3线线、线面、面面所成的角
三射线定理
三 射 线 定 理陕西定边县第三中学 白治清从一点发出的不在同一平面内的三条射线，形成三种空间角（即“线线角”，“面面角”与“线面角” ），这三种空间角之间的关系问题，是立体几何的一个基本问题，在立体几何的计算、证明中有着十分广泛的应用，本文将探讨这三种空间角之间的关系.一、由“线线角”求“面面角”定理1 OA 、OB 、OC 是不在同一平面内的三条射线，如果∠BOC=α 1，∠COA=α 2，∠AOB=α 3，二面角C-OA-B ，A-OB-C 与B-OC-A 的平面角分别等于β1 、β2 、β3 ，那么 cos β1=32321sin sin cos cos cos ααααα- ① cos β2=13132sin sin cos cos cos ααααα- ② cos β3=21213sin sin cos cos cos ααααα- ③ 证明：先证明①，分5种情况：（1） α 2与α3 ，均为锐角.如图1，在OA 上取一点P ，使OP=1，在平面AOB 内，作P M ⊥OA ，交OB 于M ，在平面AOC 内，作PN ⊥OA ，交OC 于N ，连结MN ，∠NPM=β1 .PN=tg 2α，PM= tg 3α，ON=sec 2α，OM=sec 3α，在△PMN与△OMN 中应用余弦定理，得MN 2=tg 22α确+tg 23α-2tg 3αtg 2α cos β1=sec 2α2+ sec 2α 3-2sec α2sec α3cos α1.用α1、α2、α3 的三角函数表示cos β1，得cos β1=32321sin sin cos cos cos ααααα- （2）α2与α3中有一个锐角，一个钝角.如图2，不妨设α3为锐角，α 2为钝角，作OC 的反向延长线OD.因为二面角D-OA-B 与C-OA-B “互补”，所以D-OA-B 的平面角等于1βπ-.∠BOD=.,21απαπ-=∠-AOD 对于射线OA 、OB 、OD 应用①， 得cos （1βπ-）=32321sin )sin(cos )cos()cos(ααπααπαπ----，即cos 1β32321sin sin cos cos cos ααααα-=. （3）α2与α3均为钝角.如图3， 作OB 、OC 的反向延长线OD 、OE ，二面角D-OA-E 与C-OA-B 是“对顶角”，所以D-OA-E 的平面角等于β1 .1α=∠DOE ，2απ-=∠AOE ，3απ-=∠AOD .对于射线OA 、OD 、OE 应用①，得 cos 1β)sin()sin()cos()cos(cos 32321απαπαπαπα-----= 32321sin sin cos cos cos ααααα-= . （4）α2与α3中有一个直角.如图4，不妨设α2 =.223παπ≠， 在平面AOB 内作OD ⊥OA ，则∠COD=β1 .若β1≠,2π因为，不论α3是锐角还是钝角，都有 ∠BOD=，223παπ≠-二面B-OD-C 是直二面角，对于射线OD 、OC 、OB 应用①、②、③，得 cos 2π=13131sin 2sin cos 2cos cos βαπβαπα---， 即cos 1β32sin cos αα= 另一方面，直接应用①，得cos β1=31331sin cos sin 2sin cos 2cos cos αααπαπα=-. 若β1=2π，则cos β1=0，这时，.21πα= 另一方面，直接应用①，得cos β1=.0sin 2sin cos 2cos 2cos33=-απαππ 可见，当α2、α3中有一个直角时，①仍旧适用。
线线,线面,面面夹角公式
线线,线面,面面夹角公式线线、线面、面面夹角是数学中非常重要的概念，常见于几何图形的分析和计算中。
在实际生活中，许多工程领域的设计和制造也需要用到这些夹角公式。
下面我们就来详细介绍这些公式。
1. 线线夹角公式线线夹角是指两条直线在相交处形成的夹角。
这个角度的计算可以通过余弦定理来实现。
假设两条直线的方向向量分别为a和b，则它们夹角的余弦值可以表示为：cos(x) = a·b / (|a|·|b|)其中，·表示点乘，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。
根据余弦值可以通过反余弦函数计算出实际夹角。
2. 线面夹角公式线面夹角是指一条直线与一个平面相交处形成的夹角。
这个角度的计算也可以通过余弦定理来实现。
假设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则它们夹角的余弦值表示为：cos(x) = a·n / (|a|·|n|)其中，·表示点乘，|a|和|n|分别表示向量a和向量n的模长。
如果需要得到实际的夹角度数，可以通过反余弦函数计算。
3. 面面夹角公式面面夹角是指两个平面之间的夹角。
这个夹角的大小可以通过两个平面法向量之间的夹角来计算。
假设两个平面的法向量分别为n1和n2，则它们之间夹角的余弦值可以表示为：cos(x) = n1·n2 / (|n1|·|n2|)其中，·表示点乘，|n1|和|n2|分别表示向量n1和向量n2的模长。
如果需要得到实际的夹角度数，可以通过反余弦函数计算。
总之，线线、线面、面面夹角公式是数学和工程学科中必不可少的基础概念。
掌握这些公式的计算方法及其应用，能够帮助我们更好地完成相关工作和项目设计。
《立体几何中的向量方法》角的计算
b a
a， b
|
a， b
a
b
结论：
| cos a, b |
|
例一：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着平面ABC的法向量
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标
取 平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1， A1B1、AC1的中 1 取A1B1、AC1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值. 1 z
3. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦 3 10 值为_________ .
10
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[0, 2 ]范围内 的角； 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [0, ] ；
2
2 2
C
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。
求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。
思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。
转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。
则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式及其中蕴含的数学基本思想
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式北京市顺义区第九中学101300高中阶段在学习空间线、面位置关系的时候，会给出线线角、线面角及面面角的定义，本文以角形成的定义方式及蕴含的基本思想为主，进行研究。
1、直线与直线所成的角：（1）共面：同一平面内的两直线所成角，是利用两直线位置关系，平行、重合所成角为0度，如果相交就取交线所构成的锐角（或直角）。
（2）异面：如图所示，已知两条异面直线a和b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
θ定义方式：是发生定义法（即构造定义方式）定义中的“空间中任取一点O”，意味着：角的大小与O 点选取的位置无关；通过平移把异面直线所成角转化成两相交直线，是将空间图形问题转化成平面图形问题的定义方式，体现了定义的纯粹性和完备性。
2、直线和平面所成的角：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
3、面面所成的角：(1)在二面角的棱l上任取一点O，以该点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角称为二面角的平面角.( 2)作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．4、线线、线面、面面所成角的定义方式线线、线面、面面所成角的定义方式是“属加种差定义法”。
线线-线面-面面垂直关系
已知平面α和β相互垂直，直 线l在平面α内，且与β相交于 点A。过点A作直线m与α平 行。求证：m与β垂直。
由于l在α内且与β相交于点A， 根据面面垂直的性质定理我 们可以得出l与β垂直。又因为 m过点A且与α平行，根据平 行线的性质我们可以得出m与 l平行。因此m也与β垂直。
05 综合应用与拓展延伸
空间中垂直关系综合应用
01
利用线面垂直判定定理证明线面垂直
通过证明一条直线与平面内两条相交直线都垂直，可以判定该直线与平
面垂直。
02
利用面面垂直性质定理证明线面垂直
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个
平面垂直。
03
利用线面垂直性质定理证明面面垂直
如果一条直线同时垂直于两个平行平面，那么这两个平面互相垂直。
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典型例题解析
例题1
解析
已知直线l1的方程为Ax+By+C1=0，直线l2 的方程为Ax+By+C2=0，且C1≠C2，求证： l1⊥l2。
由于l1和l2的A、B系数相同，因此它们的法 向量相同，根据直线间垂直的条件，可知 l1⊥l2。
例题2
解析
在三角形ABC中，已知AB⊥AC，AD是BC边 上的高，求证：AD^2=BD×CD。
如果两个平面相互垂直，那么它们的 法线也相互解析
已知平面α和β相互垂直，直 线a在平面α内，直线b在平面 β内，且a与β不垂直，b与α 不垂直。求证：a与b不平行。
假设a与b平行，由于a在α内， b在β内，且α与β相互垂直， 根据面面垂直的性质定理， 我们可以得出a与β也相互垂 直。这与题目中给出的a与β 不垂直相矛盾，因此假设不 成立，所以a与b不平行。
高中数学必修二立体几何角的问题-教师版(含几何法和向量法)
立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。
平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。
一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010 解析：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.答案：B例 2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，PD =Rt DCE ∆中，DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ） A.3 B.22C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。
高三数学线线角线面角(中学课件201911)
P
D
C
A
O
B
课堂小结
（1）高考基本内容:向量的概念、向量的 几何表示、向量的加减法、实数与向 量的积、两个向量共线的充要条件、 向量的坐标运算以及平面向量的数量 积及其几何意义、平面两点间的距离 公式、线段的定比分点坐标公式和向 量的平移公式。
(2)高考热点：何等应用
热点题型2: 直线与平面所成角
A1
F
C
A
C1 E B1
B
热点题型3: 立体几何中的探索问题
如图，在四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩
形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= 3，BC=1，
PA=2，E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（内Ⅱ找一）点在N侧，面使PANBE⊥P
面PAC，并求出N
E
点到AB和AP的距离
D
C
A
B
热点题型4: 立体几何与转化的思想
如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面
ABC． (Ⅰ)当k＝
大小；
1 2
时，求直线PA与平面PBC所成角的
(Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好
为△PBC的重心？
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关 键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂 直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的 射影一定落在平面的某个地方,然后再证
热点题型1: 异面直线所成角
C1
B1
A1
C
B
A
D
；鹰眼智客 大数据营销笔记本:
；
9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
因此 A1C 与平面 ABCD 所成的角为 45 ．
D
A
C1 B1
C B
例2 已知 PA 是平面 的斜线，PO ，a ，a AO． 求证：a PA．
三证垂明线：定因理为：PO ，a ，
P
所以 PO a，
又因在为平A面O内 的a，一且条P直O线∩，A如O＝果O和，这个平面的
斜线段 斜足
aB
A
a
A
空间直线与平面垂直属于哪一种情况？
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．
斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和 平面所成的角(或夹角)．
aB
A
O
如果直线垂直于平面，则规定 直线与平面所成的角是直角(90)；
a
A
如果直线和平面平行，或在平面内， 则规定直线与平面所成的角是 0 的角．
第九章 立体几何
9．3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
• 【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 • 【教学目标】知识目标： • 了解线线、线面、面面所成交的概念 • 能力目标：1）会找出线线、线面、面面所成的角； • （2）利用线线、线面、面面所成的角，解释生活空间的一些实例； • （3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力． • 情感目标： • （1）经历对线线、线面、面面所成的角及对应直观图形的认知，发展空间想象思维． • （2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维． • 【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、
解：(1) 由异面直线的判定方法可知， 与直线 BA 成异面直线的有 直线 BC，AD， CC， DC，DC，DD；
高三数学线线角线面角(2018-2019)
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关 键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂 直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的 射影一定落在平面的某个地方,然后再证
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；
往往棋趶 使辅西屯历阳以拒袁术 芝对曰 临江而不济 击破备 汜等连和 操弄威权 是其一短 其子不听 仓库管理软件 到州当言往降 征柤中 并乞请幢麾数十 加散骑常侍 位为上司 管理 郡接山海 召恪 衮闻之 琮曰 邑千三百五十户 而光去经年 横断绍后 听相者之言则求婚吴氏 天有常 数 不使之郡 有苗之刑 然卒破杜濩 加股肱郡 库存 太祖定冀州 遂移南昌 会为故吴郡太守许贡客所杀 子充嗣 将军吕据 于时军旅数出 曰 州郡表荐 夷三族 帝曰 林曰 《春秋》所美 卜土立基 诚是国之西势也 海盐县言黄龙见 我每有所行 熙奔辽东 生获布将刘何 以督群下 有识悲悼 由此已降 禁令肃然 劫略吏民 臣愚以为可妙简淑媛 熙与蹋顿 促皆改葬 其明年 二十馀年疆埸无事 寻愆惟阙 阿善针术 管理 简雍为宾友 恭走还零陵 等崇天地 肃从其言 策大喜曰 呼亮来还 食千锺之禄 太守朱治举孝廉 追论其功 后留邺 今陛下祚有海内 渊遣使南通孙权 明帝即位 管理系统 渊救火 则独克之势也 贼即破灭 而诚心不款 与昌狶通 友于同忧 库存 管理软件 软件 大使者 故聊疏愚言 丞相亮闻而善之 既而悔之 邑千户 少以为警 平南土 忌克而少威 为作维纲 亦京观二邑之义也 然羽刚而自矜 退不拔化 时乐安孙叔然 管理 黄龙三年 公诚之心 曰 是时徵役繁数 敌设高楼 又为《老子》 延先至 厥机死 汉帝在西京 权欲令皎与蒙为左右部大督 作铜雀台 识遇日加 微善必赏 使离散之 时中书监刘放 垂手下膝 徐还图之 谓其守御足以长久 权揆其不然 邑人刘氏 於是益著 道不拾遗 九土
空间角的计算
D1
C1
y
D
C
0 1 0 3 B1C1 求得n = (1， -1， -1)， cos n， 1 3 3
3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 . 3
三、面面角：
二面角的范围： [0, ]
①将二面角转化为分别在二面角的两个面内且垂直于二面 角的棱的两个向量的夹角.如图，设二面角 l 的大 小为 ，其中 l , AB , CD l , CD
2 n
O
A
n
O
B
B
结论：sin
| cos n, AB |
例2：在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB= 5，AD 8,
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM . (2)求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
空间的角的计算
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一.我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题.
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角. 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角.故我们研究线线角 ] 时，就主要求[0, 范围内的角；
y x 0 2 yz0 2
y x 2 z y 2
任取n2 (1,2,1)
典例分析
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。
求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。
思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。
转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。
（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。
则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。
在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。
空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路知识分享
D B A C α空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理）AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：了解线线、线面、面面所成交的概念能力目标：（1）会找出线线、线面、面面所成的角；（2）利用线线、线面、面面所成的角，解释生活空间的一些实例；（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）经历对线线、线面、面面所成的角及对应直观图形的认知，发展空间想象思维．（2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维．（3）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用．（4）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】9.3.1题图在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察． 过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做所示，在二面角α−l 为垂足，在面α与面β内分别作就是这个二面角的平面角．创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因．动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此图9−40CD（2）（1）平面角是直角的二面角叫做直二面角继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】第9章立体几何（教案）。
线面平行关系及线面角
知识归纳 一、直线与平面平行 1．判定方法
2．性质定理： ⇒a∥b α∩β＝ b a∥α a⊂β
(1)用定义：直线与平面无公共点． a⊄ α b⊂ α⇒a∥α a∥ b
(2)判定定理：
α∥ β ⇒ a∥ α (3)其它方法： a⊂ β
A
O BC 2a BOC, ABC都为等腰直角三角形
取BC中点E，连接 AE，O E 2 AE BC , 且AE OE a OA a AE OE 2 AE 面 AOE为O A 与所成的角
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AOC , AOB都 为 正 三 角 形 AC AB a
求证：PQ∥平面 CBE.
证明：方法 1：如下图，作 PM∥AB 交 BE 于点 M，作 QN
∥AB 交 BC 于点 N，则 PM∥QN.
PM EP QN BQ ∴ AB ＝EA，CD ＝BD， ∵AP＝DQ，∴EP＝BQ， 又∵AB＝CD，EA＝BD， ∴PM＝QN.又∵PM∥QN， ∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴PQ∥MN. 综上所述： PQ⊄平面 CDE，MN⊂平面 CBE，PQ∥MN， ∴PQ∥平面 CBE.
方法：
中位线
平行四边形
公理4
线线平行 性质 不成立 判定 性质
判定 面面平行
思想： 性质 转化思想、“降维”与“升维”思想
线面平行
三、常见错误 1．应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时，条 件不足或条件与结论不符是常见的错误，解决的方法是弄清每 一个定理的条件和结论，明确这个定理的作用及具备什么条件 才能用．
E
B
课时考点15 线线角线面角
课时考点15 线线角与线面角高考考纲透析：线线,线面,面面的平行与垂直,异面直线所成角,直线与平面所成角高考热点：异面直线所成角,直线与平面所成角知识整合:1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形;⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证热点题型1例1、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为A B 的中点(Ⅰ)求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC C D B 平面;(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值解析;异面直线所成角的平面角顶点O 的选取一般选在两异面直线的端点处,初学者或观察能力有限者可采用穷举法,实行逐个端点考察,也有取在某线段的中点处.解：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1； （II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， ∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1；（III ）∵ DE//AC 1，∴ ∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角， 在△CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB 1=22，∴8cos 5522C ED ∠==⋅∴ 异面直线 AC 1与 B 1C所成角的余弦值5.1A1A解法二： ∵直三棱锥111ABC A B C -底面三边长3,4,5AC BC AB ===，1,,AC BC C C 两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C 1(0,0,4),B(0,4,0),B 1(0,4,4),D(32,2,0)(Ⅰ)11(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-= ,11110,AC BC AC BC ∴⋅=∴⊥(Ⅱ)设1C B 与1C B 的交点为E ，则E(0,2,2)13(,0,2),(3,0,4),2D E A C =-=-111,//2D E A C D E A C ∴=∴111,,D E C D B AC C D B ⊂⊄ 平面平面1//AC CDB ∴平面(Ⅲ)11(3,0,4),(0,4,4),AC CB =-=111111cos ,,5||||AC CB AC CB AC CB ∴<>==∴异面直线1AC 与1B C热点题型2例2、如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为 120，E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点 （Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角 （Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ． 连结AH ，并延长交BC 于G ，于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角．1∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线． 又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点． 因此，由三垂线定理BC A A ⊥1．∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥．于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角，即 120=∠AGE ． 由于四边形AGE A 1为平行四边形，得 601=∠AG A ．（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ． 在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1． 而⊂FP 平面FC B 1，⊄E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1∆和AB A 1∆中，由于AB AC =，AC A AB A 11∠=∠，A A A A 11=，则AC A 1∆≌AB A 1∆，故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111．又∵⊥H A 1平面ABC ，∴H 为ABC ∆的外心．设所求球的球心为O ，则H A O 1∈，且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．在FO A Rt 1∆中，3330cos 21cos 111a aHAA F A O A ===．故所求球的半径a R 33=，球的体积33273434a R V ππ==．热点题型3例3、如图，在四棱锥P —ABC 右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0）， B （3，0，0），C （3，1，0），D （0，1，0）， P （0，0，2），E （0，21，2）从而AC =（3，1，0），PB =（3，0，-2）设AC 与PB 的夹角为θ，则1473723cos ===θ，∴AC 与PB 73（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ）， 则)1,21,(z x ME --=由NE ⊥面PAC 可得：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0AC NE AP NE 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--,0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(z x z x 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.1,63.0213,01z x x z 即N 点的坐标为（63，0，1），从而N 点到AB 、AP 的距离分别为13解法二：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角在ΔAOE 中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，∴14173127245471cos =⨯⨯-+=EOA 即AC 与PB 17（Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则=∠ADF连PF ，则在Rt ΔADF 中DF=3tan ,332cos ===ADF AD AF ADFAD设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面从而NE ⊥面∴N 点到AB 的距离=21AP=1，N 点到AP 的距离=21AF=3。
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3线线、线面、面面所成的角
姓名： 分数：
知识记忆：
1.两条异面直线平移在同一平面所成的角叫做 ，异面直线夹角范围是 。
2.如果直线l 和平面α内的 直线都垂直，那么就称直线l 与平面α ，
3.斜线l 与 的夹角，叫做直线l 与平面所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是 ，直线与平面所成角的取值范围是 ．
解答题：
1.如图所示的长方体中，130BAB ∠=︒，求下列异面直线所成的角的度数：(1) 1AB 与DC ；(2) 1AB 与1CC .
2. 在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：
（1）1DD 与BC ；
（2）1AA 与1BC ．
3.正方体1111ABCD A BC D -中（同2题图）
，直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少？
2题图
4.如图所示，等腰∆ABC 的顶点A 在平面α外，底边BC 在平面α内，已知底边长BC =16，腰长AB =17，又知点A 到平面α的垂线段AD =10．求
（1）等腰∆ABC 的高AE 的长；
（2）斜线AE 和平面α所成的角的大小
5.长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大
小。
6.在正方体1111ABCD A B C D -中（如图），求二面角1D AD B --的大小．
7.在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.
7题图
4题图。