优化等问题。
例如，在生产调度中，线性规划法可以用来确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
综上所述，最优化算法在数学建模中具有重要的应用价值。
不同的最优化算法适用于不同的问题领域，选择合适的算法可以提高模型的效率和准确性。
除了上述提到的算法，还有许多其他的最优化算法，如模拟退火算法、蚁群算法等，它们在特定的问题领域中也有广泛的应用。
数学建模-最优化
min cij xij Fi yi i i, j
掌握建立和分析规划模型的方法
• 例2 加工问题 m台机床，n种零件在机床加工，工时 为a1, a2, …, an。问如何分配使各机床的总 加工任务尽可能均衡。
掌握建立和分析规划模型的方法
• 设aj在机床i上加工，有xij=1； aj在机床i上加工，有xij=0 。
i 1 i 1 i 1
1000
1000
10000
知道线性规划的求解方法
• • • • • • • Lindo程序 min0x1-1x2+2x3 subject to 1x1-2x2+1x3=2 0x1+1x2-3x3<1 0x1+1x2-1x3<2 end
知道线性规划的求解方法
• • • • • • • • • • Lingo程序 model: sets: E/1..5/:c,x; F/1..3/:b; link(F,E):a; endsets min=@sum(E(j):c(j)*x(j)); @for(F(i):@sum(E(j):a(i,j)*x(j))=b(i)); @for(E(j):x(j)>0);
掌握非线性问题线性化的技巧
• 2、会员租赁数量的约束 ： • 因为会员在一个月内的租赁DVD的数量只 能为0、3、6。 • 若用Zi表示第个会员在第i个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ期中是否被 服务， 则有
掌握非线性问题线性化的技巧
x
j 1
100
ij
3(1 yi )Zi
非线性方程 引入0-1变量 pi和qi ，有
data: • c=0,-1,2,0,0; • b=2,1,2; • a=1,-2,1,0,0, • 0,1,-3,1,0, • 0,1,-1,0,1; • enddata • end
不确定条件下的最优化问题数学建模方法
不确定条件下的最优化问题数学建模方法说到“不确定条件下的最优化问题”，你可能会觉得这个话题像是从高楼上丢下来的一个复杂的数学公式，砸得你头晕眼花。
但别急，咱们先深吸一口气，稳住，一点点往前走。
这不就是生活中的“抉择问题”嘛！你想想看，每天我们不是都在面对各种选择吗？是吃个炸鸡，还是去健身房？是买彩票，还是存钱养老？这不就是典型的不确定条件下的最优化问题嘛，选择多了，怎么做才能最好？好吧，咱们的生活已经充满了不确定性了，再加上数学的加入，简直是“添油加醋”，让人脑袋转不过弯。
我们说的“不确定性”，就是你做决策时，根本不知道结果是什么。
比方说，你今天去参加一个聚会，不知道会不会碰到老同学，也不知道会不会遇到一个投资机会，甚至连今天的天气都不确定。
这不就相当于你要在一个迷雾中行走，根本不知道前方是光明的草原，还是泥泞的陷阱。
咱们要说的是最优化。
嘿，说白了就是你要做选择时，怎么能做到最好。
就像你去超市买东西，最优化的目标是：在有限的钱包里买到最有价值的商品。
如果钱不够，就得掂量掂量，是选择那袋价值更高的牛肉，还是更多的水果？这就是优化问题的缩影。
关键就是你要做出选择，而选择的背后，恰恰是“怎么做能最好”的思考。
可是，搞定这些可不容易。
你得根据实际情况，抛开那些看似完美但不切实际的理想模型，找到一个能够在不确定的情况下，也能拿到最大收益的答案。
可能有人会想：“哎，这不就是投机取巧嘛。
”嘿，不！你得知道，“投机取巧”和“最优化”可不是一回事。
最优化的精髓在于，我们要用尽可能少的资源，达到最好的效果。
用一个简单的例子来说，你去爬山，山顶的风景是最美的，但你得想好怎么爬上去。
是走小路，绕一绕，还是直接选择一条大路，快速上去？每条路的风险和成本不一样。
可是最优化就是要让你在各种不确定的情况下找到最合适的选择。
关键是，谁能找到最短的路，谁就能登顶，别再东张西望，纠结到底是哪条路才是最好的。
要相信自己能在不断的试错中，找到一条最适合自己的路。
数学建模中的最优化算法
数学建模中的最优化算法数学建模是一项综合性强、难度较大的学科，涉及到数学和实际问题的结合。
在数学建模中，最常见的问题是优化问题，即在给定的约束条件下，求出最优解。
最优化算法是解决优化问题的重要手段，包括线性规划、非线性规划、动态规划等。
这些算法在不同的问题中有不同的应用，下面我们将分别介绍。
一、线性规划线性规划是一种数学工具，它可以在一系列线性约束条件下最大化或最小化具有线性关系的目标函数。
在数学建模中，线性规划被广泛应用于资源分配问题、制造流程优化等方面。
线性规划的求解方法主要有单纯形法、对偶理论、内点法等。
其中单纯形法是最常用的方法之一，它通过迭代搜索寻找最优解。
但是对于规模较大的问题，单纯形法的效率会降低，因此近年来对于线性规划的求解，研究者们也开始关注内点法这种算法。
内点法通过可行路径寻找最优解，因此在理论和实际的问题中都有广泛的应用。
二、非线性规划非线性规划主要是解决一些非线性问题，这种问题在实际问题中很常见。
与线性规划不同的是，非线性规划的目标函数往往是非线性的。
非线性规划的求解方法主要有牛顿法、梯度法、共轭梯度法等。
其中，牛顿法是一种迭代法，通过利用函数的一、二阶导数进行求解。
梯度法则是利用函数的一阶导数进行搜索最优解。
共轭梯度法是一种联合使用前两种方法的算法，比前两种算法更加高效。
三、动态规划动态规划是一个将一个问题分解为相互重叠的子问题的技巧，并将子问题的解决方法组合成原问题的解决方法。
动态规划的优势在于能够处理具有重叠子问题和最优子结构等性质的问题。
在数学建模中，动态规划通常被用来处理具有最优子结构的优化问题。
动态规划的求解方法主要有记忆化搜索、状态转移方程等。
其中，记忆化搜索是一种保存结果以便后续使用的技术。
状态转移方程则是一种寻找题目的最优子结构的方法，它通过减小问题规模寻找最优解。
总之，数学建模中的最优化算法是解决现实问题的有效手段。
通过学习和掌握这些算法，我们可以更加深入地理解和解决实际问题。
浅谈最优化方法在数学建模中的应用
clf.fit(X_train, y_train)
#在测试集上评估模型
score = clf.score(X_test, y_test)
print("Accuracy:", score)
案例分析让我们以一个简单的分类问题为例来分析最优化方法的应用。假设我 们有一个简单的二分类问题，我们希望通过建立一个分类器来预测样本的类别。 我们可以使用Scikit-learn中的SGDClassifier类来实现梯度下降法，该类使 用了随机梯度下降法来最小化损失函数，进而求解最优分类器。
最优化方法在数学建模中的优点 和不足
优点： 1、能够找到问题的最优解，提高决策效率和准确性； 2、可以处理多目标、多约束条件的问题，具有广泛的应用范围；
3、可以通过数学软件和算法实现自动化求解，降低人力成本。 不足： 1、某些情况下，最优化问题可能没有可行解或者最优解，需要谨慎处理；
2、最优化方法的效率取决于问题的复杂性和规模，对于大规模、高维度的问 题，求解时间可能较长；
三、案例分析
以一个简单的投资组合优化问题为例，说明最优化方法在数学建模中的应用。 假设投资者有10万元资金可用于投资，共有5只股票可供选择。投资者希望在 风险可控的情况下，最大化收益。为此，我们需要建立一个数学模型来描述这 个问题。
首先，我们需要确定投资组合中每种股票的投资比例。设x1,x2,x3,x4,x5分 别为五种股票的投资比例，则有以下限制条件： xi>=0, i=1,2,3,4,5 （1） xi<=1, i=1,2,3,4,5 （2） sum(xi)=1 （3）
在这个例子中，我们使用了Iris数据集进行训练和测试。首先，我们使用 train_test_split函数将数据集划分为训练集和测试集。然后，我们使用 SGDClassifier类来建立模型并训练。最后，我们使用测试集来评估模型的性 能。通过这个例子，我们可以看到最优化方法在数学建模中的应用以及 Scikit-learn的方便之处。
最优化问题的数学建模步骤
最优化问题的数学建模步骤
最优化问题的数学建模步骤可以分为以下几个步骤：
1. 指定目标函数：首先需要明确最优化问题的目标函数，即要优化的量。
这个函数通常是与实际问题相关的一些指标，例如成本、收益、效率等等。
2. 确定决策变量：在确定目标函数后，需要确定决策变量，即可以控制或调整的参数或变量。
这些变量的取值可以影响目标函数的值，因此需要选择最优的取值。
3. 建立约束条件：除了目标函数和决策变量外，还需要考虑一些约束条件。
这些约束条件通常是实际问题的限制条件，例如资源限制、技术限制、法规限制等等。
4. 建立数学模型：将目标函数、决策变量和约束条件用数学语言表达出来，建立数学模型。
这个模型通常是一个优化问题的数学表示形式，可以使用线性规划、非线性规划、整数规划等方法进行求解。
5. 求解最优解：根据建立的数学模型，使用相应的优化方法求解最优解。
这个最优解是指在满足约束条件的前提下，使目标函数取得最大值或最小值的决策变量取值。
6. 验证和分析：最后需要对求解结果进行验证和分析，看看是否符合实际需求，是否满足实际约束条件等等。
如果结果不满足要求，需要重新调整模型或重新选择优化方法进行求解。
以上是最优化问题的数学建模步骤，通过这些步骤可以将实际问题转化为数学问题，并使用数学方法进行求解，得到最优的决策方案。
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例1.3.2
目标函数c的值由 小到大逐渐增加,等 值线沿着目标函数 的梯度方向平行移 动.当移动到点E时, 再移动就与可行域 D不相交了,所以顶 点E就是最优点,最 优值为14.
45
例1.3.3
解 如图所示,可行域只能是 圆弧ABE,其中点A和点E是 等值线–x1–x2+1=0和圆 x12+x22-9=0的交点.注意到等 值线是平行的抛物线,图中画 出了几条目标函数的等值线. 容易看出B点是最优点,所以 最优解是(0,-3留Fibonacci方法的优点(效率最高 是不可能保留的),改进其缺点. 若第一次选取的试点为x1<x2,则下一步保留的 区间为[a,x2]或[x1,b],两者的机会是均等的. 因此我们选取试点时希望x2-a=b-x1. 设ax1=a+p(b-a)x,则1 x2=a+(1x-2p)(b-a). b
a xb
令j(a)=0,求出a的值。
48
1.4.1 黄金分割法
设f(x)在[a,b]上为下单峰函数,即有唯一的极小点 x*,在x*左边f(x) 严格下降,在x*右边 f(x)严格上升. 在[a,b]内任取x1<x2, 若f(x1) < f(x2),则x*∈[a,x2] 若f(x1)≥f(x2),则x*∈[x1,b].
46
§1.4 一维搜索
47
问题描述
已知xk,并且求出了xk处的可行下降方向pk ,从 xk出发,沿方向pk求目标函数的最优解,即求解 问题:
设其最优解为ak,于是得到一个新点 xk +1= xk + ak pk
所以一维搜索是求解一元函数f (a) 的最优化问
题(也叫一维最优化问题).我们来求解
min f ( x)
理论分析
求目标函数z=f(x1,x2) 在可行域D上的极小点, 是在与可行域D有交集的等值线中找出具有 最小值的等值线.也就是在可行域D上沿着 f(x1,x2)的负梯度方向或某种下降方向上找取 得最小值c的点.
41
例1.3.1
解 首先画出可行域D,目标函数的等值线是以 点(1,2)为圆心的一族圆. f(x1,x2)的梯度为
50
42
例1.3.1
负梯度方向（下 降方向）指向等 值线圆心,所以等 值线与可行域D的 边界相切的点 x*=(1/2,3/2)T 是此 问题的最优解,目 标函数的最优值 为1/2.
43
例1.3.2
解 首先画出可行域D的图形.D为凸多边形 ODEFGO.再以c为参数画出目标函数的等值 线2x1+3x2=c.